河海大学弹性力学徐芝纶版第三章
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弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学(徐芝纶四版)-第3章
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u x l 0 v x l 0
h y 2
h 2
由式（f）可知，此边界条件无法满足。 边界条件改写为：
M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
第三章
平面问题的直角坐标解答
力学问题。
要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性
主要内容
§3-1 多项式解答
§3-2 位移分量的求出
§3-3 简支梁受均布载荷
§3-4 楔形体受重力和液体压力
§3-5 级数式解答
§3-6 简支梁受任意横向载荷
§3-1 多项式解答
适用性：由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法
说明： （1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
xy 1 1 x ( x y) y ( y x) xy E G E
（b）再将应变分量代入几何方程
u x x
v y y
xy
u v y x
（c）再利用位移边界条件，确定常数。
M
l
M y
x
1
h
y 0 xy 0
M y My x I h3 / 12
(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
x 1 ( x y)
E y 1 ( y x) E xy xy
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学课程大纲
《弹性力学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：培养学生掌握弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解弹性体简单的计算方法和有关求解思想，提高分析问题和计算问题的能力，为学习有关专业课题的学习和研究奠定力学基础。
基本要求包括：通过本课程学习使学生进一步理解体力、面力、应力、应变和位移等的基本概念。
掌握平面应力问题和平面应变问题的特点。
理解弹性力学中的基本假定，熟悉弹性力学平面问题的基本方程，了解按应力求解和按位移求解基本方程的推导步骤。
能正确写出边界条件，能正确应用圣维南原理。
了解平面问题逆解法和半逆解法的基本思路，掌握薄板静力学和动力学的研究思路。
通过实例，理解位移单值条件和孔边应力集中等概念。
了解弹性力学空间问题的基本内容和求解框架。
使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上,进一步系统地学习变形体力学的基本概念和研究方法，加深学生的力学理论基础，培养学生的力学分析和计算的能力，并且能够将专业知识应用于解决车辆复杂工程问题，并且能够针对车辆复杂工程问题进行力学分析与解决方案设计，还可以将计算得到的数据转化成信息，通过分析与解释数据，得到合理有效的结论。
（二）课程目标：课程目标1：使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上,进一步系统地学习变形体力学的基本概念和研究方法，加深学生的力学理论基础，培养学生的力学分析和计算的能力，并且能够将专业知识应用于解决车辆复杂工程问题。
课程目标2：使学生了解非杆件结构中常用的计算方法和有关问题的解答，为学习专业课程进一步打下良好的理论基础，能够针对车辆复杂工程问题进行力学分析与解决方案设计。
课程目标3：学生能够将计算得到的数据转化成信息，通过分析与解释数据，得到合理有效的结论。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表三、教学内容第一章绪论1.教学目标（1）熟练掌握弹性力学的基本假定、体力、面力、应力、应变和位移的基本概念；（2）掌握记号和符号的有关规定。
弹性力学第03章精品PPT课件
在主要边界上： y h ,
2
s y 0,
t xy 0
因此，在y=±h/2的边界面上，无任何面力作用，即
fx 0, f y 0
在x=0,l的次要边界上：
x 0,
f x (s x ) x0 0,
fy
(t xy )
x0
3F 2h
(1 4
y2 h2
)
x l,
fx
(s x )
xl
12Fl h3
➢注意事项：由于全部基本方程和边界条件是由变形
前的坐标描述的，因此只有在小变形的条件下才可以 使用叠加原理。即变形对外力作用点位置的改变可以 忽略不计。
圣维南原理及应用
➢对于工程实际问题，构件表面面力或者位移很难满足
严格的边界条件。这使得弹性力学解的应用将受到极大 的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限 制，圣维南提出了局部影响原理。
➢圣维南原理主要内容：物体表面某一小面积上作用的
外力力系，如果被一个静力等效的力系所替带，那么物 体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点 较远处，其影响可以忽略不计。
圣维南原理及应用
➢根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取
代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。 离此区域较远处，几乎不受影响。
s
x
2f ( x,
y 2
y)
fx x,
s
y
2f ( x,
x 2
y)
fy y,
t xy
2f(x, y)
xy
逆解法与半逆解法
(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和 形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15) 或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应 于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可 以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函 数或应力分量表达式中的待定系数）
河海大学弹性力学徐芝纶版 第三章PPT课件
( ) 0 . x yy h / 2
( b )
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
( xy)x0,l 0 ,
满足。
(c)
次要边界
主要边界
次要边界 x=0, l,
σ x 的边界条件无法 精确满足。
M
o l
h/2 M h/2
x
y
用两个积分的条件代替
h/2 h/2 ( σ ) y d y 1 M 。 x x 0, l h/2
次要边界
次要边界 x l ,
(x )xl 0
不满足
q
应用圣维南原理，列出三个积分条件，
h/2
h /2 h/2 h /2 h/2 h /2
思考题
如果区域内的平衡微分方程已经满足，且 除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢 量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不 必进行校核。试对此结论加以说明。
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何求 出位移？
半逆解法
解出:
3 2 f1 Ey Fy Gy, 5 4 3 2 A B f 2 y y Hy Ky . 10 6 f Ay3 By2 cy D,
(b)
式(b)中已略去对于Φ 的一次式。 将式(b)代入式(a)，即得 Φ 。
半逆解法
⑷由 Φ 求应力。 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。 对称性条件─由于结构和荷载对称于 y 轴，故 Φ , σ应为 为 x x , σ y 的偶函数，
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT
换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
弹性力学及有限元
第五章 用有限单元法解平面问题 第六章 空间问题的基本理论
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
弹性力学(徐芝纶)第三章习题答案
第三章1、解：由题意可知：简支梁所受体力为F g ρ=，所以0,x y f f g ρ==应力函数为：232325432()()2106x A BAy By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky Φ=++++++--++从而得应力分量：()2232223222262(62)22622(32)(32)x x y y xy x f x Ay B x Ey F Ay By Hy Ky f y Ay By Cy D gyxx Ay By C Ey Fy G σσρτ∂Φ=-=+++--++∂∂Φ=-=+++-∂=-++-++ （a ）考虑对称性，,x y σσ为x 的偶函数，xy τ为x 的奇函数。
于是得：0E F G ===。
下面考虑上下两边的边界条件：22()0,()0y hxy h y y στ=±=±==，代入（a ），得： 3208422h h h hA B C D g ρ+++-= 3208422h h h hA B C D g ρ-+-++= 23()04h x A hB C -++=即2304h A hB C ++=23()04h x A hB C --+=即2304h A hB C -+=以上四式联立得：223,0,,22g g gA B C D h h ρρρ=-===- 代入（a ），并注意0E F G ===得：2322322264+6223226+2x y xy g g x y y Hy K h h g g gy y gy h h g g xy xh ρρσρρρσρρρτ=-++=-+--= （b ）现在考虑左右两个边的边界条件，由于对称性，只需考虑一边，例如右边，也就是x l =，用多项式求解，只能要求x σ在这部分边界上合成为平衡力系，也就是要求：2-2()0,h h x x l dy σ==⎰2-2()0h h x x l ydy σ==⎰。
弹性力学(徐芝纶)习题答案
第一章第二章习题答案2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y x f f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y xy y x yxx f x yf yx τστσ23()()⎩⎨⎧=+=+s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：t lq t x -=;代入（*4理、几何方程得：(E x u x ==∂∂ε1(1E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=hy yxy τσ 满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y x υσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l应力主向成∴l()2121σσσ+=n 得证。
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
徐芝纶弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答
各点切应力：
x x dx y ； x y
( y )C y
y x
dx
y y
y
( xy ) A xy ；
( xy ) B xy xy y
xy x
( yx ) A yx
dy ； ( yx ) A yx yx y dy
y
y
(c)
M
E
0
dx dy dx x dy 1 yx dx 1 dy y dx 1 y 2 2 2 xy dy dy dx ( x x dx)dy 1 ( xy dx)dy 1 dx f x dxdy 1 f y dxdy 1 0 x 2 x 2 2 ( y dy )dx 1
2
正的应力
正的面力
【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。 【解答】 材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正， 反之为负。 弹性力学中规定， 作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正， 作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。 【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。 【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。 正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。 正的切应力对应于正的切应变： 在如图所示应力状态情况下， 切应力均为正的切应力， 引起直角减小，故为正的切应变。
y
M
C
0 改为对角点的力矩平衡条件， 试问将导出什么形
式的方程？ 【解答】 将对形心的力矩平衡条件
M
C
0， 改为分别
x x dx y ； x y
( y )C y
y x
dx
y y
y
( xy ) A xy ；
( xy ) B xy xy y
xy x
( yx ) A yx
dy ； ( yx ) A yx yx y dy
y
y
(c)
M
E
0
dx dy dx x dy 1 yx dx 1 dy y dx 1 y 2 2 2 xy dy dy dx ( x x dx)dy 1 ( xy dx)dy 1 dx f x dxdy 1 f y dxdy 1 0 x 2 x 2 2 ( y dy )dx 1
2
正的应力
正的面力
【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。 【解答】 材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正， 反之为负。 弹性力学中规定， 作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正， 作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。 【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。 【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。 正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。 正的切应力对应于正的切应变： 在如图所示应力状态情况下， 切应力均为正的切应力， 引起直角减小，故为正的切应变。
y
M
C
0 改为对角点的力矩平衡条件， 试问将导出什么形
式的方程？ 【解答】 将对形心的力矩平衡条件
M
C
0， 改为分别
徐芝纶弹性力学简明教程第四版所有课后习题解答
所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在
z 方向的尺寸取为一个单位。
O
yx A
xy A
x
y
A
A
A
x
yx D
y D
fx D
x
D
xy D
fy
xy B
B
x B y B
C
x
C
y C
xy C
y
yx B
yx C
O
题的应力分量 x ， y 和 xy 均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？
【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量 x ， y 和 xy 均相同，但平面应力问题
z yz xz 0 ，而平面应变问题的 xz yz 0, z x y 。
（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相
件 MC 0 改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形
式的方程？
【解答】将对形心的力矩平衡条件 MC 0 ，改为分别
对四个角点 A、B、D、E 的平衡条件，为计算方便，在 z 方 向的尺寸取为单位 1。
MA 0
ydx 1
dx 2
( x
x x
dx)dy
1
dy 2
( xy
xy x
dx)dy
dx ；
( xy )C
xy
xy x
dx
xy y
dy
；
( yx )D
yx
yx x
dx
( yx )C
yx
yx x
dx
yx y
dy
由微分单元体的平衡条件 Fx 0, Fy 0, 得
弹性力学第四版徐芝纶课后习题答案全解
【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力
分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹
性常数的系数。由于 E 为 GPa 级别的量，而泊松比 取值一般在（0，0.5），故主要控
制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题
【1-7】试画出图 1-4 中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。
【解答】
正的体力、面力
正的体力、应力
【1-8】试画出图 1-5 中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】
2
【1-9】在图 1-3 的六面体上，y 面上切应力 yz 的合力与 z 面上切应力 zy 的
合力是否相等？
【解答】切应力为单位面上的力，量纲为 L1MT 2 ，单位为 N / m2 。因此，
【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力 作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受 x，y 向的面力或约束，
且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 【解答】板上处处受法向约束时 z 0 ，且不受切向面力作用，
则 xz yz 0 (相应 zx zy 0 )板边上只受 x，y 向的面力或约束， 所以仅存在 x , y , xy ，且不沿厚度变化，仅为 x，y 的函数，故其应
(a)
各点正应力：
( x )A x ；
( x )B
x
x y
dy
；
( x )D
x
x x
dx
；
( x )C
x
x x
dx
x y
y
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第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次 要边界（小边 界）上，
y
h/2
h/2
x
l
x 0(负x面),
f x (σ x )x0 0,
fy
( xy )x0
3F 2h
(1 4
y2 h2 );
x l(正x面),fx(σ x )xl12Fl h3
y,
fy
( xy ) xl
3F 2h
(1 4
否
求出应力
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单 宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 (Pure bending)问题。
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体，若
y
x
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
3.半逆解法(Semi-inverse method)
步骤： ⑴ 假设应力的函数形式（根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
τ
xy
2Φ xy
σ
x
2Φ y 2
12hF3xy,
σ
y
2Φ x 2
0,
xy
2Φ xy
3F 2h
(14
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
h/2
h/2
x
y
l
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的
面力。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 fx fy 0.
⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出
各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解 答，就是上述 和Φ应力。
逆解法没有针对性，但可以积累基 本解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
.
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。
如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
思考题
1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条 件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条 件的？
按 求Φ解， 应Φ满足相容方程及 应力边界条件。
s 上s的
求解步骤：
⑴ 由逆解法得出，可取 Φ，ay3且满足
⑵ 求应力
4Φ0.
σx 6ay,
σ y xy 0.
(a)
第三章 平面问题的直角坐标解答
边界条件
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须精 确满足应力边界条件。
b.后校核次要边界（小边界），若不能 精确满足应力边界条件，则应用圣维南原 理，用积分的应力边界条件代替。
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0,l 小边界上的面力 fx , f y 如下图
中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。
(a)
M=Fl
F
F
(b)
第三章 平面问题的直角坐标解答
由此，可得出结论：上述应力函数可以解 决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。
F
第三章 平面问题的直角坐标解答
2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法解题的基本步骤
给定满足相
容方程的
求出应力 分量
求出边界上的 面力（合力）
能解决什 么问题
半逆解法解题的基本步骤
假设应力的 函数形式
应力函数的 函数形式
满足相容方程，得应 力函数的具体表达式
得到问题的 是 正确答案
单连体
是否满足 边界条件
第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力 例题
第三章 平面问题的直角坐标解答
按Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解法
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
σ x 的边界条件无法 y
逆解法
例1
设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ F xy(3h2 4y2 )能解决什么
2h3
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。
1. 将 Φ代入相容方程，可见 4Φ 0 是
满足的。Φ 有可能成为该问题的解。
2. 由 Φ求出应力分量
第三章 平面问题的直角坐标解答
Mo
主要边界 yh/2, y
主要边界
h/2 h/2
M
x
l
(σ y ) yh/2 0,
( xy )yh/2 0 .
(b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。
次要边界 x=0, l,
( xy )x0,l 0,
满足。 (c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界 x=0, l, M o
s
fx,
m y l xy s fy.b
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
(d)
τ
xy
2Φ xy
.
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0 a
l x m yx
s
fx,
逆解法
2 .逆解法 (Inverse methomd y)─l─xy s先 fy满.b足(a),再
满足(b)。步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ的解0 Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy;
(a)
⑵ S = S上 应力边界条件,
l x m yx s fx,
m y l xy
s
fy.
(b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)通常是自然满足
的。只须满足(a),(b)。
4Φ 0 a
由 Φ求应力的公式是
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
l x m yx
逆解法
例2 一次式 Φ ax 对by应 c于无体力，
无面力，无应力状态。故应力函数加减
一次式，不影响应力。
例3 二次式 Φ ax2 bxycy2，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a
y
b
xo
b
x
o
x
b
yb
2c
2c
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
作业
对于图示1/4圆薄板，试考察应力函数 x2 能y满2 足 相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边界 面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）