2023年上海高考数学试卷真题汇总

2023年高考上海数学真题及参考答案一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1∼6题每题4分,第7∼12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置填写结果。

1.不等式x -2 <1的解集为；2.已知a =-2,3 ,b =1,2 ,求a ⋅b =；3.已知a n 为等比数列,且a 1=3,q =2,求s 6=；4.已知tanα=3,求tan2α=；5.已知f x =2x ,x >01,x ≤0 ,则f x 的值域是；6.已知当z =1+i ,则1-i ⋅z =；7.已知x 2+y 2-4y -m =0的面积为π,求m =；8.在△ABC 中,a =4,b =5,c =6,求sinA =；9.国内生产总值(GDP )是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP 稳步增长,第一季度和第四季度的GDP 分别为231和242,且四个季度GDP 的中位数与平均数相等,则2020年GDP 总額为；10.已知1+2023x 100+2023-x 100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 100x 100,其中a 6,a 1,a 2⋯a 100∈R ,若0≤k ≤100且k ∈N ,当a k <0时,k 的最大值是；11.公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为1.025-cosθ ,要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则θ=；12.空间内存在三点A 、B 、C ,满足AB =AC =BC =1,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与A 、B 、C 可以组成正四棱锥,求方案数为；二、选择题(本题共有4题,满分18分,13、14每题4分,15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑。

13.已知P ={1,2},Q ={2,3},若M ={x ∣x ∈P 且x ∉Q },则M =()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}14.根据身高和体重散点图,下列说法正确的是()A.身高越高,体重越重B.身高越高,体重越轻C.身高与体重成正相关D.身高与体重成负相关15.设a>0,函数y=sinx在区间a,2a上的最小值为s a,在2a,3a上的最小值为t a,当a变化时,以下不可能的情形是()A.sθ>0且tσ>0 B.sq<0且ta<0C.sq >0且ta<0 D.sq<0且tq>016.在平面上,若曲线Γ具有如下性质:存在点M,使得对于任意点P∈Γ,都有Q∈Γ使得PM⋅QM=1。

2023年上海高考数学卷考生注意:1.本试卷共5页,21道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面消楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码炶在指定位置上,在答题纸反面清超地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1∼6题每题4分,第7∼12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.不等式|x−2|<1的解集为；2.已知a⃗=(−2,3),b⃗⃗=(1,2),求a⃗⋅b⃗⃗=；3.已知{a n}为等比数列,且a1=3,q=2,求s6=；4.已知tanα=3,求tan2α=；5.已知f(x)={2x,x>01,x≤0,则f(x)的值域是；6.已知当z=1+i,则|1−i⋅z|=；7.已知x2+y2−4y−m=0的面积为π,求m=；8.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,求sinA=；9.国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP稳步增长,第一季度和第四季度的GDP分别为231和242,且四个季度GDP的中位数与平均数相等,则2020年GDP总額为；10.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,其中a6,a1,a2⋯a100∈ℝ,若0≤k≤100且k∈ℕ,当a k<0时,k的最大值是；11.公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为(1.025−cosθ),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则θ=；12.空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=BC=1,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥,求方案数为；二、选择题（本题共有4题,满分18分,13、14每题4分,15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知P={1,2},Q={2,3},若M={x∣x∈P且x∉Q},则M=( ).A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}14.根据身高和体重散点图,下列说法正确的是().A.身高越高,体重越重B.身高越高,体重越轻C.身高与体重成正相关D.身高与体重成负相关15.设a>0,函数y=sinx在区间[a,2a]上的最小值为s a,在[2a,3a]上的最小值为t a,当a变化时,以下不可能的情形是().A.sθ>0且tσ>0B.s q<0且t a<0C.s q>0且t a<0D.s q<0且t q>016.在平面上,若曲线Γ具有如下性质:存在点M,使得对于任意点P∈Γ,都有Q∈Γ使得|PM|⋅|QM|=1.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假().(1)所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在是“自相关曲线”的双曲线.A.(1)假命题；(2)真命题B.(1)真命题；(2)假命题C.(1)真命题；(2)真命题D.(1)假命题；(2)假命题三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小邀满分6分,第2小题满分8分.直四棱柱ABCD−AB1C1D1,AB∥DC,AB⊥AD,AB=2,AD=3,DC=4.1(1)求证:A1B⊥面DCC1D(2)若四棱柱体积为36,求二面角A1−BD−A的大小18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.函数f(x)=x2+(3a+1)x+c(a,c∈R)x+a(1)当a=0是,是否存在实数c,使得f(x)为奇函数(2)函数f(x)的图像过点(1,3),且f(x)的图像x轴负半轴有两个交点求实数a的取值范围19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分2分,第2小題满分6分,第3小题满分8分.21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行,下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件A为小明取到的模型为红色外观,事件B取到模型有棕色内饰求P(B)、P(B/A),并据此判断事件A和事件B是否独立(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:1、拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;2、按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;(3)奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元,请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的数学期望20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.曲线Γ:y2=4x,第一象限内点A在Γ上,A的纵坐标是a.(1)若A到准线距离为3,求a;(2)若a=4,B在x轴上,AB中点在Γ上,求点B坐标和坐标原点O到AB距离;(3)直线l:x=−3,令P是第一象限Γ上异于A的一点,直线PA交l于Q,H是P在l上的投影,若点A满足“对于任意P都有|HQ|>4"求a的取值范围.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.令f(x)=lnx,取点(af(a1))过其曲线y=f(x)做切线交y轴于(0,a2),取点(a2f(a2))1过其做切线交y轴于(0,a),若a3<0则停止,以此类推,得到数列{a n}.3(1)若正整数m≥2,证明a m=lna m−1−1;(2)若正整数m≥2,试比较a m与a m−1−2大小;(3)若正整数k≥3,是否存在k使得a1,a2⋯a k依次成等差数列?若存在,求出k的所有取值,若不存在,试说明理由.。

高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。

由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。

2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。

又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。

解得a = 1, b = -1。

3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。

4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。

5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。

6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。

2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海）　数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<地解集是 .【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2},则实数a ＝ .【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位）,则z ＝ .【解析】1i+【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++.4.若函数f (x )地反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0）,则f (4)＝ .【解析】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→ a 、→ b 满足|→ a |＝1,|→ b |＝2,且→ a 与→ b 地夹角为π3,则|→ a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos 7||3a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+ 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )地最大值是 .【解析】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）.【解析】34【解析】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线地点生成三角形总数为:36C；可构成三角形地个数为:33364315C C C --=,所以所求概率为:3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上地奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )＝lg x ,则满足f (x )＞0地x 地取值范围是 .【解析】(1,0)(1,)-+∞ 【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得: 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5,若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别是 .【解析】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须10.5,10.5a b ==时,总体方差最小；10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区地判别条件是 .【解析】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意, 12||||2MF MF a+≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0地解可视为函数y ＝x +2地图像与函数y ＝1x 地图像交点地横坐标,若x 4+ax －4＝0地各个实根x 1,x 2,…,x k(k ≤4)所对应地点(x i,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 地同侧,则实数a 地取值范围是 .【解析】(,6)(6,)-∞-+∞ 【解析】方程地根显然0x ≠,原方程等价于34x a x+=,原方程地实根是曲线3y x a =+与曲线4y x=地交点地横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到地。

2023年上海市秋考高考数学试卷(精校Word版含答案)题目一题目描述请计算下列方程的解：$$2x - 5 = 10$$解答将方程两边加上5，得到$$2x = 15$$。

再将方程两边除以2，得到$$x = 7.5$$。

题目二题目描述已知函数$$f(x) = 3x^2 + 4x - 1$$，求函数的极值点和极值。

解答首先，求导函数$$f'(x)$$，得到$$f'(x) = 6x + 4$$。

令$$f'(x) = 0$$，解得$$x = -\frac{2}{3}$$。

将$$x = -\frac{2}{3}$$代入原函数$$f(x)$$，得到$$f\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{23}{3}$$。

因此，函数$$f(x)$$的极值点为$$x = -\frac{2}{3}$$，极值为$$-\frac{23}{3}$$。

题目三题目描述已知等差数列的前5项和为20，公差为3，求这个等差数列的前10项和。

解答设等差数列的首项为$$a$$，公差为$$d$$，则等差数列的前5项和为$$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d]$$。

代入已知条件得到$$20 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)3]$$。

解得$$a = -\frac{13}{5}$$。

等差数列的前10项和为$$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d] = \frac{10}{2}[2\left(-\frac{13}{5}\right) + (10-1)3]$$。

计算得到$$S_{10} = 155$$。

题目四题目描述已知函数$$f(x) = \frac{1}{x}$$，求函数的反函数。

解答反函数即为将$$f(x)$$中的$$x$$和$$f(x)$$互换得到的函数。

因此，函数$$f(x)$$的反函数为$$f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$$。

2023上海高考数学试题及答案2023年上海高考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，下列哪个选项是f(2)的值？A. 1B. -1C. 5D. 7答案：A2. 若向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为？A. 2B. -2C. 10D. -10答案：A3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5的值？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A4. 若函数g(x) = x^2 - 4x + 3，求g(0)的值？A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A5. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 1，求双曲线的渐近线方程？A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±xD. y = ±1/2x答案：A6. 若复数z = (1 + i) / (1 - i)，求z的共轭复数？A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：B7. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A + B = 2C，且sinA = 2sinBcosC，求角C的度数？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C8. 已知函数h(x) = ln(x)，求h'(x)？A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A9. 若直线l：y = 2x + 3与抛物线C：y^2 = 4x相切，求切点的横坐标？A. 1B. 3/2C. 3D. 9/4答案：D10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)？A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = 2，求第4项b4的值？答案：1612. 若向量a = (1, -2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为？答案：-1/√1713. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值？答案：314. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心的坐标？答案：(2, 3)15. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)？答案：cos(x) - sin(x)三、解答题（共40分）16. （10分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的单调区间和极值点。

2023年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为　（1，3）　．【答案】（1，3）．【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　4　．【答案】4．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），∴•＝﹣2×1+3×2＝4．故答案为：4．3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝　189　．【答案】189．【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．故答案为：189．4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为　[1，+∞）　．【答案】[1，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．【答案】．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝ ．【答案】．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin A＝＝＝．故答案为：．9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为　946（亿元）　．【答案】946（亿元）．【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为　49　．【答案】49．【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k＜0，则k为奇数，此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　arccos　．【答案】arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有　9　种．【答案】9．【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}【答案】A【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关【答案】C【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【答案】D【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a＜0，故C可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．故选：D．16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．【答案】（1）证明见解答；（2）arctan．【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，∴直线A1B∥平面DCC1D1；（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A1E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，故∠A1EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，∴tan∠A1EA＝＝＝，∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（，）∪（，+∞）．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则，得，得，即a＞，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，即（，）∪（，+∞）．19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，则P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，则X的分布列为：X150300600P则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a m≤a m﹣1﹣2；（3）k＝3．【解答】解：（1）证明：，则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，则存在，使得h（x0）＝0，于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．。

1、设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A与B的交集是：A、{1}B、{4}C、{2, 3}D、{1, 2, 3, 4}解析：交集是指两个集合中都有的元素组成的集合。

集合A和B共有的元素是2和3。

（答案）C2、下列哪个数不是质数？A、2B、3C、4D、5解析：质数是只有1和它本身两个正因数的自然数。

4除了1和4本身，还有2作为因数，因此不是质数。

（答案）C3、若一个等差数列的首项是5，公差是3，那么第5项是：A、11B、14C、17D、20解析：等差数列的通项公式为an=首项+(n-1)×公差。

第5项为5+(5-1)×3=5+12=17。

（答案）C4、在三角形ABC中，若角A=60度，角B=45度，则角C为：A、45度B、60度C、75度D、90度解析：三角形内角和为180度。

角C=180度-角A-角B=180-60-45=75度。

（答案）C5、下列哪个图形不是平面图形？A、圆B、三角形C、长方体D、梯形解析：平面图形是所有点都位于同一平面内的图形。

长方体是三维立体图形，不是平面图形。

（答案）C6、若log2(x)=3，则x等于：A、2B、4C、6D、8解析：对数表达式log2(x)=3表示2的3次方等于x，即2³=x，所以x=8。

（答案）D7、在直角坐标系中，点P(3,4)到原点O的距离是：A、3B、4C、5D、6解析：两点间距离公式为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

点P到原点O的距离为√((3-0)²+(4-0)²)=√(9+16)=√25=5。

（答案）C8、下列哪个选项是方程x²-5x+6=0的解？A、x=1B、x=2C、x=3D、x=4解析：方程x²-5x+6可以因式分解为(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

（答案）B和C。

2023年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷 2023.06.07一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 不等式|21x -<的解集为________【答案】 2. 已知(2,3),(1,2)a b =-=，则a b ⋅=________【答案】3. 已知等比数列{}n a 首项为11,a =公比2,q =则6S = ________【答案】4.已知tan 3,α=则tan2α= ________【答案】5.已知函数2,0(),1,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则()f x 的值域为 ________【答案】6. 已知复数1z i =+，则1iz -=________【答案】7. 已知圆22:40C x y y m +--=的面积为π，则m =________【答案】8. 已知ABC ∆的角A B C 、、对应边长分别为a b c 、、且4,5,6a b c ===，则sin A =________【答案】9. 国内生产总值（GDP ）是衡量该地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP 稳定增长，第一个季度和第四季度的GDP 分别为232亿元，241亿元，且四个季度的GDP 逐季度增长，中位数、平均数相等，则该市2020年的GDP 为________【答案】10. 已知1001002100012100(12023)(2023)x x a a x a x a x ++-=+++⋅⋅⋅+，若0100k ≤≤，且k N ∈，当0k a <，则正整数k 的最大值为________【答案】11.公园欲建设一段斜坡，坡面与水平面所成的角为θ，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面上的人每沿着斜坡向上走1米，消耗的体力为(1.025cos )θ-，欲使人上坡消耗的总体力最小， 则θ= ________【答案】12. 空间中有三个点A 、B 、C ，且AB=BC=CA=1，现在空间中任取两点，若这两个点与A 、B 、C 恰好构成正四棱锥的五个定点，则不同的取法有________种【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 集合{}{}1,2,2,3,P Q ==若{}M x x M x Q =∈∉且，则M =（ ）A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}【答案】 14. 某校50个学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法正确的是（ ）A. 身高越高，体重越大B. 身高月高，体重越小C. 身高与体重呈正相关D. 身高与体重呈负相关【答案】15. 已知0,a >函数()sin f x x =在区间[,2]a a 上的最小值为s ，在区间[2,3]a a 上的最小值为t ， 当a 变化时，则下列不可能的是（ ）A. 00a t >>且B. 00a t ><且C. 00a t <>且D. 00a t <<且【答案】16. 在平面上，曲线Γ，若存在M 点，对于任意的P ∈Γ，都存在Q ∈Γ，使得1PM QM =， 则称曲线Γ称为“自相关曲线”，现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线” ②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（ ）A. ①假命题，②真命题B. ①真命题，②假命题C. ①真命题，②真命题D. ①假命题 ，②假命题【答案】三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为梯形，//,,2,3,4AB CD AB AD AB AD DC ⊥===（1）求证：1A B ⊥平面11DCC D ；(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -体积为36，求二面角1A BD A --大小【答案】18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 函数2(31)()(,)x a x c f x a c R x a+++=∈+ (1)若0,a =是否存在实数c ，使得函数()f x 为奇函数；(2)若函数()f x 过点(1,3)，且函数()f x 图像与x 轴负半轴有两个不同交点，求实数c 的值及实数a 的取值范围.【答案】19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）21世纪汽车博览会2023年在上海举行，某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰 颜色数量如下表所示.红色外观 蓝色外观 棕色内饰12 8 米色内饰 2 3（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 取到模型有棕色内饰，求(),()P B P B A 并据此判断事件A 和事件B 是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：1、拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；2、按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；（3）奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元，请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的数学期望.【答案】20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)抛物线2:4,y x Γ=点A 是抛物线上位于第一象限的点,点A 的纵坐标为a ,(1)若点A 到该抛物线准线的距离为3，求a 的值;(2)若4,a B =在x 轴上，AB 的中点在抛物线Γ上，求点B 的坐标和原点到AB 的距离;(3)直线:3,l x =-点P 是第一象限抛物线Γ上有异于A 的动点，直线PA 与直线l 交于点Q ，点H 是点P 在l 上的投影,若点A 满足任意P 都有4PQ >，求a 的取值范围.【答案】21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)令()ln ,f x x =取点11(,())a f a 过其曲线()ln f x x =作切线交y 轴于点2(0,),a 点11(,())a f a 过其曲线()ln f x x =作切线交y 轴于3(0,),a 若0n a <则停止操作，以此类推，得到数列{}n a（1）若正整数2,m ≥证明1ln 1m m a a -=-;（2）若正整数2,m ≥，试比较m a 与12m a --大小；（3）若正整数3k ≥，是否存在k 使得12,,,k a a a ⋅⋅⋅依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值，若不存在，试说明理由.【答案】。

2023上海三校生高考数学试题2023年上海市三校生高考数学试题2023年上海市三校生高考数学试题是上海市三所著名高中（复旦附中、上海中学、交大附中）联合出题的高考数学试题。

这套试题涵盖了高中数学各个领域的知识点，旨在考查学生对数学知识的掌握和运用能力。

以下是试卷中的部分题目及解析：一、选择题部分：1. 已知函数$f(x)=3x^2-5x+2$，求$f(-1)$的值。

解析：将$x=-1$代入$f(x)$，得到$f(-1)=3(-1)^2-5(-1)+2=10$。

2. 若$\log_a b=2$，$\log_b c=3$，求$\log_a c$的值。

解析：根据对数的性质，$\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a} = \frac{3}{2}$。

二、填空题部分：1. 若$a+b=3$，$a-b=1$，则$a^2-b^2$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。

解析：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=3\times1=3$。

2. 解方程组$\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+3y=10 \end{cases}$，得到$x=\underline{\hspace{2cm}}$，$y=\underline{\hspace{2cm}}$。

解析：解方程组可使用消元法或代入法，最终得到$x=2$，$y=1$。

三、解答题部分：1. 已知等差数列的前$n$项和$S_n=3n^2$，且$a_1=1$，$a_n=4$，求该等差数列的公差$d$。

解析：根据等差数列的性质，$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入已知条件，得到$3n^2=\frac{n}{2}(1+4n)$，解方程得到$n=2$，$d=2$。

2. 计算不定积分$\int (2x^2+3x+1)dx$。

解析：根据不定积分的性质，$\int (2x^2+3x+1)dx =\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x$。