第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程要点感知 对于二次项系数不是1的一元二次方程，先要在方程 ，将它转化为二次项系数化为 的一元二次方程，再用上一节课所介绍的配方法求解.预习练习1-1 配方法解一元二次方程2x 2-3x+1=0，先应把二次项的系数化为 ，因此需要两边同除以 ，方程可化为 .然后用上节课所学的配方法去解.1-2 将方程3x 2-12x-1=0进行配方，配方正确的是( )A.3(x-2)2=5B.(3x-2)2=13C.(x-2)2=5D.(x-2)2=133知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.把方程3x 2-6x+2=0两边同除以3得：x 2-2x+23=0，然后应把方程左边加上 ，再减去 . 2.用配方法解方程3x 2-6x+1=0，则方程可变形为( )A.(x-3)2=13B.3(x-1)2=13C.(3x-1)2=1D.(x-1)2=233.用配方法解方程2x 2-3=-6x ，正确的解法是(A)A.（x+32）2=154，x=-32B.（x-32)2=154，x=32C.（x+32）2=-154，原方程无解 D.（x+32）2=74，x=-32±72 4.用配方法解下列方程：(1)2x 2-8x+1=0； (2)2x 2-7x+6=0；(3)3x 2+8x-3=0； (4)2x 2+1=3x ；(5)3x 2-2x-4=0； （6）6x+9=2x 2.5.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A.2t 2-7t-4=0化为(t-74)2=8116B.3x 2-4x-2=0化为(x-23)2=109C.x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100D.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=256.将方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式，正确的是( )A.(x-32)2=16 B.2(x-34)2=116 C.(x-34)2=116D.以上都不对 7.用配方法解方程13x 2-x-4=0时，配方后得(C) A.(x-32)2=394 B.(x-32)2=-394 C.(x-32)2=574 D.以上答案都不对 8.把方程2x 2+4x-1=0配方后得(x+m)2=k ，则m= ，k= .9.用配方法解下列方程：(1)2t 2-6t+3=0； (2)6x 2-x-12=0；(3)2y 2-4y=4； (4)(2013·太原)(2x-1)2=x(3x+2)-7.10.已知y=2x 2-3x-10，当x 为何值时，y=4？当x 为何值时，y=-5？挑战自我11.用配方法说明：不论x 取何值，代数式2x 2+5x-1的值，总比代数式x 2+7x-4的值大，并求出当x 为何值时，两代数式的差最小.参考答案课前预习要点感知 同时除以二次项系数 1预习练习1-1 1 2 x 2-32x+12=0 1-2 D当堂训练1.112.D3.A4.(1)x 1=2，x 2=2. (2)x 1=2，x 2=32. (3)x 1=13，x 2=-3. (4)x 1=1，x 2=12.(5)x 1=3，x 2=3.(6)x 1=2,x 2=2. 课后作业 5.D 6.C 7.C 8. 1329.(1)t 1，t 2. (2)x 1=32，x 2=-43.(3)y1y2(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7，4x2-4x+1=3x2+2x-7，x2-6x=-8，(x-3)2=1，x-3=±1，∴x1=2，x2=4.10.当x=72或-2时，y=4；当x=-1或52时，y=-5.11.(2x2+5x-1)-(x2+7x-4)=x2-2x+3=(x-1)2+2>0，∴不论x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大.∵(x-1)2≥0，∴当x=1时，(x-1)2取最小值为0，即(x-1)2+2的最小值为2. ∴当x=1时，两代数式的差最小.。

第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0. 解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0. 移项，得x 2－5x ＝－52. 配方，得x 2－5x ＋(52)2＝－52＋(52)2， 即(x －52)2＝154. 所以x －52＝152或x －52＝－152. 所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152. 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值 已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值． 解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0. ∴a －32＝0，b －14＝0，解得：a ＝32，b ＝14. ∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2 ＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34. ∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．10.5 一次函数与一元一次不等式教学目标【知识与能力】了解一元一次不等式与一次函数的关系。

1.2 第3课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1) 当堂检测1．用配方法解方程2x 2＋6＝7x 时，配方后所得的方程为( )A ．(x －74)2＝116B ．(x ＋74)2＝116C ．(x －72)2＝374D ．(x ＋72)2＝3742．用配方法解一元二次方程－3x 2＋4x ＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以________．3．用配方法将方程2x 2＋x ＝1变形为(x ＋h)2＝k 的形式是________．4．用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －4＝0；(2)2x 2＋2x －1＝0.课后训练一、选择题1．用配方法解方程2x 2－4x ＋3＝0，配方正确的是( )A ．2x 2－4x ＋4＝3＋4B ．2x 2－4x ＋4＝－3＋4C ．x 2－2x ＋1＝32＋1D ．x 2－2x ＋1＝－32＋1 2．把方程2x 2－4x －1＝0化为(x ＋m )2＝32的形式，则m 的值是( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2二、填空题3．将方程2x 2－4x －5＝0化成(x ＋h )2＝k 的形式为________________．4．代数式－2x 2－4x ＋3的最大值是________．三、解答题5．用配方法解方程：(1)2x 2－7x ＋6＝0； (2)2x (x －3)＝1；(3)－16x 2－13＝12x; (4)2x 2＋4x ＋6＝0.6．已知关于x 的方程5x 2＋kx －10＝0的一个根是－5，求它的另一个根及k 的值.7．当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数？拓展题阅读材料：分解因式：x 2＋2x －3.解：x 2＋2x －3＝x 2＋2x ＋1－1－3＝(x 2＋2x ＋1)－4＝(x ＋1)2－4＝(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝(x ＋3)(x －1)．此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫做配方法．(1)用上述方法分解因式：m 2－4mn ＋3n 2；(2)无论m 取何值，代数式m 2－4m ＋2015总有一个最小值，请尝试用配方法求出当m 取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值．答案及解析当堂检测1．A [解析] 移项，得2x 2－7x ＝－6，二次项系数化成1，得x 2－72x ＝－3，配方，得x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，即(x －74)2＝116.故选A.2．－3 [解析] 利用配方法解一元二次方程时，首先将方程的二次项系数化为1，此方程的二次项系数为－3，故解方程的第一步是在方程的两边同时除以－3.3．(x ＋14)2＝916 [解析] ∵2x 2＋x ＝1，∴x 2＋12x ＝12，∴x 2＋12x ＋116＝12＋116，∴(x ＋14)2＝916.故答案为(x ＋14)2＝916. 4．解：(1)移项，得x 2－6x ＝4，配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13，直接开平方，得x －3＝±13，∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13.(2)方程变形，得x 2＋x ＝12，配方，得x 2＋x ＋14＝34，即(x ＋12)2＝34，直接开平方，得x ＋12＝±32，解得x 1＝－12＋32，x 2＝－12－32.课后训练1．[解析] D 方程两边都除以2，得x 2－2x ＋32＝0， 移项，得x 2－2x ＝－32， 配方，得x 2－2x ＋1＝－32＋1. 故选D .2．[解析] B ∵2x 2－4x －1＝0，∴2x 2－4x ＝1，∴x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝12＋1，∴(x －1)2＝32，∴m ＝－1.故选B . 3．[答案] (x －1)2＝72[解析] 方程两边同除以2，得x 2－2x －52＝0，移项，得x 2－2x ＝52，两边同时加上1可进行配方．4．[答案] 5[解析] －2x 2－4x ＋3＝－2(x 2＋2x)＋3＝－2(x 2＋2x ＋1－1)＋3＝－2(x ＋1)2＋5.5．[解析] 都先将二次项系数化为1，然后用配方法求解．解：(1)两边都除以2，得x 2－72x ＋3＝0，x 2－72x ＋4916＝－3＋4916， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝116，x －74＝±14， 所以x 1＝2，x 2＝32. (2)整理，得2x 2－6x －1＝0，两边都除以2，得x 2－3x －12＝0， x 2－3x ＋94＝12＋94， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝114，x －32＝±112， 所以x 1＝32＋112，x 2＝32－112. (3)移项，得－16x 2－12x －13＝0， 两边都乘－6，得x 2＋3x ＋2＝0，x 2＋3x ＋94＝－2＋94， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝14，x ＋32＝±12， 所以x 1＝－1，x 2＝－2.(4)2x 2＋4x ＋6＝0，x 2＋2x ＋3＝0，x 2＋2x ＝－3，x 2＋2x ＋1＝－3＋1，(x ＋1)2＝－2，所以原方程无解．6．解：把x ＝－5代入方程5x 2＋kx －10＝0，得5×(－5)2－5k －10＝0，解得k ＝23.∴5x 2＋23x －10＝0.两边都除以5，得x 2＋235x －2＝0， 配方，得x 2＋235x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23102＝729100，x ＋2310＝±2710，∴x 1＝25，x 2＝－5. ∴方程的另一个根为25. 7．[解析] 根据相反数的意义建立方程2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)，再解这个方程求出x 的值．解：由题意，得2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)，整理，得3x 2＋7x ＝20.两边都除以3，得x 2＋73x ＝203， 配方，得x 2＋73x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫762＝203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫762， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋762＝28936， 开平方，得x ＋76＝±176， 所以x 1＝－4，x 2＝53. 即当x ＝－4或53时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数． 【拓展题】解：(1)m 2－4mn ＋3n 2＝m 2－4mn ＋4n 2－4n 2＋3n 2＝(m －2n)2－n 2＝(m －n)(m －3n)．(2)m 2－4m ＋2015＝m 2－4m ＋4＋2011＝(m －2)2＋2011，∵(m －2)2≥0，∴(m －2)2＋2011≥2011.∴当m ＝2时，代数式m 2－4m ＋2015的值最小，最小值是2011.。

课题：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤．2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．3．培养学生主动探究的精神，提高学生积极参与的意识．【学习重点】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．【学习难点】通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想．一、情景导入 生成问题回顾：1．根据完全平方公式填空：(1)x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2； (2)x 2－8x ＋16＝(x －4)2；(3)x 2＋10x ＋(5)2＝(x ＋5)2; (4)x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322. 2．解一元二次方程：x 2－4x ＋3＝0.解：x 2－4x ＝－3，∴x 2－4x ＋4＝－3＋4，∴(x －2)2＝1，∴x －2＝±1，∴x 1＝3，x 2＝1.二、自学互研 生成能力知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程阅读教材P 34～P 35，完成下面的填空：解方程2x 2－4x －1＝0.解：将方程两边同时除以2，得x 2－2x －12＝0． 把方程的左边配方，得x 2－2x ＋1－1－12＝0， 即(x －1)2－32＝0. (以下步骤请继续完成)x －1＝±62，∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62. 师生合作探究、共同归纳出用配方法解“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)”的步骤．归纳：当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解．【例1】 用配方法解方程：(1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94. 解：原方程可化为 解：原方程可化为y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34＝0.∴y 2－2y ＋12－12－63＝0, ∴x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝34＋⎝⎛⎭⎫322，即(y －1)2＝64. 即⎝⎛⎭⎫x ＋322＝3. ∴y －1＝±8. ∴x ＋32＝±3. 解得y 1＝9，y 2＝－7. ∴x 1＝－3＋232，x 2＝－3－232. 教师点拨：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式；②把二次项系数化为1；知识模块二 利用配方法求代数式的最值【例2】 用配方法求代数式－2x 2＋4x ＋3的最大值．解：原式＝－2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝－2(x －1)2＋5.∵－2(x －1)2≤0，∴代数式－2x 2＋4x ＋3最大值为5.教师点拨：将代数式配方时应注意：①由于是代数式，配方时只能提二次项系数，而不能除以二次项系数；②只需提二次项和一次项的系数，保留常数项；③注意变形须是恒等变形．求代数式最值的一般步骤：①先考虑一元二次方程二次项系数需满足的条件；②将二次项系数配方；③说明不论k 为何值，二次项系数均不为0.【变例】 试证：不论k 取何实数，关于x 的方程(k 2－6k ＋12)x 2＝3－(k 2－9)x 必是一元二次方程．证明：k 2－6k ＋12＝(k －3)2＋3，∵(k －3)2≥0，∴k 2－6k ＋12≥3.∴不论k 取何实数，关于x 的方程(k 2－6k ＋12)x 2＝3－(k 2－9)x 必是一元二次方程．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识模块二 利用配方法求代数式的最值四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。