第七章 相似原理与模型研究方法
例7-1 验证伯努利方程的量纲齐次性。 解： 沿流线的伯努利方程为
C gz P V =++ρρ22
1
把长度L ，质量m ，时间t 的量纲L ，M ，T 取为基本量纲，则上述方程中的各物理量的量纲分别为
[][]33-==ML l m ρ [][]1-==LT t l V [][]21--==T ML A ma P []2-=LT g
[]L z =
方程左边各项的量纲分别为：
2
1223221----==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡T ML T L ML V ρ []21--=T ML P
[]2123----==T ML L LT ML gz ρ
故左边各项的量纲是相同的，并可断定方程右边的量纲也是2
1
--T
ML 。
例7-2 试将定常的不可压缩粘性流体运动微分方程无量纲化。
解： 定常的不可压缩粘性流体运动方程在直角坐标系中x 方向分量式为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂2
222221z u y u x u x p
g z u u y u u x u u x x x x x z x y x x νρ 取特征量V （特征速度）、l （特征长度）、P ∆（特征压差），g （重力加速度），各量可化为无量纲量。
l
z z l y y l x x V u u V u u V u u z z y y x x
======******,,,,, g
g g p p p x
x =∆=
**, 带入方程中，整理后得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∆-=∂∂+∂∂+∂∂2**22**22**2**22***
*******
z u y u x u Vl x P V P V gl g z u u y u u x u u x
x x x x z x y x x
νρ
即为无量纲化的定常不可压缩粘性流体运动方程。其中出现的无量纲系数分别表示为：
Re ,,1
12
2=
=∆=Vl Eu V P Fr V gl νρ y 、z 方向的分量式可按相同方法无量纲化，出现的无量纲数相同。
例7-3 设圆管中粘性流动的管壁切应力τ与管径d ，粗糙度ε，流体密度ρ，粘度μ，流速V 有关，试用量纲分析法求它们的关系式。 解： 根据题意，切应力与有关量的关系式为 ()0=εμρτ,,,,,d V f 取基本量：d V ,,ρ
切应力的量纲可表示为： [][][][]111z
y
x
d V ρτ=
[][][]
1
1
1
13
2
1z y x L LT ML T
ML ----=
对M ：11x =
对L ：11131z y x ++-=- 对T ：12y -=-
解得：021111===z y x ,, 所以212
1V ρτ
π=
再由 [][][][]2
2
2z
y x
d V ρμ=
2222231
1
y z y x x T L M T
ML -++---=
对M ：21x =
对L ：22231z y x ++-=- 对T ：21y -=-
解出：111222===z y x ,, 所以Re ==
μ
ρπVd
2（雷诺数） 再由[][]d =ε得
d
ε
π=
3（相对粗糙度）
由π定理可得无量纲方程 ()0321=πππ,,f
或写成
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=d Vd F V εμρρτ
,22
1
所求的关系式为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=
d F V ερτRe,221 例7-4 试用量纲分析法确定钝体在粘性可压缩流体内作恒速运动时所受阻力的表达式。
解： 本题要考虑流体的可压缩性，根据题意 （1）确定变量：R （阻力），ρ，V ，L （特性尺寸），μ及E （流体弹性模量），设其关系式为：
()0=E R L V f ,,,,,μρ
（1） 取基本量：ρ、V 、L
（2） 用基本量量纲表示导出量量纲。
[][][][]()()
1
1
1
1
1
1
132
1z y x z
y x L
LT ML MLT l V R ---=
=
ρπ
[][][][]()()
2
2
2
2
2
2
131
12z y x z
y x L
LT ML T ML l V u ----=
=
ρπ
[][][][][][][]2
33
3
3
V P l V E z
y x ρρπ∆=
=
ρE
a =
解出
Ne l V R ==
2212
1
ρπ（牛顿数）
Re ==
μ
ρπVl
2 2
22231M V a V E ===ρπ（M 为马赫数）
（3） 列无量纲方程
()0321=πππ,,f
