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大数定律习题

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第五章 大数定律与中心极限定理

（练习题）

1.随机的掷6个骰子，利用切贝谢夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。

解：设i为第i个骰子出现的点数(1,2,3,4,5,6)i，它们相互独立。为6个骰子出现的点数之和，即1kii。则有

1234562166iE，

2222112112113512666666612iD

故21E，352D。由切贝谢夫不等式得

2351352(1527)(216)10.514672PP。

2.已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从参数为的普哇松分布，求这本书的印刷错误总数不多于70的概率。

解：设第i页的印刷错误个数为(1,2,,300)ii，则

*

0.2iE，0.2iD

且i相互独立，故所求概率为

3000001706015701.290.9015360iiP。

3.对敌人阵地进行1000次炮击，炮弹的命中颗数的期望为，方差为，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率近似值。

解：设第i次炮击击中颗数为(1,2,,1000)ii，有

0.4iE，3.6iD

则有

100000001042040038040011380420333600360012120.629310.25863iiP 4.某电教中心有100台彩电，各台彩电发生故障的概率为，每台彩电工作是相互独立的。试分别用二项分布、普哇松分布和中心极限定理计算彩电出故障台数不少于1的概率。

解：（1）根据题意设(100,0.02)B，则有

！

100(1)1(0)1(0.98)0.8674PP

（2）根据普哇松定理，100n，0.02p，2np，则有

2(1)1(0)10.8647PPe

（3）根据中心极限定理，有

00011000.021(1)111(0.7143)0.7641.41000.020.98P

5.设(1,2,,50)ii是相互独立的随机变量，它们都服从参数为的普哇松分布。利用中心极限定理计算5012iiP。

解：设501ii，因为0.02iE，0.02iD，故1E，1D，则有

50001212(2)11(1)10.84130.15871iiPP

6.某车间有200台机床，它们独立工作且开工率各为，开工时耗电各为1kW。问供电所至少要供给这个车间多少电力，才能以℅的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产

解：设m为某时刻工作着的机床台数，200n，0.6p，某时刻m台机床工作，需耗电mkW。设供电数为rkW，根据题意有

；

()0.999Pmr

而又有

002000.6120()2000.60.448rrPmr

故

01200.99948r

查表可得 1203.148r

所以141r。因此，若向该车间供电141kW，则由于供电不足而影响生产的概率小于。

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习题五

习题五

《概率论与数理统计》作业答题纸

专业及班级 姓名 学号 成绩

1 习题五 大数定律与中心极限定理

一、填空题

1．设随机变量~[0,1]XU，由切比雪夫不等式可得1(12)3PX 0.25 ；

2．设()1,()4,EXDX则由契比雪夫不等式有(57)PX 98；

3．设12,,...,,...nXXX是相互独立的随机变量序列，且2(),()0iiEXDX

(1,2,...)i，则对10,lim()niniPXn 0 ；

4．设随机变量,XY，已知()2,()2,()1,()4,0.5,EXEYDXDY 则由契比雪夫不等式有(6)PXY 1/12 ；

5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。 利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率

p98；

6．设n是n重贝努里试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，则对0,lim()nnPpn 0 ；

7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。现在从该年

龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140

厘米的概率为259改；

8．设12,,...,,...nXXX是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布，则1lim()niniPXn0.5改；

二、选择题

1．设随机变量X 的方差()DX存在，0a，则()(1)XEXPa（ C ） 《概率论与数理统计》作业答题纸

专业及班级 姓名 学号 成绩

五、大数定律与中心极限定理(答案)

五、大数定律与中心极限定理(答案)

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的0均有lim{}nnPpn [ A ]

（A）0 （B）1 （C）0 （D）不存在

2．设随机变量X，若2()1.1,()0.1EXDX，则一定有 [ B ]

（A）{11}0.9PX （B）{02}0.9PX

（C）{|1|1}0.9PX （D）{|}1}0.1PX

》

3．121000,,,XXX是同分布相互独立的随机变量，~(1,)iXBp，则下列不正确的是 [ D ]

（A）1000111000iiXp （B）1000110001000{}()()10001000iibpapPaXbpqpq

（C）10001~(1000,)iiXBp （D）10001{}()()iiPaXbba

二、填空题：

1．对于随机变量X，仅知其1()3,()25EXDX，则可知{|3|3}PX 224.225

2．设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，则根据契比雪夫不等式6PXY 1.12

三、计算题：

1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少

茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】

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第4章 大数定律与中心极限定理

4.1 复习笔记

一、随机变量序列的两种收敛性

1．依概率收敛

（1）定义：设{X

n}为一随机变量序列，X为一随机变量，如果对任意的ε＞0有P（|X

n

－x|≥ε）→0（n→∞），则称序列{X

n}依概率收敛于x，记作

P

nXx

或者说，绝对偏差|X

n－x|小于任一给定量的可能性将随着n增大而愈来愈接近于1，

即等价于P（|X

n－x|＜ε）→1（n→∞）．

特别当x为退化分布时，即P（X－c）＝1，则称序列{X

n}依概率收敛于C．

（2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下：

设{X

n}，{Y

n}是两个随机变量序列，a，b是两个常数．如果

P

nYb

则有

①

P

nnXYab

② P

nXa

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P

nnXYab

③

(0)P

nnXYabb

2．按分布收敛、弱收敛

（1）按分布收敛

设随机变量X，X

1，X

2，…的分布函数分别为F（X），F

1（X），F

2（X），…．若对F（x）

的任一连续点x，都有

lim()()

n

nFxFx



则称{F

n（x）}弱收敛于F（x），记作

()()W

nFxFx

也称{X

n}按分布收敛于x，记作

XXL

n

（2）

XXXXL

nP

n

说明依概率收敛是一种比按分布收敛更强的收敛性．

注意：以上定理的逆命题不成立，即由按分布收敛无法推出依概率收敛，一般按分布收

敛与依概率收敛是不等价的．但当极限随机变量为常数（服从退化分布）时，按分布收敛与

依概率收敛是等价的．

（3）定理：若C为常数，则的充要条件是： P

nXc

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概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理

概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理

概率论与数理统计作业

班级 姓名 学号 任课教师

第五章 大数定律及中心极限定理

教学要求：

一、了解大数定律的直观意义；

二、掌握Chebyshev不等式；

三、了解Chebyshev大数定理和贝努里大数定理；

四、会用中心极限定理估算有关事件的概率．

重点：中心极限定理．

难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理．

综合练习题

一、选择题

1.设12,,,nXXX是独立同分布的随机变量序列，且

1,2,,in.令niinXY1，1,2,,in，x为标准正态分布函数，则11limpnpnpYPnn（B）.

（A）0 ； （B）1； （C）11； （D）1.6 .

2.设x为标准正态分布函数，0,1,iAXA事件不发生，事件发生， 100,,2,1i，且8.0AP，10021,,,XXX相互独立.令1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数yF近似于（B）.

（A）y； （B）480y； （C）8016y； （D）804y.

3.设随机变量,,,,21nXXX相互独立，且iX,,,2,1ni都服从参数为21iX

0 1

P 1p p 2 的指数分布，则当n充分大时，随机变量niinXnZ11的概率分布近似服从（B）.

（A）4,2N； （B）nN4,2； （C）nN41,21； （D）nnN4,2.

二、填空题

1.设随机变量,,,,21nXXX相互独立且同分布，它们的期望为，方差为2，令niinXnZ11，则对任意正数，有nnZPlim 1 .