【步步高】2016高考数学大一轮复习 9.2直线与直线的位置关系学案 理 苏教版

人教版高一(下)学期3月份质量检测化学试题含答案一、选择题1．以高硫铝土矿(主要成分为Al2O3、Fe2O3、SiO2，少量FeS2和金属硫酸盐)为原料，生产氧化铝并获得Fe3O4的部分工艺流程如下，下列说法不正确．．．的是( )A．焙烧时产生的SO2气体可以用NaOH溶液吸收B．滤液中的铝元素主要以AlO2-存在，可以往滤液中通入过量二氧化碳，经过滤、灼烧生产氧化铝C．可以将少量Fe3O4产品溶于稀硫酸中，再滴入酸性高锰酸钾溶液，若溶液褪色则证明产品中含有FeOD． Fe2O3与FeS2混合后在缺氧条件下焙烧生成Fe3O4和SO2，理论上完全反应消耗的n(FeS2)：n(Fe2O3)=1：16【答案】C【分析】高硫铝土矿(主要成分为Al2O3、Fe2O3、SiO2，少量FeS2和金属硫酸盐)粉碎后通入空气、加入氧化钙焙烧，其中氧化钙和二氧化硫反应生成亚硫酸钙，和二氧化硅反应生成硅酸钙，得到产物加入氢氧化钠溶液碱浸其中氧化铝溶解生成偏铝酸钠溶液，经操作Ⅰ得到的固体中含大量的Fe2O3，Fe2O3与FeS2混合后在缺氧条件下焙烧生成Fe3O4和SO2，以此解答该题。

【详解】A．二氧化硫可与氢氧化钠溶液反应而被吸收，避免污染环境，A正确；B．向“过滤”得到的滤液中通入过量CO2，可以将AlO2-转化为Al(OH)3，灼烧可生成氧化铝，B正确；C．Fe3O4产品溶于稀硫酸中，可生成硫酸亚铁，可与酸性高锰酸钾溶液反应，不能证明产品中含有FeO，C错误；D．“过滤”得到的滤渣中含大量的Fe2O3，Fe2O3与FeS2混合后在缺氧条件下焙烧生成Fe3O4和SO2，设有x mol Fe2O3和y mol FeS2完全参加反应，根据电子得失守恒：2x×(3-8 3)=2y×5+y×(83-2)，解得xy=16，所以理论上完全反应消耗的n(FeS2)：n(Fe2O3)=1：16，D正确；故合理选项是C。

第2讲 两直线的位置关系1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系2.1．两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( )A ．(25，95)B ．(－25，95)C ．(25，－95)D ．(－25，－95)答案：B 2．(2015·天津模拟)若直线y ＝2x 与kx ＋y ＋1＝0垂直，则实数k ＝________．答案：121．辨明三个易误点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ∈R ，且n ≠C )． [做一做]3．点(1，1)到直线x ＋2y ＝5的距离为( )A.55B.855C.355D.255答案：D4．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0 答案：A考点一__两条直线平行与垂直__________________(1)“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2015·河北保定调研)与直线x ＋4y －4＝0垂直，且与抛物线y ＝2x 2相切的直线方程为________．[解析] (1)当a ＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a ＝2或者a ＝－1.故“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的充分不必要条件．(2)所求直线与直线x ＋4y －4＝0垂直，故所求直线斜率为4.由题意知：y ′＝4x ＝4，∴x ＝1，从而y ＝2，即切点为(1，2)，故所求直线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. [答案] (1)C (2)4x －y －2＝0[规律方法] 两直线平行、垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． (2)已知两直线的一般方程两直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0中系数A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2与垂直、平行的关系：A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2；A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0⇔l 1∥l 2.1.已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值． 解：(1)法一：当a ＝1时， 直线l 1的方程为x ＋2y ＋6＝0，直线l 2的方程为x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－3，直线l 2的方程为x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线的方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． 法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0； 由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，因此l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)法一：当a ＝1时，直线l 1的方程为x ＋2y ＋6＝0，直线l 2的方程为x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立．当a ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－3，直线l 2的方程为x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2.当a ≠1且a ≠0时，直线l 1的方程为y ＝－a2x －3，直线l 2的方程为y ＝11－ax －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二：由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.考点二__两条直线的交点______________________求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即P (0，2)．∵l ⊥l 3，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.[规律方法] (1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)常见的三大直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2.已知直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0，分别求满足下列条件的k 的值：(1)l 1，l 2，l 3相交于一点； (2)l 1，l 2，l 3围成三角形．解：(1)直线l 1，l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，即直线l 1，l 2的交点为P (－1，－2)．又点P 在直线l 3上，所以－1－2k ＋k ＋12＝0，解得k ＝－12.(2)由(1)知k ≠－12.当直线l 3与l 1，l 2均相交时，有⎩⎪⎨⎪⎧2k －3≠0k ＋1≠0，解得k ≠32且k ≠－1，综上可得k ≠－12，且k ≠32，且k ≠－1.考点三__距离公式(高频考点)__________________距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标．(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．[解析] (1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得，0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]．(2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以|c 2＋1|32＋（－2）2＝21313，因此c ＝2或－6.[答案] (1)[0，10] (2)2或－6 [规律方法] 距离的求法： (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．3.(1)平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________．(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解析：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)，则d ＝|－2－c |32＋42＝1，∴c ＝3或c ＝－7，即所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0. 答案：3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0 (2)解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或(277，－87)．考点四__对称问题____________________________已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又∵m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称直线l ′的方程． 解：直线l 与l ′平行，设l ′的方程为2x －3y ＋c ＝0，因为点到两直线距离相等． 则|－2＋2×3＋1|22＋（－3）2＝|－2＋2×3＋c |22＋（－3）2，解得c ＝1(舍去)，c ＝－9，∴直线l ′的方程为2x －3y －9＝0.[规律方法] (1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法： ①点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A （x 1＋x 22）＋B （y 1＋y 22）＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·（－AB ）＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．4.直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________．解析：法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， ∴两直线平行，∴－12＝－a4，∴a ＝2.又点A 到两直线距离相等， ∴|1－3|5＝|2＋b |25，∴|b ＋2|＝4，∴b ＝－6或b ＝2. ∵点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， ∴两直线不能重合，∴b ＝2.法二：在直线x ＋2y －3＝0上任取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，则P 1、P 2关于点A 的对称点P 1′、P 2′都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上． ∵易知P 1′(1，－1)、P 2′(－1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0， ∴b ＝2. 答案：2交汇创新——直线和不等式的交汇(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．[解析] ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0，0)，B (1，3)．当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．[答案] 5[名师点评] 1.本题是直线与不等式的交汇，把直线问题和基本不等式进行结合，体现了当今数学命题的新动向，其解题思路是利用图形找出关系式|AP |2＋|BP |2＝|AB |2，再利用基本不等式求解．2．直线方程还可以与集合、向量、概率等知识交汇．1.(2015·湖北八市联考)已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2解析：选A.集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0，因为M ∩N ＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax ＋2y ＋a ＝0与直线3x －y －3＝0相交于点A (2，3)．因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.2．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则复数P 1＋P 2i 所对应的点P 与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A ．P 在直线l 2上B ．P 在直线l 2的左下方C ．P 在直线l 2的右上方D ．无法确定解析：选B.易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：①a ＝1，b ＝2(此时两条直线重合)，②a ＝2，b ＝4(此时两条直线平行)，③a ＝3，b ＝6(此时两条直线平行)，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，两条直线平行的概率P 1＝236＝118，则P 1＋P 2i 所对应的点P 为(118，1112)，易判断点(118，1112)在直线l 2：x ＋2y ＝2的左下方．1．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23 B ．－1 C ．2 D ．－1或2解析：选A.由a ×1＋(a －1)×2＝0，∴a ＝23.2．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1，1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3，0) B ．(－3，0) C ．(0，－3) D ．(0，3)解析：选D.∵l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过点(－1，1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得：y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，∴P 点坐标为(0，3)． 3．(2015·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0解析：选D.由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.4．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 解析：选A.∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.5．若向量a ＝(k ＋2，1)与向量b ＝(－b ，1)共线，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1，2) C ．(－1，2) D ．(－1，－2)解析：选A.因为向量a ＝(k ＋2，1)与向量b ＝(－b ，1)共线，则k ＋2＝－b ，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．6．(2015·昆明三中、玉溪一中统考)已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则线段AB 的长为________．解析：依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )、B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝02x ＋y ＝10，则A (4，8)、B (－4，2)，∴|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10. 答案：10 7．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝08．设直线l 经过点A (－1，1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ， 当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32，∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 答案：3x －2y ＋5＝09．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4，5)关于直线l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95y ′＝3x ＋4y ＋35.③④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④，得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4，5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2，7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于直线l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：选A.依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得中点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.2．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.3．已知点A (1，3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2，1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB 的中点(－12，2)在直线y ＝kx ＋b 上，故⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－12＝k ·（－12）＋b，解得k ＝－32，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54.令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝56，故直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距为56.答案：564．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0，1，2.答案：0，1，25．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－(a 2＋12)2＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝|a ＋1a|≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.6．(选做题)A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0，400)，点B (a ，100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300，由勾股定理得BC ＝400，∴B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400. 令y ＝0，得x ＝320，即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

高考数学一轮复习《直线与直线的位置关系》学案（一）平面内两条直线的位置关系有三种________、1、当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行重合相交(垂直)2、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系、（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1、P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________、2、直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By ＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为、典型例题例1、已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值、解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=--3,l2:y=-(a+1),l1∥l2，解得a=-1, 综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行、方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-16≠0, ∴l1∥l2a=-1, 故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行、（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立、当a≠1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由=-1a=、方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=、（4）当－ =－且5= 时，即a=2且b=10或a= －2且b=－10时，两直线重合例2、已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l 的方程、解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在、设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)、则tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x ＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0变式训练2、某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=、试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？解如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）、直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=、设点P的坐标为（x,y），则P（x, ）(x＞200)、由经过两点的直线的斜率公式kPC=,kPB=、由直线PC到直线PB的角的公式得tan∠BPC== (x＞200)、要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,当且仅当x=时上式取得等号、故当x=320时，tan∠BPC最大、这时，点P的纵坐标y为y==60、由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大、故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大、例3、直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状、解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4,2)关于直线y＝2x 对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则得即A1(4, －2)由A1(4, －2)，B(3,1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBCkAC＝－1，即△ABC是直角三角形变式训练3、三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。

第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系斜截式 一般式方 程 y ＝k 1x ＋b 1 y ＝k 2x ＋b 2 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)相 交 k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2≠0时，记为A 1A 2≠B 1B 2垂 直k 1＝－1k 2或k 1k 2＝－1 A 1A 2＋B 1B 2＝0⎝⎛⎭⎫当B 1B 2≠0时，记为A 1B 1·A 2B 2＝－1 平 行k 1＝k 2 且b 1≠b 2⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 2C 1－B 1C 2≠0或⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 22．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．『试一试』1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 『解析』：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.『答案』：22．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不必要也不充分”)．『解析』：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.『答案』：充要1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． 『练一练』1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．『解析』：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.『答案』：(－4，－3)2．已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．『解析』：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.『答案』：3x ＋2y －1＝0考点一两直线平行与垂直1．(2014·镇江期末)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.『解析』：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，所以有2a ＋3(a －1)＝0，所以a ＝35.『答案』：352．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知m 为实数，直线l 1：mx ＋y ＋3＝0，l 2：(3m －2)x ＋my ＋2＝0，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』：由两直线平行可得m 2－(3m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.将m ＝1代入可得l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋2＝0，易知l 1与l 2不重合；将m ＝2代入可得l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：4x ＋2y ＋2＝0，易知l 1与l 2不重合，故两直线平行的充要条件为m ＝1或m ＝2，故m ＝1是其成立的充分不必要条件．『答案』：充分不必要3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．『解析』：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 『答案』：4x ＋3y －6＝0『备课札记』 『类题通法』充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．考点二距离问题『典例』 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.『备课札记』 『类题通法』1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．『针对训练』与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是__________________． 『解析』：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.『答案』：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0考点三对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：1点关于点的对称； 2点关于线对称； 3线关于线对称； 4对称问题的应用.再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在『角度二』的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.『备课札记』『类题通法』处理对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．『课堂练通考点』1．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.『解析』：由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1. 『答案』：－12．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝________. 『解析』：由a ×1＋(a －1)×2＝0 ∴a ＝23.『答案』：233．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 『解析』：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.『答案』：x ＋2y －3＝04. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 『解析』：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得，0≤a ≤10， 所以a ∈『0,10』． 『答案』：『0,10』5．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0. ①又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0 ② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，b ＝a 1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋4a －1a＝0， (a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.。

§9.2 两条直线的位置关系2014高考会这样考 1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．复习备考要这样做 1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．1． 两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2． 两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3． 三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.[难点正本 疑点清源]1． 两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑．2． 与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.1． 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．答案 －4解析 因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4. 2． 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.答案 1解析 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. 3． 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________________．答案 x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0解析 设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝ 2.∴|c ＋1|＝2，即c ＝1或c ＝－3.4． 过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.5． 若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A.52 B.25C ．10D ．－10答案 D解析 ∵a －03－－＝－2，∴a ＝－10.题型一 两条直线的平行与垂直例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形． 解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0， ∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a a －－1×2＝0，aa 2－－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－，⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.探究提高 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.(2)当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，由m 2＝8m ≠n－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －8×2＝0，－－n ·m ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 题型二 两条直线的交点问题例2 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．思维启迪：可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解 方法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝05x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.方法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过A (－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.题型三 距离公式的应用例3 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0 (a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0.且l 1与l 2的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．思维启迪：(1)由l 1与l 2的距离构建方程求a ；(2)假设存在点P ，并设出其坐标，根据条件建立方程求解并作出判断．解 (1)∵l 1：4x －2y ＋2a ＝0 (a >0)，l 2：4x －2y －1＝0， ∴两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝|2a ＋1|25，由已知，可得|2a ＋1|25＝7510.又a >0，可解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(x ，y )，由条件①，可知x >0，y >0. 由条件②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －y ＋3|5＝|4x －2y －1|45，5·|2x －y ＋3|5＝2·|x ＋y －1|2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4|2x －y ＋3|＝|4x －2y －1|，|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，于是可得，4|x ＋y －1|＝|4x －2y －1|， 也就是4(x ＋y －1)＝4x －2y －1， 或4(x ＋y －1)＝－4x ＋2y ＋1， 解得y ＝12，或8x ＋2y －5＝0.当y ＝12时，代入方程|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，解得x ＝－3<0或x ＝－23<0，均舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，化简得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0x －2y ＋4＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝03x ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝19y ＝3718或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23<0y ＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718.探究提高 (1)在应用两条直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x 、y 的系数必须相同．(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解 设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.对称变换思想的应用典例：(12分)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．审题视角 (1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l 对称．(2)对称点的连线被对称轴垂直平分． 规范解答解 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2)．[2分]又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.[4分]而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.[6分]由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.[8分]根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.[12分] 方法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，[4分] 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，[6分]由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－y ＋y＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，[10分]代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[12分]温馨提醒 (1)综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法求解是本题的关键．(2)构建方程解方程组是本题的又一重要方法．(3)坐标转移法是对称变换中常用的方法之一．(4)本题的易错点，一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，亦即找不到解决问题的突破口．方法与技巧1． 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2． 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法． 失误与防范1． 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2． 在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0答案 A解析 由题意知，直线l 的斜率为－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0.2． (2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．3． 从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4． 已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若不同两点 P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________． 答案 －1解析 由题可知k PQ ＝3－a －b3－b －a＝1，又k l k PQ ＝－1⇒k l ＝－1.6． 若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．答案 1解析 由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1.7． 若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________． 答案 ①⑤解析 两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．三、解答题(共22分)8． (10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2的交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)．即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k2，解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.9． (12分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a ＋b (a －1)＝0，∴b ＝a 1－a ， 故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋a －a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C 解析 由a sin A ＝b sin B，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直．2． 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5 答案 A解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.3． 过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0答案 A解析 所求直线与直线OA 垂直，∵k OA ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．答案 18解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.5． 一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．答案 x －2y ＋7＝0解析 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b ＋22－5＝0b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝5，∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0. 6． 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案 12解析 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x 2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab 2， 所以1≥2ab 2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 三、解答题7． (13分)如图，函数f (x )＝x ＋2x 的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．(1)证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0)．则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1. (2)解 直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 的最小值为1＋ 2.。