1984年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−原式解出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于CY Y YXX y=-214422=+−y k x点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+−已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==+−+++===+<==∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒−︒=︒∴=====+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==−===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+−∴− ⎪⎝⎭+==−++−−++==−−=−=−−−=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =−+=−+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a −=−−−−−+−∴︒−+−−−−−±−=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ−+︒−︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=−⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+−+−−解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程 略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( −≠<∴≠+>−+−=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积 作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM −=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=−类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN −=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x −+=−−∴=−++⋅+−−=−−−+⋅+−−=−−−⋅+−=−−∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b −+++++=++=−++++−=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩−=−=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m −+=−⋅∴−−+=≠∴−−+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+−=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+−cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +−代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C −−+=++∴+−++= 7．已知L 为过点P )23,233(−−而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由2211:(),(y x A x x y PA f x x x ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:():().(03)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL P。

1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ ）（A ）2x y = （B ）x x y 2= （C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ ）（A ）-1 （B ）257- （C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（ ） （A ）310 （B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）532 11．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数（B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数（D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________ 16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分） 证明：x 2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg+=-20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}。

1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分8分）化简.2331ii-- 解：原式=.137139i -二．（本题满分10分）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=--.123,9324,532:y x z y x z y x 解方程组解略：方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧--==321z y x三．（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角证：将圆的直径AB 所在的直线取为X 轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x 2+y 2=1.A 、B 的坐标是A （-1，0）、B （1，0）设P(x,y)是圆上任一点，则有y 2=1-x 2.∵PA的斜率为11+=x y k ，PB 的斜率为12-=x yk ， ∴1111222221-=--=-=x x x y k kY∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角四．（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？ 解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a 解得：x=32答：略五．（本题满分14分）解：,234,4543.)4sin()4sin()4sin()4(sin 2ππθππθππθπθπθπθ<+<∴<<++=++=.1,0)4sin(-=∴<π+θ∴原式六．（本题满分16分）)4sin()]2sin())[sin(43sin(4cos ,4543θπθθπθπππθπ+----<<化简设)4sin()cos )(sin 4sin(22θθθθπ+++=原式1．若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC 必平分对角线BD2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？ 证：1△ABC =S △ADC ，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE=DF 设AC 与BD 交于点O ，则 Rt △BOE ≌Rt △DOF ∴OB=OD即AC 平分BD （若E 、O 、F 重合、则已有BO=BE=DF=DO ）2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的证明如下：在上图中，由于OB=OD ，∠BOE=∠DOF （对顶角）， ∠BEO=∠DFO=Rt ∠，∴△BOE ≌△DOF∴BE=DF ，即两高线相等∴S △ABC =21AC ·BE=21AC ·DF=S △ADC七．（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇AB 、AD 、AA ＇的长分别为6、8、3.6，AE 与底面的对角线B ＇D ＇垂直于E1．证明A ＇E ⊥B ＇D ＇; 2.求AE 的长解：1..,D B A A D C B A A A ''⊥'∴''''⊥'平面DA F O E CB,,AE B D B D AA E B D A E'''''⊥∴⊥'''⊥又平面因此2.(268 4.8 6.A B A D A E B D A B D A E A E AE ''''''''''⋅=⋅∆'∴⨯='∴===都是面积的八．（本题满分16分） 1．把参数方程（t 为参数）⎩⎨⎧==,2,sec tgt y t x 化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图2．当2320π<≤ππ<≤t t 及时，各得到曲线的哪一部分？ 解：1.利用公式sec 2t=1+tg 2t,得.4122y x +=∴曲线的直角坐标普通方程为.1422=-y x 图略2．当20π<≤t 时，x ≥1，y ≥0,得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）; 当23π<≤πt 时，x ≤-1，y ≥0,得到的是曲线在第二象限的部分（包括（-1，0）点）A DD ＇B ＇ EC ＇1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2). 2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4， 则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32根据勾股定理的逆定理，△O 1O 2O 3为直角三角形三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0AB 的方程为1=+a yb x，其斜率为a b -AC 的方程为1=+ay cx，其斜率为c a -高线CE 的方程为(1))(c x a b y -= 高线BD 的方程为(2))(b x a cy -= 解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上因此，三条高线交于一点四．（本题满分10分） 证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数 解：见课本五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于ABY A(0,a )E DX证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，所以平面N 与平面M 相交设平面N 与平面M 的交线为L∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥L又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L∴L ⊥平面PAB ，∴L ⊥AB六．（本题满分12分） 设三角函数35k sin()x (f π+π=其中k ≠0 1．写出f(x)极大值M 、极小值m 与最小正周期;2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m解：1.M=1，m=-1，.1025kk T ππ=⨯=2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1f(x)至少有一个值是M 与一个值是m ， 必须且只须使f(x)的周期≤1即：.4.3110,110 =≥≤ππk k可见，k=32就是这样的最小正整数七．（本题满分14分）P NCD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、 △ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ， 则 AD=c-x因此，△ACD 的面积为)(21x c h -，△CBD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21， 依题意，222111()(),222(),0,hx h c x hc x c c x x cx c x =-⋅=-+-==即即∵取负号不合题意，∴取正号，得.215c x -= 又依直角三角形的性质，有AC 2=AD ·AB=c(c-x). 但 x 2=c(c-x)∴AC 2=x 2 ∴AC=x=DB=.215c - 在直角三角形ABC 中，215215sin -=-==c cABACB故 .215arcsin-=∠B 八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：;2sin 2ααctg ≤并讨论α为何值时等号成立C解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sin α，问题化为证明2sin αsin2α≤1+cos α. 而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α所以问题又化为证明不等式 (1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即α=600 九．（本题满分18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P （x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是y P） 解：设圆的方程为（x-k)2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0,y 0) 在P 点圆半径的斜率=kx y -00.在P 点抛物线的切线斜率=1y在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径Y与抛物线在P 点相切(1) .1000kx y y -=∴因P （x 0 ,y 0)是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0 , (2) (x 0-k)2+y 02=1. (3)由（1）、（2）式消去y 0 ,得x 0=-k,将（2）代入（3），得(x 0-k)2+2x 0-1=0,将x 0=-k 代入，得4k 2-2k-1=0， ∴.451±=k 由于抛物线在y 轴的右方，所以k=-x 0≤0故根号前应取负号，即.451-=k 故所求圆的方程为.1)451(22=+--y x 由对称性，圆与抛物线的另一交点（x 0 ,-y 0)处的切线也互相垂直 附加题（成绩不计入总分，只作参考） 设直线（L ）的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点解：消去参数，得（L ）：;b mx y +=（E ）：.1)1(222=+-y ax消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a（L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即)1)(1()1(2222222≥+-+--a b a m a mb a 化简并约去a 2得 .0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-->⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==-≤--->-0,1||)2(||1||1,1||)1(.0,01)2(;0)1)(1(,01)1(2222222b a a a b a a a b a b a b a 或解得或 或（1）、（2）合写成：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a a b a a a 即所求的条件 （注：也可数形结合，由点P （0，b ）在椭圆（E ）内或（E ）上求解）。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅱ卷）1.已知，则( ).1i z =--||z =A.0B.1 D.22.已知命题：，，命题，，则( ).:R p x ∀∈|1|1x +>:0q x ∃>3x x =A.p 和q 都是真命题 B.和q 都是真命题p ⌝C.p 和都是真命题D.和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝3.已知向量，满足，，且，则( ).a b ||1a = |2|2a b += (2)b a b -⊥ ||b =A. D.1124.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.kg 亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过1100kg 40%C.100块稻田亩产量的极差介于到之间200kg 300kg D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间900kg 1000kg 5.已知曲线，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线，为垂足，则线段22:16(0)C x y y +=>PP 'P '的中点M 的轨迹方程为( ).PP 'A. B.221(0)164x y y +=>221(0)168x y y +=>C. D.221(0)164y x y +=>221(0)168y x y +=>6.设函数，，当时，曲线和2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =恰有一个交点，则( )()y g x =a =A.-1 B. C.1 D.2127.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC 所成角的正111ABC A B C -5236AB =112A B =1A A 切值为( ).A. B.1 C.2D.3128.设函数，若，则的最小值为( ).()()ln()f x x a x b =++()0f x ≥22a b +A. B. C. D.11814129.对于函数和，下列正确的有( ).()sin 2f x x =π()sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A.与有相同零点B.与有相同最大值()f x ()g x ()f x ()g xC.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴()f x ()g x ()f x ()g x 10.拋物线的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作的一条切线，Q2:4C y x =22:(4)1A x y +-= 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与相切B.当P ，A ，B 三点共线时，A ||PQ =C.当时，D.满足的点A 有且仅有2个||2PB =PA AB⊥||||PA PB =11.设函数，则( ).32()231f x x ax =-+A.当时，有一个零点1a >()f x B.当时是的极大值点0a <0x =()f x C.存在a ，b 使得为曲线的对称轴x b =()y f x =D.存在a 使得点为曲线的对称中心(1,(1))f ()y f x =12.记为等差数列的前n 项和，若，，则__________.n S {}n a 347a a +=2535a a +=10S =13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则αβtan tan 4αβ+=tan tan 1αβ=+__________.sin()αβ+=14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有44⨯__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC △sin 2A A +=（1）求A ；（2）若，求周长.2a =sin 2C c B =ABC △16.已知函数.3()e x f x ax a =--（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1,(1))f （2）若有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.()f x 17.如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，8AB =3CD =AD =90APC ∠=︒30BAD ∠=︒25AE AD =，将沿EF 对折至，使得，12AF AB = AEF △PEF △PC =（1）证明：：EF PD ⊥（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；0.4p =0.5q =（2）假设，0p q <<（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线，点在C 上，k 为常数，，按照如下公式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P 01k <<次构造点，过点作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点，令为关于(2,3,)n P n = 1n P -1n Q -n P 1n Q -y 轴的对称点，记的坐标为.n P (),n n x y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11k k +-（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n ，.n S 12n n n P P P ++△1n n S S +=2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案答案：C解析.||z =1.答案：B解析：时，，错误，和q 是真命题.1x =-|1|1x +<p ∴P ∴⌝2.答案：A解析：，(2)0b a b -⋅= 220b a b ∴-⋅= 又，，||1a = |2|4a b += 得.1||2b = 3.答案：C解析：中位数错误，标差介于之间，选C.200kg ~300kg ∴4.答案：A解析：设，将坐标代入原方程联立，得M 方程.(,)P x y 221(0)164x y y +=>5.答案：D解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+2a =.2a ∴=6.答案：B解析：，.πtan 4α=tan 1α∴=7.答案：C 解析：，，，()()ln()f x x a x b =++()()()f x x a h x =+⋅(1)0g b -=，，10b a -+= 1a b ∴=-.222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=8.答案：BC 解析：A.令，，零点不同；()0f x =()0g x =B.，最大值相同；()f x ()g x C.，，C 正确；π()sin 22f x x Tf ===π()2g x =∴D.，对称轴显然不同，D 错误.()f x ()g x ∴9.答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.10.答案：D解析：依次带入质检即可后为直角三角形，，，，12AF F△12212c F F =≥=6C =22||8a AF AF =-=4a =.32c e a ==11.答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程得，3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩143a d =-⎧⎨=⎩10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+=12.解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()3αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭13.答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，.1314151658+++=14.答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=.tan φ=π6A =（2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B=⋅，2cos B =π4B ∴=54sin π12c=⋅22ABC C a b c ∴=++=++=+△15.答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a >解析：（1）(1)e 1f =-当，时1a =1x =(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-；(e 3)2x =-+（2），2()e 3x f x ax '=-()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =，，()e 6x f x ax ''=-2e 3x ax = ()3(2)f x ax x ''=-时，2x =2e 12a =232(2)e 2e 8f a a=-⋅=-代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-=(2)0f < 2e 80a ∴-<28e a >2e 8a >.2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭16.答案：（1）EF PD⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为，则B 为，(0,0)(8,0)依次求出，，，E (4,0)F (1,EF = 152D ⎛ ⎝P 关于EF 的中点M 对称，34722M ⎛⎛+== ⎝⎝设，，(,)P xy 7(2x t =+⋅1y t =⋅15922C ⎛⎛=-= ⎝⎝PC ∴=将x ，y表达式代PC ==152PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭0EF PD ⋅= EF PD∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC = 求出面PCD 与面PBF 的法向量，1a 2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ 正弦值为0.∴17.答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲18.答案：（1），23x =20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y 2221n n x x a m∴-=()n n y y k x x -=-.()12n n y y x x -=--22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-=1122n y x xn yn -=-++2n nx x y =-代入得，.222()1x yn y a m+-=23x =20y =（2）()2221n n kx y kx x a m +--=22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-=111n n x k x k++=-利用等性证明。

1984年全国普通高等学校招生统一考试物理一、(21分)每小题3分．把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程．(1)我国在1984年4月8日成功地发射了一颗通信卫星．这颗卫星绕地(2)平衡下列核反应方程式:(3)如右图所示,一正离子以速度v从左向右射入匀强电场和匀强磁场并存的区域中．电场强度E=4×104牛顿/库仑．磁感应强度B=0．2特斯拉,方向垂直纸面向里．电场、磁场和速度三者的方向互相垂直．如果该离子在场中运动时不发生偏转,则电场方向在附图中为从向;离子速度大小v= 米/秒．(4)频率为ν的光照射到一金属表面上,有电子从金属表面逸出．当所加反向电压Ｕ的大小增大到3伏特时,光电流刚好减小到零．已知这种金属的极限频率为ν0=6×1014赫兹,因此照射光的频率ν= 赫兹．(5)太阳光谱中含有许多暗线,这些暗线是由于而形成的．(6)氢原子的基态能量E1=-13．6电子伏特,则氢原子处于量子数n=5的能级时的能量为电子伏特．(7)S1和S2是两个相干波源．在图中分别以S1和S2为圆心作出了两组同心圆弧,分别表示在同一时刻两列波的波峰和波谷．实线表示波峰,虚线表示波谷．在图中方框内标出了三个点a、b、c．在这三个点中,振动加强的点是,振动减弱的点是．二、(16分) 每小题4分．本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的．把正确的说法全选出来,并将正确说法的号码填写在题后方括号内．每小题,全部选对的,得4分;选对但不全的,得少量分;有选错的,得0分;不答的,得0分．填写在方括号外的号码,不作为选出的答案．(1)火车在长直水平轨道上匀速行驶．门窗紧闭的车厢内有一人向上跳起,发现仍落回到车上原处．这是因为:1．人跳起后,厢内空气给他以向前的力,带着他随同火车一起向前运动．2．人跳起的瞬间,车厢的地板给他一个向前的力,推动他随同火车一起向前运动．3．人跳起后,车在继续向前运动,所以人落下后必定偏后一些,只是由于时间很短,偏后距离太小,不明显而已．4．人跳起后直到落地,在水平方向上人和车始终具有相同的速度．(2)法拉第电磁感应定律可以这样表述:闭合电路中感生电动势的大小:1．跟穿过这一闭合电路的磁通量成正比．2．跟穿过这一闭合电路的磁感应强度成正比．3．跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化率成正比．4．跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化量成正比．(3)在下图所示的电路中,当可变电阻R的阻值增大时:1．AB两点间的电压U增大．2．AB两点间的电压U减小．3．通过R的电流I增大．4．通过R的电流I减小．5．通过R的电流I不变．(4)下列几种说法中,哪种说法正确?1．电场中电力线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致．2．沿电力线方向,场强一定越来越小．3．沿电力线方向,电势一定越来越低．4．在电场力作用下,正电荷一定从电势高的地方向电势低的地方移动．5．在电场力作用下,负电荷一定从电势高的地方向电势低的地方移动．三、(14分)(1)测定电流表内电阻的实验中备用的器件有:A．电流表(量程0～100μA),B．标准伏特表(量程0～5V),C．电阻箱(阻值范围0～999Ω),D．电阻箱(阻值范围0～9999Ω),E．电源(电动势2V,有内阻),F．电源(电动势6V,有内阻),G．滑动变阻器(阻值范围0～50Ω,额定电流1．5A),还有若干电键和导线．1．如果采用图1所示的电路测定电流表A的内电阻并且要想得到较高的精确度,那末从以上备用的器件中,可变电阻R1应选用,可变电阻R2应选用,电源ε应选用．(用字母代号填写)2．如果实验时要进行的步骤有:A．合上K1;B．合上K2;C．观察R1的阻值是否最大,如果不是,将R1的阻值调至最大;D．调节R1的阻值,使电流表指针偏转到满刻度;E．调节R2的阻值,使电流表指针偏转到满刻度的一半;F．记下R2的阻值．把以上步骤的字母代号按实验的合理顺序填写在下面横线上空白处:①;②;③;④;⑤;⑥．3．如果在步骤F中所得R2的阻值为600欧姆,则图1中电流表的内电阻R g的测量值为欧姆．(2)如果要将第(1)小题中的电流表A改装成量程为0～5V的伏特表,则改装的方法是跟电流表联一个阻值为欧姆的电阻．(3)图2所示器件中,一部分是将电流表改装为伏特表所需的,其余是为了把改装成的伏特表跟标准伏特表进行核对所需的．首先在下面空白处画出改装和核对都包括在内的电路图(要求对0～5V的所有刻度都能在实验中进行核对),然后在图2上画出连线,将所示器件按以上要求连接成实验电路．四、(26分) 第(1)到第(3)小题,每题7分;第(4)小题5分．(1)根据牛顿运动定律证明:两物体沿一直线运动,相互作用但不受外力时,它们的总动量保持不变．(2)在右图所示的电路中,一理想变压器的原线圈跟副线圈的匝数比为N1∶N2=1∶2．电源电压U=220伏特．A是额定电流为I0=1安培的保险丝．R是可变电阻．为了不使原线圈中的电流超过I0,调节电阻R时,其阻值最低不能小于多少欧姆?(3)附图为天平的原理示意图,天平横梁的两端和中央各有一刀口,图中分别用A、B、O三点代表;三点在一条直线上,并且=L．横梁(包括固定在横梁上的指针OD)可以中央刀口为轴转动．两边的挂架及盘的质量相等．横梁的质量为M．当横梁水平时,其重心C在刀口的正下方,C到O的距离为h,此时指针竖直向下．设只在一盘中加一质量为△m的微小砝码,最后横梁在某一倾斜位置上达到平衡,此时指针与竖直方向成θ角．已知L、h、M及△m,求θ．(4)估算地球大气层空气的总重量．(最后结果取1位有效数字)五、(13分)一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上,Q 端拴在物体上．设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H．提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为v B．求在车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功．六、(10分)在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内,有一段水银柱将两种理想气体a和b隔开．将管竖立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a和b的长度分别为l a和l b;若温度为T＇,长度分别为l’a和l’b．然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为l”a和l”b．已知T、T’、七、(10分,本题是附加题,成绩不计入总分)在真空中速度为u=6．4×107米/秒的电子束连续地射入两平行极板之间．极板长度为l=8．0×10-2米,间距为d=5．0×10-3米．两极板不带电时,电子束将沿两极板之间的中线通过．在两极板上加一50赫兹的交变电压V=V0sinωt,如果所加电压的最大值V0超过某一值V c时,将开始出现以下现象:电子束有时能通过两极板;有时间断,不能通过．(1)求V c的大小．(2)求V0为何值才能使通过的时间(△t)通跟间断的时间(△t)断之比为(△t)通∶(△t)断=2∶1．1984年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、全题21分,每小题3分．各题中,在每一横线上空白处填入正确答案的,按下列该答案后面方括号内的分数给分;错误的,给0分．(1)1〔3分〕．(3)上,下〔1分〕;2×105〔2分〕．(4)13．2×1014〔3分〕．(5)太阳光经过温度较低的太阳大气层时某些特征谱线的光被吸收〔3分．要求答出两个要点:太阳大气层;吸收．答出一个要点的给1分,两个都答出的给3分〕．(6)－0．544〔3分〕．(7)a、b〔2分〕,c〔1分〕．二、(1)〔4〕．(2)〔3〕．(3)〔1,4〕．(4)〔1,3〕．评分说明:全题16分,每小题4分．每小题,答案全部选对的,给4分;未选全而无选错的,给1分;有选错的,给0分;未答的,给0分．填写在方括号外的号码不作为考生的答案．三、(1)本小题7分．1．D,C,F〔3分．D,C答对的,给2分,有一个答错的,不给这2分．F答对的,给1分〕．2．CADBEF〔3分．顺序有错的,不给分〕．3．600〔1分〕．(2)本小题2分．每小问占1分．串,49400．(3)本小题共5分．电路图如图1,占2分,如有错误,不给这2分．连线如图2,占3分,如有错误,不给这3分．接法只要正确,能满足实验要求,虽与参考答案不同,不影响评分;不满足实验要求,例如将滑动变阻器当作串联可变电阻使用,不给分．四、(1)牛顿第二定律F=ma可以写成:其中p=mv为物体的动量．当两物体相互作用而不受外力时,令F1和F2分别表示每个物体所受的力,可得:根据牛顿第三定律:F1=-F2 (b)可得:△p1=-△p2．令p表示两物体的总动量,则得:△p=△p1+△p2=0．(c)即总动量的改变量等于零,总动量不变．评分说明:本小题7分．列出(a)式的,给2分．列出(b)式的,给1分．得出(c)式的,再给4分．在证明过程中,有正负号错误的,扣2分．一开始就把第二定律写成动量定理形式的,可不扣分．把相互作用力设为恒力的,可不扣分．(2)设所求的电阻值为R,此时R两端的电压为U2,电流为I2,则:UI0=U2I2 (a)U2=I2R (b)由以上各式可得:评分说明:本小题7分．(a)、(b)、(c)三式列对一个给1分;列对两个给3分;三个都列对给5分．得出(d)式再给1分．最后答数正确再给1分．(3)有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零．设两边挂盘(包括质量为△m的微小砝码)对横梁的作用力分别为F1和F2则:F1Lcosθ=F2Lcosθ+Mghsinθ．(a)因为F1-F2=△mg,所以得:△mgLcosθ=Mghsinθ．(b)评分说明:本小题7分．列出(a)式和(b)式的,给6分;得出(c)式再给1分．直接列出(b)式的,不扣分．把倾斜后△mg的力臂Lcosθ写作L的也可不扣分(因题设△m很小因而偏角很小)．(4)设地球半径为R,地球表面处的大气压强为p,则大气的总重量:G=4πR2p．因R=6．4×108米,p=1．0×105帕,代入得:G=5×109牛顿．评分说明:本小题5分．列出G=4πR2p给4分,最后答数正确再给1分．五、设绳的P端到达B处时,左边绳与水平地面所成夹角为θ,物体从井底上升的高度为h,速度为v,所求的功为W,则:因绳总长不变,所以:v=v B cosθ．(c)将(b)、(c)两式代入(a)式,得:评分说明:全题13分．列出(a)式的,给3分．列出(b)式的,给3分．列出(c)式的,给5分．列出(d)式的,给1分．最后结果正确的,再给1分．六、对于a段气体,有:对于b段气体,有:压强关系有:p b-p a=p’b-p’a, (e)p a=p b．(f)由以上各式可得:评分说明:全题10分．(a)、(b)、(c)、(d)四式全都列对的,给4分;部分列对但无列错的,给1分;有列错的,不给分．(e)式列对给3分;(f)式列对给1分．最后结果正确再给2分．因此,电子通过平行极板时,极板间的电压从场强可看作是恒定不变的．电子进入平行极板中间后,其运动沿水平方向为匀速运动,沿竖直方向为匀加速运动．设电子束刚好不能通过平行极板的电压为V c,电子经过平行极板的时间为t,所受的电场力为f,则:由以上三式,可得:代入数值,得:V c=91伏特．:(2)因为(△t)通=2(△t)断,所以由此得代入数值得(1)中,列出(a)式和(b)式的,给1分．列出(c)式的,给3分．最后答数正确的再给1分．没有对电子通过极板的时间和交流电的周期进行分析比较的,不扣分．(2)中,列出(d)式的,给4分．最后答数正确再给1分．- 11 -。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1。

答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3。

考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ,其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分第Ⅰ卷（选择题共60分)一。

选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0)，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A)247 （B ）247- (C)724 (D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 ( ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）(C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D)(∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )(A ）21+ （B ）12- （C)2 (D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a ( ） （A ）2 （B ）22- （C)12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R,高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A)22R π (B)249R π (C ）238R π (D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A)1 （B ）43 （C)21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0）,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 ( ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C)12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）(A)x arcsin - 1[-∈x ，1] (B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ,1］ （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B （2,0），C(2，1）和D （0,1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1) （B ）（31,32） （C ）（52，21） （D)（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ( ）（A)3 （B ）31 （C ）61(D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为（ ) （A ）π3 (B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二。

1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分8分）化简.2331ii-- 解：原式=.137139i -二．（本题满分10分）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=--.123,9324,532:y x z y x z y x 解方程组解略：方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧--==321z y x三．（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角证：将圆的直径AB 所在的直线取为X 轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x 2+y 2=1.A 、B 的坐标是A （-1，0）、B （1，0）设P(x,y)是圆上任一点，则有y 2=1-x 2.∵PA的斜率为11+=x y k ，PB 的斜率为12-=x yk ， ∴1111222221-=--=-=x x x y k kY∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角四．（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？ 解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a 解得：x=32答：略五．（本题满分14分）解：,234,4543.)4sin()4sin()4sin()4(sin 2ππθππθππθπθπθπθ<+<∴<<++=++=.1,0)4sin(-=∴<π+θ∴原式六．（本题满分16分）)4sin()]2sin())[sin(43sin(4cos ,4543θπθθπθπππθπ+----<<化简设)4sin()cos )(sin 4sin(22θθθθπ+++=原式1．若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC 必平分对角线BD2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？ 证：1△ABC =S △ADC ，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE=DF 设AC 与BD 交于点O ，则 Rt △BOE ≌Rt △DOF ∴OB=OD即AC 平分BD （若E 、O 、F 重合、则已有BO=BE=DF=DO ）2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的证明如下：在上图中，由于OB=OD ，∠BOE=∠DOF （对顶角）， ∠BEO=∠DFO=Rt ∠，∴△BOE ≌△DOF∴BE=DF ，即两高线相等∴S △ABC =21AC ·BE=21AC ·DF=S △ADC七．（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇AB 、AD 、AA ＇的长分别为6、8、3.6，AE 与底面的对角线B ＇D ＇垂直于E1．证明A ＇E ⊥B ＇D ＇; 2.求AE 的长解：1..,D B A A D C B A A A ''⊥'∴''''⊥'平面DA F O E CB,,AE B D B D AA E B D A E'''''⊥∴⊥'''⊥又平面因此2.(268 4.8 6.A B A D A E B D A B D A E A E AE ''''''''''⋅=⋅∆'∴⨯='∴===都是面积的八．（本题满分16分） 1．把参数方程（t 为参数）⎩⎨⎧==,2,sec tgt y t x 化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图2．当2320π<≤ππ<≤t t 及时，各得到曲线的哪一部分？ 解：1.利用公式sec 2t=1+tg 2t,得.4122y x +=∴曲线的直角坐标普通方程为.1422=-y x 图略2．当20π<≤t 时，x ≥1，y ≥0,得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）; 当23π<≤πt 时，x ≤-1，y ≥0,得到的是曲线在第二象限的部分（包括（-1，0）点）A DD ＇B ＇ EC ＇。

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 ∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：由条件（4）知1)(=+xd cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中2． O 1 2 X 1．Pb αβ γ cb α β γ c再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:YB （0，6） D E O ＇ P （x,y) X OC （0，0） A （8，0）(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为 从而222||||||PC PB PA S ++= 因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证： 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为然后用反证法若当34lg3lgan>时，有,31≥+kx则由第1小题知因此，由上面证明的结论及x1=a可得即34lg3lgan<，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O、半径为1A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为AP32，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=43π时，点P的速度为V求这时点M的速度解：作CD⊥AM，并设AP=x，，∠COD=θ由假设，AC的长为xAP3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x∵△APM∽△DCM，DCDMAPAM=∴MO 1D θ CA P L而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得 （有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。