人教A版理科数学课时试题及解析(50)抛物线A

【人教版】2020高考数学理科一轮复习课时练解析卷54《抛物线》一、选择题1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为(A )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(2,0)解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2＝－1，得p ＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．(2019·河北五名校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.3．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为(A )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．(2019·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 准线上一点，则△ABM 的面积为(A )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为12×8×4＝16，故选A.5．(2019·陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为(B )A.43B ．－43C ．±43D ．－169解析：将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A (14，1)．由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.故选B.6．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135°，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为(A )A ．22－2B ．22－1C.2－1D ．32－4解析：解法1：设点M (m 22p ，m )(m >0)，因为点M 在FN 的垂直平分线上且点N 在焦点F 的右侧，所以N (2m 2－p 22p ，0)，又MN 的倾斜角为135°，所以2pmp 2－m 2＝－1，解得m ＝(2＋1)p ，所以点M (3＋222p ，(2＋1)p )，所以直线OM 的斜率为2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.解法2：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135°，所以直线MF 的倾斜角为45°，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p 2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p2＝(3＋22)p 2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.7．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为(B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得，|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |.即1p ＝23，解得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x .二、填空题8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为2.解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.9．(2019·合肥市质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为(4,4)．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则2(x ＋1)＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒x ＝4，y ＝4或x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．10．(2019·潍坊市统一考试)已知抛物线y 2＝4x 与直线2x －y －3＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 1＋1k 2的值为12.解析：设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，易知y 1y 2≠0，则k 1＝4y 1，k 2＝4y 2，所以1k 1＋1k 2＝y 1＋y 24，将x ＝y ＋32代入y 2＝4x ，得y 2－2y －6＝0，所以y 1＋y 2＝2，1k 1＋1k 2＝12.三、解答题11．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线．解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)，∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)，y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2(y 214＋1)＋y 1(y 224＋1)＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 24＋1)．由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4，即y 1y24＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E三点共线．12．(2019·洛阳高三统考)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝(A )A ．16B ．4C.83D.53解析：解法1：因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p8，故|AB ||CD |＝x A x D ＝2p p8＝16.故选A.解法2：同解法1得|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p2.过A ，D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，D 1，该直线AF 交准线于点E ，准线交x 轴于点N ，则由FN ∥AA 1得|EF ||EA |＝|NF ||AA 1|，由直线AF 的斜率为43得tan ∠A 1AF ＝43，故|AA 1||AE |＝35.又|AA 1|＝|AF |，故|NF ||AA 1|＝|EF ||EA |＝25，所以|AF |＝|AA 1|＝52|NF |＝52p .同理可得|DD 1||NF |＝|ED ||EF |，又|DD 1|＝|DF |，所以|DD 1||NF |＝53|NF |－|DD 1|53|NF |，故|DF |＝|DD 1|＝58|NF |＝58p ，故|AB ||CD |＝52p －p 258p －p2＝218＝16.故选A.13．(2019·河北名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝10.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.14．(2019·惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由．解：(1)证法1：当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值)．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0，所以y 1y 2＝－8.综上可得，y 1y 2＝－8为定值．证法2：设直线AB 的方程为my ＝x －2.由my ＝x －2，y 2＝4x得y 2－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值．(2)存在．理由如下：设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E (x 1＋22，y 12)，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 21＝12x 21＋4，点E 到直线x ＝a 的距离d ＝|x 1＋22－a |，所以所截弦长为2r 2－d 2＝214(x 21＋4)－(x 1＋22－a )2＝x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2，当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x ＝1.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·福州市测试)已知圆C ：(x －5)2＋(y －12)2＝8，抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上两点A (－2，y 1)与B (4，y 2)，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的准线方程为(C )A ．x ＝－12B ．y ＝－1C ．y ＝－12D ．x ＝－1解析：由题意知，A (－2，2p )，B (4，8p )，∴k AB ＝8p －2p 4－(－2)＝1p ，设抛物线E 上的切点为(x 0，y 0)，由y ＝x 22p ，得y ′＝x p ，∴x 0p ＝1p ，∴x 0＝1，∴切点为(1，12p )，∴切线方程为y －12p ＝1p (x －1)，即2x －2py －1＝0，∵切线2x －2py －1＝0与圆C 相切，∴圆心C (5，12)到切线的距离为22，即|9－p |4＋4p 2＝22，∴31p 2＋18p －49＝0，∴(p －1)(31p ＋49)＝0，∵p >0，∴p ＝1.∴抛物线x 2＝2y 的准线方程为y ＝－12，故选C.。

课时规范练50抛物线基础巩固组1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M 到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2B.2√2C.2√3D.43.(2019内蒙古呼和浩特模仿,7)已知抛物线x2=y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x 轴的距离为( )A.32B.34C.58D.544.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=( )A.92B.4 C.72D.35.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.2√2B.√6C.2D.√36.(2019河南焦作三模,8)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:+y2=4,l与圆C交于A,B,圆C与E交于M,N.若A,B,M,N 为同一个矩形的四个极点,则E的方程为( )A.y2=xB.y2=√3xC.y2=2xD.y2=2√3x7.(2019江西吉安质检,8)已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px 的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是( )A.抛物线的方程为y2=4xB.线段AB的长度为163C.∠MFN=90°D.线段AB的中点到y轴的距离为838.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B 两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足分别是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2019广东一模,16)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,为半径的圆,直线2x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则= .综合提升组11.(2019贵州贵阳模仿,9)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0为d2,则d1+d2的最小值为( )A.3B.4C.√D.√712.(2019河南洛阳联考(四),8)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC 恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为( )A.116B.3 C.113D.613.(2019河南南阳模仿,14)设抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=,则直线l的方程为.14.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,20)设抛物线的极点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2019山西湛江一模,8)已知直线l:4x-3y+6=0和抛物线C:y2=4x,P为C上的一点,且P到直线l的距离与P到C的核心间隔相称,那么这样的点P有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个16.(2019河南安阳模仿,21)已知直线l的方程为y=-x-2,点P是抛物线C:x2=4y上到直线l间隔最小的点.(1)求点P的坐标;(2)若直线m与抛物线C交于A,B两点,△ABP的重心恰好为抛物线C的焦点F.求△ABP的面积.参考答案课时规范练50抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是|a|2=4,故选C.2.C利用|PF|=x P+√2=4√2,可得x P=3√2.∴y P=±2√6.∴S△POF=12|OF|·|y P|=2√3.故选C.3.C 抛物线x2=y的焦点为,准线为y=-,过M,N分别作准线的垂线,则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34,所以中点P到x轴的距离为|PP'|-18=34−18=58.故选C.4.A 记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=故选A.5.B由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0=y1+y22=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=1,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=√4+4m2=√6,故选B.6.C如图,圆C:(x-p2)2+y2=4的圆心C(p2,0)是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C:+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个极点,∴点A,N关于直线x=p2对称,即x N+x A=p2×2=p,∴x N=32p,∴|NA|=32p-(-p2)=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.7.D直线l:√3x-y-√3=0经过点F(1,0),可得p=2,即抛物线C :y 2=4x ,准线方程为x=-1,联立直线√3x-y-√3=0和抛物线C :y 2=4x ,可得3x 2-10x+3=0,可得A (3,2√3),B (13,-2√33),即有|AB|=√(3-13)2+(2√3+2√33)2=163,由M (-1,2√3),N (-1,-2√33),F (1,0),可得k NF ·k MF =2√332·2√3-2=-1, 则MF ⊥NF ,即∠MFN=90°,线段AB 的中点为53,2√33,则线段AB 的中点到y 轴的距离为53.综上可得A,B,C 正确,D 错误.故选D .8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值.当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.18+4 由题知,F(1,0),准线l 的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin π4=8×√22=4√2,所以四边形ABCD 的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4√2=18+4√2.10.215 {x 2=2py ,2√3x -6y +3p =0⇒12y 2-20py+3p 2=0.因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p6,y S =32p.由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,所以|RS|=|SF|-p 4=y S +p 2−p 4=y S +p 4,|PQ|=|PF|-p 4=y P +p 2−p 4=y P +p 4,|RS ||PQ |=|SF |-p 4|PF |-p 4=3p 2+p 4p 6+p 4=74512=215.11.A 抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离,所以过焦点F 作直线4x-3y+11=0的垂线,则该点到直线的距离为d 1+d 2最小值,如图所示;由F (1,0),直线4x-3y+11=0,所以d 1+d 2=√4+3=3,故选A .12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=256x. 联立{y 2=256x ,x 2+y 2-12x +11=0,消去y 得x 2-476x+11=0, 解得x=116或x=6(舍去), 故A 点横坐标为116.故选A .13.√2x-y-√2=0 ∵抛物线方程为y 2=4x ,∴抛物线焦点为F (1,0),准线为l :x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵P在第一象限,∴直线AB的斜率k>0,设直线AB方程为y=k(x-1),代入抛物线方程消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2=2k 2+4k2,x1x2=1,∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,设P点的坐标为(x0,y0),可得y0=12(y1+y2),∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=k·2k 2+4k2-2k=4k,得到y0=2k,∴x0=1k2,可得P1k2,2k.∵|PF|=32,∴√(1-1k2)2+4k2=32,解得k2=2,所以k=√2,直线方程为y=√2(x-1),即√2x-y-√2=0.14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F, ∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由{y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则{x1+x2=4k, x1·x2=-24.由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2. 抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1), 由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR , ∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1, 即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+16+16x 1x 2=0, ∴(-24)2-4[(4k )2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0, 解得k 2=14,即k=±12,∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6. 15.C 由题P 为C 上的一点,设P (y 24,y),P 到直线l :4x-3y+6=0的距离d 1=2√3+4.又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的间隔相称,所以P 到C 的焦点距离d 2=y 24+1,则2√3+4=y 24+1. ①当2√3+4=y 24+1, 即y2+12y-4=0时,Δ>0,方程有两个不相称的实数根,即P 点有两个;②当2√3+4=y 24+1, 即9y2-12y+44=0时,Δ<0,方程无实根,所以P 点不存在.综上,点P 有2个,故选C .1116.解 (1)设点P 的坐标为(x0,y0),则=4y0,所以,点P 到直线l 的距离d=,当且仅当x0=-2时取得最小值,此时P 点坐标为(-2,1).(2)抛物线C 的焦点F 的坐标为(0,1),设线段AB 的中点为Q (x 0,y 0),由三角形重心的性质知PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .又P (-2,1),所以(2,0)=2(x 0,y 0-1),解得x 0=1,y 0=1,即Q 的坐标为(1,1),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2,且x 12=4y 1,x 22=4y 2,以上两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=4(y 1-y 2),所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=12,故直线m 的方程为y-1=12(x-1),经检验,符合题意,即直线m 的方程为y=12x+12,联立抛物线C :x 2=4y 得x 2-2x-2=0,所以|AB|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=15,且点P 到直线m 的距离为√5=√5,所以△ABP 的面积为S=12×√15×√5=32√3.。

课后限时集训(五十) 抛物线(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·某某模拟)过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12yD ．x 2＝12yD [由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以F (0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y .故选D.]2．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.]3．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，P 是该抛物线上任意一点，M (5,3)，则|PF |＋|PM |的最小值是( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3A [由题意知，抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，过点P 作PE ⊥l 于点E ，由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，易知当P ，E ，M 三点在同一条直线上时，|PF |＋|PM |取得最小值，即(|PF |＋|PM |)min ＝5－(－1)＝6，故选A.]4．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [设过点(3,1)的直线交抛物线y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②由①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2py 1＋y 2＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2.]5．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P (－1,0)任作一直线交抛物线于A ，B 两点，点C 为B 关于x 轴的对称点，则直线AC 恒过定点( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0A [设直线AB 的方程为x ＝my －1，与抛物线的方程联立，得y 2－4my ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 2，－y 2)，所以y 1y 2＝4，又x 1－x 2＝y 1－y 2y 1＋y 24，则直线AC 的方程为y ＋y 2＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 2)，所以y ＋y 2＝4y 1－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 224，整理得y (y 1－y 2)＝4(x －1)，即直线AC 恒过定点(1,0)，故选A.]二、填空题6．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．x 2＝4y [△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .]7．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]8.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了________m.1 [以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m ．] 三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[解](1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.10．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． [解](1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1.由题设知|AB |＝2|MN |，即42m ＋1＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.B 组 能力提升1．(2018·某某一模)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( ) A ．16 B ．4C.83D.53A [因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p 2. 由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D ＝2p p8＝16.故选A.]2．(2019·某某一调)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(2,0)的直线交抛物线于A ，B 两点，与抛物线的准线交于点C ，若S △ACF S △BCF ＝25，则|AF |＝( ) A.23 B ．4 C ．3D ．2D [设过点(2,0)的直线l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入抛物线方程得，k 2x 2－4(1＋k 2)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x 1x 2＝4，① 分别过点A ，B 作准线的垂线AA 1，BB 1，垂足分别为点A 1，B 1(图略)， ∴S △ACF S △BCF ＝|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|＝|AF ||BF |＝x 1＋1x 2＋1＝25， 即5x 1－2x 2＋3＝0，②由①②得x 1＝1或x 1＝－85(舍去)，∴|AF |＝2，故选D.]3．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM→＝3FP →，则|FP →|＝________.43[过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由FM →＝3FP →得|PM |＝2|PF |，又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP →|＝43.]4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝p tx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0, 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．。

第05讲抛物线【考点目录】【知识梳理】知识点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．知识点2抛物线的标准方程和几何性质焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．p的几何意义：焦点F到准线l的距离．标准方程y 2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形顶点O(0,0)知识点3 直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km －p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．知识点4 弦长问题过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α (α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考点一 抛物线的标准方程（一）求抛物线的标准方程1．（2022春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ） A ．26y x = B ．23y x = C ．26x y = D ．23x y =【答案】A【分析】利用抛物线的性质，求出p ，然后求得抛物线方程即可.【详解】解：焦点在x 轴正半轴上的抛物线标准方程为()220y px p =>，又准线与焦点轴间的距离为3，可得3p =，所以抛物线的标准方程为26y x =.故选：A.2．（2022春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =-B ．210x y =-或28y x =【考点剖析】C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C（二）抛物线的几何性质的应用4．（2022·全国·高二假期作业）抛物线26y x =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出p ，即可得到准线方程.【详解】抛物线26y x =的标准方程为：216x y =，令2126x y py ==，得112p =，于是该抛物线的准线为：124y =-.5．（2022春·山东临沂·高二临沂第四中学校考阶段练习）若抛物线22y px =的焦点与双曲线221x y -=的右焦点重合，则p =（ ）A ．2B ．4C ．D 【答案】C【分析】先求出双曲线221x y -=的右焦点，此焦点是抛物线22y px =的焦点，求出.p【详解】在双曲线221x y -=中，2112c =+=,所以右焦点)2F ，2F 是抛物线22y px =的焦点，2pp ∴== 故选：C6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =（ ）A ．18B ．14C ．8D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用点到直线距离公式求解作答.【详解】圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1，抛物线212x y p =的准线为18y p=-， 依题意，118p =，解得18p =， 所以18p =. 故选：A7．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线()2:0C x ay a =≠，则抛物线C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04a ⎛⎫± ⎪⎝⎭C ．()0,4aD ．()0,4a ±【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，判断焦点的位置，求出p ，即可得焦点坐标.【详解】已知()20x ay a =≠，则标准方程为21y x a=，焦点在x 轴上， 所以1122p p a a=⇒=， 所以焦点坐标为1,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2022春·江苏泰州·高二统考期中）若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（ ） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】因为抛物线2y mx =的标准方程为21x y m=，其准线方程为14y m =-，由于抛物线上一点(),2t 到其焦点的距离等于4， 由抛物线的定义可得，1244m +=，解得18m =． 故选：B9．（2022秋·湖北咸宁·高二统考期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】C【分析】根据条件求出p 的值，然后可算出答案.【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C考点二 抛物线定义的应用（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ） A．B．CD ．2【答案】A【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由()11,M x y 到其焦点的距离求得M 横坐标，进一步求得M 纵坐标，则答案可求.【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=故选：A.11．（2022·高二单元测试）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义求出曲线C 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：依题意曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离和点P 到直线2x =-的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =．分别设点M 、N 、Q 到准线2x =-的距离分别为1d ，2d ，d ， 则12522MF NFd d d ++===，所以中点Q 到y 轴的距离为3， 故选：A ．12．（2022·高二课时练习）若()00,P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，则PF =（ ）． A ．08x + B ．08x -C ．08x -D ．016x +【答案】C【分析】根据抛物线定义，得到PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =，即可求解. 【详解】由抛物线232y x =-，可得其焦点在x 轴上，且8p =，准线方程为8x =， 因为点00(,)P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，根据抛物线定义，可得PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =， 如图所示，所以08PF x =-.故选：C13．（2022·高二课时练习）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.【详解】由抛物线C ：22y x =可得1p =，则准线方程为12x =-，于是00015224p AF x x x =+=+=，解得02x =．故选：B ．14．（2022秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF ME =，当M 在抛物线上移动时，当,,A M E 三点共线时，ME MA +最小，由此即可求出结果.【详解】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把=2y -代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.15．（2022春·湖北武汉·高二华中师大一附中阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||3||3MA AB ==，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题知点A 为MF 的中点，结合已知得||6,||2,||4MF BF BM ===，过点B 作BQ l ⊥，由抛物线的定义即可求解.【详解】设l 与x 轴的交点为H ，由O 为FH 中点，知点A 为MF 的中点， 因为||3||3MA AB ==，所以||6,||2,||4MF BF BM ===．过点B 作BQ l ⊥，垂足为Q ，则由抛物线的定义可知||||2BQ BF ==， 所以||2||BM BQ =，则||2||6MF FH ==，所以||3p FH ==． 故选：C16．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =， 故1sin 33BD a BCD BC a ∠===， 在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+， 又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+， 则349a +=，从而得32a =， 又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====， 所以2p =. 故选：B.（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题17．（2022·高二单元测试）已知圆C 经过点()1,0P ，且与直线=1x -相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（ ）A ．3B ．2 CD【答案】D【分析】利用已知可推出圆心C 的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C 的圆心(),C x y ，动点C 到点P 的距离等于到直线=1x -的距离， 根据抛物线的定义可得圆心C 的轨迹方程为24y x =， 设圆心C 到直线30x y -+=距离为d，d ====当2y =时，min d ，故选：D ．18．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线C ：212y x =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，()4,2Q -，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】抛物线的准线l 的方程为3x =，过P 作PM l ⊥于M ，根据抛物线的定义可知PF PM =，则当,,Q P M 三点共线时，可求PM PQ +得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线C ：212y x =-的焦点为()3,0F -，准线l 的方程为3x =，如图，过P作PM l ⊥于M ，由抛物线的定义可知PF PM =，所以PF PQ PM PQ +=+则当,,Q P M 三点共线时，PM PQ +最小为()347--=. 所以PF PQ +的最小值为7.故选：C.19．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C20．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．D ．1【答案】B 【分析】根据题意画出图像,将d 转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||d PM +的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,F P M C 共线时,||d PM +取最小值为21FC r +-,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C :22(5)(4)4x y -++=,()25,4,2C r ∴-=()0,1F 为抛物线焦点,1y =-为抛物线准线,则过点P 向1y =-作垂线垂足为D ,如图所示:则1d PD =+, 根据抛物线定义可知=PD PF ,1d PF ∴=+,||d PM ∴+=1PF PM ++,若求||d PM +的最小值,只需求PF PM +的最小值即可,连接2FC 与抛物线交于点1P ,与圆交于点1M ,如图所示,此时PF PM +最小,为2FC r -,()2min 1d PM FC r +=+-,()()220,1,5,4,F C FC -∴=()2min 11d PM FC r ∴+=+-=.故选:B21．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．3716B ．115C ．2D ．74【答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =-是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于 Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ +抛物线24y x =的焦点(1,0)F∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ， ∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．考点三 抛物线的轨迹问题22．（2022·高二课时练习）已知点(2,2)M ，直线:10l x y --=，若动点P 到l 的距离等于PM ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】C【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P 的轨迹是抛物线.故选：C23．（2022春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，当00x =时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MO =-，12MO =，轨迹为圆，①正确； 当001x <<时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MA AO +=>，故轨迹为椭圆，②正确； 当01x =时，动圆M 与圆O 内切时，1MO r =-，1MO MA AO +==，轨迹为线段OA ；动圆M 与圆O 外切时，1MO r =+，1MO MA AO -==，轨迹为射线，③错误；当01x >时，动圆M 与圆O 外切，1MO r =+，即1MO MA AO -=<，故轨迹为双曲线，④正确. 故选：C24．（2022秋·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点(),P x y 到直线2x =的距离与定点()2,0-的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以()2,0-为焦点，2x =为准线的抛物线，所以4p =，轨迹方程为28y x =-，故选：D25．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知点()1,0F ，过直线=1x -上一动点P 作与y 轴垂直的直线，与线段PF 的中垂线交于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．22y x =D ．24y x = 【答案】D 【分析】根据中垂线性质得到QF QP =，结合抛物线的定义判断出Q 点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设(),Q x y ，因为PF 的中垂线经过点Q ，所以QF QP =，又因为PQ y ⊥轴，所以QP 表示Q 到直线=1x -的距离， 且QF 表示Q 点到F 点的距离，F 点不在直线=1x -上，由抛物线的定义可知：Q 点的轨迹是以F 为焦点，以直线=1x -为准线的抛物线，设轨迹方程为()220y px p =>，所以12p =，所以2p =， 所以轨迹方程为24y x =.故选：D.26．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋ 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．212x y =-B ．212x y =C ．212y x =D ．212y x =-【答案】A 【分析】根据动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，可得动点M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，-3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线， 所以3,2122p p ==，其方程为212.x y =-， 故选：A27．（2022·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D34125x y -+=，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y -+，34125x y -+=， 即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.考点四 直线与抛物线的位置关系（一）直线与抛物线位置关系的判断及应用28．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点()0,1P 且与抛物线28y x =有且仅有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果.【详解】当斜率不存在时，直线方程为0x =，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k ，则直线方程为1y kx =+，联立218y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(28)10k x k x +-+=， ①当0k =时，直线方程为1y =，只有一个公共点，符合题意；②当0k ≠时，令22(28)40k k ∆=--=，解得2k =，即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选：C29．（2022·高二课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，在抛物线24x y =内部，即可得出结论．【详解】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∴2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．30．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（ ）A ．2y =B ．10x y -+=C ．1x =D ．2y =或10x y -+= 【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩， 将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=， 则248Δ()4(4)01k k k =---=⇒=，此时:2110l y x x y -=-⇒-+=．综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=．故选：D ．31．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，且点A 在第一象限，则当2AF FB =时，直线AB 的斜率为（ ）AB．C．D．±【答案】A【分析】首先设直线AB ,把直线与抛物线联立,结合2AF FB =,找到12x x + 与12x x 关系式,计算即可得到斜率.【详解】由题意知()0,1F ,设直线AB :1y kx =+,()()1122,,,A x y B x y联立方程214y kx x y =+⎧⎨=⎩, 可得2440x kx --=,即得121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ ① 又因为2AF FB =,可得122x x =-,②结合①②()212122x x x x =-+,24216k -=-⨯ 可得21=8k , 因为122x x =-,1>0x ,20x <又因12=4x x k +所以0k >即可得k 故选:A .32．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A．10x -+= B．10x ++= C．20x -+= D．20x ++=【答案】B【分析】设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()211,A y y 、()222,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线PA 、PB 的斜率必然存在， 设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k -+=，1=，解得1k =±，设点()211,A y y 、()222,B y y ，不妨设直线PA 、PB 的斜率分别为1、1-，则11PA k ==，可得11y =同理1PB k ==-，可得21y =-直线AB的斜率为122212121AB y y k y y y y -===-+ 易知点A的坐标为(3-， 所以，直线AB的方程为(13y x -=-+，即10x ++=. 故选：B.33．（2022秋·安徽·高二校联考期末）已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π【答案】D【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得cos BF BAF AB =∠，当AB FB取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角.【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，cos cos BF BMABM BAF AB AB==∠=∠， 当AB FB取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，联立2123x yy kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，因此，直线AB 的倾斜角为4π或34π. 故选：D.（二）弦长问题34．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）．A ．8B ．C ．16D ．32【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=， 所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C35．（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线22y x =，若从点()3,2Q 发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则AB =（ ） A ．258B ．2516C ．259D ．2518【答案】A【分析】由题意求出A 点的坐标，由于直线AB 过焦点，利用点斜式方程求出直线AB 为4320x y --=，联立抛物线方程，得23102y y --=，根据韦达定理求出B 点坐标，利用两点间距离公式可求出AB . 【详解】由条件可知AQ 与x 轴平行，令2y =，可得2A x =，故A 点坐标为()2,2， 因为AB l 经过抛物线焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以AB l 为20101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，整理得4320x y --=， 联立224320y x x y ⎧=⎨--=⎩，得23102y y --=，()2325411024⎛⎫∆=--⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，所以32A B y y +=，又2A y =，所以12B y =-，2111228B x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以258AB =，36．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆22154x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则AFBF的值为（ ）A．3+B ．2+C ．3D ．4【答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A ，B 作准线的垂线，得到直角梯形11AA B B ，结合抛物线的定义在梯形中求2ABAP ，即得结果.【详解】依题意，()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，故12p=，则2p =，24y x =. 根据已知条件如图所示，A 在x 轴上方，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为11,A B ， 过B 作1AA 的垂线，垂足为P ，设,BF x AF kx ==，根据抛物线的定义知11,BB x AA kx ==，所以直角梯形11AA B B 中1A P x =，()111AP AA A P k x =-=-，()1AB k x =+，又直线AB 的倾斜角45，故121k xk x ，解得3k =+3AFBF=+ 故选：A.37．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学学业考试）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A ．94B C ．98D【分析】联立直线与抛物线方程消去x 得1212,y y y y +， 121||||2OAB OAF OFB S S S OF y y =+=-△△△代入计算可得结果.【详解】由题意知，3(,0)4F∴过A 、B的直线方程为3)4y x =-，即：34x =+22349034y xy x ⎧=⎪⇒--=⎨+⎪⎩设1122,,()()A x y B x y ，，则121294y y y y +==-∴1212113||||||224OAB OAF OFB S S S OF y y y y =+=-=⨯-△△△3984== 故选：A.38．（2022春·河南·高二校联考期中）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若||2||MN NF =，则MPF △的面积为（ ） A ．8 B ．12C．D．【答案】C【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ，进而根据几何关系得MPF △为等边三角形，34MF NF ==，再计算面积即可.【详解】解：如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ， 所以，NF NQ =，2EF =． 因为MQN MEF △△∽， 所以23QN MN MQ EF MF ME ===，43QN NF ==，34MF NF ==． 所以1cos 2EF MFE MF ∠==，60MFE PMF ∠=︒=∠．又因为PM PF =，所以60PFM PMF ∠=∠=︒，所以MPF △为等边三角形，所以2MPF S ==△ 若M 在第三象限，结果相同． 故选：C39．（2022秋·河南许昌·高二统考期末）已知直线l 过点()2,0，且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为 ） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,1【答案】A【分析】将2x =代入24y ax =可得交点坐标，结合弦长为a ，进而得到抛物线的焦点坐标即可【详解】当2x =时，28y a =，显然0a >，解得y =±(-=，解得1a =，故抛物线24y x =，焦点坐标为()1,0故选：A40．（2022秋·河南·高二校联考开学考试）已知A ，B 为抛物线2:C y x =，上的两点，且2AB =，则AB 的中点横坐标的最小值为（ ）． A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据抛物线的弦长公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】设直线AB 的方程为()0x ky b b =+≥，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2y xx ky b ⎧=⎨=+⎩，得20y ky b --=，则12y y k +=，12y y b =-，240k b ∆=+>．因为2AB ，所以()()22144k k b ++=，得22114k b k =-+．因为()2121222x x k y y b k b +=++=+，所以AB 的中点的横坐标2221202211112241414x x k k k x b k k ++==+=+=+-++．因为2211141k k ++≥=+， 当且仅当221141k k +=+，即1k =±时，等号成立， 所以当1k =±时，0x 取得最小值34． 故选：C41．（2022秋·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）已知圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x=相交于M ，N ，且MN =r =（ ）A B ．2 C ．D ．4【答案】B【分析】由圆与抛物线的对称性及MN =M 点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出||OM 即可得解.【详解】因为圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x =相交于M ，N ，且MN =由对称性，不妨设(M x ，代入抛物线方程，则33x =，解得1x =，所以M ，故||2r OM ==（三）焦点弦问题42．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F 为抛物线2:2C y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足//MN OF ，NF MN =，则MF =（ ）A ．12 B C ．2 D 【答案】C【分析】由抛物线方程可知p ，焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解. 【详解】由题，1p =，抛物线焦点F 为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线l 为12x =-，设准线l 与x 轴交点为E ，如图所示， 由题知MN l ⊥，由定义可知MN MF =， 因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则对Rt NEF ，因为//MN OF ，所以60EFN MNF ∠=∠=︒， 所以222MF NF EF p ====， 故选：C43．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若2MN NF =，则直线PF 的斜率为（ ） A ．1 B ．2C ．43D 【答案】D【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，根据抛物线的定义以及两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质可得30NMQ ∠=，通过直线的倾斜角为πPFM MFO -∠-∠即可得结果. 【详解】如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，则||||NF NQ =． 又因为||||PM PF =，所以PFM PMF MFO MNQ ∠=∠=∠=∠． 因为||2||MN NF =，即||2||MN NQ = 所以30NMQ ∠=，即60MNQ ∠=︒．直线PF的斜率为tan(π)tan 60PFM MFO -∠-∠=︒= 故选：D.44．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线l 过抛物线2:4E y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C 点，若2AB BC =，则||||AF BF 等于（ ） A ．2 B ．3C ．12D ．13【答案】B【分析】过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ，根据相似得到1113BB AA =，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ， 则1BF BB =，1AF AA =，2AB BC =，故1113BB AA =，即||3||AF BF =. 故选：B45．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，设A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若2AFBF=，则cos α的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D 【答案】A【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为α的余弦值.【详解】过A ，B 分别作准线的垂线交准线于M ，N ，过B 作BC AM ⊥于C ，则AC AM BN =-，由抛物线的性质可得，AM AF =，BN BF =， 因为||2||AF BF =，∴3AB BF =， 所以1cos 3333AC AM BN AF BF BF CAB AB BF BF BF --=====∠，即1cos 3α=. 故选：A ．（四）中点弦问题。

《抛物线》链接高考一、选择题1.(2020全国卷III)设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D 、E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为( ) A.1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.(1,0) D.(2,0)2.(2020全国卷I)已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( ) A.2 B.3 C.6 D.9 二、填空题3.(2020海南卷)斜率为的直线过抛物线2:4C y x =的焦点,且与C 交于A 、B 两点,则||AB =____________. 三、解答题4.(2019浙江卷)如图,已知点(1,0)F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC ∆的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 右侧.记AFG ∆、CQG ∆的面积为1S 、2S .(1)求p 的值及抛物线的标准方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 5.(2019北京卷)已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点,M N ,直线1y =-分别交直线,OM ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.参考答案1.答案:B解析:因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,D E 两点,且OD OE ⊥,根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以(2,2)D ,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2.答案:C解析:利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知||A AF x =+122p =,即1292p=+,解得6p =. 3.答案:163解析:∵抛物线的方程为24,y x =∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0),又∵直线AB 过焦点F ∴直线AB 的方程为1)y x =-. 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=,解法一:解得121,33x x ==,所以12||AB x =-=11633-=. 解法二:10036640∆=-=>, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12103x x +=, 过A 、B 分别作准线1x =-的垂线,设垂足分别为C ,D ,如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++=121623x x ++=. 4.答案:见解析 解析:(1)由题意得12p=,即2p =.所以,抛物线的标准方程为24y x =. (2)设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ,重心(G G x ,)G y .令2,0A y t t =≠,则2A x t =.由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为2112t x y t -=+,代入24y x =,得2y -()22140t y t--=,故24B ty =-,即2B y t=-,所以B212,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()(11,33G A B C G A x x x x y y =++=)B C y y ++及重心G 在x 轴上,故220C t y t -+=,得C 242211222,2,,03t t t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以,直线AC 的方程为()222y t t x t -=-,得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧,故22t >.从而42214222222211|2|||3212222||1223ACt t t FG y t S S t t QG y t t t t-+-⋅⋅==-+⋅--⋅-4224422211t t t t t --==---.令22m t =-,则0m >, 12212223434S m S m m m m =-=--++++1=.当m =时,12S S 取得最小值1+2,此时(2,0)G . 5.答案:见解析解析:(1)将点(2,1)-代入抛物线方程:222p =-⨯(1-)可得:2p =,故抛物线方程为:24x y =-,其准线方程为:1y =.(2)很明显直线l 的斜率存在,焦点坐标为(0,1)-,设直线方程为1y kx =-,与抛物线方程24x y=-联立可得:2440x kx +-=.故:12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1,4OM ON x k k =-=24x-,直线OM 的方程为14x y x =-,与1y =-联立可得:14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,得知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,圆的半径为1222x x -,且()12121212222222,2x x k x x x x x x ++==-=⨯=,则圆的方程为:()222(2)(1)41x k y k -++=+,令0x =,整理可得:2230y y +-=,解得:123,1y y =-=,即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,3),(0,1)-.。

课时作业(五十)A [第50讲 抛物线][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115D.37164．点A ，B 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，若A ，B 的中点是(x 0，y 0)，当直线AB 的斜率存在时，其斜率为( )A.2p y 0B.p y 0C.p x 0D.x 0p能力提升5． 以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝06． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－27． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 8． 已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．59． 已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．10． 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)，斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两点，若线段MN 的中点在直线x ＝3上，则k ＝________.12．(13分) 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)．(1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．难点突破13．(12分) 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．(1)求证：以线段F A 为直径的圆与y 轴相切；(2)若F A →＝λ1AP →，BF →＝λ2F A →，λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，求λ2的取值范围．课时作业(五十)A【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3．A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.4．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＝2py 1，x 22＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝x 0p . 【能力提升】5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2， 将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 准线方程为x ＝－1.7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16. ∴3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，∴p ＝2. 方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p 2＝－1，解得p ＝2. 8．C [解析] 由题意可知，焦点坐标为F (0,1)，准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义，得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.9．－14 [解析] 抛物线方程为x 2＝1a y ，故其准线方程是y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14. 10.324[解析] 设抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由B 为线段F A 的中点，所以B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得p ＝2，则B 到该抛物线准线的距离为p 4＋p 2＝3p 4＝324.11．±22[解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝4－2k 2k2，x 1x 2＝1. 因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即4－2k 2k 2＝6，解得k ＝±22. 而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22. 12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k 2＝3， 解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22. (2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0， 直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，y 2＝4x ，消去x ，得⎝⎛⎭⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0， 因为N 为AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0， 所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2.【难点突破】13．[解答] (1)证明：由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，则y 21＝2px 1，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2x 1＋p 4，y 12，圆心到y 轴的距离为2x 1＋p 4， 圆的半径为|F A |2＝12×⎪⎪⎪⎪x 1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝2x 1＋p 4， 所以，以线段F A 为直径的圆与y 轴相切．(2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F A →＝λ1AP →，BF →＝λ2F A →，得⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝⎛⎭⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1， 所以x 1－p 2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)， p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1， 由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 21.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以x 2＝λ22x 1.代入p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，得p 2－λ22x 1＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，p 2(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)， 整理得x 1＝p 2λ2， 代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得p 2λ2－p 2＝－λ1p 2λ2， 所以1λ2＝1－λ1λ2， 因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋p 2， 将x ＝my ＋p 2代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0， 所以y 1y 2＝－p 2(*)．由F A →＝λ1AP →，BF →＝λ2F A →，得⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝⎛⎭⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1， 所以x 1－p 2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)， p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1， 将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 21＝p 2λ2， 所以2px 1＝p 2λ2，x 1＝p 2λ2. 代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得1λ2＝1－λ1λ2， 因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，2.。

课时作业(五十)B [第50讲 抛物线][时间：35分钟 分值：80分] 基础热身1．若点P(x ，y)到点F(0,2)嘚距离比它到直线y ＋4＝0嘚距离小2，则P(x ，y)嘚轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y2．抛物线x 2＝(2a －1)y 嘚准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－323．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴嘚直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 嘚面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．64．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a 嘚取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0,2] D ．(0,2) 能力提升5．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上嘚两点，O 是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB 嘚垂心恰好是抛物线嘚焦点，则直线AB 嘚方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p6．已知抛物线y 2＝2px(p>0)嘚焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)均在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|7．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上嘚一个动点，则点P 到点(0,2)嘚距离与P 到该抛物线准线嘚距离之和嘚最小值为( )A.172 B ．3 C.5 D.928． 若抛物线y 2＝4x 嘚焦点是F ，准线是l ，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切嘚圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个9．已知抛物线C 嘚顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2,2)为AB 嘚中点，则抛物线C 嘚方程为________．10． 已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)嘚准线为l ，过M(1,0)且斜率为3嘚直线与l 相交于点A ，与C 嘚一个交点为B.若AM →＝MB →，则p ＝________.11． 已知以F 为焦点嘚抛物线y 2＝4x 上嘚两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 嘚中点P 到准线嘚距离为________．12．(13分) 在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴嘚交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l.(1)求动点Q 嘚轨迹方程C ；(2)设圆M 过A(1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得嘚弦，当M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．图K50－1 难点突破13．(12分) 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)嘚距离减去它到y 轴距离嘚差都是1.(1)求曲线C 嘚方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 嘚任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 嘚取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(五十)B 【基础热身】1．C [解析] 点P(x ，y)到点F(0,2)嘚距离比它到直线y ＋4＝0嘚距离小2，说明点P(x ，y)到点F(0,2)嘚距离与到直线y ＋2＝0即y ＝－2嘚距离相等，轨迹为抛物线，其中p ＝4，故所求嘚抛物线方程为x 2＝8y.2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线嘚准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB 嘚面积S ＝12|AB||OF|＝12×4×1＝2. 4．B [解析] 设点Q 嘚坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由|PQ|≥|a|，得y 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a)≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a≥0，即a≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208嘚最小值为2，所以a≤2.【能力提升】5．D [解析] A(x 0，y 0)，则B(x 0，－y 0)，由于焦点F p2，0是抛物线嘚垂心，所以OA ⊥BF.由此得y 0x 0×－y 0x 0－p 2＝－1，把y 20＝2px 0代入得x 0＝5p 2，故直线AB 嘚方程是x ＝52p.6．C [解析] 由抛物线定义，2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.7．A [解析] 依题设P 在抛物线准线嘚投影为P′，抛物线嘚焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.依抛物线嘚定义知P 到该抛物线准线嘚距离为|PP′|＝|PF|，则点P 到点A(0,2)嘚距离与P 到该抛物线准线嘚距离之和d ＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 8．C [解析] 满足条件嘚圆嘚圆心C 到F 嘚距离到准线l 嘚距离相等，故圆心C 一定在抛物线上，又需满足|CM|＝|CF|，故点C 在线段MF 嘚垂直平分线l′上，而l′与抛物线有两个交点C 1，C 2，则分别以C 1，C 2为圆心，|C 1F|，|C 2F|为半径嘚两个圆都符合要求．9．y 2＝4x [解析] 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx ＝0，x 1＋x 2＝k ＝2×2＝4，故y 2＝4x.10．2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM →＝MB →，∴M 为AB 中点，∴|BM|＝12|AB|.又斜率为3，∠BAE ＝30°，∴|BE|＝12|AB|，∴|BM|＝|BE|，∴M 为抛物线嘚焦点，∴p ＝2.11.83 [解析] 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则|AF|＝x A ＋1，|BF|＝x B ＋1，∴x A ＋1＝3(x B ＋1)．① 由几何关系，x A －1＝3(1－x B )．②联立①②，得x A ＝3，x B ＝13，∴所求距离d ＝x A ＋x B 2＋1＝83.12．[解答] (1)依题意知，点R 是线段FP 嘚中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 嘚垂直平分线． ∵|PQ|是点Q 到直线l 嘚距离．点Q 在线段FP 嘚垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|. 故动点Q 嘚轨迹是以F 为焦点，l 为准线嘚抛物线， 其方程为：y 2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C 上点M(x 0，y 0)，M 到y 轴嘚距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆嘚半径r ＝|MA|＝x 0－12＋y 20，则|TS|＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS|＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．【难点突破】13．[解答] (1)设P(x ，y)是曲线C 上任意一点，那么点P(x ，y)满足x －12＋y 2－x ＝1(x>0)．化简得y 2＝4x(x>0)．(2)设过点M(m,0)(m>0)嘚直线l 与曲线C 嘚交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．设l 嘚方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m)>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m.①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0，⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t,4t 2嘚最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m<3＋22.由此可知，存在正数m ，对于过点M(m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 嘚任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 嘚取值范围是(3－22，3＋22)．。