四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试数学(理)试题

2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1、若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ）.A )1,2(--.B )1,2(-.C )1,2(.D )1,2(-2、“2log (23)1x -<”是“48x>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.976P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（）A.0.952B.0.942C.0.954D.0.9604、若数列{}n a 的前n 项和为2n S kn n =+，且1039,a =则100a =（）A. 200B. 199C. 299D. 3995、若(0,)2πα∈，若4cos()65πα+=，则sin(2)6πα+的值为（ ）A ．123725- B ．732450- C ．243750- D ．123725+ 6、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(0,4)A 和(0,4)C -，顶点B 在椭圆221925x y +=上，则sin()sin sin A C A C+=+( )A ．35B ．45C ．54D ．537、若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则43y z x -=-的取值范围是（）A.(,4][3,)-∞-⋃+∞B. (,2][1,)-∞-⋃-+∞C. [2,1]--D. [4,3]-8、从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A ．432B ．378C ．180D ．362FE D 1C 1B 1A 1DC BA9、已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数过点(,1)6π-，则函数()sin()f x x ωϕ=+（）A.在区间[,]63ππ-上单调递减 B.在区间[,]63ππ-上单调递增 C.在区间[,]36ππ-上单调递减 D.在区间[,]36ππ-上单调递增 10、在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 的交AD 于点,F 若EF ,AB AC λμ=+则λμ+=( )A. 16-B. 16C. 13- D. 1 11、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 在棱1CC 上，且12CF FC =，P 是侧面四边形11BCC B 内一点（含边界），若1A P //平面AEF ，则直线1A P 与面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围是（）A.25529[,]529 B.313529[,]1329 C.31322[,]133 D.2522[,]5312、若存在两个正实数,x y ，使得等式2(2)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为()A.11[,]2e -B. 2(0,]eC. 2(,0)[,)e -∞⋃+∞D. 11(,)[,)2e-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,()2xf x =,则4(log 9)f 的值为__________．14、已知61()x ax+展开式的常数项是160，则由曲线2y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为．15、若点O 和点(3,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的对称中心和左焦点，点P 为GFEDCBA 双曲线右支上任意一点，则221PFOP +的取值范围为________________.16、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，13()|2|22f x x =--；（2）(2)2()f x f x =．设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大一次为1x ，2x ，…，n x ，…．若1(,1)2a ∈，则122n x x x +++=…．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos ),m x x n x =+=设函数()f x m n =.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在(,]62ππ-上的值域； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,4f A b ==，ABC ∆的面积为3，求a 的值.18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==，E 是AD 的中点，BE 与AC交于点F ，GF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求二面角E AG B --所成角的余弦值.19、（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差．附临界值表：2K 的观测值：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n =a+b+c+d ） 关于商品和服务评价的2×2列联表：20、（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于,M N 两点，直线AM 的斜率为12． （Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）若AMN ∆的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，2F MD ∆的面积为67，求椭圆Γ的标准方程．21、(本小题满分12分）已知函数21()(1)2x f x x e ax =--()a R ∈ ()I 当1a ≤时，求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为2sin 4cos 0.ρθθ+=()I 写出曲线M 的直角坐标方程及直线l 的参数方程； ()II 若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值.2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． DAADC BABDB BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．1133-、; 1143、; 265153+、(1,]; 16n 、3(2-1).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、解析：（Ι）()23sin 222cos f x m n x x =⋅=++3sin 2cos 232sin 236x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭…………………3分22T ππ∴==………………4分 (,],62x ππ∈-72(,],666x πππ∴+∈- ∴当7266x ππ+=时，即2x π=时,()min 2,f x = 当262x ππ+=时，即6x π=时,()max 5,f x =()(,]62f x x ππ∴∈-在上的值域为[2,5].………………6分（Ⅱ）()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663A A A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭…………8分 1sin 32ABC S bc A ∆==1c ∴=，………10分2222cos 1313a b c bc A a ∴=+-=∴=………12分18、解析：(Ι)∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ∆∽CBF ∆， ∴21===BC AE BF EF CF AF …1分 又∵矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，∴3,22==AC AE 在BEA Rt ∆中，2622=+=AE AB BE ∴3331==AC AF ，2633BF BE == 在ABF ∆中，222221)36()33(AB BF AF ==+=+ ∴ 90=∠AFB ，即BE AC ⊥ ……………2分∵⊥GF 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥……………3分又∵F GF BE = ，⊂GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………4分(Ⅱ)由（Ι）得FG BE AD ,,两两垂直,以点F 为原点，FG FE FA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,0,33A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,36,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0,0G ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,66,0E ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,36,33AB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,0,33AG ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,66,0EG ，36,,036AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭…………6分 设),,(z y x n =是平面ABG 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AG n AB ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0333303633z x y x ，取2=x ，得)2,1,2(-=n ………8分 设(,,)m x y z =是平面AEG 的法向量，则00AE n AG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3603633033x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取1x =，得(1,2,1)m =………10分xyz设平面AEG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则10cos 10m n m nθ⋅==………………11分∵平面AEG 与平面ABG 成钝二面角 ∴二面角E AG B --所成角的余弦值为1010-. ……………. 12分19、解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评 对服务不满意合计 对商品好评 120 40 160 对商品不满意20 20 40 合计 14060200…2分2200(120202040)9.5247.8971406040160k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯…4分故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．….…5分（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，………6分 X 的取值可以是0,1,2,3．其中P （X=0）=0.43=8125； P （X=1）=C 31•0.6•0.42=36125；……..7分 P （X=2）=C 32•0.62•0.4=54125； P （X=3）=C 33•0.63=27125．……..9分X 的分布列为： X 0123P 8125 36125 54125 27125… 10分②由于X ～B （3，0.6），则E （X ）=3×0.6=1.8，D （X ）=3×0.4×0.6=0.72…12分．20、解：（Ι）由题意, 22(,0),(,),(,)b b A a M c N c a a--………………1分212AM b a c a k c a a -∴===+………………3分12c e a ∴==………………4分(Ⅱ)设椭圆的方程为2222143x y c c+=………………5分AMN ∆的外接圆圆心为0(,0)T x ,则220092()4c TA TM x c x c =⇒+=-+ 08cx ∴=-………………6分34238TMck c c ∴==+∴过M 的切线方程为:3944cy x =-+………………7分 联立切线与椭圆方程: 2222221437*********x y c c x cx c c y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⎨⎪=-+⎪⎩………………8分∴ 22111607M D c c x x ∆=>= ∴117D cx =………………9分 ∴2213113622777F MDc c c S c ∆=⨯⨯-==………………11分 ∴ 2c =∴椭圆的方程为 22186x y +=………………12分 21、解：()I ()()xxf x xe ax x e a '=-=-…（1分）当0a ≤时，0x e a ->，∴(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增…（2分）当01a <≤时，令()0f x '=得0ln x x a ==或(i) 当01a <<时，ln 0a <，故：(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；…（4分）(ii) 当1a =时，ln 0a =，()(1)xxf x xe ax x e '=-=-0≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无减区间；…（5分）综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和，单调减区间是(ln ,0)a ； 当1a =时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. …（6分）()II 由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方 即32(1)xxe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立 即210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立…（7分）记2()1x g x e ax x =---(0)x >，∴()()21xg x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=-…（8分）(i) 当12a ≤时，()'20xh x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>=∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=，符合题意；…（10分）(ii) 当12a >时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减 ∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<=∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减，∴(0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意…（11分）综上可得a 的取值范围是1(,]2-∞. …（12分）22、解：（Ι）对于C ：由2sin 4cos 0.ρθθ+=，得22sin 4cos 0.ρθρθ+=，进而得曲线M 的直角坐标方程为：24.y x =-；………………2分直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩()t 为参数(4分) （Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩()t 为参数带入M 的直角坐标方程24,y x =-得：22sin 4cos 40,t t αα⋅+⋅+=①当sin 0α=时，适合题意，此时0;α=（6分）②当sin 0α≠时，2216cos 16sin 0αα-=，此时3.44ππαα==或 综上，直线l 的倾斜角的值为0α=或3.44ππαα==或（10分）。

四川省成都石室中学2021届高三数学10月月考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N =R 2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1- 3.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B.35C. 252D. 255.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的5x =，2y =，输出的4n =，则程序框图中的中应填（ ） A. x y ≤B.y x ≤C. y x <D.x y =6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D. (][),02,-∞⋃+∞7. 若直线()42y k x -=-与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A.[)1,+∞B.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦D. (],1-∞-8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，其中e 是自然对数的底数．则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >>9.2021年广东新高考将实行312++模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率（ ）A.136 B.116 C.18 D.1610.高斯函数[]()f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则[]0()g f x =（ ）A.12e e --B.2-C. 12e e --D.2212e e-- 11.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:3E y x =交于,A B 两点，O为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）A.2B.212.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =______． 14.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有______种．（用数字作答）15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BDCD； （Ⅱ）若1AD AC ==，求BC 的长．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（202X 年修订）》，要求各学校每开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）估计这200名学生健康指数的平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ. 附：参考数据 1.35 1.16≈， 若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+≈，(22)0.955P X μσμσ-<<+≈，(33)0.997P X μσμσ-<<+≈.19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求二面角P AG C --大小的正弦值.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()0,1A ，且椭圆的离心率为3(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数2()12xx f x e =--．（Ⅰ）若直线y x a =+为()f x 的切线，求a 的值；（Ⅱ）若[)0,x ∀∈+∞，()f x bx ≥恒成立，求b 的取值范围．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C ：()2244x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.成都石室中学2021~2021度上期高2021届10月月考数学试卷（理科）答案一、选择题：B D B C A D C C D B C A 二、填空题：13. __100____．14. ___36___．15.____ 254π__．16. ___67___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠，…………………………3分 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==.…………………………6分 （Ⅱ）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅.…………………………9分因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =32BC x ==.…………………………12分 18.（本小题满分12分）∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，…………………3分 ()()()()2222251540454575557565758575200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯()2209575135200+-⨯=.………………………6分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈，∴11(63.498.2)(-+2)=0.9550.6830.81922P X P X μσμσ<<=<<⨯+⨯=.………………9分②依题意，ξ服从二项分布，即()410,0.819B ξ，则8190E np ξ==.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AD 的中点为O ，连结OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH .//AD BC ，12AB BC CD AD ===四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形 OB AC ∴⊥，//OB CD CD AC ⊥ PAD ∆为等边三角形，O 为AD 中点 PO AD ∴⊥…………………………2分平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD AD =. PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥ PO ∴⊥平面ABCD CD ⊂平面ABCD PO CD ∴⊥H ，G 分别为OB ， PB 的中点 //GH PO ∴ GH CD ∴⊥…………………………5分 又GH AC H ⋂= ,AC GH 平面GACCD 平面GAC …………………………6分（Ⅱ）取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以OE ，OD ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.…………………………7分 设4=AD ，则(0,0,23P ，()0,2,0A -，)3,1,0C，()0,2,0D ，31322G - ⎝.(0,2,23AP =,33322AG ⎛= ⎝.设平面PAG 的一法向量(),,n x y z →=.由00n AP n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 2230333022y z x y z ⎧+=⇒+=⎩ 3y z x z ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩. 令1z =，则()1,3,1n =-.…………………………10分 由（Ⅰ）可知，平面AGC 的一个法向量()3,1,0CD =-.∴二面角P AG C --的平面角θ的余弦值2315cos 25n CD n CDθ⋅=-=-=.二面角P AG C --大小的正弦值为5.…………………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221,,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ,由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. …………………………6分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． ……………………………………7分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． ………………………………8分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===．由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． …………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设切点为()00,P x y ，()'xf x e x =-，∴()000'1xf x e x =-=，……………………2分令()xh x e x =-，则()'1xh x e =-，当0x >时，()'0h x >，()h x 在()0,∞+上为增函数； 当0x <时，()'0h x <，()h x 在(),0-∞上为减函数； 所以()()min 01h x h ==，所以00x =，又0200112xe x x a --=+，所以0a =．……………………4分 （Ⅱ）[)0,x ∀∈+∞，()f x bx ≥恒成立2102xx e bx ⇔---≥，[)0,x ∈+∞．令2()12xx g x e bx =---，[)0,x ∈+∞．()()'x g x e x b h x =--=，()'1x h x e =-,当0x >时，()'10xh x e =->，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()min 1h x b =-，①若1b ≤，则当0x >时'()0g x >，故()g x 在[)0,+∞上为增函数，故[)0,x ∈+∞时，有()()00g x g ≥=即2102xx e bx ---≥恒成立，满足题意.…………8分②若1b >，因为()'g x 为()0,∞+上的增函数且()'010g b =-<，()()'ln 2ln ln 21ln 21ln 20g b b b b b =-->---=->⎡⎤⎣⎦，故存在()()00,ln 2x b ∈，使得0'0g x .当()00,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()00,x 为减函数，()()00g x g <=，矛盾，舍去. 综上1b ≤．………………………12分22. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………3分 （Ⅱ）4sin ρθ=………………………7分233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭……………………10分。

2021届四川省成都市石室中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合x y z xyzM mm x y z xyz⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案：D分,,x y z 都是正数，,,x y z 都是负数，,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数，,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m 的值，从而求得集合M 的元素的个数，由此可得出集合M 的子集的个数.解：因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =， 所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8， 故选：D.2．若复数z 满足2021(1)1i z i +⋅=-，则其共轭复数z 的模为（ ）A ．1B ．1-C D ．2答案：A由复数的四则运算得出z ，再由模长公式得出共轭复数z 的模. 解：()1010202121010(1)i i i i i =⋅=⋅-=21(1)1211(1)(1)2i i i z i i i i ----====-++-,||1z i z ∴==故选：A3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案：D 解：试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由2132S S S ⋅＜可得出0q >，利用等价性即可判断.解：11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++，故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ．点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题.5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A ．242610AB ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论．解：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为()2126C，后接4个数字组成的方法数为410A，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有()2126C410A个.故选：D．6．已知圆柱形石材，底面圆半径为125-，高为5log9，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（）A．45πB．()254log3πC．()254log9πD．425π答案：A比较圆柱的底边直径与高的大小，从而确定此石材可加工成体积最大的球体的半径，再由表面积公式得出此球表面积.解：1255log9log51,251->=⋅=<，125log925-∴>⋅即1523log5->故此石材可加工成体积最大的球体的半径为125-即此球表面积为2124 455ππ-⎛⎫=⎪⎝⎭故选：A7．已知圆C的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于为（）A．1πB．34C．14D．12答案：C当M是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要M点到圆心C的距离不大于1即可满足要求，由此可得M点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．解：当M是弦中点时，弦长最短，弦长为1CM=，所以过点M的所有弦的长度都大于M落在以点C为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为221124Pππ⨯==⨯．点评：本题考查几何概型，解题关键是确定点M 所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （ ） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 答案：D利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位， 得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象. 对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 函数()y g x =为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B选项错误； 对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 212x -≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则cos 2cos B B +的取值范围是（ ）A ．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．91,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：B先求出()'f x ，根据条件可得()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出cos B 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.解：由()222()2f x x bx a c ac '=+++-，根据()f x 有极值点，则()222()20f x x bx a c ac '=+++-=有两个不同的实数根.所以222440b a c ac，即222a c b ac +-<由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-=<，由0B π<<，所以11cos 2B -<<，2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48B B B B B ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭由11cos 2B -<<，则21992cos ,0488B ⎛⎫⎡⎫+-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭所以cos 2cos B B +的范围是9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B点评：关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出11cos 2B -<<的范围，属于中档题. 10．已知圆()221:21C x y ++=，()222:249C x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） ABC ．2D答案：B求出点C 的轨迹为椭圆，可知1C 为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出1minCC ，再利用勾股定理可求得CM 的最小值.解：易知圆1C 的圆心()12,0C -，圆1C 的半径为11r =，圆2C 的圆心()22,0C ，半径为27r =，12124C C r r =<-，所以，圆1C 内含于圆2C ，设圆C 的半径为R ，则1217CC R CC R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，故121284CC CC C C +=<=，故圆心C 的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为1C 、2C ，设该椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则28a =，可得4a =，24c =，可得2c =，b ∴==所以，点C 的轨迹方程为2211612x y +=.10CM C M ⋅=，则1CM C M ⊥且11C M =，由椭圆的几何性质可得1min2CC a c =-=，故2211min3CMCC C M=-=故选：B.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.11．设函数()x a f x e x +=+，()ln(3)4x a g x x e --=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()200022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（ ）A ．2ln 2-+B ．1ln 2+C ．1ln 2--D ．2ln 2+答案：D 将问题转化为002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解，由均值不等式可得0044x ax aee +++≥，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，从而得出答案.解：由题意当03x >-时()()2000022x f x g x x -=--有解即0020000ln(43)22x ax a x ex x e x +++=--++-在()03x ∈-+∞，上有解. 即002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解.由0044x a x ae e+++≥=, 当且仅当004x ax aee++=，即0ln 2x a =-时取得等号.设()2ln(3)32x g x x x -=+-，则()()()()()231333243168333x x x x x x x g x x x x x x ++-+-+++---'=--===-++ 由()0g x '<，得2x >-，由()0g x '>，得32x -<<-， 所以()g x 在()3,2--上单调递增，在 ()2,-+∞上单调递减. 所以()()24g x g ≤-=要使得002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解. 则0ln 22x a =-=-时成立，即ln 22a =+ 故选：D点评：关键点睛：本题考查导数求最值，利用均值不等式求最值，解答本题的关键是由均值不等式得到0044x ax aee +++≥，当且仅当004x ax aee ++=时取得等号，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，属于中档题.12．已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1AQ 、BC 所成角正弦值为定值2121，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A ．5212B ．24C ．22D ．26答案：A由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点，由条件可得动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，5为半径的14圆，先求出1MC QS 的最小值，1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，再得出点R 到侧面11CDD C 的距离是最小值，从而得出答案. 解：由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点.点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，在正方体中，BC ⊥平面11DD C C , 故连接PC ,有PC BC ⊥,所以PC 为点P 到直线BC 的距离. 所以在平面11DD C C 上，点P 满足到点C 的距离等于到直线11C D 的距离.所以动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分． 由11//A D BC ，所以异面直线1AQ 、BC 所成角为11QA D ∠（或其补角） 在正方体中，11A D ⊥平面11DD C C ,又1D Q ⊂平面11DD C C ，所以111A D D Q ⊥ 所以111121sin 21QD QA D AQ ∠==,又112A D = 所以114105cos 21QA D ∠=，则1111111tan 225QD QD QA D A D ∠=== 所以115QD =，即动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，15为半径的14圆．在四边形1MPC Q 中，111MPC Q MC Q MC P S S S =+,又21125MC =+=在平面11DD C C 内，取1CC 的中点O ，连接MO ,以1CC 为x 轴，MO 为y 轴 则直线1MC 的方程为：12yx +=-，即220x y ++=，()11,2D -- 则点Q 到直线1MC 222255512r --+-==+ 所以1MC QS的最小值为115225=. 动点P 的轨迹方程为：()240y x y =<，设2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以点P 到直线1MC 的距离()2213212225525y y y d ++++==≥（当1y =-时取得等号）所以1PC MS面积最小值113352425MC P S ∆=⨯⨯=所以四边形1MPC Q 面积111MPC Q MC Q MC P S S S =+≥54点R 满足134A RB π∠=，又122A B =所以点R 在以1A B 为弦的劣弧上，由134A RB π∠=，则圆心角为2π. 其半径为2，圆心到1A B 的2所以圆弧上的点到1A B 的距离的最大值为22当劣弧所在的平面垂直于平面11DD C C 时，圆弧上的点到平面11DD C C 2所以动点R 到面11DD C C 2 所以多面体1RMPC Q 体积最小值为1552234⨯=故选：A点评：关键点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，体积的最值问题，异面直线成角，解答本题的关键是由条件得出动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 5为半径的14圆，由解析几何可得出点Q 到直线1MC的距离的最值，从而得出1MC QS的最小值，点P 到直线1MC的距离d =，从而得出1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，属于难题.二、填空题13．已知方程()2221m x my -+=表示双曲线，则m 的取值范围是_______________________．答案：()0,2利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 解：解：因为方程()2221m x my -+=表示双曲线，所以()20m m -<，即02m <<， 所以m 的取值范围是()0,2， 故答案为：()0,2.14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_________．（用数字作答） 答案：52-利用已知条件求出n 的值，写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值.解：由于12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故17n +=，解得6n =，所以，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为6621661122r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令620r -=，解得3r =，因此，展开式中的常数项为33461522T C ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为：52-. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a 在y x =上，[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦_______________________． 答案：2020先求得n a n =，再求得n S ，进而求得20212nS ，然后用裂项求和求得122021202120212021+++222S S S ，最后根据其范围求得结果.解：依题意可得n a n =，所以数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=， 因此202120211120212(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以， ()122021202120212021111111+++2021222122320212022120212021120212020,202120222022S S S ⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，故122021202120212021+++2020222S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.点评：方法点睛： 本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设ABC 代表旧城区，新的城市发展中心123,,O O O ，分别为正ACD △，正ABE △，正BCF △的中心､现已知2,30AB ACB ∠==，123O O O 则ABC 的面积为___________.答案：233连接12,CO CO ，易得122133,,30,3033CO AC CO BC O CB O CA ==∠=∠=，进而得到1290O CO ∠=，利用勾股定理得到2212AC BC +=，然后再利用余弦定理求得AC BC ⋅即可. 解：如图所示：连接12,CO CO ，由题意得：122133,,30,30CO CO O CB O CA =∠=∠=， 又因为30ACB ∠=， 所以1290O CO ∠=，12321233O O O S O ==， 解得122O O =，由勾股定理得2221212CO CO O O +=，即2221233AC O O ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2212AC BC +=，由余弦定理得2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅， 解得83AC BC ⋅=所以三角形ABC 的面积为123sin 3023ABCSAC BC =⋅=点评：关键点点睛：本题关键是证得1290O CO ∠=，再利用勾股定理和余弦定理求得AC BC ⋅而得解. 三、解答题17．在ABC 中，232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （1）求cosA 的值：（2）若a =5b =，求BA 在AC 方向上的投影． 答案：（1）3cos 5A =-；（2）35． （1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cos A 的值； （2）先利用余弦定理求出c ，也即是BA ，再根据投影的定义，求BA 在AC 方向上的投影，其中需要注意的是BA 和AC 的夹角是A 的补角. 解：解：（1）由232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=- 可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-， 即3cos()5A B B -+=-， 即3cos 5A =-，（2）由余弦定理可知2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =，7c =-（舍去）．向量BA 在AC 方向上的投影：3||cos()cos 5BA A c A π-=-=． 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点，（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）线段CD 上是否存在一点G ，使得直线FG 与平面11A EC ，3若存在，请旨出点G 的位置，并求二面角11E AC G --的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由． 答案：（1）证明见解析；（2）存在；点G 为CD 6（1）由公理二证明1A E ，DF 共面，再结合公理三得出1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出a 的值，再由向量法得出二面角11E AC G --的平面角的余弦值.解：（1）证明：1//EF A D 且1EF A D ≠1A E ∴，DF 共面∴设1A E DF P ⋂=则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B BP ∴∈面11AA B B ；同理可得P ∴∈面ABCD∴点P 在面ABCD 与面11AA B B 的公共直线AB 上即1A E ，AB ，DF 三线共点（2）解：根据题意可知，1AA ，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,2),(2,0,1),(2,2,2),(2,1,0)A E C F故111(2,0,1),(2,2,0)A E AC =-= 假设满足条件的点G 存在设(,2,0),(0,2)G a a ∈，则(2,1,0)FG a =- 设平面11A EC 的法向量为(,,)m x y z =则由111m A E m A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，20220x z x y -=⎧⎨+=⎩不妨取2z =，则1x =，1y =-所以平面11A EC 的一个法向量为(1,1,2)m =- 设直线FG 与平面11A EC 的平面角为θ 则222222(2)1(1)1203sin cos ,(2)101(1)2m FGm FGa m FG a θ⋅-⨯+-⨯+⨯====-++⨯+-+化简得2210a a -+=，解得1a =．则1(1,0,2)GC =，设平面11AGC 的法向量为(,,)n x y z =由111n GC n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得+20220x z x y =⎧⎨+=⎩，取2x =-则平面11AGC 的一个法向量为(2,2,1)n =- 222cos ,636n n n m m m ⋅--+===⨯二面角11E AC G --的平面角的余弦值69点评：思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得AM BM =恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）C 的方程为24x y =；（2）存在，1t =.（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；（2）根据导数的几何意义得到直线l 的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得,A B 的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点M 的纵坐标，由AM BM =可知点M 为,A B 的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果.解：（1）设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵PQF △为等边三角形时，其面积为∴21sin 23PQ π⨯=4PQ =， ∵Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ， 当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2pt =-， ∴0220200+42162p y x p x py ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得2p =， ∴C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2004x y =，()0,Q x t∵214y x =，∴12y x '=， ∴切线0001:2l yy x x x ，即001:2l yx x y ，00222000022112122242401y x x y x x x x y x y y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪⎝⎭⎪++⎪--⎩==， ∴0012201122x y x x x +=+， ∴000120100200022001112122242212x y y x x x x x y y y y y x x +=-+-=⨯-=++；∵()0,Q x t ，∴0:OQ tl y x x =-， 0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩， ∵AM BM =，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点，∴122M y y y =+，即0022004422t x t y y x =--+，则1t =.综上，存在t ，使得AM BM =恒成立，1t =. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 答案：(1)48125；(2)(i)15元；(ii)答案见解析.解：试题分析：()1先计算出包裹件数在101400~之间的天数为48，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较 解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为15100=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．21．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x x a h x e+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x ，2x 是方程12xx a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.解：（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根， 即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==， ()2(1)()x xx x e x e xh x e e -+-'==，x ∈R ，(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >，∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，1x ，2x 是方程12x x a e+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>->因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即111111x x x x e eλλ--++<，两边取对数，并整理得：()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.点评：本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t ，α中的一个为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线:sin 13l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）当t 为参数，3πα=时，判断曲线1C 与直线l 的位置关系；（2）当α为参数，2t =时，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，若2(0)P ，，求11||||PA PB +的值答案：（1）曲线1C 与直线l 平行；（2）1．（1）首先将曲线1C 和直线l 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线1C 的普通方程，再得将直线l 的参数方程，利用t 的几何意义求11||||PA PB +的值. 解：（1）当t 为参数，3πα=时，曲线1C表示直线：1)y x =-由:sin()13l πρθ-=，得1:sin cos 12l ρθθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得2y =+ 因为斜率相等，所以曲线1C 与直线l 平行； （2）当α为参数，2t =时，曲线1C 的参数方程12cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数消去参数得曲线1C 的普通方程22(1)4x y，易知直线过(0,2)P ，故设直线l的参数方程为12()2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 联立直线l 的参数方程与曲线1C 的普通方程，得2(231)10t t设,A B 对应的参数为12,t t ，则1212123,1t t t t故12121212121111231t t t t PA PBt t t t t t ．点评：方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式()22121214AB k x x x x =++-或是()212122114y y y y k ++-；2.利用直线参数方程的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1．（1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221+++ab b a b ＜5． 答案：（1）322+；（2）证明见解析. （1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 解：（1）121222()332322a b a b a b z a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当“2b a =”时取等号，故12a b+的最小值为322+ （2）证明：222222241155ab bab bb b a b a ++=+++++ )22225242221555ab ab b b b ab b a +==+⋅+⋅，当且仅当15,2a b ==时取等号，此时a +b ≠1． 故2221+++ab b a b 5． 点评：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.。

x2 3开学考试模拟（一）（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 + 3i1.在复平面内，复数z =对应的点的坐标为iA. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2,3)D. (3, -2)2. 已知集合A={x y=ln(-x2-3x+4)},B={y y=22-x2 }，则A B=A. (-4, 4]B. (0,1)C. (-∞, 4]D. (-4, +∞)3．设命题p : ∀x ≤ 0 , =-x ，则⌝p 为A．∀x ≤ 0 , C．∀x > 0 , ≠-x=-xB．∃x0D．∃x0≤ 0 ,≤ 0 ,=-x≠-x4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田1面积所用的经验公式为:弧田面积=2(弦+矢)×矢,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,2π现有圆心角为,半径等于20 米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据：3π≈3.14,≈1.73）A.220 平方米B. 246 平方米C. 223 平方米D.250 平方米5.已知双曲线8x2- 8 y2=-1有一个焦点在抛物线C : x2 = 2 py ( p > 0) 准线上，则p 的值为A．2 B．1 C．1D．1 2 46.已知正项递增等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若a +a = 20, a ⋅a= 64 ，则S6 =4 7 4 7A.313S9B.521 C.14D.157.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入A.P = 3N1000B.P =3M1000C.P =3M2000D.P =3N2000 x2 x 2x2 x 23 3 2 2 3 6 15.已知函数 f (x ) = ⎪3 18. 已知 2 sin(θ -π) cos(π +θ ) = cos 2θ ，且sin θ ≠ 0 ，则tan(θ + 4 π) 的值为 6A.B.33C. 2 -D. 2 +9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为 S 1 ，其内切球的表面积为 S 2 ，且 S 1 = λS 2 ，则λ =A ．1B ．2C ．3 D ． 432310. 已知 AB 是半径为 2 的圆 M 的一条直径，四边形 ABCD 是圆 M 内接四边形， ∠CMD = 120，若 P在线段 CD 上（端点 C 、D 除外）运动，则 PA ⋅ PB 的取值范围A ． (0,3)B ． (1,3)C ．[-3,0)D ． (-3,3)x 2 y 2 x 2 y 211. 已知椭圆C 1 : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) ，双曲线C 2 : b 2 - a 2 - 2b 2= 1 ，F 1 , F 2 分别为C 2 的左、右焦点，P 为C 和C 在第一象限内的交点，若∆PF F 的内切圆的圆心的横坐标为 2，C 和C 的离心率之积为 3，1 2 1 21 2 2则该内切圆的半径为A . 4 - 2B . 4 + 2C . 4 - 2D . 4 - 2 12.已知函数 f (x ) = x e x则 m 的取值范围是+ln x +1 ，若关于 x 的方程 f 2 (x ) - mf (x ) + m 2-1 = 0 恰好有 4 个不相等的实根，xA ． (1, 1+1)e B ． (0, 1+1)eC. (1,2 3 ) 3D ． (0,2 3 )3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.如图，动点 P （x ，y ）在平行四边形 ABCD 内部（含边界）运动，则z = 2x - 4 y 的最小值为.14.将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 种放法.（用数字作答）⎧1 x 3 - ax +1, 0 ≤ x < 1,⎨ ，若 ⎪⎩a ln x , x ≥ 1,f (x ) ≥ f (1) 恒成立，则正实数a 的取值范围是.16. 已知 f (x ) = m sin ωx - cos ωx (m > 0,ω > 0) ， g (x ) = e x ， 若对 ∀x ∈ R ， ∃x ∈[0, ln 2] ， 使得f (x 1 ) ≤g (x 2 ) 成立，若 f (x ) 在区间[0,π ] 上的值域为[-1,2] ，则实数ω 的最大值为.36 6 6 3 2⎩ 三、解答题：（一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分）已知数列{a }， a = 3 ，且对任意n ∈ N *，都有a n + a n +2 = an12n +1（1）设b n = a n +1 - a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列；a = 5 c =⎧⎪a n , n 为奇数{c } 2n S （2） 若 2 n ⎨⎪2a n -1, ，求数列 n 为偶数n 的前 项的和 2n .18.（本小题满分 12 分）某房产中介公司对 2018 年成都市前几个月的二手房成交量进行统计， y 表示 2018 年 x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到 0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获 5 千元奖金；抽中“二等奖”获 3 千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概 11 率为 ，获得“二等奖”的概率为 42，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X （千元）的分布列及数学期望.8 8 8参考数据：∑ x y = 850 ， ∑ x 2= 204 ， ∑ y 2= 3776 ，≈ 4.58 ， ≈ 5.57 .i ii =1ii =1ii =1∑ x i y i- n ⋅ x ⋅ y参考公式：相关系数 r = i =1nn∑ x 2- nx 2∑ y 2- ny2iii =1i =1n， 21 312 633 19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，∆PAD 是等边三角形，四边形 ABCD 是矩形， CD =，F 为棱 PA 上一点，且AF = λAP (0 < λ < 1) ，M 为 AD 的中点，四棱锥 P -ABCD 的体积为 . 31（1）若λ = ，N 是 PB 的中点，求证：平面 MNF // 平面 PCD ；2（2）是否存在λ ，使得平面 FMB 与平面 PAD 所成的二面角余弦的绝对值为? 1120.（本小题满分 12 分）x 2 y 2已知椭圆 C ： + a 2 b2= 1(a > b > 0) 上任意一点到其两个焦点 F 1 , F 2 的距离之和等于 2 5 ，焦距为 2c ，圆O : x 2 + y 2 = c 2 ， A , A 是椭圆的左、右顶点， AB 是圆O 的任意一条直径，四边形 A AA B 面积1212的最大值为2 5 .（1） 求椭圆 C 的方程；（2）如图，若直线l 1 : y = kx + m (m ≠ 0) 与圆O 相切，且与椭圆相交于M , N 两点，直线l 2 与l 1 平行且与椭圆相切于 P （ O , P 两点位于l 1 的同侧），求直线l 1 ， l 2 距离d 的取值范围.21 1 ⎩⎩ 21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 1x 2+ m ln(1- x ) ，其中m ∈ R ．2（1）求函数 f (x ) 的单调区间；（2）若函数 f (x ) 存在两个极值点x ， x ，且 x < x ，证明： f (x ) + f (x ) > - ln 4 ． 1212124 4（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为⎧x = 3cos θ(θ为参数），P (x , y ) 是曲线 C 上的任意一点，⎨ y = 2sin θ 0 0⎧x = x 0 动点Q (x , y ) 满足⎨2 y = 3y，记Q (x , y ) 轨迹为 E ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极轴建π立极坐标系， l 的极坐标方程为θ = 4（1）求 E 的普通方程；(ρ ∈ R ) ，A 点的极坐标为(5,0)（2）若l 与 E 交于 M ，N 两点，求∆AMN 的面积；23．选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) = x .(1)求不等式 f (x -1) + f (2x -1) ≤ 2x 的解集；1 4 9(2)若a > 0, b > 0, c > 0 ，且 + + = 1,证明: f (x + a ) + f (x - b - c ) ≥ 36 .a b c。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：四川省2021年上学期成都石室中学高三数学文开学考试试题答案13.y =14.315．(-∞，1)(0-⋃，1)16.①②④ 17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <- (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则126a x --=，226a x -+=当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在，)+∞上单调递增；()f x 在22(,66a ---上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD …………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD ………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+， 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分 当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分 21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分（Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）． 可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,ax e -∈()(1)0x t x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--，…………6分 于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。

⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。