第2章数理统计基础习题解答

第二章作业题解:

掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.

解：

1 2 3 4

5 6

1 2 3 4

5 6 7

2 3 4 5

6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(XPXP；362)11()3(XPXP；

363)10()4(XPXP；364)9()5(XPXP；

365)8()6(XPXP；366)7(XP。

即 36|7|6)(kkXP (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{kaekXPk试确定常数a.

解：根据1)(0kkXP，得10kkae，即1111eae。

故 1ea

甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：

(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.

解：分别用)2,1(,iBAii表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,PAPAPAPAPBPBPBPB 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121BBAAP，

两人各投中一次的概率为：

2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121BBAAPBBAAPBBAAPBBAAP两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121BBAAP。所以：

·11· 第2章一维随机变量 习题2

一. 填空题：

1.设 离 散 型 随 机 变 量  的 分 布 函 数 是 xPxF， 则 用 F (x) 表 示 概

0xP = __________。 解：000xFxF

2.设 随 机 变 量  的 分 布 函 数 为 xarctgxxF121 则

P{ 0<<1} = ____14_____。 解： P{ 0<<1} = )0(F)1(F 14

3.设  服 从 参 数 为  的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{  = 2 } = P{  = 3 }，

则 P{  = 3 }= ___2783e 或 3.375e-3____。

4.设 某 离 散 型 随 机 变 量  的 分 布 律 是 ,2,1,0,!kkCkPK，

常 数 >0， 则 C 的 值 应 是 ___ e_____。

解： eCCekCkCkPKKKKK11!1!1000

5 设 随 机 变 量  的 分 布 律 是 4,3,2,1,21kAkPk

则 2521P= 0.8 。

解：AAkPk161516181412141

令 15161A 得 A1615

212521ppP 8.041211516

6.若 定 义 分 布 函 数 xPxF， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量  的 分

布 函 数 的 充 要 条 件 是

F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F ( ) = 0 ， F ( +  ) = 1

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量

习题1

随机变量的特征是什么？

解答：

①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.

②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.

③随机变量取特定值的概率大小是确定的.

习题2

试述随机变量的分类.

解答：

①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.

②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.

习题3

盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.

解答：

分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：

X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3

则X取每个值的概率为

P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,

P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,

P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.

2.2 离散型随机变量及其概率分布

习题1

设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.

解答：

由P{X=1}=P{X=2}, 得

λe-λ=λ22e-λ,

解得

λ=2.

习题2

设随机变量X的分布律为

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,

试求

(1)P{123}. 解答：

(1)P{12

(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

=115+215+315=25;

1

第二章练习题（答案）

一、单项选择题

1．已知连续型随机变量X的分布函数为

xxbkxxxF,10,0,0)( 则常数k和b分别为 （ A ）

（A）0,1bk （B）1,0bk （C）0,21bk （D）21,0bk．

2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）

A. f（x）={𝐱𝐚𝐞−𝐱𝟐𝟐𝐚,𝐱≥0𝟏, 𝐱<𝟎 (a＞0); B. f（x）={𝟏𝟐𝐜𝐨𝐬𝐱, 𝟎< 𝐱<𝜋𝟎, 其他

C. f（x）={𝐜𝐨𝐬𝐱, −𝜋𝟐< 𝐱<𝜋𝟐𝟎, 其他 D. f（x）={𝐬𝐢𝐧𝐱, −𝜋𝟐< 𝐱<𝜋𝟐𝟎, 其他

3.若函数()fx是某随机变量X的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ）

A. ()fx的定义域是[0,1] B. ()fx的值域为[0,1]

C. ()fx非负 D. ()fx在(,)内连续

4. 设)1,1(~NX，密度函数为)(xf，则有（ C ）

A.00XPXP B. )()(xfxf

C. 11XPXP D. )(1)(xFxF

5. 设随机变量16,~NX，25,~NY，记41XPp，52YPp，则正确的是 （ A ）.

（A）对任意，均有21pp （B）对任意，均有21pp

（C）对任意，均有21pp （D）只对的个别值有21pp