集合的概念与集合间的关系

第 1 页 §1.1.1 集合的含义与表示

学习目标

1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

探究学习

※ 探索新知

探究1：观察下列实例：

① 1～20以内所有的质数； ②2014年参加世界杯的国家；

③ 所有的锐角三角形； ④2x, 32x, 35yx, 22xy；

⑤ 淄博市实验高一级的全体学生； ⑥方程230xx的所有实数根；

⑦ 张店区2014年参加中考的所有同学；

⑧ 中华人民共和国境内的四大高原

试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？

新知1：一般地，把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.

探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？

新知2：集合元素的三大特征

①确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素。

如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）可以构成集合。

“数学必修1课本上的所有难题”就不能构成集合，因为“难题”的标准不确定。

②互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.相同的元素归入一个集合尽算一个元素。

如：student中的字母构成的集合中两个“t”只写一次。

③无序性：集合中的元素没有顺序限制。集合｛1，2｝与｛2，1｝是一样的。

定义：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .

【练习】

1.下列对象能否组成集合并说明理由：

(1)数字1、2、5、7； (2)到定点的距离等于定长的所有点；

(3)满足323xx的全体实数；

(4)未来世界的高科技产品；

第 2 页 (5)所有绝对值小于3的整数；

(6)中国男子足球队中技术很差的队员；

(7)2014年参加山东夏季高考的学生；

2.由12，0.5，0.5，-0.5组成的集合有_______个元素。

3.由1，2a，b组成的集合与由1,2,a组成的集合相等，求,ab

新知3：元素与集合的关系：

集合通常用大写的拉丁字母,,ABC,„表示，集合的元素用小写的拉丁字母,,abc,„表示.

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：aA；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作：aA.

注：①符号“”和“”只用于表示元素与集合之间的关系；②“”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合。

【练习】设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B，－1 B.

新知4：常见数集的表示

非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；

正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；

整数集：全体整数的集合，记作Z；

有理数集：全体有理数的集合，记作Q；

实数集：全体实数的集合，记作R.

【练习1】下列关系中，正确的个数为（ ）

①12R ②2Q

③3N ④4Z

A.1 B.2 C.3 D.4

【练习2】下列结论中，不正确的是（ ） A.,-aNaN若则

B.2,aZaZ若则

C.a若Q,则aQ

D.若3,aRaR则

【练习3】填或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，3 Q，32___R.

二、集合的表示方法：

1、列举法：把集合的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。

第 3 页 注：（1）用列举法表示集合时，元素间用“，”隔开；（2）对于有限集，在元素不太多时，宜用列举法表示；（3）对于元素较多的有限集或无限集，一般不采用列举法，但当元素有一定规律时也可用列举法表示，需将规律表示清楚后再用“„”表示。如从51到100的所有整数组成的集合：｛51，52，53，„,100｝

2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：所有奇数的集合{21,}AxxkkZ,不等式73x的解集{10}Bxx

注：①写清集合的代表元素；②集合的元素与其所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关；③所有描述的内容都要写在花括号内；④在不引起混淆的情况下，元素的取值范围常常省略。

3、Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。常用圆、椭圆、正方形、长方形等表示集合。

【练习】

1、用列举法表示下列集合：

（1）15以内的质数；

（2）方程2(1)0xx的所有实数根组成的集合；

（3）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；

（4）一次函数yx与21yx的图象的交点组成的集合.

（5）小于1000的所有自然数组成的集合

2、用描述法表示下列集合：

（1）小于10的所有非负整数的集合；

(2)方程25xy的解集；

(3)x轴上所有点的集合；

(4)能被3整除的整数的集合

(5)平面直角坐标系中第二、四象限点的集合；

(6)｛1，3，5，7，„｝

(7)非负偶数的集合

3、用描述法分别表示下列集合

(1)抛物线2yx上的点的集合；

(2)抛物线2yx上点的横坐标的集合

(3)抛物线2yx上点的纵坐标的集合

【注意】(1)对某一具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的；(2)表示集合时，花括号内不用写“所有”二字，因为花括号本身就有“全部”“所有”

第 4 页 的意思。

典例精析

例1：下列说法正确的是（ ）

A.数学成绩较好的同学可以组成一个集合

B.所有绝对值接近于零的数可以组成一个集合

C.集合{1,2,3}和{3,2,1}表示同一个集合

D.1，0.5，124,,236组成一个含有5个元素的集合

例2：若集合A={23,21,4aaa},且3A,求实数a的值。

例3：定义集合运算A*B={(),,zzxyxyxAyB}，设集合A={0,1},B{2,3},则集合A*B的所有元素之和为（ ）

A.0 B.6 C.12 D.18

【方法技巧】（1）考察一组对象是否能组成一个集合，关键是看这组对象是否具备确定无疑的具体特征（或标准），即确定性。（2）集合元素的互异性常隐形考查，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素。

【方法技巧】运用分来讨论的思想，分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法。

【方法技巧】与集合有关的创新题主要以集合的表示方法和元素与集合的关系为背景，经常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题。

拓展提升

1.下面四个命题正确的是（ ）

A.10以内的质数集合是{0,3,5,7}

B.“个子较高的人”不能构成集合

C.方程2210xx的解集是{1,1}

D.偶数集为{2,xxkxN}

2.已知集合{,,}SABC中三个元素是ABC的三个边长，那么ABC一定不是（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

3.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(,x

),,yxAyAxyA},则B中所含

第 5 页 元素的个数为（ ）

A.3 B.6 C.8 D.10

4.直线23yx上的点的集合为P,则P____________。点（2，7）与P的关系为（2，7）_________P

5.集合{812,}AxxxN，用列举法可表示为________________

6.已知集合{(,)21}Axyyx，{(,)3}Bxyyx，aA,aB,求a。

7.用列举法和描述法分别表示下列集合.

（1）方程340xx的所有实数根组成的集合；

（2）所有奇数组成的集合.

8.已知集合22{2,334,4}Mxxxx，若2M,求满足条件的x组成的集合。

9.已知集合A={,1,1}xx，22{,,}Bxxxx，且AB,求实数x。

10.已知集合2{320,AxRaxx

(1)若A中不含有任何元素，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围。