全国各地中考数学真题汇编：四边形(word版含答案)

全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题一、选择题1. （2011重庆江津区，10，4分）如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +错误！未找到引用源。

④四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +错误！未找到引用源。

．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。

专题：规律型。

分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5 的周长；④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．2. （2011重庆市，9，4分）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ②④D.③④考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO ，即可求得①错误； ②易证△AOE ≌△COF ，即可求得EO=FO ；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM ∽△EBN ；④易证△EAO ≌△FCO ，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证△AOE ≌△COF 是解题的关键．3. （2010重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 9题图BA ．1B ．2C ．3D ．4 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．4. （2011山东省潍坊， 11，3分）己知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ．∠BCD=90°，BC=CD=2AD ，E 、F 分别是BC 、CD 边的中点．连接BF 、DF 交于点P ．连接CP 并延长交AB 于点Q ，连揍AF ，则下列结论不正确．．．的是( )． A ．CP 平分∠BCDB ．四边形ABED 为平行四边形C ，CQ 将直角梯形ABCD 分为面积相等的两部分D ．△ABF 为等腰三角形A B C DFEG10题图【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；几何综合题．【分析】本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确；易证△BCF≌△DCE （SAS），得∠FBC=∠EDC，∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正确；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．5.（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A、9cmB、14cmC、15cmD、18cm考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。

中考数学试卷大汇编---四边形一、填空题： 1．（06.徐州）如图2，四边形ABCD 是用四个全等的等腰梯形拼成的，则∠A = °．2．（06.苏州）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的一点．若再增加一个条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿，就可推得BE=DF3．（06.盐城）已知平行四边形ABCD 的面积为4，O 为两对角线的交点，则△AOB 的面积是 .4．（06.扬州）若梯形的面积为122cm ，高为3cm ，则此梯形的中位线长为 cm ． 5. （06.泰州）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，AB=CD=2，BC=3，则∠B= 度． 6．（06.泰州）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律 ．7．（06.宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．（结果可用根号表示）8(2007南通)．如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．(1)请在所给的网格内画出以线段AB 、BC 为边的菱形ABCD ； (2)填空：菱形ABCD 的面积等于________________．9(2007盐城)．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为 。

ABC(第8题图)（第7题）第19题图…… ……211= 2363+= 26104+= 2132+= （图2） AB C D10(2007镇江)．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC 的长为 ．11(2007镇江)．如图，菱形ABCD 的对角线相交于O ，AC=8，BD=6，则边AB 的长为_______。

12(08常州).若将棱长为2的正方体切成8个棱长为1的小正方体,则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的_______倍; 若将棱长为3的正方体切成27个棱长为1的小正方体,则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的_______倍; 若将棱长为n(n>1,且为整数)的正方体切成n 3个棱长为1的小正方体,则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的_______倍.13(08苏州)．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形， 这个正方形的边长等于 (结果保留根号)．14．（08连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．15．（08淮安）如图，点O （0，0)，B(0，1)是正方形OBB 1C 的两个顶点，以对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，再以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 1，……，依次下去．则点B 6的坐标是________________． ① ② ③ ④（第14题图）……16．（08盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ． 17．（08盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ．18．（08扬州）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6㎝，sinA=53，则菱形ABCD 的面积是__________㎝2。

四边形(填空+选择40题)一、选择题1.已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】:D2.下列命题正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等D. 正方形的对角线互相垂直平分【答案】:D3.如图,将矩形沿对角线折叠,点落在处, 交于点,已知,则的度为（）A. B. C. D.【答案】:D4.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

A. B. 2 C. D. 4【答案】:A5.如图,在中, , 的半径为3,则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】:C6.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是（）A. B.C. D.【答案】:C7.如图,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若∠AGE=32°,则∠GHC等于（）A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】:D8.下列命题,其中是真命题的为（）A. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 一组邻边相等的矩形是正方形【答案】:D9.如图,点是正方形的边上一点,把绕点顺时针旋转到的位置,若四边形的面积为25, ,则的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】:D10.□ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF【答案】:B11.在中,若与的角平分线交于点,则的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】:B12.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE．若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.20°【答案】:B13.如图,在ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

（6）四边形及多边形——2022年中考数学真题专项汇编1.【2022年安徽】两个矩形的位置如图所示，若1α∠=，则2∠=( )A.90α-︒B.45α-︒C.180α︒-D.270α︒-2.【2022年重庆A 】如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°3.【2022年湖北恩施州】如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，10AD =cm ，8BC =cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是( )A.当4t =s 时，四边形ABMP 为矩形B.当5t =s 时，四边形CDPM 为平行四边形C.当CD PM =时，4t =sD.当CD PM =时，4t =或6s4.【2022年河南】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点.若3OE =，则菱形ABCD 的周长为( )A.6B.12C.24D.485.【2022年浙江绍兴】如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点.下列四种说法： ①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF .其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.46.【2022年山东青岛】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中ABC ∠的度数是__________︒.7.【2022年江西】正五边形的外角和为________度.8.【2022年北京】如图，在矩形ABCD 中，若3AB =，5AC =，14AF FC =，则AE 的长为_______.9.【2022年天津】如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于___________.10.【2022年北京】如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE CF=.（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若BAC DAC∠=∠，求证：四边形EBFD是菱形.11.【2022年山东青岛】如图，在四边形ABCD中，//AB CD，点E，F在对角线BD上，==，90BE EF FD∠=∠=︒.BAF DCE（1）求证：ABF CDE△△；≅（2）连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.条件①：30∠=︒；ABD条件②：AB BC=.（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）12.【2022年山东济宁】如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使EF AE=，连接BF，DF.（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果10BF=，求矩形ABCD的面积.AB=，613.【2022年天津】将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O，点(3,0)A，点(0,6)C，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且30=.OPQ∠=︒，点O的对应点O'落在第一象限.设OQ t（Ⅰ）如图①，当1∠'的大小和点O'的坐标；t=时，求O QA（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O Q'，O P'分别与边AB相交于点E，F，试用含有t 的式子表示O E'的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）.14.【2022年江苏盐城】【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法.图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线.在ABC△的三边为一边的正∠=︒，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt ABCACB△中，90方形.延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M.（1）证明：AD LC=；（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理.【迁移拓展】（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以ABC△的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和.若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由.15.【2022年河南】综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图（1）中一个30°的角：___________.（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下.将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.①如图（2），当点M在EF上时，MBQ∠=__________°.∠=____________°，CBQ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图（3），判断MBQ∠的数量∠与CBQ关系，并说明理由.（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当1cmFQ=时，直接写出AP的长.答案以及解析1.答案：C解析：如图.1903∠=︒+∠，3902∠=︒-∠，190902∴∠=︒+︒-∠，21801180α∴∠=︒-∠=︒-.2.答案：C 解析：四边形ABCD 为正方形，45BAC ∴∠=︒，AB DA =，90DAF B ∠=∠=︒.又AF BE =，DAF ABE ∴≅△△，ADF BAE ∴∠=∠.AE 平分BAC ∠，122.52BAE BAC ∴∠=∠=︒，22.5ADF ∴∠=︒，9022.567.5CDF ∴∠=︒-︒=︒，故选：C. 3.答案：D解析：根据题意，可得DP t =，BM t =，10AD =cm ，8BC =cm ，10AP t ∴=-，8CM t =-，当四边形ABMP 为矩形时，AP BM =，即10t t -=，解得5t =，故A 选项不符合题意； 当四边形CDPM 为平行四边形，DP CM =，即8t t =-，解得4t =，故B 选项不符合题意； 当CD PM =时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，此时CM PD =，即8t t -=，解得4t =，②四边形CDPM 是等腰梯形，过点M 作MG AD ⊥于点G ，过点C 作CH AD ⊥于点H ，如图所示：则90MGP CHD ∠=∠=︒，PM CD =，GM HC =，(HL)MGP CHD ∴≅△△，GP HD ∴=，(8)102t t AG AP GP t --=+=-+，又BM t =，(8)102t t t t --∴-+=，解得6t =，综上，当CD PM =时，4t =s 或6s ，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意，故选：D.4.答案：C解析：四边形ABCD 为菱形，AB BC CD AD ∴===，OB OD =.又EC ED =，26BC OE ∴==，4624ABCD C ∴=⨯=菱形，故选：C.5.答案：C解析：连接AC ，MN ，且令AC ，MN ，BD 相交于点O ，四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =.BE DF =.OE OF ∴=，只要OM ON =，那么四边形MENF 就是平行四边形，点E ，F 是BD 上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN EF =，OM ON =，则四边形MENF 是矩形，点E ，F 是BD 上的动点，∴存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN EF ⊥，OM ON =，则四边形MENF 是菱形，点E ，F 是BD 上的动点，∴存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN EF =，MN EF ⊥，OM ON =，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C.6.答案：60解析：如图，BAD BAE DAE ∠=∠=∠，360BAD BAE DAE ∠+∠+∠=︒，120BAD BAE DAE ∴∠=∠=∠=︒，//BC AD ，18012060ABC ∴∠=︒-︒=︒.故答案为：60.7.答案：360解析：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°.故答案为：360°.8.答案：1解析：90ABC ∠=︒，4BC ∴==.//AD BC ，AEF CBF ∴△△，14AE AF CB CF ∴==，114144AE BC ∴==⨯=.9. 解析：点E 为AB 的中点，1AE EB ∴==.如图，过点C 作AB 的垂线，垂足为点H .在菱形ABCD中，//AD BC ，60CBH DAB ∴∠=∠=︒，112BH BC ∴==，CH BC ==EB BH ∴=.连接BF ，EF FC =，//FB CH ∴，12FB CH =90FBE ∴∠=︒，AF ∴==连接BD ，则ABD △是等边三角形，DE AB ∴⊥，//GE FB ∴，∴点G 是AF 的中点，12GF AF ∴==10.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，OB OD ∴=，OA OC =.又AE CF =，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，∴四边形EBFD 是平行四边形.（2）四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，ACB DAC ∴∠=∠.又BAC DAC ∠=∠，ACB BAC ∴∠=∠，BA BC ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，即EF BD ⊥.由（1）知四边形EBFD 是平行四边形， ∴四边形EBFD 是菱形.11.答案：（1）证明见解析（2）见解析解析：（1）证明：BE FD =， BE EF FD EF ∴+=+，即BF DE =，//AB CD ，ABF CDE ∴∠=∠，又90BAF DCE ∠=∠=︒，()AAS ABF CDE ∴≅△△；（2）解：若选择条件①：四边形AECF 是菱形，由（1）得，ABF CDE ≅△△， AF CE ∴=，AFB CED ∠=∠， //AF CE ∴，∴四边形AECF 是平行四边形，90BAF ∠=︒，BE EF =，12AE BF ∴=， 90BAF ∠=︒，30ABD ∠=︒， 12AF BF ∴=， AE AF ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形.若选择条件②：四边形AECF 是菱形，连接AC 交BD 于点O ，由（1）得，ABF CDE ≅△△，AF CE ∴=，AFB CED ∠=∠，//AF CE ∴，∴四边形AECF 是平行四边形，AO CO ∴=，AB BC =，BO AC ∴⊥，即EF AC ⊥，∴平行四边形AECF 是菱形.12.答案：（1）证明见解析（2）2003解析：（1）证明：连接OF .AE EF =，DOA FOD ∴∠=∠.AO FO =，DO DO =，(SAS)DAO DFO ∴≅△△. DAO DFO ∴∠=∠.矩形ABCD ，90DAO ∴∠=︒.90DFO ∴∠=︒.∴DF 与半圆相切.（2）解：连接AF .AO FO =，DOA DOF ∠=∠，DO AF ∴⊥.AB 为半圆直径，90AFB ∴∠=︒.BF AF ∴⊥.//DO BF ∴.AOD ABF ∴∠=∠.90OAD AFB ∠=∠=︒，AOD FBA ∴△△.AO DO BF AB ∴=.5610DO ∴=.253DO ∴=.在Rt AOD △中，203AD ==. ∴矩形ABCD 的面积为202001033⨯=.13.答案：（Ⅰ）60O QA ∠='︒，32⎛ ⎝⎭（Ⅱ）36O E t '=-，其中t 的取值范围是23t <<（Ⅲ）3，103.（答案不唯一，满足3t ≤< 解析：（Ⅰ）在Rt POQ △中，由30OPQ ∠=︒，得9060OQP OPQ ∠=︒-∠=︒. 根据折叠，知O Q OQ '=，60O QP OQP '∠=∠=︒.180O QA O QP OQP ''∠=︒-∠-∠，60O QA '∴∠=︒.如图，过点O '作O H OA '⊥，垂足为点H ，则90O HQ '∠=︒.在Rt O HQ '△中，9030QO H O QA ''∠=︒-∠=︒.由1t =，得1OQ =，则1O Q '=. 由1122QH O Q '==，222O H QH O Q ''+=， 得32OH OQ QH =+=，2232O H O Q QH ''=-=，∴点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭. （Ⅱ）点(3,0)A ，3OA ∴=.又OQ t =，3QA OA OQ t ∴=-=-.同（Ⅰ）知，O Q t '=，60O QA ∠='︒.四边形OABC 是矩形，90OAB ∴∠=︒.在Rt EAQ △中，9030QEA EQA ∠=-∠=︒︒，12QA QE ∴=， 22(3)62QE QA t t ∴==-=-.又O E O Q QE =''-，36O E t ∴=-'，其中t 的取值范围是23t <<.（Ⅲ）过点O '作O H x '⊥轴于点H ，则2t QH =，故32OH t =. 设折叠后重合部分的面积为S .当3032t <≤，即02t <≤时，2O PQ OPQ S S S '==<△△.当23t <<时，221(36)3)2O PQ EFO PQEF S S S S t t ''==-=-⋅-=-+四边形△△故S <当3t ≤<S 不变，始终为综上，当3t ≤<14.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析（4）图见解析解析：（1）证明：由正方形ADEB 可得90BAD ∠=︒，AD AB =， 由正方形ACHI 可得90ACH CHI ∠=∠=︒，AC CH =.由正方形BFGC 可得90BCG CGF ∠=∠=︒，CB CG =，所以90CHL CGL ∠=∠=︒，又因为90ACB ∠=︒，所以90HCG ∠=︒，所以四边形CGLH 是矩形，所以HL CG CB ==，在ABC △和CLH △中，AC CH =，90ACB CHL ∠=∠=︒，CB HL =， 所以(SAS)ABC CLH ≅△△，所以AB LC =.因为AD AB =，所以AD LC =.（2）证明：因为ABC CLH ≅△△，所以CAB HCL ∠=∠， 又90ACH ∠=︒，所以90ACK HCL ∠+∠=︒，所以90ACK CAB ∠+∠=︒，所以90AKC ∠=︒，所以90BAD AKC ∠=∠=︒，所以//AD LC .因为四边形ACHI 是正方形，所以ACHI S AC HC =⋅正方形，//AC IH ，又//AD LC ，所以四边形ACLM 是平行四边形，ACLM S AC HC =⋅四边形，ACHI ACLM S S =∴正方形四边形.（3）证明：由正方形ADEB 可得//AB DE .又//AD LC ，所以四边形ADJK 是平行四边形，由（2）知，四边形ACLM 是平行四边形，由（1）知，AD LC =，所以ACHI ADJK ACLM S S S ==正方形平行四边形平行四边形，延长EB 交LG 于Q ，同理有BFGC KJEB CBQL S S S ==正方形平行四边形平行四边形，所以ACHI BFGC ADEB ADJK KJEB S S S S S +=+=正方形正方形正方形平行四边形平行四边形， 所以222AC BC AB +=.（4）如图为所求作的平行四边形ADEB .（方法中唯一，合理即可）15.答案：（1）ABP ∠，PBM ∠，MBC ∠，BME ∠（2）①15，15②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析（3）4011cm 或2413cm解析：（2）①15，15.②MBQ CBQ ∠=∠.理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A C ∠=∠=︒. 由轴对称性质，得BM AB =，90BMP A ∠=∠=︒， 90BMQ C ∴∠=∠=︒，BM BC =. 又BQ 是公共边，Rt Rt MBQ CBQ ∴≅△△，MBQ CBQ ∴∠=∠.（3）由翻折的性质知AP PM =，4DF CF ==. 由（2）可知，MBQ CBQ ≅△△，MQ CQ ∴=. 分两种情况讨论.①当点Q 在EF 下方时，如图（1）， 则413MQ CQ ==-=，415DQ =+=，3PQ AP =+，8PD AP =-. 由勾股定理，得222PD DQ PQ +=， 222(8)5(3)AP AP ∴-+=+，4011AP ∴=.②当点Q 在EF 上方时，如图（2），则415MQ CQ ==+=，413DQ =-=，5PQ AP =+，8PD AP =-. 由勾股定理，得222PD DQ PQ +=， 222(8)3(5)AP AP ∴-+=+，2413AP ∴=. 综上所述，AP 的长为4011cm 或2413cm.。

2021全国中考真题分类汇编（四边形）----多边形与平行四边形一、选择题1. （2021•湖南省常德市）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（ ）边形．A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】D【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）×180 ，根据多边形的内角和为1800 ，就得到一个关于n 的方程，从而求出边数．【详解】根据题意得：（n ﹣2）×180=1800，解得：n =12．故选：D ．2. （2021•株洲市）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）A.B. C. D.【答案】B 3. （2021•江苏省连云港）正五边形的内角和是（ ）A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】n 边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角︒︒︒︒ABCDEF AB ABGHI FAI ∠=10︒12︒14︒15︒360︒540︒720︒900︒()2180n -⋅︒和．详解】（7﹣2）×180°=900°．故选D ．4. （2021•江苏省南京市）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，2 【答案】D【解析】【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A 、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B 、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C 、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D 、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D ．5. （2021•江苏省扬州） 如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）A.B. C. D.【答案】D【解析】 【分析】连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∵∠BCD =100°，∴∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∴∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，【AB BC CD DE EA 100BCD ∠=︒A B D E ∠+∠+∠+∠=220︒240︒260︒280︒故选D ．6. （2021•四川省眉山市）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）A ．1：3B ．1：2C ．2：1D ．3：1【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135:45＝3:1．故选：D ．7. (2021•四川省自贡市) 如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，的度数是（ ）A. 72°B. 36°C. 74°D. 88°【答案】A【解析】 【分析】根据正五边形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差即可求解．ACD∠108B BCD ∠=∠=︒AB BC =36BCA BAC ∠=∠=︒【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴，，∴,∴，故选：A ．8. （2021•北京市）下列多边形中，内角和最大的是（ ）DA.B ．C ．D ． 9. （2021•福建省）如图，点F 在正ABCDE 五边形的内部，△ABF 为等边三角形，则∠AFC 等于（ ）CA ．108°B ．120°C ．126°D ．132° 10. （2021•云南省）一个10边形的内角和等于（ ）CA ．1800°B ．1660°C ．1440°D ．1200° 11. （2021•山东省济宁市）如图，正五边形ABCDE 中，∠CAD 的度数为（ ）A ．72°B ．45°C ．36°D ．35°【分析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB 和∠DAE ，108B BCD ∠=∠=︒AB BC =36BCA BAC ∠=∠=︒1083672ACD ∠=︒-︒=︒即可求出∠CAD．【解答】解：根据正多边形内角和公式可得，正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，则∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：C．12.（2021•贵州省铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A. 等边三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C13.（2021•襄阳市）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B14.（2021•绥化市）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A. 八边形B. 九边形C. 十边形D. 十二边形【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.【详解】设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10，故选C.15. （2021•河北省）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO ＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（ ）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化【分析】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED 的高，即可求出正六边形的面积．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD＝（FO +OD ）×AF＝FD ×AF＝10，∴FD ×AF ＝20，DM ＝cos30°DE ＝x ，DF ＝2DM ＝x ， EM ＝sin30°DE ＝，∴S 正六边形ABCDEF ＝S 矩形AFDC +S △EFD +S △ABC＝AF ×FD +2S △EFD＝x •x +2×x •x＝x 2+x 2 ＝20+10＝30，故选：B ．16.（2021•株洲市） 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）A. B. C. D.ABCD E BC 132DCE ∠=︒A ∠=38︒48︒58︒66︒【答案】B17.（2021•山东省泰安市）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的性质，证明△MDB≌△NBD，从而判断①正确；若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，通过证明△BAM≌△CDM可以判断②；过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，通过三角形面积公式可以判断③；若AB＝MN则四边形MNCD是等腰梯形，通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△MDB和△NBD中，，∴△MDB≌△NBD（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正确；②若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②正确；③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，由①可知四边形MBCD是平行四边形，E为BD中点，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴S△ANC＝NC•MG＝•BN•2EH＝BN•EH＝S△BNE，故③正确；④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，∴四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，，∴△MFN≌△DFC（AAS），故④正确．∴正确的个数是4个，故选：D．18.（2021•陕西省）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则（ ）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由锐角三角函数可求解．【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．19.（2021•河北省）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥B，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A．20.（2021•泸州市）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（）A. 61°B. 109°C. 119°D. 122°【答案】C【解析】 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出，根据角平分线的性质得：AE 平分∠BAD 求，再根据平行线的性质得，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴，∴∵AE 平分∠BAD∴ ∵∴故选C ．21. （2021•四川省南充市）如图，点O 是▱ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ，下列结论成立的是（ ）A ．OE ＝OFB ．AE ＝BFC ．∠DOC ＝∠OCD D ．∠CFE ＝∠DEF【分析】证△AOE ≌△COF （ASA ），得OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，进而得出结论．【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AD ∥BC ，180122BAD D ∠=︒-∠=︒DAE ∠AEC ∠//AB CD //AD BC 180********BAD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒111226122DAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒//AD BC 180********AEC DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，又∵∠DOC ＝∠BOA ，∴选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确，故选：A ．22. （2021•天津市）如图，的顶点A ，B ，C 的坐标分别是，则顶点D 的坐标是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 平行四边形，点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，∴点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，∴A 到D 也应向右移动4个单位长度，∵点A 的坐标为(0，1)，则点D 的坐标为(4，1)，故选:C ．23. （2021•湖北省恩施州）如图，在▱ABCD 中，AB ＝13，AD ＝5，AC ⊥BC ，则▱ABCD ABCD Y ()()()2,0,1,2,2,2---()4,1-()4,2-()4,1()2,1是的面积为（ ）A．30B．60C．65D．【分析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然后根据平行四边形的面积计算公式求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形．∴AC＝＝＝12．∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．故选：B．24.（2021•湖北省荆门市）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．65°C．75°D．85°【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH 是等腰直角三角形，∴∠FHE ＝45°，∴∠NHB ＝∠FHE ＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB ＝180°﹣∠1﹣∠NHB ＝105°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠2+∠HNB ＝180°，∴∠2＝75°，故选：C ．25.（2021•山东省威海市） 如图，在平行四边形ABCD 中，AD-3，CD=2．连接AC ，过点B 作BE ∥AC ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，则四边形ABEC 的面积为（ ）B.C. 6D.【答案】B【解析】 【分析】先证明四边形ABEC 为矩形，再求出AC ，即可求出四边形ABEC 的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD =2，BC =AD =3，∠D =∠ABC ，∵，是//BE AC∴四边形ABEC 为平行四边形，∵，∴，∵∠AFC =∠ABF +∠BAF ，∴∠ABF =∠BAF ，∴AF =BF ，∴2AF =2BF ，即BC =AE ，∴平行四边形ABEC 是矩形，∴∠BAC =90°，∴,∴矩形ABEC 的面积为故选：B26.（2021•浙江省衢州卷）如图，在中，，，，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，连结DE ，EF ，则四边形ADEF 的周长为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】B27.（2021•贵州省贵阳市）如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ，若AB ＝3，AD ＝4，则EF 的长是（ ）2AFC D ∠=∠2AFC ABC ∠=∠AC ===AB AC =g ABC V 4AB =5AC =6BC =A ．1B ．2C ．2.5D ．3【分析】根据平行四边形的性质证明DF ＝CD ，AE ＝AB ，进而可得AF 和ED 的长，然后可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝5，∴∠DFC ＝∠FCB ，又∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCF ＝∠FCB ，∴∠DFC ＝∠DCF ，∴DF ＝DC ＝3，同理可证：AE ＝AB ＝3，∵AD ＝4，∴AF ＝5﹣4＝1，DE ＝4﹣3＝1，∴EF ＝4﹣1﹣1＝2．故选：B ．28.（2021•湖南省娄底市）如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（ ）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形 【答案】A【解析】【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状． ,E F ABCD BD BE DFAECF【详解】解：由题意：，，又，，，，四边形为平行四边形，故选：A ．二．填空题1. （2021•湖北省黄冈市）正五边形的一个内角是 108　度．【分析】因为n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．【解答】解：（5﹣2）•180＝540°，540÷4＝108°．2. （2021•陕西省）正九边形一个内角的度数为 140°　．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n ﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．3. （2021•上海市）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．//,AD BC ADB CBD ∴∠=∠ FDA EBC ∴∠=∠,AD BC BE DF == ()ADF CBE SAS ∴V V ≌AF EC ∴=,//AFD CEB AF EC ∴∠=∠∴∴AECF 30°【解析】【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC 、△CDE、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ⊥AC 、DI ⊥CE、FH ⊥AE ，AI ⊥CE ，在正六边形ABCDEF 中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF 为1，∴△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形， ∵∠ABC =∠CDE =∠EFA =120︒，AB =BC = CD =DE = EF =FA =1，∴∠BAG =∠BCG =∠DCE =∠DEC =∠FAE =∠FEA =30︒，∴BG =DI = FH =， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH ∴AC =AE =，∴由勾股定理得：AI=， ∴S = 30°1232111332222⨯+=4. （2021•新疆） 四边形的外角和等于_______.【答案】360°．5. （2021•浙江省湖州市）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A ，B ，C，D ，E 是正五边形的五个顶点），则图中∠A 的度数是 度．【答案】36【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC ＝∠BAE ＝108°，那么等腰△ABC 的底角∠BAC ＝36°，同理可求得∠DAE ＝36°，故∠CAD ＝∠BAE ﹣∠BAC ﹣∠EAD ＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五个角是36°，可以作为一个常识直接记住．6. （2021•江苏省盐城市）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 9　．【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为40°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．【解答】解：360°÷40°＝9，故答案为：9．7. （2021•广西玉林市）如图、在正六边形中，连接线，，，，，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设．有以下结论：①；②；③重心、内心及外心均是点；④四边形绕点逆时针旋转与四边形重合．则所有正确结论的序号是______．ABCDEF AD AE AC DF DB AC BD M AE DF N MN AD O AB DC G 3AB =MN AD ⊥MN =DAG △的M FACD O 30°ABDE【答案】①②③8. （2021•浙江省衢州卷）如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，BD 交于点F ，则的度数为________．【答案】9. （2021•江苏省扬州）如图，在中，点E 在上，且平分，若，，则的面积为________．【答案】50【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，利用直角三角形的性质求出EF ，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE =∠BEC ，可得BE =BC =10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠EBC =30°，BE =10，AFB∠72︒ABCD Y AD EC BED ∠30EBC ∠=︒10BE =ABCDY∴EF =BE =5， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC =∠BCE ，又EC 平分∠BED ，即∠BEC =∠DEC ，∴∠BCE =∠BEC ，∴BE =BC =10，∴四边形ABCD 的面积===50，故答案为：50．10.（2021•山东省临沂市）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点C 1的坐标是 （4，﹣1）　．【分析】由题意A ,C 关于原点对称，求出点C 的坐标，再利用平移的性质求出点C 1的坐标可得结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD 的对称中心是坐标原点，∴点A ,点C 关于原点对称，∵A (﹣1,1),∴C (1,﹣1),∴将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点C 1的坐标是(4,﹣1),故答案为：（4，﹣1）．11.（2021•山东省菏泽市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，DE ＝2，过点B 作BF ∥AC ，交DE 的延长线于点F ，则四边形ABFD 的面积为 8　．12BC EF ⨯105⨯【分析】由三角形的中位线定理证得DE∥AB，AB＝2DE＝4，进而证得四边形ABFD是平行四边形，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC＝4，得到BE＝2，根据平行四边形的面积公式即可求出四边形ABFD的面积．【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四边形ABFD是平行四边形，∵AB⊥BE，∴S平行四边形ABFD＝AB•BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝4，∴BE＝BC＝2，∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8，故答案为8．12. 6.（2021•浙江省丽水市）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【解析】【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．13.（2021•青海省）如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为　6cm　．【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC•h，可求得h的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，在△ABD和△BCD中∴△ABD≌△BCD（SSS），∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，∴S△ABD＝BD•AE＝×8×3＝12（cm2），∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，设AD与BC之间的距离为h，∵BC＝4cm，∴S四边形ABCD＝AD•h＝4h，∴4h＝24，解得h＝6cm，故答案为：6cm．14.（2021•浙江省嘉兴市）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出BC和OB的长，又AH⊥OB ，可利用等面积法求出AH 的长．【解答】解：如图，∵AB ⊥AC ，AB ＝2，BC ＝2， ∴AC ＝＝2，在▱ABCD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OC ＝，在Rt △OAB 中，OB ＝＝，又AH ⊥BD ，∴OB •AH ＝OA •AB ，即＝， 解得AH ＝． 故答案为：． 15.（2021•黑龙江省龙东地区）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．【答案】【解析】【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴当时，四边形ABCD 为矩形．故答案为：．三、解答题1.（2021•湖北省武汉市）如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，BC 的延长线分别交于点E ，F，求ABCD AC BDABCD 90ABC ∠=︒90ABC ∠=︒90ABC ∠=︒证：∠DEF＝∠F．【分析】由平行线的性质得到∠DCF＝∠B，进而推出∠DCF＝∠D，根据平行线的判定得到AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F．2.（2021•怀化市）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD ＝∠FCB，再根据SAS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到∠E＝∠F，从而可以得到ED∥BF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ，∴∠E ＝∠F ，∴ED ∥BF ．3. 如（2021•岳阳市）图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析4. （2021•宿迁市）在①AE=CF ；②OE=OF ；③BE ∥DF 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 在AC 上，(填写序号)．求证：BE=DF ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】见解析【解析】ABCD AE BD ⊥CF BD ⊥EF AECF AECF //AFCE【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF 后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论．【详解】解：若选②，即OE=OF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵OE=OF，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；若选①，即AE=CF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴OE=OF，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；若选③，即BE∥DF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵BE∥DF；∴∠BEO=∠DFO，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE =DF ；5. （2021•山东省聊城市） 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AO ＝CO ，点E 在BD 上，满足∠EAO ＝∠DCO ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，求四边形AECD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【解析】【分析】（1）根据题意可证明，得到OD ＝OE ，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；（2）根据AB =BC ，AO =CO ，可证明BD 为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD 为菱形，然后根据条件求出DE 的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD 中，∴．∴OD ＝OE ．又∵AO ＝CO ，∴四边形AECD 是平行四边形．（2）∵AB ＝BC ，AO ＝CO ，∴BO 为AC 的垂直平分线，．∴平行四边形 AECD 是菱形．∵AC ＝8，．AOE COD V V ≌EAO DCO AO COAOE COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AOE COD ASA V V ≌BO AC ⊥142CO AC ∴==在 Rt △COD 中，CD ＝5，，∴，， ∴四边形 AECD 的面积为24．6. （2021•湖南省永州市）如图，已知点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，AE ∥BF ．（1）求证：△AEC ≌△BFD ．（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．7.（2021•四川省广元市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，连接AE ，若AE 的延长线和BC 的延长线相交于点F ．（1）求证：BC=CF ；（2）连接AC 和相交于点为G ，若△GEC 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【解析】【分析】（1）根据E 是边DC 的中点，可以得到，再根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；3OD ∴===26DE OD ==11682422AECD S DE AC ∴=⋅=⨯⨯=菱形BE DE CE =ADE ECF ∠∠＝AED CEF ∠=∠ADE ECF V V ≌（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∴，∵点E 为DC 的中点，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，点E 为DC 的中点，∴，，∴，，∴，∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴，∴．CEG ABG V :V 8ABG S =V 12AG AB GC CE ==4BGC S =V ABC ABG BCG S S S =+V V V 12ABC S =△//B AD C AD BC =ADE ECF ∠∠＝DE CE =ADE V ECF △ADE ECF DE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ADE ECF ASA V V ≌AD CF =BC CF =//AB DC 2AB EC =GEC ABG ∠=∠GCE GAB ∠=∠CEG ABG V :V GEC V 221124ABG CEG S AB S CE ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V 4428ABG CEG S S ==⨯=V V CEG ABG V :V 12AG AB GC CE ==118422BGC ABG S S ==⨯=V V 8412ABC ABG BCG S S S =+=+=V V V 221224ABCD ABC S S ==⨯=Y V8. （2021•新疆）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且．求证：（1）；（2）四边形AEFD 是平行四边形．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．9.（2021•浙江省绍兴市）问题：如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，∠DAB ，∠ABC 的平分线AE ，F ，求EF 的长．答案：EF ＝2．探究：（1）把“问题”中的条件“AB ＝8”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“AB ＝8，AD ＝5”去掉，其余条件不变，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求的值．【分析】（1）①证∠DEA ＝∠DAE ，得DE ＝AD ＝5，同理BC ＝CF ＝5，即可求解； ②由题意得DE ＝DC ＝5，再由CF ＝BC ＝5，即可求解；（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图1所示：BE CF ABE DCF △≌△∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；②如图3所示：∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5；（2）分三种情况：①如图3所示：同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴＝；②如图4所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴＝；③如图5所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴＝2；综上所述，的值为或．。

（2022•广东中考）如图，在▱ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD ＝CDB ．AC ＝BD C ．AB ＝CD D ．CD ＝BC【解析】选C ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ＝CD 。

（2022•舟山中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8．点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF ∥AC ，GF ∥AB ，则四边形AEFG 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【解析】选C ．因为EF ∥AC ，GF ∥AB ，所以四边形AEFG 是平行四边形，∠B ＝∠GFC ，∠C ＝∠EFB ，因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，所以∠B ＝∠EFB ，∠GFC ＝∠C ，所以EB ＝EF ，FG ＝GC ，因为四边形AEFG 的周长是AE +EF +FG +AG ，所以四边形AEFG 的周长是AE +EB +GC +AG ＝AB +AC ，因为AB ＝AC ＝8，所以四边形AEFG 的周长是AG +AC ＝8+8＝16。

（2022•泰安中考）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB ．下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE =14S △ABC ，其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】选A ．因为点E 为BC 的中点，所以BC ＝2BE ＝2CE ，又因为BC ＝2AB ，所以AB ＝BE ，因为∠ABC ＝60°，所以△ABE 是等边三角形，所以∠BAE ＝∠BEA ＝60°，（2022•达州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【解析】选B．因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AC，DE=12 AC，A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；B、因为DE＝EF，所以DE=12DF，所以AC＝DF，因为AC∥DF，所以四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；（2022•宜宾中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，D 是BC 上的点，DE ∥AB 交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【解析】选B ．因为DE ∥AB ，DF ∥AC ，所以四边形AFDE 是平行四边形，∠B ＝∠EDC ，∠FDB ＝∠C因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，所以∠B ＝∠FDB ，∠C ＝∠EDF ，所以BF ＝FD ，DE ＝EC ，所以C ▱AFDE ＝AB +AC ＝5+5＝10。

专题12 平行四边形与中位线一．选择题1.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】B【分析】利用平行四边形ABCD 的面积公式即可求解．【详解】解：⊥DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，⊥S 平行四边形ABCD =DE ×AB =2×12×AC ×BF ， ⊥4×6=2×12×8×BF ，⊥BF =3，故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD 的面积公式求垂线段的长是解题的关键． 2．（2022·浙江宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（ ）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】D【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：⊥D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，⊥AE ＝2DF ＝4，⊥AE ＝AD ，⊥AD ＝4，在Rt ⊥ABC 中，D 为斜边AC 的中点，⊥BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题关键是求出AD 的长． 3．（2022·四川眉山）在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16【答案】A【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】⊥D ，E ，F 分别为各边的中点，⊥DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线， ⊥DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，⊥△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 4．（2022·浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，⊥四边形ABCD 是平行四边形⊥OA =OC ，OB =OD⊥BE =DF ⊥OE =OF ⊥点E，F 时BD 上的点，⊥只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形⊥存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是菱形；⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．5．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得⊥BFE =⊥C ，从而得到⊥B =⊥BFE ，进而得到BE =EF ，再据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解⊥⊥EF AC ∥，GF AB ∥，⊥四边形AEFG 是平行四边形，⊥FG =AE ，AG =EF ，⊥EF AC ∥，⊥⊥BFE =⊥C ，⊥AB =AC ，⊥⊥B =⊥C ，⊥⊥B =⊥BFE ，⊥BE =EF ，⊥四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2022·四川达州）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．B F ∠=∠ B ．DE EF =C ．AC CF=D ．AD CF =【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DE ⊥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：⊥在⊥ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，⊥DE 是⊥ABC 的中位线，⊥DE ⊥AC 且DE =12AC ，A 、根据⊥B =⊥F 不能判定CF ⊥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ⊥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ⊥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2022·浙江丽水）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A ．28B ．14C ．10D ．7【答案】B 【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．8．（2022·湖南怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【答案】A【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，⊥这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．9．（2022·四川南充）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠【答案】C 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：⊥多边形ABCDE 是正五边形，⊥该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ⊥5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ⊥ABF 是正三角形，⊥60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，⊥1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；⊥AB AE =，AB AF FB ==，⊥AE AF =，故A 选项正确；⊥60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，⊥F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．10．（2022·湖南湘潭）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：⊥四边形ABCD 为平行四边形，⊥AB ∥CD ⊥⊥DCA ＝⊥CAB ，⊥BCD ∠=⊥DCA +⊥ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒⊥BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．11．（2022·河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 12．（2022·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．平行四边形的对角线互相垂直C ．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D ．三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．13．（2022·河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：⊥多边形的外角和为360︒，⊥△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，⊥0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．14．（2022·河南）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，⊥OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，⊥BC =2OE =6．⊥菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6．15．（2022·山东泰安）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OC AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =，又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．16．（2022·山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题17．（2022·江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________． 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：⊥已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ，⊥12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ⊥第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，⊥AM DM =，AN ND =，⊥MN AD ⊥，⊥MN BC ．⊥AM DM =，⊥MN 是ADC 的中位线，⊥12MP DB '=，12MN DC =． ⊥12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=，⊥()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．18．（2022·江苏连云港）如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________． 【答案】2【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，即可证明⊥CBH =⊥CHB ，得到1CH BC ==，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，⊥⊥ABH =⊥CBH ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥1BC AD AB CD ==∥，，⊥⊥CHB =⊥ABH ，⊥C =180°-⊥ABC =30°，⊥⊥CBH =⊥CHB ，⊥1CH BC ==，⊥12HM CH ==⊥CM ==，⊥BM BC CM =-=⊥BH ==【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．19．（2022·四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：⊥点D 、E 为AC ，BC 的中点，⊥DE 为∆ABC 的中位线，⊥DE =10，⊥AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 20．（2022·湖南株洲）如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】⊥四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ⊥360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°21．（2022·四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=， 12AH AF =设AH x =，则26x x += 解得2x =24BA x ∴==故答案为：4 【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是____ 度．【答案】135【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.23．（2022·江西）正五边形的外角和等于_______◦．【答案】360【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.24．（2020·湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．【答案】6【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．25．（2022·湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，()()()∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯，52180318042180521803603609n解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．26．（2022·浙江台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．27．（2022·湖北荆州）如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使⊥AEG ⊥⊥CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥,F E 所以补充：,AE CF =∴ ⊥AEG ⊥⊥CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．28．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OCEC AO∴==，E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．29．（2022·湖南邵阳）如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【分析】先根据等腰三角形的性质求出⊥ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出⊥2+⊥ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：⊥ABC 是等腰三角形，⊥A =120º，⊥⊥ABC =⊥C =(180º-⊥A )÷2=30º，⊥四边形ODEF 是平行四边形，⊥OF ∥DE ，⊥⊥2+⊥ABE =180º，即⊥2+30º+40º=180º，⊥⊥2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．30．（2022·甘肃武威）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是⊥A =90°，理由如下：⊥AB ⊥DC ，AD ⊥BC ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，又⊥⊥A =90°，⊥平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：⊥A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．31．（2022·山东滨州）如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________． 【答案】25552+ 【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴=∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tanMDC ACB∴∠=∠，即MC ABCD BC=，52MC∴=，在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN===，在Rt ACN中，由勾股定理得252CN==，AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC++≥，AF FE EC ∴++【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题32．（2022·浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC=证明见解析【分析】先由OB＝OD，,OA OC=证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC=证明：⊥OB＝OD，,OA OC=∴四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，⊥四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 33．（2022·浙江温州）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形．(2)当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长． 【答案】(1)见解析【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出FG DE ==(1)解：（1）⊥E ，F 分别是AC ，AB 的中点，⊥EF BC ∥，⊥FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，⊥O 是DF 的中点，⊥FO DO =，⊥()EFO GDO AAS ≌，⊥EF GD =，⊥四边形DEFG 是平行四边形．(2)⊥AD BC ⊥，E 是AC 中点， ⊥12DE AC EC ==，⊥EDC C ∠=∠， ⊥5tan tan 2C EDC =∠=， ⊥52AD DC =， ⊥5AD =，⊥2CD =，⊥1122DE AC ====． ⊥四边形DEFG 为平行四边形，⊥FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．34．（2022·云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，⊥BDF =90°(1)求证：四边形ABDF 是矩形；(2)若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】(1)见解析；(2)18．【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △⊥DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据⊥BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．(1)证明：⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB ⊥CD ，即AB ⊥CF ，⊥⊥BAE =⊥FDE ，⊥E 为线段AD 的中点，⊥AE =DE ，又⊥⊥AEB =⊥DEF ，⊥ABE △⊥DFE △（ASA ），⊥AB =DF ，又⊥AB ⊥DF ，⊥四边形ABDF 是平行四边形，⊥⊥BDF =90°，⊥四边形ABDF 是矩形；(2)解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，⊥AB =DF =3，⊥AFD =90°，⊥在Rt ADF 中，4AF =，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB =CD =3，⊥CF =CD +DF =3+3=6， ⊥()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．35．（2022·四川凉山）在Rt ⊥ABC 中，⊥BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ⊥BC 交CE 的延长线于点F ．(1)求证：四边形ADBF 是菱形；(2)若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）证△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），得△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．(1)证明：⊥E 是AD 的中点，⊥AE =DE⊥AF ∥BC ，⊥⊥AFE =⊥DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥DEC （AAS ），⊥AF =CD ，⊥D 是BC 的中点，⊥CD =BD ，⊥AF =BD ，⊥四边形ADBF 是平行四边形，⊥⊥BAC =90°，⊥D 是BC 的中点，⊥AD =BD =12BC ，⊥四边形ADBF 是菱形；(2)解：连接DF 交AB 于O ，如图 由（1）知：四边形ADBF 是菱形，⊥AB ⊥DF ，OA =12AB =12×8=4， S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，⊥182DF ⨯=40， ⊥DF =10，⊥OD =5，⊥四边形ADBF 是菱形，⊥O 是AB 的中点,⊥D 是BC 的中点，⊥OD 是⊥BAC 的中位线，⊥AC =2OD =2×5=10．答：AC 的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．36．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝ ， EF ＝ ；(2)进一步观察，我们还会发现EF ⊥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ⊥⊥BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案． (1)解：⊥ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．。

2022年全国中考数学真题分类汇编专题12：四边形一．选择题（共18小题）1．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4 ，则OE＝（）A．4B．2 C．2D．2．如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°3．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD 于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A． B． C．2 D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 5．正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（）A．4B．6C．7D．56．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形7．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论错误的是（）A．DF＝CE B．∠BGC＝120°C．AF2＝EG•EC D．AG的最小值为8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．169．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（）A． B． C． D．10．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等11．如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°12．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（）A．3B． 1C．2 1D．213．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2B．4C．6D．814．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）A．900°B．720°C．540°D．360°15．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC EF B． OC＝2EF C．2OC EF D．OC＝EF 16．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形ABCD周长不变B．AD＝CDC．四边形ABCD面积不变D．AD＝BC17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s18．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108°B．109°C．110°D．111°二．填空题（共19小题）19．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB ＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．20．如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为．21．如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O， R ， ，则 ．22．图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是°．23．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）24．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF ，则BD的长为（结果保留根号）．25．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4 ，则四边形CEDF的周长是．26．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）．27．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．28．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为．29．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．30．在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为．31．正六边形的一个外角的度数为°．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．33．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．34．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．35．如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝cm．36．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC 上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F 为CD的中点，则△EGH′的周长是．37．四边形的外角和度数是．三．解答题（共7小题）38．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC 的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y （k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．（1）求证：∠ACB＝∠DFE；（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．40．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，∠BAF ∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°．∴AF AB＝AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】（1）∠DAG的度数为度， 的值为；（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为．（用含a的代数式表示）41．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD ，点M为边AB的中点．动点P从点A 出发，沿折线AD﹣DB以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A 关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，（1）点D到边AB的距离为；（2）用含t的代数式表示线段DP的长；（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．42．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．（1）如图1，当点G在AD上，F在AB（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求 的值为多少；（3）AB＝8 ，AG ，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．43．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．44．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．。

2021年全国中考数学真题分类汇编四边形一、选择题（共20小题）1．（2021•资阳）下列命题正确的是()A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1:2两部分2．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF 内，以AB 为边作正五边形ABGHI ，则(FAI ∠=)A ．10︒B ．12︒C ．14︒D ．15︒3．（2021•株洲）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在线段BC 的延长线上，若132DCE ∠=︒，则(A ∠=)A ．38︒B ．48︒C ．58︒D ．66︒4．（2021•扬州）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则(A B D E ∠+∠+∠+∠=)A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒5．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，//EF CD ，交AD 于点F ，如果 5.5EF =，那么菱形ABCD 的周长是()A ．11B ．22C ．33D ．446．（2021•无锡）如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆各边中点，则以下说法错误的是()A ．BDE ∆和DCF ∆的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB BC =，则四边形AEDF 是菱形D ．若90A ∠=︒，则四边形AEDF 是矩形7．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌()A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形8．（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将ABC∆沿着AC所在的直线折叠得到△AC=，则B D'的长是() AB C'，B C'交AD于点E，连接B D'，若60B∠=︒，45∠=︒，6ACBA．1B．2C．3D．629．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，60-方向∠=︒，点P从点B出发，沿折线BC CDB移动，移动到点D停止．在ABP∆形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是()A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1)中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是()A ．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B ．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C ．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D ．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形11．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当AEO ∆，BFO ∆，CGO ∆，DHO ∆的面积相等时，下列结论一定成立的是()A ．12S S =B ．13S S =C ．AB AD =D ．EH GH =12．（2021•南充）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ，下列结论成立的是()A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠D ．CFE DEF ∠=∠13．（2021•眉山）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，6AB =，60DAC ∠=︒，点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①BDE EFC ∠=∠；②ED EC =；③ADF ECF ∠=∠；④点E 运动的路程是23，其中正确结论的序号为()A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④14．（2021•泸州）下列命题是真命题的是()A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形15．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC ∠=︒，2AB =，则PE PF -的值为()A ．32B 3．2D ．5216．（2021•河北）如图1，ABCD 中，AD AB >，ABC ∠为锐角．要在对角线BD 上找点N ，M ，使四边形ANCM 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案()A ．甲、乙、丙都是B ．只有甲、乙才是C ．只有甲、丙才是D ．只有乙、丙才是17．（2021•广元）下列命题中，真命题是()A ．1122x x-= B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D ．已知抛物线245y x x =--，当15x -<<时，0y <18．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定ABE ADF ∆≅∆的是()A ．BE DF =B ．BAE DAF ∠=∠C ．AE AD =D ．AEB AFD ∠=∠19．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC边在y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(4,2)，反比例函数2(0)y x x =>的图象与BC 交于点D ，与对角线OB 交于点E ，与AB 交于点F ，连接OD ，DE ，EF ，DF ．下列结论： ①sin cos DOC BOC ∠=∠；②OE BE =；③DOE BEF S S ∆∆=；④:2:3OD DF =．其中正确的结论有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个20．（2021•包头）如图，在ABC ∆中，AB AC =，DBC ∆和ABC ∆关于直线BC 对称，连接AD ，与BC 相交于点O ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为C ，AD 相交于点E ，若8AD =，6BC =，则2OE AE BD+的值为()A ．43B ．34C ．53D ．54二、填空题（共20小题）21．（2021•淄博）两张宽为3cm 的纸条交叉重叠成四边形ABCD ，如图所示．若30α∠=︒，则对角线BD 上的动点P 到A ，B ，C 三点距离之和的最小值是．22．（2021•株洲）如图所示，线段BC为等腰ABC∆的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE 交于点O，若2OD=，则AC=．23．（2021•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若6OE=，则BC的长为．24．（2021•枣庄）如图，45=，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，∠=︒，BO DOBOD连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE BDADB∠=︒；⊥；②30③2=；④若点G是线段OF的中点，则AEGDF AF∆为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）25．（2021•云南）已知ABC∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC∠的平分线与线段AC交于点D．若ABC∆的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为．26．（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB AD=，②AC BD=，③ABC ADC∠=∠中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．27．（2021•新疆）四边形的外角和等于︒．28．（2021•湘潭）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知10BC=，则OE=．29．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若30=，则BC长为cm（结AB cm果保留根号）．30．（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠的度数为度．∠=︒，则DCE32ADB31．（2021•宁波）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，BEC∆关于直线EC对∆与FEC称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM BE=，1∠的值为．MG=，则BN的长为，sin AFE32．（2021•牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AB DC=，请添加一个条件，使四边形ABCD 成为平行四边形，你所添加的条件为．33．（2021•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE AD⊥，垂足为E，8BD=，则OE的长为．AC=，634．（2021•黄冈）正五边形的一个内角是度．35．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．36．（2021•黑龙江）如图，在ABC∆中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）37．（2021•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形ABCD是正方形．38．（2021•贺州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，3=BC BE 且BE CF⊥，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为．=，AE BF39．（2021•哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，6∠的平分线交直线BC于点AB=，BADE，若2CE=，则ABCD的周长为．40．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF EC=．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．三、解答题（共20小题）41．（2021•长沙）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OABAB=．∆是等边三角形，4（1）求证：ABCD是矩形；（2）求AD的长．42．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE BD⊥，CF BD⊥，垂足分别为点E，F．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．43．（2021•玉林）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知OA OC =，OB OD =，过点O 作EF BD ⊥，分别交AB 、DC 于点E ，F ，连接DE ，BF ．（1）求证：四边形DEBF 是菱形：（2）设//AD EF ，12AD AB +=，43BD =，求AF 的长．44．（2021•益阳）如图，在矩形ABCD 中，已知6AB =，30DBC ∠=︒，求AC 的长．45．（2021•梧州）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上的点，且AE BF ⊥于点P ，G 为AD 的中点，连接GP ，过点P 作PH GP ⊥交AB 于点H ，连接GH ．（1）求证：BE CF =；（2）若6AB =，13BE BC =，求GH 的长．46．（2021•遂宁）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE CF=；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．47．（2021•随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE CF=．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）求证：四边形BEDF是菱形．48．（2021•十堰）如图，已知ABC∆中，D是AC的中点，过点D作DE AC⊥交BC于点E，过点A作//AF BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若2∠=︒，求AB的长．B∠=︒，45FACCF=，3049．（2021•绍兴）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变． ①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．50．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．连接DE ，DF ，BE ，BF ．（1）证明：ADE CBF ∆≅∆．（2）若42AB =，2AE =，求四边形BEDF 的周长．51．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO CO=，点E在BD上，满足EAO DCO∠=∠．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB BC=，5AC=，求四边形AECD的面积．CD=，852．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB AE=，求证：四边形ACED是矩形．53．（2021•荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，90=，AEF∠=︒，且EF AE ⊥．FH BH（1）求证：BE CH=；（2）若3=，用x表示DF的长．AB=，BE x54．（2021•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，//BE DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）55．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且ADM CDN∠=∠，求证：BM BN=．56．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B 作BM CE⊥，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．（1）如图1，求证：CE BH=；（2）如图2，若AE AB=，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形(AEG∆除外），使写出的每个三角形都与AEG∆全等．57．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：12∠=∠；（2）求证：DOF BOE∆≅∆．58．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE DF=，连接CE、CF．求证：CE CF=．59．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA 的延长线于点E，连接AC、DE．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AB AC=，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．60．（2021•郴州）如图，四边形ABCD中，AB DC=，将对角线AC向两端分别延长至点E，=．证明：四边形ABCD是平行四边形．F，使AE CF=．连接BE，DF，若BE DF。