2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 重点强化课5 统计与统计案例 Word版含解析

第二节统计案例突破点(一) 回归分析1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1n x 2i －n x －2， a ^＝y －－b ^x －. (3)通过求Q ＝∑i ＝1n(y i －bx i －a )2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．[例1] (1)下列四个散点图中，变量x 与y 之间具有负的线性相关关系的是( )本节主要包括2个知识点： 1.回归分析； 2.独立性检验.(2)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3[解析](1)观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．(2)由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2<r4<0<r3<r1.[答案](1)D(2)A[方法技巧]判断相关关系的两种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．线性回归分析1．求回归直线方程的步骤2．利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．进行预测时，把自变量代入回归直线方程即可对因变量进行估计．[例2] (2017·山西四校联考)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 010，z ＝y －5得到下表2：(1)求z 关于t 的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －) [解] (1)t －＝3，z －＝2.2，∑i ＝15t i z i ＝45，∑i ＝15t 2i ＝55，b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －－b ^t －＝2.2－1.2×3＝－1.4，∴z ^＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －2 010，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2 010)－1.4，即y ^＝1.2x －2 408.4. (3)∵y ^＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元． [方法技巧]1．回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法：利用公式，求出回归系数b ^，a ^.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x －，y －)求系数． 2．回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b ^.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )A ．①②③B ．②③①C ．②①③D ．①③②解析：选D 第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.2.[考点一]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴，y 轴的单位长度相同)，用回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b ^的值为1.25 B ．线性相关关系较强，b ^的值为0.83 C ．线性相关关系较强，b ^的值为－0.87 D ．线性相关关系较弱，无研究价值解析：选B 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y ＝x 的斜率要小一些，综上可知应选B.3.[考点一]四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D 正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故不正确的为①④.4.[考点二]已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归方程必过样本的中心点(x ，y )．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得a ^＝－0.61.答案：－0.615.[考点二]为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和年利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x － 解：(1)由题知x －＝3，y －＝5，∑i ＝15x i y i ＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝55，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －－b ^x －＝5－(－1.23)×3＝8.69，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－1.23x ＋8.69.(2)年利润z ＝x (－1.23x ＋8.69)－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ＝－1.23⎝⎛⎭⎫x －6.692.462＋1.23×⎝⎛⎭⎫6.692.462即当x ＝6.692.46≈2.72时，年利润z 最大．突破点(二) 独立性检验1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． 2．列联表列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表K 2＝n (ad －(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“X 与Y 的关系”．[典例] (2017·沈阳模拟)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：未发病 发病 总计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计5050100现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋dP (K 2≥k 0)0.05 0.01 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828[解] (1)设A ， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，则B ＝40，x ＝40，A ＝60. (2)未注射疫苗发病率为4060＝23≈0.67，注射疫苗发病率为1040＝14＝0.25.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率．(3)K 2＝100×(20×10－40×30)260×40×50×50＝503≈16.67>10.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效． [易错提醒](1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K 2的值．(2)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．1．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下所示的2×2列联表：由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，算得K2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：选A由K2≈7.8.得P(K2≥6.635)＝0.01＝1－99%，所以有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．2．已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：K 2＝n (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10(0.035＋0.025＋c ＋2b ＋a )＝1，2b ＝a ＋c ，解得b ＝0.01. 因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n ＝60.01×10＝60.(2)由于2b ＝a ＋c ，而b ＝0.01，可得a ＋c ＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x 人，则男生有x －4人，于是x ＋x －4＝48，解得x ＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：结合列联表计算可得K 2＝60×(22×4－8×26)30×30×48×12＝1.667<2.706，故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2∑i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t解：(1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，故B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．2．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1 000)，利用2×2列联表和 K 2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K 2＝4.453，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”解析：选C 由已知数据可得有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”． 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝10.6，据此模型预测广告费用为10万元时销售额为( )A ．112.1万元B ．113.1万元C ．111.9万元D ．113.9万元解析：选C 由题意知x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y －＝49＋26＋39＋584＝43，将(x －，y －)代入y ^＝10.6x ＋a ^中得43＝10.6×3.5＋a ^，解得a ^＝5.9，所以y ^＝10.6x ＋5.9，当x ＝10时，y ^＝111.9.4．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值为________．解析：依题意可知样本点的中心为⎝⎛⎭⎫34，38，则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 答案：18[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x (单位：元)和销售量y (单位：件)之间的四组数据如下表：x 之间的线性回归方程为y ^＝－1.4x ＋a ^，那么方程中的a ^值为( )A ．17B ．17.5C ．18D ．18.5解析：选B x －＝4＋4.5＋5.5＋64＝5，y －＝12＋11＋10＋94＝10.5，∵回归直线过样本点的中心(x －，y －)，代入线性回归方程y ^＝－1.4x ＋a ^，得a ^＝10.5＋1.4×5＝17.5.故选B.2．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：选C 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．3．根据如下样本数据：得到的回归直线方程为y ＝b x ＋a .若样本点的中心为(5，0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：选B 依题意得，a ^＋b ^－25＝0.9，故a ^＋b ^＝6.5①，又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ^＋a ^②，联立①②，解得b ^＝－1.4，a ^＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．4．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%解析：选D 因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%. 5．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附表及公式K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )A ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：选A 由2×2列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，计算得K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(675－300)255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题中数据可得，x ＝10.0，y ＝8.0，又b ^＝0.76，所以a ^＝y －b ^x ＝8－0.76×10＝0.4，所以回归方程为y ^＝0.76x ＋0.4，把x ＝15代入上式得，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．二、填空题7．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：y ^＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x 变为x ＋1，y ^＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．答案：0.2458．某单位为了了解用电量y 千瓦·时与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由表中数据得线性方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，据此预测当气温为 5 ℃时，用电量的千瓦·时数约为________．解析：因为回归直线经过样本点的中心，故由已知数表可得x －＝10，y －＝30，即(10,30)在回归直线上，代入方程可得a ^＝50，即回归直线方程为y ^＝50－2x ，故可预测当气温为5 ℃时，用电量的度数约为50－2×5＝40.答案：409．某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如下表所示的2×2列联表(单位：人)：系”．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：由表中的数据可得K 2＝105×(10×30－45×20)55×50×30×75≈6.109，由于6.109>5.024，所以我们有97.5%以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．答案：97.5%10．某炼钢厂废品率x (%)与成本y (元/吨)的线性回归方程为y ^＝105.492＋42.569x .当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1 000吨钢中，约有________吨钢是废品(结果保留两位小数)．解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，解得x ≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1 000吨钢中，约有1 000×1.668%＝16.68吨是废品．答案：16.68 三、解答题11．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：(2)能否有99% 解：(1)2×2列联表如下：(2)因为K 2＝30×(4×2－8×16)12×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.12.(2017·合肥模拟)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)由题意知x －＝3，y －＝0.1，∑i ＝15x i y i ＝1.92，∑i ＝15x 2i ＝55，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1.92－5×3×0.155－5×32＝0.042，a ^＝y －－b ^x －＝0.1－0.042×3＝－0.026， 所以线性回归方程为y ^＝0.042x －0.026.(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点． 由y ^＝0.042x －0.026>0.5， 解得x ≥13，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.。

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课时跟踪检测（五十九)［高考基础题型得分练]1．某商品销售量y（件）与销售价格x(元/件）负相关，则其回归方程可能是( ）A．＝－10x＋200 B．＝10x＋200C．＝－10x－200 D．＝10x－200答案：A解析：由题意知，回归方程斜率应为负，故排除B，D，又销售量应为正值，故C不正确，故选A.2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下：则y对xA．＝x－1 B．＝x＋1C．＝88＋错误!x D．＝176答案：C解析:由题意知,D项明显不符合实际,排除D;且错误!＝错误!＝176，错误!＝错误!＝176，又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(错误!,错误!)，所以将（176,176)代入A，B,C中检验,只有C成立．3．登山族为了了解某山高y（km）与气温x(℃）之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据,72 km处气温的度数为（)A．－10 B．－8C．－4 D．－6答案:D解析：由表中数据可得x＝错误!＝10，y＝错误!＝40，所以样本点的中心（10，40）在线性回归直线＝－2x＋上，所以40＝－20＋，解得＝60，所以线性回归方程为＝－2x＋60，当＝72时，x＝－6，故选D。

第十一章 统计与统计案例 11.2 用样本估计总体教师用书 理 新人教版1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差：s ＝1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].(3)方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x是样本平均数)． 【知识拓展】1．频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × )1.(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92答案 A解析 这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96， ∴中位数是91＋922＝91.5，平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.2．(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167 答案 C解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C. 3．(2016·四川宜宾模拟)若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ＝5，方差s 2＝2，则数据3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的平均数和方差分别为( ) A ．5,2 B ．16,2 C ．16,18 D ．16,9答案 C解析 ∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5， ∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x nn＝5，∴3x 1＋3x 2＋3x 3＋…＋3x nn＋1＝3×5＋1＝16，∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为2，∴3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的方差是32×2＝18.4．(2016·江苏)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.5．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案 24解析底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.题型一频率分布直方图的绘制与应用例1 (2016·北京)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解(1)如图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85. ∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)．即该市居民该月的人均水费估计为10.5元．思维升华(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．(2015·课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B地区用户满意度评分的频数分布表评分的平均数及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．B地区用户满意度评分的频率分布直方图图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解(1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均数高于A地区用户满意度评分的平均数；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 题型二 茎叶图的应用例2 (1)(2015·山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 答案 (1)B (2)C解析 (1)甲地5天的气温为26,28,29,31,31， 其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为28,29,30,31,32， 其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝ 2. ∴x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．(2)由茎叶图及已知得x ＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，解得y ＝8. 引申探究1．本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好． 解 由原题可知x ＝5，则甲组平均数为9＋12＋15＋24＋275＝17.4.而乙组平均数为16.8，所以甲组成绩较好．2．在本例(2)条件下：①求乙组数据的中位数、众数；②求乙组数据的方差． 解 ①由茎叶图知，乙组中五名学生的成绩为9,15,18,18,24. 故中位数为18，众数为18.②s 2＝15[(9－16.8)2＋(15－16.8)2＋(18－16.8)2×2＋(24－16.8)2]＝23.76.思维升华 茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．(1)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677答案 (1)A (2)B解析 (1)由于频率分布直方图的组距为5，排除C 、D ，又[0,5)，[5,10)两组各一人，排除B ，应选A.(2)由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 (1)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 2解析 x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.(2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．①分别求出两人得分的平均数与方差；②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解 ①由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分．x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13；x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.②由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．(2016·全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以下柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 解 (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700. 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19(x ∈N )．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)， 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)． 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．9．高考中频率分布直方图的应用考点分析 频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．典例(12分)(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．规范解答解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.[3分]由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.[5分](2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.[8分](3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．[12分]1．(2017·铁岭月考)在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．平均数B．标准差C．众数D．中位数答案 B解析由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.2．(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A．56 B．60 C．120 D．140答案 D解析设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D. 3．(2017·北京西城区质检)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A.0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6答案 B解析10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.4．(2016·西安模拟)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其平均数和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为( ) A.x ，s 2＋1002B.x ＋100，s 2＋1002C.x ，s 2D.x ＋100，s 2答案 D 解析x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x ，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的平均数为x ＋100，方差不变，故选D.5．(2016·山西大学附中诊断测试)已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定答案 A解析 由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y mn ＋m＝nn ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm＝n n ＋m·x ＋m n ＋m·y ＝a x ＋(1－a )y ， 所以nn ＋m＝a ，mn ＋m＝1－a ，又0<a <12，所以0<n n ＋m <12<m n ＋m，故n <m .6．(2016·北京朝阳区期末)在一段时间内有2 000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90 km/h ～120 km/h ，试估计2 000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1 700辆答案 D解析 以正常速度通过该处的汽车频率为1－(0.01＋0.005)×10＝0.85，所以以正常速度通过该处的汽车约有0.85×2 000＝1 700(辆)．7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为________． 答案 2解析 由题意可知样本的平均数为1， 所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 8．(2015·湖北)某电子商务公司对10 000名网络购物者在2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 答案 (1)3 (2)6 000解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a ×0.1＝1，解得a ＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.9．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．答案16解析若x1，x2，…，x n的标准差为s，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的标准差为as.由题意s＝8，则上述标准差为2×8＝16.10．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．则(1)图中的x＝________；(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿．答案(1)0.012 5 (2)72解析(1)由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5.(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.12，因此估计有0.12×600＝72(人)可以申请住宿．11．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．解(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为425÷10＝0.016.12．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本的中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．。

图7
高三一轮总复习
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购 买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5， 求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件， 或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以 此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
高三一轮总复习
[规律方法] 的数据信息．
1.利用统计图表解决实际问题的关键在于从统计图表中提炼准确
2．本例通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方 法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．
高三一轮总复习 [对点训练 1] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简
高三一轮总复习
其中恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”的市民的事件有(B1， C1)， (B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共 8 个． 所以恰有 1 名“大于 40 岁”的市民和 1 名“20 岁至 40 岁”的市民的概率为 8 P＝15.12 分
高三一轮总复习
[对点训练 2] 某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关， 随机抽取了 55 名市民，得到数据如下表：
喜欢 不喜欢 总计 大于 40 岁 20 岁至 40 岁 总计 20 10 30 5 20 25 25 30 55