河南省南阳市六校2016-2017学年高二下学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案

河南省南阳市2014-201 5学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r12．关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 43．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（x）dx=（）A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣184．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.65．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种6．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C． D．7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）A．2B． 3 C． 6 D．78．使得（n∈N）的展开式中含有常数项的最小的n为（）+A．4B． 5 C． 6 D．79．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3B． 3.15 C．3.5 D．4.510．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③11．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 412．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f （x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．14．若对于任意实数x，有x5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，则a1+a3+a5﹣a=．15．已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等式的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2）成立，则实数a的取值范围是．16．数列{an }共有5项，其中a1=0，a5=2，且|ai+1﹣ai|=1，i=1，2，3，4，则满足条件的不同数列的个数为．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；（2）据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（2）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．数列{an }满足：a1=1，an+1=+1，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4，猜想通项公式an，用数学归纳法证明你的猜想；（Ⅱ）求证：++…+＜（an+1）2，n∈N*．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．河南省南阳市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1考点：相关系数．专题：计算题．分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．解答：解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．2．关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据每个小题的要求作出相应的解答，判断每个命题的真假，则答案可求．解答：解：p1：由复数z==，则复数z对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限，故p1错误；p2：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z2=（﹣1﹣i）2=2i，故p2正确；p3：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z的共轭复数为﹣1+i，故p3错误；p4：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z的虚部为﹣1，故p4正确．∴真命题个数为：2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了共轭复数的求法，是基础题．3．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（x）dx=（）A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣18考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先通过已知等式两边求导令x=2得到f'（2），求出f（x），然后代入定积分计算即可．解答：解：由已知得到f'（x）=2x+2f′（2），令x=2，则f'（2）=4+2f′（2），解得f'（2）=﹣4，所以f（x）=x2﹣8x+3，所以f（x）dx=（x2﹣8x+3）dx=（）|=﹣18；故选D．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，关键是求出x 的系数f'（2）．4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X＞4）．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2P（0＜X＜4）=0.8，∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故选A．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．5．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，1=4种情况，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C2若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．点评：本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．6．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C． D．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个6点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．解答：解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为6×6﹣5×5=11，1×5=10种，“两个点数都不相同”则只有一个6点，共C2故P（A|B）=．故选：A．点评：本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率．7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）A．2B． 3 C． 6 D．7考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由X～B（2，P）和P（X≥1）的概率的值，可得到关于P的方程，解出P的值，再由方差公式可得到结果．解答：解：∵随机变量X～B（2，P），∴P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣P）2=，解得P=．∴D（Y）=3××=，∴D（3Y+1）=9×=6，故选：C．点评：本题考查二项分布与n次独立重复试验的，属基础题．8．使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B． 5 C． 6 D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，则：Tr+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即nmin=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．9．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3B． 3.15 C．3.5 D．4.5考点：回归分析的初步应用．专题：计算题．分析：先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．解答：解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．点评：本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．解答：解：分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x 为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③故选：D．点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中函数的图象或解析式，分析出函数的性质，然后进行比照，是解答本题的关键．11．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 4考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数可转化为方程sgn（lnx）﹣ln2x=0的解的个数，从而解方程即可．解答：解：令sgn（lnx）﹣ln2x=0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x=0，解得，x=e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x=0，无解；当lnx=0，即x=1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x=0有两个根，故函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选B．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．12．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f （x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c ＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论解答：解：构造函数g（x）=，当x∈（1，+∞）时，g′（x）=，即函数g（x）单调递增，则a=f（2）==g（2），b=f（3）==g（3），c=（+1）f（）==g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据它们的概率之和为1，求出c的值，进一步求出P（1.5＜k＜3.5）的值．解答：解：由随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，得，解c=．∴P（1.5＜k＜3.5）=P（X=2）+P（X=3）=．故答案为：．点评：本题考查了离散型随机变量的期望与方差，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，属于中档题．14．若对于任意实数x，有x5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，则a1+a3+a5﹣a=89．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据x5=[2+（x﹣2）]5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，令x=2，可得a=32，再利用通项公式求得a1、a3+a5的值，可得a1+a3+a5﹣a的值．解答：解：∵x5=[2+（x﹣2）]5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，令x=2，可得a=32．∴a1=•24=80，a3=•22=40，a5==1，∴a1+a3+a5﹣a=80+40+1﹣32=89，故答案为：89．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等式的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2）成立，则实数a的取值范围是a≥．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先确定g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得a≥﹣2x2+2x恒成立，即a≥（﹣2x2+2x）max，即可求出实数a的取值范围．解答：解：∵f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2），∴f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，即g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增，即g′（x）=2x+恒成立，也就是a≥﹣2x2+2x恒成立，∴a≥（﹣2x2+2x）max，∴a≥，故答案为：a≥．点评：本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增是关键．16．数列{an }共有5项，其中a1=0，a5=2，且|ai+1﹣ai|=1，i=1，2，3，4，则满足条件的不同数列的个数为4．考点：数列递推式．专题：排列组合．分析：通过记bi =ai+1﹣ai，i=1、2、3、4，利用a5=b4+b3+b2+b1=2，可知bi（i=1，2，3，4）中有3个1、1个﹣1，进而可得结论．解答：解：记bi =ai+1﹣ai，i=1、2、3、4，∵|ai+1﹣ai|=1，∴|bi |=1，即bi=1或﹣1，又∵a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）=b4+b3+b2+b1=2，∴bi（i=1，2，3，4）中有3个1、1个﹣1，这种组合共有=4，故答案为：4．点评：本题考查排列与组合，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；（2）据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据在全部300人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格；（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关．解答：解：（1）男性女性合计反感10 6 16不反感 6 8 14合计16 14 30…（2）由已知数据得：，所以，没有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别无关．…点评：本题考查了独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（2）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：（1）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，由加法原理得到结论；（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二类a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．3=96（个）；解答：解：（1）当末位数字是0时，百位数字有4个选择，共有4A34=24（个）；当末位数字是5时，若首位数字是3，共有A43=54（个）；当末位数字是5时，若首位数字是1或2或4，共有3×3×A3故共有96+24+54=174（个）．（2）a，b中有一个取0时，有2条；2=20（条）；a，b都不取0时，有A5a=1，b=2与a=2，b=4重复；a=2，b=1，与a=4，b=2重复．故共有2+20﹣2=20（条）．点评：分类计数原理完成一件事，有多类办法，在第1类办法中有几种不同的方法，在第2类办法中有几种不同的方法，…，在第n 类办法中有几种不同的方法，那么完成这件事共有的办法是前面办法数之和．19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．解答：解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：X 2 3 4 5PEX=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x 在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴gmax （x）=g（1）=+ln2，gmin（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．数列{an }满足：a1=1，an+1=+1，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4，猜想通项公式an，用数学归纳法证明你的猜想；（Ⅱ）求证：++…+＜（an+1）2，n∈N*．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）由已知条件，利用递推公式能求出a 2=2，a 3=3，a 4=4，由此猜想a n =n ，再用数学归纳法证明． （Ⅱ）an =n ，知证明++…+＜（a n +1）2，n ∈N *．即证，由此利用均值定理能求出来．解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=+1，n ∈N *．∴a 2==2， a 3==3，a 4==4，猜想a n =n证明：①当n=1时，a 1=1，猜想成立； ②假设当n=k （k ∈N *）时猜想成立，即a k =k 那么，，∴当n=k+1时猜想也成立由①②可知猜想对任意n ∈N *都成立，即a n =n （Ⅱ）证明：∵a n =n ，证明++…+＜（a n +1）2，n ∈N *．即证由均值不等式知：，则． ∴++…+＜（an +1）2，n ∈N *．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求出f′（x）=，从而得出函数的单调区间；（Ⅱ）分别讨论①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；（Ⅲ）由题意得a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，得到h（x）=g′（x）=1+lnx ﹣3x2，h′（x）=，得出h（x）在（1，+∞）递减，从而g（x）在（1，+∞）递减，问题解决．解答：解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，∵a＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=，①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上递增，∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍），②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍），③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）递减，当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增，∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣，综上a=﹣；（Ⅲ）∵f（x）＜x2，∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，∴g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．。

2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，C=A∩B，则C的子集的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．42．复数z满足（1﹣i）=|1+i｜，则复数z的实部与虚部之和为( ) A．B．﹣C．1 D．03．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是（)A．若m∥α,n∥β，m⊥n,则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n,则α∥β4．给出下列四个结论：①已知X服从正态分布N（0，σ2)，且P（﹣2≤X≤2）=0。

6，则P （X＞2）=0。

2;②若命题，则￢p:∀x∈（﹣∞，1)，x2﹣x ﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是．其中正确的结论的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．35．在△ABC中，，则tanC的值是( ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法"，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．907．已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ）A．B． C．4 D．8．已知f(x）是定义在R上的偶函数,且f（x﹣）=f(x+）恒成立，当x∈［2，3］时，f（x）=x,则当x∈(﹣2，0）时，函数f（x）的解析式为（）A．|x﹣2| B．|x+4| C．3﹣｜x+1| D．2+｜x+1|9．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x)的图象,若函数g(x)在区间［0,]和[2a,]上均单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[，］ B．[，］ C．[，] D．[，]10．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0,b＞0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，｜OF1｜为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( ）A．π B．3πC．4πD．6π12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数",给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数";③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数"；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，若，则= ．14．(2x2+x﹣1）5的展开式中，x3的系数为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．16．椭圆C：+=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是［﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题,考生任作一题，共10分。

南阳六校2016—2017学年下期第二次联考高二理科数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应 ( )A. 从东边上山B. 从西边上山C. 从南边上山D. 从北边上山【答案】D【解析】本题考查分步乘法原理，任意一面下山，即下山的可能走法已经确定有，只要上山的走法最多即可，上山只从一面，则从北边上山．故本题答案选．2. 从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有（）个A. 36B. 30C. 25D. 20【答案】C【解析】互不相等且为虚数，所以有只能从中选一个有种，从剩余的个选一个有种，所以根据分步计数原理知虚数有（个），故选C.3. 已知x与y之间的一组数据:7已求得关于y与x的线性回归方程为，则的值为 ( )A. 1B. 0.85C. 0.7D. 0.5【答案】D【解析】∵，∴这组数据的样本中心点是(,)，∵关于y与x的线性回归方程yˆ=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5.故选D.4. 计算( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】，故选A.5. 随机变量服从二项分布～，且则等于（）A. B. C. 1 D. 0【答案】B【解析】试题分析：因为随机变量服从二项分布，所以，，则，解得。

考点：二项分布。

6. (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2;(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )A. (1)与(2)的假设都错误B. (1)与(2)的假设都正确C. (1)的假设正确；(2)的假设错误D. (1)的假设错误；(2)的假设正确【答案】D【解析】（1）用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故（1）错误.(2)已知，求证方程的两根的绝对值都小于，根据反证法的定义，可假设，故（2）正确.7. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A 在一次试验中出现的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令事件在一次试验中出现的概率是．由事件至少发生次的概率为，可知事件一次都不发生的概率为，由独立事件同时出现的概率知，则．故本题答案选．8. 下列说法：①分类变量A与B的随机变量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大.②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，，，，则.正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】定义①，根据独立性检验的性质知，分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大，①正确；对于②，由，两边取对数，可得，令，可得，，故②正确；③回归直线方程为中，，，，则，③正确，所以正确命题的个数是，故选D.9. 在二项式（的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为（）A. 18B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】由题令可得各项系数之和，则，各项二项式系数之和，有，解得．则二项式为，则，对于常数项有．常数项为．故本题答案选．点睛：赋值法普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．10. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B【解析】当户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一个小孩，有种方法，故选B.11. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为，其中，传输信息为，，运算规则为：.例如原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）A. 11010B. 01100C. 00011D. 10111【答案】D【方法点睛】本题主要考查新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.12. 已知函数存在两个极值点．则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】有两个解，(如上图所示)，故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）【答案】-189【解析】由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是．14. 在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布N(100,),(>0），若在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为__________．【答案】0.2【解析】在内的概率为.15. 将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A 袋中的概率为________.【答案】【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．16. 考虑函数与函数的图像关系，计算：________．【答案】1【解析】如图由定积分的几何意义知，，两函数互为的函数图象关于对称，则，又．故本题应填．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知,在的展开式中，第二项系数是第三项系数的．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)6;(2)64.【解析】试题分析：（1）利用二项展开式定理写出其第二项系数与第三项系数，再利用两系数间关系可求得的值；（2）赋值法，分别令即可求出结果．试题解析：解：（1）由题得,解得（2）,令，得.又令，得所以点睛：二项展开式的通项与数列的通项公式类似，它可以表示二项展开式的任意一项，只要确定，该项也就随之确定．利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项，如常数项，含项，系数最大的项，次数为某一确定值的项，有理项等．18. 国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。

2016-2017学年河南省南阳市六校联考高一（下）第一次联考数学试卷2016-2017学年河南省南阳市六校联考高一（下）第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.下列命题中正确的是（）A.终边在x轴负半轴上的角是零角B.三角形的内角必是第一、二象限内的角C.不相等的角的终边一定不相同D.若β=α+k?360°（k∈Z），则α与β终边相同【答案】D【解析】解：终边在x轴负半轴上的角是零角，例如-180°，不是零角，所以不正确；90°是三角形的内角，90°不属于第一、二象限内的角，所以不正确，30°和390°不相等，但终边相同，所以不正确若β=α+k?360°（k∈Z），则α与β终边相同，满足终边相同角的表示，正确．故选：D．直接利用象限角是大于判断命题的真假即可．本题考查命题的真假，象限角的定义的应用，是基础题．2.cos2017°=（）A.-cos37°B.cos37°C.-cos53°D.cos53°【答案】A【解析】解：cos2017°=cos（5×360°+217°）=cos（180°+37°）=-cos37°．故选：A．由已知利用诱导公式即可化简得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3.若sinθ＞cosθ，且tanθ＜0，则角θ的终边位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：∵sinθ＞cosθ，∴θ一定不再第四象限，又tanθ＜0，∴θ是第二或第四象限角，可得θ是第二象限角，故选B．因为sinθ＞cosθ，可判断θ一定不是第四象限，又tanθ＜0，可得判断θ是第二或第四象限角，问题得以解决．本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题．4.已知f（sinx）=cos2x-1，则f（cos15°）=（）A. B. C. D.【答案】【解析】解：∵f（sinx）=cos2x-1，∴f（cos15°）=f（sin75°）=cos150°-1=-cos30°-1=--1．故选：C．由已知得f（cos15°）=f（sin75°）=cos150°-1，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.已知α是第三象限角且，则角是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】解：由题意，α是第三象限角，那么：可得在一，三，四象限，又∵＞0．∴在第三象限．故选C．由题意，α是第三象限角，先判断出的象限，在根据，进一步缩小，可以确定的象限本题考查了角象限的判断，三角函数值的正负判断．属于基础题．6.设a＜0，角α的终边经过点P（3a，-4a），则sinα+2cosα的值等于（）A. B. C. D.【答案】【解析】解：角α的终边经过点P（3a，-4a），a＜0．∴x=3a，y=-4a，r=-5a．得：sinα==．cosα==，则sinα+2cosα=，故选：B．直接利用任意角的三角函数，求解sinα，cosα即可．本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．7.函数f（x）=cos（x+φ）（0≤φ≤π）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则φ=（）A.0B.C.D.π【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（x+φ）（0≤φ≤π）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则φ=kπ+，k∈Z，结合所给的选项，故选：C．由条件利用三角函数的奇偶性可得φ=kπ+，k∈Z，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．8.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵=sin（++α），∴cos（+α）=，∴=cos（π--α）=-cos（+α）=-．故选：A．由已知利用诱导公式化简可得cos（+α）=，进而利用诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.函数y=sinx+sin|x|在区间[-π，π]上的值域为（）A.[-1，1]B.[0，2]C.[-2，2]D.[0，1]【答案】B【解析】解：当0≤x≤π时，函数y=sinx+sin|x|=2sinx，其值域为[0，2]；当-π≤x＜0时，函数y=sinx+sin|x|=sinx-sinx=0；综上，函数y=sinx+sin|x|在区间[-π，π]上的值域为[0，2]．故选：B．分0≤x≤π和-π≤x＜0时，求出函数y的取值范围即可．本题主要考查正弦函数在闭区间上的最值问题，是基础题．10.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，令，，，则（）A.b＜a＜cB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.b＜c＜a【答案】C解：∵cos≈0.588，tan（）≈0.727，≈0.628，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，∴a＜b＜c，故选C．分别确定变量的值，利用函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．本题主要考查函数单调性定义，利用函数的奇偶性、单调性来研究对称区间上的函数值大小关系．11.如图，有一直径为40cm的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形铁皮ABC，把剪出的扇形围成一个圆锥，那么该圆锥的高为（）A. B.20cm C. D.【答案】D【解析】解：由已知图形可知，BC为圆的直径，则BC=40cm，∴AB=cm，则=cm，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，得r=5cm，而围成的圆锥的母线长为20，∴高为．∴圆锥的高为cm．由已知可得扇形周长，设出围成圆锥的底面半径，由圆锥底面圆的周长与展开图扇形弧长的关系求出已知底面半径，再由勾股定理求得圆锥的高．本题考查柱、锥、台体积的求法，考查圆锥底面圆的周长与展开图扇形弧长的关系，是中档题．12.已知函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，在[-1，0]上为单调增函数，又α，β为锐角三角形二个内角，则（）A.f（cosα）＞f（cosβ）B.f（sinα）＞f（sinβ）C.f（sinα）＜f（cosβ）D.f（sinα）＞f（cosβ）【答案】D【解析】解：∵f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函数，∵f（x）在[-1，0]上为单调增函数，∴f（x）在[0，1]上是增函数．∵α，β为锐角三角形二个内角，∴α+β＞90°，即90°＞α＞90°-β＞0，∴1＞sinα＞sin（90°-β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＞f（cosβ）．故选：D．根据α和β的关系得出sinα＞cosβ，再根据f（x）的单调性得出结论．本题考查了奇函数的性质，三角恒等变换，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.函数______ ．【答案】，，【解析】解：由题意得：，解得：x∈，，，故答案为：，，．根据三角函数的性质以及分母大于0，求出x的范围即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．14.直线6x-2y-5=0的倾斜角为α，则= ______ ．【答案】-2【解析】解：∵直线6x-2y-5=0的斜率为3，它的倾斜角为α，∴tanα=3，则====-2，故答案为：-2．利用直线的倾斜角和斜率求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．15.设f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），若f （2016）=-1，则f（2017）= ______ ．【答案】7【解析】。