泄露天机 数学 理科(教师用卷) - 副本

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(2)(5)0}M x x x =+-≤，{2}xN y y ==，则M N =I （ ） A ．(0,2] B ．(0,5]C ．[2,5]D ．[2,)+∞【答案】B【解析】依题意，{(2)(5)0}{25}M x x x x x =+-≤=-≤≤，{2}{0}x N y y y y ===>，故(0,5]M N =I ，故选B ．2．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为（ ） A ．22π3B ．42π3C ．42πD ．16π3【答案】A此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号【解析】由题意可知三棱锥的体积=圆锥的体积，因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为2π323π⨯=， 故圆锥的底面半径为1，圆锥的高为22，所以圆锥的体积212ππ1232=23⨯⨯⨯=． 3．在矩形ABCD 中，6AB =u u u r ，3AD =u u u r．若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且13BN BC =，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r （ ）A ．6B ．3C ．4D ．2【答案】B【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，212121323232MN CN CM CB CD BC DC AD AB =-=-=-+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2212121()()23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-+=-⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21936334=-⋅+⋅=，故选B ．4．在等差数列{}n a 中，12a =，3728a a +=，其前n 项和26n a =，则n 等于（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】∵12a =，375228a a a +==，∴514a =，5134a a d -∴==， 又∵1(1)23(1)3126n a a n d n n =+-=+-=-=，∴9n =，故选C ．5．已知椭圆22:16439x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为（ ） A ．310B ．710C ．25D ．35【答案】A【解析】依题意，16PF =，210PF =，而122643910F F =-=， 故222112212112361001003cos 2261010PF F F PF PF F PF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ．6．函数(1)ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题易知，函数(1)ln ||y x x =-为偶函数，排除A 选项；当01x <<时，ln ||0x <，10x -<，所以(1)ln ||y x x =-，排除B 选项； 当1x >时，(1)ln y x x =-⋅，1ln x y x x-'=+， 所以当1x >时，ln 0x >，10x x->， 所以函数(1)ln ||y x x =-在(1,)+∞上单调递增，排除D 选项． 7．已知函数2()3cos 4sin f x x x =+，π2π(,)63x ∈，则()f x 的值域为（ ）A ．17[4,)4B ．17(4,)4C ．13[4,]3D ．13(4,]3【答案】C【解析】依题意，22()3(1sin )4sin 3sin 4sin 3f x x x x x =-+=-++，令1sin (,1]2t x =∈，由2343y t t =-++的对称轴为23t =， 则max 4213343933y =-⨯+⨯+=，min 314134y =-⨯+⨯+=， 则()f x 的值域为13[4,]3，故选C ． 8．三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，三棱锥S ABC -的体积为2，则球的半径为（ ） A ．3 B ．5C ．52D ．7【答案】D【解析】如下图所示，因为2AC BC ==，120ACB ∠=︒， 则ABC △的面积为113sin 223222AC BC ACB ⋅⋅∠=⨯⨯⨯=， 设ABC △的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆E 的直径CD ，连接SD ， ∵O 、E 分别为SC 、CD 的中点，则SD OE ∥， ∴SD ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的体积1323S ABC V SD -=⨯⨯=， ∴23SD =，因120ACB ∠=︒，则30ABC ∠=︒，由正弦定理得24sin sin 30AC CD ABC ===∠︒，∴22224(23)27SC CD SD =+=+=，设球O 的半径为R ，则227R SC ==，∴7R =．9．函数2()4(2)()3xf x x x =--+⋅的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】令()0f x =，得24(2)()3xx x -=+⋅，显然2x =-不是该方程的根，故42()23xx x -=+， 在同一直角坐标系中分别作出42x y x -=+，2()3xy =的图象如图所示， 观察可知，它们有2个交点，即函数2()4(2)()3xf x x x =--+⋅有2个零点，故选C ．10．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=+（0ω>）的对称轴构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数B ．其图像关于直线π4x =对称C ．在π[0,]4上是增函数 D ．在区间π2π[,]43上的值域为[2,0]- 【答案】D【解析】π()sin 3cos 2sin()3f x x x x ωωω=+=+Q ，函数()f x 图象的对称轴构成一个公差为π2的等差数列， 故函数()f x 的最小正周期为π2π2T =⋅=， 所以2π2π2πT ω===，函数π()2sin(2)3f x x =+图象沿x 轴向左平移π12个单位得， πππ()2sin[2()]2sin(2)2cos 21232g x x x x =++=+=， 故()g x 为偶函数，并在区间π[0,]2上为减函数，所以A 、C 错误；ππ()2cos(2)044g =⨯=，所以B 错误； 因为π2π43x ≤≤，所以π4π223x ≤≤，2cos 2[2,0]x ∈-，所以D 正确． 11．已知函数2,0()2ln ,0x x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪>⎩，若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则实数k 的取值范围（ ） A ．21(0,)e B ．1(,0)2-C ．(0,)eD ．211(,)2e -【答案】A【解析】如图，作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象，函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点，函数1y kx =+图象恒过点(0,1)，则直线1y kx =+在图中阴影部分内时， 函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点，当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时，设切点为00,l (n )x x ，切线斜率为01k x =， ∴0001ln 1x x x =⋅+，解得20x e =， ∴21k e =，∴210,)(k e ∈．12．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为12,F F ，M 是双曲线C 左支上的点，12MF F △的周长是9，动点P 在双曲线C 的右支上，则1MF P △面积的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．33(,)4+∞ C ．53(+)4∞， D ．9[3,)8+∞ 【答案】B【解析】本题首先要通过12MF F △的周长结合双曲线的第一定义求得焦半径1MF 的长， 再由余弦定理得出1MF 与双曲线渐近线平行的结论， 而1MF P △的面积则需求得点P 到1MF 距离的取值范围， 进而发现P 到1MF 距离总大于b ．不妨设点M 在x 轴上方，由双曲线方程得1a =，3b =，2c =，所以1113||||249||2MF MF MF +++=⇒=，所以2221237()4()122cos 32242MF F +-∠==⨯⨯， 所以1MF 与渐近线3y x =平行，所以点P 到直线1MF 距离的取值范围是(,)b +∞，即(3,)+∞， 因此1MF P △面积的取值范围是33(,)4+∞．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51014S S =，则27aa = ． 【答案】13【解析】显然1q ≠，故5510510111114S q S q q -===-+，故53q =，故257113a a q ==． 14．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(2)(6)f a f a >-，则a 的取值范围是 ． 【答案】(2,)+∞【解析】因为函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩， 0x ≥时，2211()22()48f x x x x =+=+-，此时()f x 递增；0x <时，2211()22()48f x x x x =-=--+，此时()f x 递增，且(0)0f =，所以()f x 在R 上单调递增， ∵(2)(6)f a f a >-，∴26a a >-，∴2a >．15．已知实数x ，y 满足42604y xx y y ≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则44y x x +=-的最大值为 ．【答案】27-【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，44y z x +=-表示平面区域内的点(,)x y 与点(4,4)D -连线的斜率， 观察可知，44DCDB y k k x +≤≤-，联立4260y x x y =⎧⎨++=⎩，解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即28(,)33B --，故44y z x +=-的最大值为844233221274333-+==-----． 16．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒且14BB =．设其外接球的球心为O ．已知三棱锥O ABC -的体积为2，则球O 的表面积的最小值是 ． 【答案】28π【解析】如图，在ABC Rt △中，设AB c =，AC b =，则22BC b c =+， 取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为ABC Rt △和111A B C Rt △的外接圆的圆心，连接21O O ， 又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为21O O 的中点， 连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径，设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==， 所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =， 又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=． 在2OO B Rt △中，2222222221()()()44224b c b c R BC OO ++=+=+=+，设球的表面积为1S ，所以2222214π4π(4)π()16π2π16π4b c S R b c bc +==+=++≥+12π16π28π=+=，当且仅当b c =时取“=”，所以球O 的表面积的最小值是28π．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项*340()n n S a n ++=∈N ，114a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列2log n n b a =，求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n S ．【答案】（1）1()4nn a =；（2）4(1)n nS n =+．【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，114a =，且340n n S a ++=，当2n ≥时，11340n n S a --++=，相减得14n n a a -=，所以114n n a a -=， 则数列{}n a 是以114a =为首项，14为公比的等比数列， 则1111()()444n nn a -=⋅=， 当1n =时，114a =，符合通项公式， 故1()4nn a =．（2）2log 2n n b a n ==-，111111()4(1)41n n b b n n n n +==-⋅++，∴11111111111()(1)41223341414(1)n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L ． 18．（12分）已知向量(sin ,cos )x x =m ，(3cos ,cos )x x =n ，x R Î，设()21f x =?m n ．（1）求函数()f x 的解析式及单调减区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3a =，3b c +=，()3f A =，求ABC △的面积．【答案】（1）π()2sin(2)26f x x =++；单调减区间为π2π[π,π]63k k ++，k Z Î；（2）32S =． 【解析】2π()23sin cos 2cos 13sin 2cos 222sin(2)26f x x x x x x x =++=++=++． ππ3π2π22π262k x k +??，k Z Î，得π2π[π,π]63k k ++，k Z Î，所以函数的单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，k Z Î． （2）∵π()2sin(2)236f A A =++=，∴π1sin(2)62A +=， ∵0πA <<，∴ππ13π2666A <+<，∴π5π266A +=，即π3A =． 由余弦定理得22222cos ()22cos a b c b A b c bc bc A =+-=+--，∴393bc =-，∴2bc =，∴13sin 22S bc A ==． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，4PA PD ==，122BC AD ==，3CD =．（1）求证：平面BQM ⊥平面PAD ； （2）求四面体P BQM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】（1）证明：∵AD BC ∥，12BC AD =，Q 为AD 中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD BQ ∥， ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即BQ AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面BQM ，∴平面BQM ⊥平面PAD ．（2）∵C BQM P BQM V V --=，12M BCQ P BCQ V V --∴=， 由（1）可知：四边形BCDQ 为矩形，∴132BCQ S BQ BC =⋅=△， ∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ，在PDQ Rt △，222PD PQ DQ =+，23PQ =， ∴1113231223P BQM P BCQ V V --==⨯⨯⨯=． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为(0,3)，(0,)1-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点，该定点的坐标为3(0,)5-． 【解析】（1）依题意知点A 的坐标为(0,)b ，以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为222()x y b a +-=，令0x =，得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为(0,3)，(0,)1-，可得31b a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，得AP AQ ⊥u u u r u u u r，可知PA 的斜率存在且不为0．设直线:1PA l y kx =+①，则1:1QA l y x k=-+②， 将①代入椭圆方程并整理，得22(14)80k x kx ++=，可得2814P kx k=-+， 则221414P k y k -=+，同理，可得284Q k x k =+，2244Q k y k -=+，由直线方程的两点式，得直线l 的方程为21355k y x k -=-，即直线l 过定点，该定点的坐标为3(0,)5-．21．（12分）已知函数()ln (0)xf x a x e a a =-+>．（1）求当1a =时，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(1)0e x y -+=；（2）(0,)e ．【解析】（1）当1a =时，因为()ln ln 1xxf x a x e a x e =-+=-+， 所以1()xf x e x'=-，所以(1)1f e '=-， 又(1)1f e =-，所以()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x --=--， 即(1)0e x y -+=．（2）由（1）知()(0)xx a a xe f x e x x x-'=-=>，令()x g x a xe =-，则()(1)0xg x x e '=-+<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减．由于(0)0g a =>，()(1)0aag a a ae a e =-=-<，则存在0(0,)x a ∈，使得0()0g x =，即0000000x x x a a x e x e a e x -=⇒=⇒=， 又00x x <<，()0g x >，则()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上单调递增；0x x >，()0g x <，则()0f x '<，所以()f x 在0(,)x +∞上单调递减，所以在0x x =处有最大值000001()ln (ln 1)xf x a x e a a x x =-+=-+， 由()0f x <恒成立，得0()0f x <，即001(ln 1)0a x x -+<，所以001ln 10x x -+<． 令1()ln 1h x x x =-+，则211()0h x x x'=+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增． 由于(1)0h =，则()0h x <，解得1x <，所以01x <， 由00xa x e =在(0,1)上单调递增，所以0a e <<， 所以实数a 的取值范围为(0,)e ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线14cos :4sin x C y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的34后得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3πsin()3ρθ=-．（1）求曲线2C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，点M 为抛物线283y x =-的焦点， 求MA MB ⋅的值． 【答案】（1）22212:3sin C ρθ=+，:360l x y -+=；（2）4． 【解析】（1）将曲线14cos :4sin x C y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），消参得2216x y +=，经过伸缩变换1234x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得到曲线222:143x y C +=，化为极坐标方程为22123sin ρθ=+，将直线l 的极坐标方程为3πsin()3ρθ=-，化为直角坐标方程为360x y -+=．（2）由题意知(23,0)M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为123232x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2216x y +=中，得22340t t --=． 因为M 在1C 内，所以0Δ>恒成立，由韦达定理得124t t ⋅=-，所以124MA MB t t ⋅=⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，且1a b +=． （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）若41|21||2|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围． 【答案】（1）14m ≥；（2）[]6,12-． 【解析】（1）∵0a >，0b >，且1a b +=，∴21()24a b ab +≤=， 当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥． （2）∵,(0,)a b ∈+∞，1a b +=，∴414144()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=， 故若41|21||2|x x a b+≥--+恒成立，则|21||2|9x x --+≤． 当2x ≤-时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-； 当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<； 当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤， 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-．。

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}|15U x x =∈≤≤Z ，{}1,2,3A =，{}1,2U B =ð，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}1,3C ．{}3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】全集{}{}|151,2,3,4,5U x x =∈≤≤=Z ，{}1,2,3A =，由{}1,2U B =ð，可得{}3,4,5B =，所以{}3A B =I ，故选C ． 2．如果复数2i12ib -+(其中i 为虚数单位，b ∈R )的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．23-B ．23C ．2D ．2【答案】A【解析】()()()()()()2i 12i 224i 4i2i 2212i 12i 12i 555b b b b b b ----++--===-++-， 因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此224b b -=+，因此23b =-，故选A ． 3．如图，正方形ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．4πC．π8D．12【答案】C【解析】设正方形ABCD的边长为2，则正方形的面积14S=，则圆的半径为1r=，阴影部分的面积为2211ππ22S r==，根据几何概型及其概率的计算公式可得211π248πSPS===，故选C．4．已知π3π(,)22α∈，且tan2α=，那么sinα=（）A．33-B．63-C．63D．33【答案】B【解析】因为π3π(,)22α∈，sintan20cosααα==>，故3π(π,)2α∈，即sin2cosαα=，又22sin cos1αα+=，解得sin63α=-，故选B．5．在数列{}n a中，若11a=，()123n na a n*+=+∈N，则101a=（）A．10023-B．10123-C．10221-D．10223-【答案】D【解析】123n na a+=+Q，()1323n na a+∴+=+，1323nnaa++∴=+，且134a+=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-，故选D ．6．在ABC △中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0πA <<，0πB <<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >， 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件， 故选C ．7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯LL，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：844128 2.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 8．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则（ ） A ．若m α∥，n ⊂α，则//m n B ．若m αβ=I ，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥ C ．若m α∥，n β∥，//m n ，则αβ∥ D ．若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】对于A ，若m α∥，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误； 对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=I ，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥，或平面α与平面β相交，所以C 错误； 选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确．故选D ．9．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（ ） A ．22 B ．6 C ．2 D ．3【答案】B【解析】由已知得()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，并与24y x =联立，得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,E x y ，124y y m +=， 则12022y y y m +==，2021x m =+，()221,2E m m ∴+， 又()2121224446AB x x m y y m =++=++=+=，解得212m =， 线段AB 的垂直平分线为()2221y m m x m -=---，令0y =，得()223,0M m +，从而2446ME m =+=，故选B ．10．函数()()4ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1142,ln2ln33⎛⎤--⎥⎝⎦B ．1142,ln2ln33⎛⎫--⎪⎝⎭C ．141,1ln332ln2⎛⎤--⎥⎝⎦D ．141,1ln332ln2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()0f x >，得到4ln x kx x+>， 令()ln x g x x =，则()()2ln 1ln x g x x -'=， 令()0g x '>，解得x e >；令()0g x '<，解得1x e <<， 故()g x 在()1,e 递增，在(),e +∞递减， 画出函数草图，如图所示：结合图象224ln 2334ln 3k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得114 2ln 2ln 33k -<≤-，故选A ． 11．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A ．5π5B ．25π5C ．45π5D ．85π5【答案】C【解析】根据题意，点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点， 点M 为11B C 的中点，设1BB 中点为N ，1AB 中点为K ，如下图所示：在平面11BB C C 中，CN BM ⊥，由题意可知DP BM ⊥，CN 为DP 在平面11BB C C 内的射影，所以直线DP 在过点D 且与BM 垂直的平面内，又因为P 在正方体内切球的球面上，所以点P 的轨迹为正方体的内切球与过D 且与BM 垂直的平面相交得到的小圆， 即P 的轨迹为过,,D C N 的平面即为平面CDKN 与内切球的交线， 因为,,D O N 位于平面11DD B B 内， 设O 到平面CDKN 的距离为h ， 所以由C DON O DCN V V --=，可得1111111322232ON DD AC CD CN h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入可得1111212253232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得55h =， 正方体的内切球半径为1R =，由圆的几何性质可得所截小圆的半径为2525155r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以小圆的周长为45π2π5C r ==，即动点P 的轨迹的长度为45π5，故选C ． 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-，且(1)1f =，则下列说法正确的有（ ）（1）若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 是奇函数； （2）(0)(2)4f f +=；（3）设函数()()2h x f x =+，则函数()h x 的图象经过点(3,9)；（4）设*n ∈N ，若数列{}()1f n +是等比数列，则()21nf n =-．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（3）（4）C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】对于（1），()()()[()()]()g x f x f x f x f x g x -=--=---=-， 所以函数()g x 是奇函数，故（1）正确；对于（2），令1x =，0y =，代入可得10(1)(1)(0)222f f f =⋅++-，因为(1)1f =，(0)0f ∴=；令1x =，1y =，则211(2)[(1)]2223f f =++-=，(0)(2)3f f ∴+=，故（2）错误；对于（3），令1x =，2y =，则12(3)(1)(2)2227f f f =⋅++-=，(3)729h ∴=+=，即函数()h x 的图象经过点(3,9)，故（3）正确；对于（4），令1x =，1y =-，则11(0)(1)(1)222f f f -=⋅-++-，(1)1f =，(0)0f =，1(1)2f ∴-=-；当2n ≥，由()()()222xyf x y f x f y +=⋅++-， 可知()()()222xyf x f y f x y --=++⋅，所以[(1)1][(1)1]f n f n -+⋅++(1)(1)(1)(1)1f n f n f n f n =-⋅++-+++1111(2)222()(1)222()(1)2221n n n n f n f n f f n f -+-=--++⋅-++-+⋅++-+113(2)()222n f n f n -=+-+，22[()1][()]2()1(2)2222()1n n f n f n f n f n f n +=++=--+++ 1(2)2()23n f n f n +=+-+，∵数列{()1}f n +是等比数列，2[(1)1][(1)1][()1]f n f n f n ∴-+⋅++=+，即1113()22()2322n n f n f n -+-+=-+，()21n f n ∴=-，故（4）正确， 故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_______． 【答案】6【解析】因为男女生的比例为30:203:2=，由分层抽样的概念可知在抽取的容量为15的样本中男女生的比例也应为3:2， 则抽取的女生人数为215632⨯=+， 故答案为6．14．若0(21)d 2(0)tx x t +=>⎰，则t =_______．【答案】1 【解析】由()()220021d |2tt x x xx t t +=+=+=⎰，解得1t =或2-（舍），故答案为1．15．若实数x ，y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为__________．【答案】9【解析】画出不等式组33023010x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的可行域，如图，由图知平移直线x y z+=，当直线经过点()4,5A时，直线在y轴上的截距z最大，即x y+在点()4,5A处取得最大值459+=，故答案为9．16．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线l与C交于,A B（其中点A在x轴上方）两点，且满足22AF F Bλ=u u u u r u u u u r．若C的离心率为32，直线l的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_________．【答案】17【解析】由()22222222295344c a b bea a a+===⇒=<，得直线l与双曲线C的右支交于,A B两点，设2||F B k=，则2||AF kλ=．根据双曲线定义，1||2F B a k=+，1||2AF a kλ=+．在12AF F△中，由余弦定理，得222(2)(2)()22cos60a k c k c kλλλ+=+-⋅︒①；在12BF F△中，由余弦定理，得()()2222222cos120a k c k ck+=+-⋅︒②，①-②并整理，得322212327222ca c aca caλ---====+++．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ．（1）若30A =︒，求角C 的值； （2）求角B 的最大值． 【答案】（1）120︒；（2）30︒．【解析】（1）因为()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ， 所以()2cos a C b ⨯-=，即2cos 0a C b +=，由正弦定理sin sin a bA B=，得2sin cos sin 0A C B +=……① 所以()2sin cos sin 0A C A C ++=， 整理，得3sin cos cos sin 0A C A C +=……② 将30A =︒代入上式，得tan 3C =-， 又()0,πC ∈，所以120C =︒．（2）方法一：由①式，因为sin 0A >，sin 0B >，所以9cos 00C C ⇒><︒，cos 0A ∴>，②式两边同时除以cos cos A C ，得3tan tan 0A C +=，()22tan tan tan 3tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan 13tan A C A A AB AC A C A A+-∴=-+=-=-=-++， 又213tan 23tan A A +≥，2tan 3tan 323tan A B A ∴≤=， 当且仅当3tan 1A =，即30A =︒时取等号， 又()0,πB ∈，所以B 的最大值为30︒．方法二：由（1）知，2cos 0a C b +=，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，代入上式并化简得22220a b c +-=，所以()222222 222131222cos222a c c a a ca c bBac ac ac+--++-===，又22223131232222a c a c ac+≥⨯=，33cos22acBac∴≥=，当且仅当223122a c=，即3c a=时取等号，又()0,πB∈，所以B的最大值为30︒．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，2CD=，1BC=，,E F是平面ABCD同一侧面点，EA FC∥，AE AB⊥，2EA=，5DE=，1FC=．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E BD F--的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）306．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD AD⊥，∵AE AB⊥，CD AB∥，故CD AE⊥，又AD AE A=I，∴CD⊥平面ADE，∵CD⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ADE．（2）∵1BC=，2EA=，5DE=，∴222DE AD AE=+，∴AE AD⊥，又AE AB⊥，AB AD A=I，∴AE⊥平面ABCD．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-，则()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,2,1F ，()1,0,2E ，∴()1,2,0DB =u u u r ，()0,2,1DF =u u u r，设平面BDF 的一个法向量(),,x y z =m ，由0DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，得2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2x =，得()2,1,2=-m ．同理可求得平面BDE 的一个法向量()2,1,1=--n ， ∴36cos ,636⋅〈〉===⋅m n m n m n ，∴30sin ,6〈〉=m n ， 故二面角E BD F --的正弦值为306． 19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0):x y a b a C b+=>>的离心率为55，且左焦点F 1到左准线的距离为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 2与l 1平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线l 1的两侧）．记△MAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）)1,51⎡-⎣． 【解析】（1）因为椭圆C 的离心率为55，所以55c a =， 又椭圆C 的左焦点1F 到左准线的距离为4，所以24a c c ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以25a =，21c =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22154x y +=．（2）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为1，所以211m k =+，即21m k =+，设直线2:l y kx n =+，由22154y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22245105200k x knx n +++-=，因为直线2l 与椭圆C 相切， 所以()()()222104455200Δkn kn=--+-=，整理得2254n k =+，因为直线1l 与直线2l 之间的距离21m n d k -=+，所以112S AB d =⋅，2112S AB =⋅， 所以12211m n m n S n S m m k λ--====-+， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 因为20k ≥，所以[)24,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又,O M 位于直线1l 的两侧，所以,m n 同号，所以)2,5n m⎡∈⎣，所以)11,51n m ⎡-∈-⎣， 故实数λ的取值范围为)1,51⎡-⎣．20．（12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17． （1）若每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值． ①求μ和σ的值；②若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【答案】（1）①20μ=，2σ=；②(0.9772,0.9987)；（2）分布列见解析，112()45E Y =． 【解析】（1）①样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准差为222221[(2320)2(2120)2(2220)3(1920)2(1720)]210⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=， 因此20μ=，2σ=．②学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟， 由于1(26)(3)1[(1(33)]2P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+11(10.9974)0.99872=-⨯-=，1(24)(2)1[(1(22)]2P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+11(10.9544)0.97722=-⨯-=．所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987)．（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23．在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0，1，2，3，4，5，6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====， 11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===，1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===， 所以Y 的分布列是Y0 1 2 3 4 5 6 P2152151445215745445245Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （2）记()f x 的导函数为()g x ，当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．【答案】（1）0；（2）证明见解析． 【解析】（1）()()11e ln e e ln xxx f x a x a x x x ⎛⎫=⋅++⋅=⋅++ ⎝'⎪⎭， 依题意，有()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =． （2）令()1e ln xg x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭， 所以()2211121e ln e e ln xx x g x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅-=⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'．因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x +-+同号， 设()221ln h x a x x x =+-+，则()()22331122x x x h x x x -='+-+=， 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在()0,+∞单调递增． 因为()0,ln2a ∈，所以()110h a =+>，11ln 022h a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x =． ()g x 与()g x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：x01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x()0,1x()g x ' -+()g x↘ 极小值↗所以()g x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以若()0,ln2a ∈，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0x 是()g x 的极小值点．令()00h x =，得到002012ln x a x x -+=，所以()()00000212e ln e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程是222422x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【答案】（1）22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）26． 【解析】（1）2cos 2sin ρθθ=-Q ，22cos 2sin ρθθ∴=-，∴圆C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=，即2222122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴圆心直角坐标为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）直线l 上的点向圆C 引切线长是()22222222421840424262222t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+++-=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是26．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． （1）求m 的值；（2）若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥． 【答案】（1）1m =；（2）证明见解析．【解析】（1）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+， 由()10f x +≥的解集为[]0,2，可知1m =． （2）111123a b c++=， 则()11123322322111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c ⎛⎫++=++++=++++++++⎪⎝⎭233233692323b a c a c ba b a c b c=++++++≥+=．当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立．。

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1{|24}4x A x =≤≤，{|22}B y y x x ==--，则A B =（ ） A ．{2} B ．{0}C ．[2,2]-D ．[0,2]【答案】B 【解析】由1244x ≤≤，得22x -≤≤，即[2,2]A =-， 由22y x x =--，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =．故选B ．2．若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ） A ．25 B 17C ．5D ．17【答案】C【解析】由(1)42z i i -=+，得42124iz i i +-==-，所以34z i =-，所以5z =． 3．从[6,9]-中任取一个m ，则直线340x y m ++=被圆222x y +=截得的弦长大于2的概率 为（ ）A ．23B ．25C ．13D ．15【答案】A【解析】2，当弦长大于2时，圆心到直线l 的距离小于1，即||15m <，所以55m -<<，故所求概率5(5)29(6)3P --==--． 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺 D ．1631尺 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项15a =，前30项的和30390S =，求公差d ． 由等差数列的前n 项公式可得，30293052390d ⨯⨯+=，解得1629d =． 5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．125π+D ．2412π+【答案】D【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为11112436591262424πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故两部分表面积为2412π+．6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ）A ．a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3D ．众数约为350此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】C【解析】由(0.00240.00360.00600.00240.0012)501a +++++⨯=，解得0.0044a =，故A 错； 由A 可知，0.0044a =，所以平均数为0.002450750.0036501250.0060501750.004450⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2250.0024502750.001250325186+⨯⨯+⨯⨯=，故B 错误；居民月用电量在[50,150)的频率为：(0.00240.0036)500.3+⨯=， 居民月用电量在[150,200)的频率为：0.0060500.3⨯=， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为0.50.315050183.30.3-+⨯≈，故C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D 错误． 7．已知252(231)(1)ax x x++-的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．10- B ．7-C ．10D ．9【答案】D【解析】令1x =，则有56(1)0a -=，所以1a =， 又52(1)1x-展开式的通项为21015(1)k k k k T C x -+=-，令4k =，则常数项为45210C =， 令5k =，则常数项为5511C -=-，故展开式的常数项为1019-=．8．已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．3或322D ．2或33【答案】D【解析】当双曲线的焦点在x 轴上时，设C 的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>，则其渐近方程为b y x a =±，所以3b a =22222213b c a e a a-==-=，所以2e =； 当双曲线的焦点在y 轴上时，设C 的方程为)0,0(12222>>=-b a ay b x ，则其渐近方程为x b a y ±=，所以3=b a ，所以31=a b ，所以22a b =222aa c -=3112=-e ，所以23e ． 9．已知正项数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且有223526324002a a a a +=-，2410S S =，则第2019项的个位数为（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．9【答案】C【解析】由223526324002a a a a +=-，得223355232400a a a a ++=，即()23532400a a +=，又0n a >，所以53a a +=180，从而180)421=+q q a （，由2410S S =，得)(10214321a a a a a a +=+++，即)(92143a a a a +=+，所以())(921221a a q a a +=+，所以92=q ，又0q >，所以3q =，代入180)421=+q q a （，得21=a ，所以()()5045042018422019232331881a =⨯=⨯⨯=⨯，故其个位数为8．10．已知函数2()f x x ax =+的图象在12x =处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）A ．1314B ．1415C ．1516D ．1617【答案】B【解析】()2f x x a '=+，则()y f x =的图象在12x =处的切线斜率112()k f a '==+， 由于切线与直线20x y +=垂直，则有1()(1)12a -+=-，则1a =， 所以2()(1)f x x x x x =+=+，所以111()1f k k k =-+，所以111(1)()223S =-+-++11)1(k k -+，由于输出的k 的值为15，故总共循环了15次，此时1111115(1)()()223151616S =-+-++-=，故t 的值可以为1415． 11．已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，且函数)(x f 在]12,3[ππ-上具有单调性，)0,6(π-和π127=x 分别为函数)(x f 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A ．函数)(x f 图象的两条相邻对称轴之间的距离为4πB ．函数)(x f 图象关于直线3π-=x 对称C ．函数)(x f 图象关于点)0,12(π-对称D ．函数)(x f 在)2,6(ππ上是单调递减函数【答案】D【解析】由于函数()f x 在[,]312ππ-上具有单调性，所以5123122T πππ+=≤，即512ππω≤，所以512≤ω，又由于函数)(x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，所以27326T πππ+=≥，即726ππω≥，所以127ω≥，故有121275ω≤≤， 又(,0)6π-和712x π=分别为函数()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴， 所以2174126k T ππ+=+，k Z ∈，所以2(21)3k ω+=，k Z ∈，所以2ω=， 故()2sin(2)f x x φ=+， 又(,0)6π-为函数()f x 图象的一个对称中心，所以2()6k πφπ⨯-+=，k Z ∈， 所以3ππϕ+=k ，Z k ∈，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以)32sin(2)(π+=x x f ． 由于函数)(x f 的周期为π，所以相邻两条对称轴之间的距离为2π，故A 错误； ()23f π-≠±，且()012f π-≠，故B ，C 错误；由于函数)(x f 的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ127,12k k ，Z k ∈，当0=k 时，得其中的一个单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，而⊂)2,6(ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，故D 正确． 12．已知函数()f x 在(0,1)恒有()2()xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若,αβ为锐角三角形的两个内角，则（ ）A ．)(sin sin )(sin sin 22βααβf f >B ．)(cos sin )(sin cos 22βααβf f >C ．)(cos cos )(cos cos 22βααβf f >D ．)(cos sin )(cos sin 22βααβf f >【答案】B【解析】令2()()f x g x x=，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==， 由于(0,1)x ∈，且()2()xf x f x '>，所以()0g x '>，故函数()g x 在(0,1)单调递增． 又βα,为锐角三角形的两个内角，则022ππαβ>>->，所以1sin sin()02παβ>>->， 即0cos sin 1>>>βα，所以)(cos )(sin βαg g >，即ββαα22cos )(cos sin )(sin f f >， 所以)(cos sin )(sin cos 22βααβf f >．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年高考押题卷理科数学（二）本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a b b a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（） A ．481πB ．6π C ．481 D ．61 【答案】D【解析】根据公式d =23=，解得16V =．故选D ．4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据题意可得，()π17ππ1πsin cos sin sin 326323f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πsin 23x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3ππ3sin 2634ω⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2636k ωπππ⎛⎫-+=+π ⎪⎝⎭或5．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（） A ．2aB2C2 D．2【答案】D【解析】如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积)2214sin 602S =⨯⨯︒=．故选D ．6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（） A ．328B ．128C ．37D ．1328【答案】D【解析】根据题意可得1126222288C C C 13C C 28P =+=．故选D ． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，AB =，BC ＝2，点E 为AB的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅= （）A ．－2B ．12-C ．0 D【答案】A【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系如图，∵AB =，BC ＝2，∴(A ，()0,0B ，()2,0C ，D∵点E 为AB 的中点，∴0,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，设向量CD 与向量BC 的夹角为θ，所以1cos 2CD θ=- ，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △DFC 中，()cos πFC CD-θ= ，所以12CF = ，所以32D ⎛ ⎝，所以2,2CE ⎛=- ⎝⎭，32BD ⎛= ⎝ ，所以312CE BD ⋅=-+=- ． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（） A ．80B ．20C ．180D ．166【答案】C ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1n n n b a a +=+，所以112n n n b a a +++=+，两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数，所以数列{}n b 也为等差数列．因为{}n a 为等差数列，且S 2＝4，S 4＝16，所以11224b a a S =+==，3344212b a a S S =+=-=，所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==，所以前n9．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（） A ．96种 B ．100种 C ．124种 D ．150种 【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==，当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==，根据分类计数原理知共有，故12150N N N =+=，选D ． 10．已知函数cos y x x =+，有以下命题：①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R ，值域为R ，所以①不正确，②正确；由于()cos f x x x =+，所以()cos f x x x -=-+，所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，所以③不正确；当π2x =时，cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2；所以④正确．故选C ．11．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO-的取值范围（）A．⎛ ⎝⎭B．⎛⎝⎭C．⎛⎝⎭D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】设P ()00,x y，则00x <<e ==，10PF x =，2PF=0x，PO ==12x PF PF PO -==，因为00x <20445x >，所1>，所以05<<，所以1205PF PF PO -<<．故选B ． 12．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A BC D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（）B．2BM =C ．∠MBND ．五边形FBEGH【答案】C 【解析】因为面11//AD BC 面，且面1AD 与面MBN 的交线为FH ，1BC 面与面MBN 的交线为BE ，所以HF //BE ，A 正确；因为11//A F BB ，且1:1:2A F FA =，所以111:1:2MA A B =，所以112MA =，所以132B M =，在Rt △1BB M中，BM ==B 正确；在Rt △1BB N 中，E 为棱1CC 的中点，所以1C 为棱1NB 上的中点，所以11C N =，在Rt △1C EN中，EN ==BN =；因为52MN ==，在△BMN 中，222cos 2BM BN MN MBN BM BN +-∠==⋅，所以C错误；因为cos MBN ∠=，所以sin MBN ∠=，所以BMN S =△12BM⨯sin BN MBN ⨯⨯∠=可得，14GEN BMN S S =△△，19MFH BMN S S =△△，所以BEGHF S =面BMN GEN MFH S S S --=△△△．故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密 ★ 启用前故圆锥的底面半径为 1，圆锥的高为 2 2，不2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3 ．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

1所以圆锥的体积 = 13 3．在矩形 ABCD 中， 且 BN A ．6答案】 解析】 π12 2 2 2 2πu u6， 1 uuuur uuuurBC ，则 AM MN ( 3B ． 3由题意作出图形， 如图所示：u A u D ur 3．若点M 是CD 的中点，点C ．4D．N 是 BC 的三等分点，第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 由图及题意， 可得 uuu ur AM uuur uuuur AD DM uuur AD 号证考准只1．已知集合 M {x(x 2)(x 5) 0}， N {y y 2x } ，则 M I N （）A ． (0,2]B ．(0,5]C ． [2,5]D ． [2, )【答案】 B【解析】依题意， M {x (x 2)(x 5) 0} {x 2 x 5}，N {y y 2x } {y y 0}，uuuur uuur MN CN uuuur uuuur ∴ AM MNuuu ur CM 2 uuur 1uuur CB CD 32 uuur 1uuur (AD AB) 1uuurAB ， 22uuurBC3 1uuu r DC 22uuurAD 3 1uuurAB， 2 2uuur1uuur ( 3 AD 2 AB) 21 uuur 2 AB2 9 1 36 3，34故 M I N （0,5] ，故选 B ．2．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不容异” ．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高故选 B ．4．在等差数列 {a n } 中，a 12， a 3 a 7 28， 其前 n 项和 a n 26 ，则 n 等于（ ）A ．7B ． 8C ．9D ．1名姓 级卷此的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为 棱锥的体积为（2 2 πA ．π3【答案】 A 【解析】由题意可知三棱锥的体积 = 圆锥的体积，42B ． π 3C ． 4 2π3的三分之一圆，由此推算三16 D ． π32π 3因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为2π3 3 2π，答案】 解析】又∵a n a 12， a 3 a 7a 1 (n 1)d 222xy5．已知椭圆 C:64 39 则 PF 1F 2 的余弦值为（2a 5 3(n 1) 28，∴ a 5 14， 3n 1 26，∴ na 5a 13，9，故选C ．1的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 P 在椭圆 C 上，若PF6，23 A ． 10B．7 102 C ．53D ．513则 f(x)的值域为 [4,133]，故选 C ．答案】 8．三棱锥 S ABC 的各顶点均在球 O 上， SC 为该球的直径，AC BC 2 ， ACB 120 ，解析】 依题意， 10，而 F 1F 2 2 6439 10 ，三棱锥 S ABC 的体积为 2 ，则球的半径为( ) 故 cos PF 1 2 F 1F 2 2 2PF 2 2 2 PF 1 F 1F 2PF16 ， PF 2 36 100 1001)ln | x |的图象大致为(PF 1F2 6 103 ，故选10A ．3C ．5A ．答案】 D 解析】 如下图所示，B y ( x 6．函数 解析】 由题易知，函数 )因为 AC BC 2 ， ACB 120 ， 1)ln | x |为偶函数，排除 A 选项；1时， ln |x| 0， x 1 0，所以 y ( x 1)ln |x|，排除 B 选项；1则△ABC 的面积为 AC BC sin ACB 222当 x 1时， y (x 1) ln x ， y ln x x1 xx1所以当x 1时， ln x 0，0，x所以函数 y ( x 1)ln |x|在 (1, ) 上单调递增，排除 D 选项．7．已知函数f(x)3cos 2 x 4sin x ， x π 2 π( , )，则 f (x) 的值域为( 6317 A ．［4,147)B ． (4,147)413C ．［4,133］【答案】 Cf(x) 3(1 sin 2 x) 4sin x 13 D ．(4,133］23sin x 4sin x 3 ，令 t sinx(12,1］， 由y 3t24t3 的对称轴为 t 2 3，4 2 13则 y max 3 43y min3 14 1 3 4 ，933解析】 依题意， ∵O 、 E 分别为 SC 、CD 的中点， 则 SD∥ OE ，∴ SD平面 ABC ，∴三棱锥 S ABC 的体积 V S ABC 133 SD 2 ，∴ SD 2 3 ，因 ACB 120 ，则ABC 30 ，由正弦定理得 CDAC 24，设△ ABC 的外接圆为圆 E ，连接OE ，则OE平面 ABC ，作圆 E 的直径 CD ，连接SD ，sin ABC sin30∴ SC CD 2 SD 2 42 (2 3)2 2 7 ，设球 O 的半径为 R ，则 2R SC 2 7，∴ R 7 ． 9．函数 f (x) x 4 (x 2) (23)x 的零点个数为()3A ．0B ． 1C ． 2D ． 3【答案】 C【解析】 令 f (x) 2x0 ，得 x 4 (x 2) ( )x ，显然 x2不是该方程的根，故x 4x2在同一直角坐标系中分别作出y x 4，y (2)x的图象如图所示，x 2 3 2cos(2 π) 0 ，所以 B 错误；4观察可知，它们有2个交点，即函数f (x) x 4 (x 2) (2)x有2个零点，故选 C．3 因为4πx2ππ23π，所以2π2x4π，2cos 2x [ 2,0] ，3所以 D 正确．11．已知函数取值范围(A．(0,e12)f(x)10．已知函数f (x) sin x 3cos x ( 0 )的对称轴构成一个公差为π的等差数列，把函2答案】 Aπ数f (x)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x) 的图像，关于函数g(x)，下列说法正确12的是( )A．函数g(x) 是奇函数πB ．其图像关于直线x 对称4C．在[0,π] 上是增函数4 D．在区间[4π,23π上的值域为[ 2,0]答案】 D解析】Q f (x) sin x 3cos x 2sin( x 3π) ，函数f (x) 图象的对称轴构成一个公差为ππ的等差数列，2故函数πf (x) 的最小正周期为T 22所以2 π 2 πππ2，函数f(x) 2sin(2 x ) 图象沿x轴向左平移个单位得，T π 3 12g(x) 2sin[2( x 1π2) 3π] 2sin(2x 2π) 2cos2x ，故g(x) 为偶函数，并在区间[0, 2π] 上为减函数，所以 A、C 错误；x2,x2ln x,0，若函数g(x) f (x)kx 1有且只有三个零点，则实的B．( 12,0) C．(0,e)D．(x解析】如图，作出函数f (x) 2,ln x,点，的图象，函数g(x) f (x) kx 1有且只有三个零则函数f (x) 与函数y kx 1 的图象有且只有三个交点，函数y kx 1图象恒过点(0,1)，则直线y kx 1 在图中阴影部分内时，函数f (x) 与y kx 1 有三个或两个交点，当直线y∴ ln x0∴ k 122 ekx 1与y ln x的图象相切时，设切点为(x0,lnx0) ，切线斜率为k x10，1x0x0，∴ k12．已知双曲线周长是9 ，动点1，解得x0 e2，(0,e12)．C :x2 y23P 在双曲线1的左右焦点分别为F1,F2，M 是双曲线C 左支上的点，△MF1F2的C 的右支上，则△MF1P 面积的取值范围是(A ． [ 3, )B ．)C ．，+ )D ．[98 3, )解析】 因为函数 f(x)22x 2 x, x 0 2x 2x , x 0答案】 B 解析】 本题首先要通过 △MF 1F2 的周长结合双曲线的第一定义求得焦半径 MF1 的长， 再由余弦定理得出 MF1 与双曲线渐近线平行的结论， x 0时， f(x)2x 2 x 2(x 1)2 1 ，此时 f (x) 递增；48 x 0时，f(x)x 2x 2 2(x 1)2 1，此时 f (x) 递增，48 且 f (0) 0，所以f (x) 在R 上单调递增，而△ MF 1P的面积则需求得点 P到 MF1距离的取值范围， 进而发现 P 到 MF 1距离总大于b． 不妨设点 M 在 x 轴上方，由双曲线方程得 a 1， b 3 ， c 2 ， ∵ f(2a) f (6a) ，∴ 2a 6 a ，∴ a 2 ．y 4xy 4 的最大值为15．已知实数xy 满足 x 2y 6 0 ，则 xx4y4所以 |MF 1| |MF 1 | 2 4 9 |MF 1|3 2， 答案】32所以 cos MF 1F 2 (2)解析】 作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，所以 MF 1 与渐近线 y 3x平行， 所以点 P到直线 MF1 距离的取值范围是 (b, )，即 ( 3, ) ，因此 △MF 1P面积的取值范围是 )． 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分． 13．记等比数列 {a n }的前 n项和为 S n ，若 S S5S 10114，则 a 2a 7z x y 44表示平面区域内的点观察可知，k DCy4 x(x, y)与点 D(4, 4)连线的斜率，，联立4x2y 60x，解得23，8 3答案】 1 3即B( 2383)，解析】 显然 q1， 故 S5 S 105 q10 q 10 5 q 5 5 q 5 3， 故a a 2 a 74 的最大值为 x48 3 24 32 12 3314．已知函数f(x)2x2x,2x 2,，若f (2a) f(6 a) ，则 a 的取值范围是 16．在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， ABC90 且 BB 1 4 ．设其外接球的球心为 O ．已知三棱 答案】 (2, )锥 O ABC 的体积为 2，则球 O 的表面积的最小值是 ．【答案】 28π【解析】 如图，在 Rt △ABC 中，设 AB c ， AC b ，则 BCb 2c 2，取BC ，B1C1 的中点分别为O2 ，O1 ，当n 2时，3S n 1 a n 1 4 0 ，相减得4a n a n 1，所以a na n 114，则O2，O1分别为Rt △ABC 和Rt △ A1B1C1的外接圆的圆心，连接O2O1，又直三棱柱ABC A1B1C1的外接球的球心为O，则O为O2O1的中点，则数列{a n}是以a1 1为首项，1为公比的等比数列，44连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径，则a n设半径为R ，因为直三棱柱ABC A1B1C1 ，所以BB1 O2O1 4，14 (14)n(14)n，所以三棱锥O ABC 的高为2 ，即OO2 2 ，当n 1 时，a1 符合通项公式，又三棱锥O ABC 体积为2 ，所以V O ABC 1O ABC31bc 2 22bc 6．故a n1(14)n．在Rt △ OO2 B中，R2 (1BC)2 (OO2)22 ( b2 c2)2 b2 2 c4，b n log2 a n 2n ，1b n b n 114n(n 1)14(1n4n n 1) ，设球的表面积为S1 ，所以S14πR24 π（22b24c2 4) π(b2c2) 16 π 2πbc 16 π∴ S n 14(111122111L3341n11)n114(1 n11) n4(n 1)12 π 16π 28π，当且仅当b c 时取“”，所以球O 的表面积的最小值是18．（ 12分）已知向量三、解答题：本大题共6 个大题，共17 ．（12 分）已知数列{a n}的前n项3S n1）求数列{a n}的通项公式；2）设数列b n log2 a n ，求数列{ 128π．1）求函数70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．b n b n 1a n 4 0(n N ) ，} 的前n项和S n ．答案】（1）a n （41）n；（2）S n 4（n n1）1解析】（ 1）数列{a n}的前n项和为S n，a1 ，且3S n a n4 a10，m= (sin x,cosx) ，f （x）的解析式及单调减区间；n= ( 3 cos x,cos x) ，x? R ，设f (x)= 2m?n2）在△ ABC中，a ，b ，c分别为角A，B ，C的对边，且a= 3，b+ c= 3，f（A3，求△ABC 的面积．答案】(1) f(x)= 2sin(2 x + π)6π 2 π+ 2；单调减区间为[6π+ kπ,23π+ kπ] ，k ? Z ；(2)S= 32解析】f(x)= 2 3sin x cosx + 2cos2x + 1 = 3sin2x+cos2x+ 2= 2sin(2 x+ π)+26π π 3 ππ 2 π2+ 2kπ? 2x 6? 322kπ，k ? Z，得[6+ kπ,23+ kπ]，k?Z，所以函数的单调递减区间为[ 6π+ kπ, 23π+ kπ]，k? Z ．2)∵ f(A)= 2sin(2 A + π)+2= 3，∴sin(2A+ π)= 16 6 2∵ 0< A< ππ13ππ 5 ππ< 2A+ < ，∴ 2A+ = ，即A= ．6 6 6 6 6 3在Rt△PDQ，PD2PQ2DQ2，PQ 2 3，2 2 2 2由余弦定理得a2 = b2+ c2 - 2b cosA = (b+ c)2 - 2bc- 2bc cos A ，V1V∴V P BQM V P BCQ21123∴3= 9- 3bc ，bc= 2 ，∴ S= 1 bc sin A= 32220．（12 分）已知椭圆2C: a x22 yb2 1（a b 0）的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半19．（ 12分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC ，ADC 90 ，1平面PAD 底面ABCD ，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA PD 4，BC 1AD 2，2CD 3 ．径的圆与y轴的交点分别为（0,3），1）求椭圆C 的标准方程；2）设不经过点A的直线l 与椭圆(0,1) ．uuurC 交于P ，Q 两点，且APuuurAQ 0 ，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．答案】解析】1）求证：平面BQM 平面PAD ；x2 (y2 x21）y 1 ；（ 2）直线l 过定点，该定点的坐标为41）依题意知点A的坐标为（0,b），以点A 圆心，以22b)2 a2，(0, 35) ．5a 为半径的圆的方程为2）求四面体P BQM 的体积．答案】（1）证明见解析；（2）1．1解析】（1）证明：∵ AD∥BC，BC 1AD，Q为AD中点，2 令x由圆∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD∥BQ ，ADC 90 AQB 90 ，即BQ AD ，又∵平面PAD 平面ABCD ，且平面PADI 平面ABCD AD ，BQ 平面ABCD ，∴ BQ 平面PAD ，∵ BQ 平面BQM ，∴平面BQM 平面PAD ．1( 2)∵V C BQM V P BQM ，V M BCQ V P BCQ，2由( 1)可知：四边形BCDQ 为矩形，∴ S△BCQ 1BQ BC 3 ，2 ∵ PA PD，Q为AD的中点，∴ PQ AD，∵平面PAD 平面ABCD ，且平面PADI 平面ABCD AD ，∴ PQ 平面ABCD ，0 ，得y b a ，A与y 轴的交点分别为(0,3) ，(0,1) ，可得b b故所求椭圆C 的标准方程为y2 1．，解得a 2，b1uuur uuur uuur2)由AP AQ 0 ，得AP设直线l PA : y kx 1①，则将①代入椭圆方程并整理，得则y P1 4k2，同理，可得P1 4k2由直线方程的两点式，得直线uuurAQ ，可知l QA: y k1xk(1 4k2)x28kx Q k2 4l 的方程为yPA的斜率存在且不为1②，8kx，y Qk25k0．0 ，可得x P8k，2，1 4k2即直线l过定点，该定点的坐标为（0,35）．k2k24，43，521 ．(12 分)已知函数 f (x) aln x e x a(a 0) ．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分(1)求当 a 1时， f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程； ( 2)若关于 x 的不等式 f(x) 0恒成立，求实数 a的取值范围． 【答案】( 1) (e 1)x y 0；(2) (0,e)． 【解析】( 1)当 a 1时，因为 f (x) aln x e x a ln x e x 1， 1所以 f (x)e x ，所以f (1) 1 e，x又 f (1) 1 e ，所以 f (x) 在(1, f (1))处的切线方程为 y (1 e) (1 e)(x 1)， 即(e 1)x y 0 ．22．(10 分)【选修 4-4：坐标系与参数方程】x 4cos在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 :( 为参数)，将曲线 C 1上的所有点的横坐标1y 4sin 1短为原来的 1 ，纵坐标缩短为原来的 3 后得到曲线 C 2 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半为极24轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin( 3π)1)求曲线C 2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程；2)设直线 l 与曲线 C 1交于不同的两点 A ， B ，点 M 为抛物线8 3x 的焦点，求 MA MB 的值．(2)由( a1)知 f (x)e x axxe(x 0) ，xx令 g(x) a xe x ，则 g (x) (x 1)e x0，所以 g(x)在 (0, )上单调递减．由于 g(0)a 0， g(a) aaae a(1e a ) 0 ，则存在 x0 (0,a) ，使得 g(x 0) 0 ，即ax 0x 0e 0 x 0x 0e ax 0e 0ax 0又 0 x x 0 ， g(x) 0 ，则 f (x)0，所以 f(x)在(0, x 0 )上单调递增；x x 0 ， g(x) 0，则 f (x)，所以 f (x) 在 (x 0, ) 上单调递减，所以在 x x 0 处有最大值 f (x 0)a ln x 0 e x0 a a(ln1 x 0 1)，x 0由 f (x) 0恒成立，得 f (x 0) 0， 1即 a(ln x 0 1) 0 ，所以 ln x 01 1 0x 0x 0令 h(x) 1ln x1 ，则 h(x) 1 x1 2 x0 ，所以函数 h(x)在 (0, )上单调递增．由于 h(1) 0，则 h(x) 0，解得 x 1，所以 x 0 1， 由a x 0e x0在 (0,1)上单调递增，所以 0 a e， 所以实数 a的取值范围为 (0, e)．答案】(1) 解析】(1) 经过伸缩变换C 2 : 212 ，2， 3 sin 2将曲线 C 1 :4cos 4si n1x2 3 4y后得到曲线化为极坐标方程为2 12 ，3 sin 2将直线 l 的极坐标方程为l : 3x y 6 0 ；( 2) 4．为参数)，消参得 x 22 C 2 :x 4 2y 2 1，3，化为直角坐标方程为πsin( )3 2)由题意知 M ( 2 3,0) 在直线 l 上，23又直线πl 的倾斜角为 ，所以直线 l 的参数方程为33t 2B 对应的参数分别为t 1 ，t 2 ，将直线l 的参数方程代入 x 2 y 2 16中，得 t 2 2 3t因为 M 在 C 1内，所以 Δ 0 恒成立，3x16，1 t 2(t 参数)，23．（10 分）【选修 4-5 ：不等式选讲】已知a 0，b 0，且a b 1．（1）若ab m恒成立，求m 的取值范围；41（2）若|2x 1| |x 2|恒成立，求x的取值范围．ab1答案】（1）m ；（2）[ 6,12] ．4a b 2 1 解析】(1)∵ a 0，b 0，且a b 1，∴ ab ( )2 24当且仅当a b 1时“ ”成立，2由ab m 恒成立，故m 2)∵ a,b (0, ) ，a b 1，4 1 4 1 4b a 4b a a( )(a b) b a b 5a b 52a b9，4 故若411 |2x 1| |x2| 恒成立，则|2x 1| |x 2| 9 ．a b当x2 时，不等式化为1 2x x 29 ，解得 6 x 2 ；1 1当2 x ，不等式化为 1 2x x 2 9 ，解得 2 x2 2当x 1时，不等式化为2x 1 x 219 ，解得x 12，2 2 综上所述，x 的取值范围为[ 6,12]．由韦达定理得t1 t2 4 ，所以MA MB t1 t2 4．。

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|log (1)0}A x x =-<，{|3}B x x =≤，则R C A B ⋂=（ ） A.(,1)-∞B.(2,3)C.(2,3]D.(,1][2,3]-∞⋃2.已知复数134z i =+，复平面内，复数1z 与3z 所对应的点关于原点对称，3z 与2z 关于实轴对称，则12z z ⋅=（ ） A.25- B.25C.7-D.73.函数4||ln ||()x x f x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.4.在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且D 为BC 边上靠近C 的三等分点，则AB AD ⋅=uu u r uuu r（ ）A.8B.6C.4D.25.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若1sin sin sin 2b B a A a C -=，且ABC ∆的面积为22sin (1cos 2)R B A -，则cos B =（ ） A.14 B.13C.12D.346.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆222()4x c y a -+=截得弦长为圆心到渐近线距离的两倍（其中c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ） A.2e =B.3e =C.2e =D.3e =7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为1-，则判断框中可以填入的条件是（ ）A.999?n ≥B.999?n ≤C.999?n <D.999?n >8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设24DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A.413B.513C.926D.3269.长方体1111ABCD A B C D -，4AB =，2AD =，1AA =11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A.25B.35C.45D.1210.将函数(sin 6)y x π=+的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再往上平移1个 单位，所得图象对应的函数在区间[],42ππ-上的值域为（ ） A．[1,2]2- B ．1[,2]2C ．[0,2]D ．1[,1]2-11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=，且(1)4f -=， 则(2020)f 的值为（ ） A.2B.3C.4D.512.过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4||||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF =（ ） A.54B.3C.4D.5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年泄露天机卷（数学理科）一、选择题1. 复数z 为纯虚数，若()3i z a i -⋅=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）. A ．13 B ．3 C ．13- D ．3- 2. 已知{}{}222|,|2M y R y x N x R x y =∈==∈+=，则MN =（ ）.A ．{}(1,1),(1,1)-B ．0,2⎡⎤⎣⎦C ．[]0,1D ．{}13. 已知命题3:00p x x ∀>>，，那么p ⌝是（ ）.A ．300x x ∀>，≤B ．30000x x ∃，≤≤ C ．300x x ∀<，≤ D ．30000x x ∃>，≤ 4. 若非零向量,a b 满足223a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）. A. π B.2πC.34π D. 4π 5. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）.俯视图侧视图正视图12222A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差d 等于（ ）.A ．1B ．2C ．4D ．67. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是（ ）. A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞C ．33[,]33-D ．2[,0]3- 8.已知函数()()cos 24f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，所得的图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ）. A.316π B.516π C.34π D.38π9. 中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）.A.1818A 种 B.2020A 种 C.231031810A A A 种 D.218218A A 种10.函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是（ ）.11. 如图，为了测量A C 、两点间的距离，选取同一平面上B D 、两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5,8,3,5A B B C C D D A ====，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为（ ）．A ．7kmB ．8kmC ．9kmD ．6km12. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）.A ．2B ．4C ．6D ．813. 下列说法正确的是（ ）.A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．()0,0x ∃∈-∞，使0034xx<成立D ．“t a n 3α≠”必要不充分条件是“3πα≠”14. 设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）.A.11a b+有最大值4 B.ab 有最小值14C.a b +有最大值2D.22a b +有最小值2215. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A ．33π+B ．323π+ C ．23π+ D ．3π+16. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下结论： ① 直线1A B 与1B C 所成的角为60︒；②若M 是线段1AC 上的动点，则直线CM 与平面1BC D 所成角的正弦值的取值范围是3[,1]3； ③ 若P Q ，是线段AC 上的动点，且1PQ =，则四面体11B D PQ 的体积恒为26. 其中，正确结论的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17. 设k 是一个正整数，在1+)kxk（的展开式中，第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（ ）. A ．23 B ．13 C ．25 D ．1618. 已知数列{}n a 中，()()12212121,1,2*kk k k k k a a a a a k N -+==+-=+∈，则{}n a 的前60项的和60S =（ ）.A ．312154-B ．312124-C ．32294-D ．322124-19. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A B 、是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠＝．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MNAB的最大值是( )． A ．23 B ．32C ．1D ． 16 20.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（ ）. A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题21. 执行下面的程序框图，若输出的结果为21，则输入的实数x 的值是________．22. 某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．23.已知函数()f x 定义域为()0,+∞，其图象是连续不断的，且导数存在，若()()f x xf x '>，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为________．24.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，则每个房间恰好进入一人的概率是 .25.已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了相应的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ．26.设)(x f 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]2,0x ∈-时，1)21()(-=x x f ，若在区间(]2,6-内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．27. 设12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为 ．28. 设G 为三角形ABC 的重心，且0AG BG =，若11tan tan tan A B Cλ+=，则实数λ的值为 ．29. 若(]0,1x ∀∈，不等式3ln 1mx x -≥恒成立，则实数m 的取值范围是 . 30. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5…………2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ……………… 4027 4029 4031x1813 10 1-y2434 38 648 12 16 …………………… 8056 8060 20 28 ……………………………16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．三、解答题31. 已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．32. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．33. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，.PA BD ⊥（1）求证：PB PD =；（2）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．34.自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数4816 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．35. 如图，已知四边形ABCD 内接于抛物线2x y =，点(3,9)C ，AC 平行于x 轴，BD 平行于该抛物线在点C 处的切线，90BAD ∠=．yxODCB A（1）求直线BD 的方程； （2）求四边形ABCD 的面积．36.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PABE ，4AB PA ==，2BE =．（1）求证：CE平面PAD ；（2）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；（3）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．37. 设数列{}n a 的前n 项和为()()1,1,31,,2n n n S a S na n n n N n ==--∈≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由． 38. 已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈． （1）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间； （3）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立． 39. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点()2B 2,在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．40. 已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中0m >.（1）当1m =时，求证：若10x -<≤，则()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数.2016年当代中学生报泄露天机卷（数学理科）参考答案与解析1.A 由题()3i z a i -⋅=+，得i a a i i a z 10310133++-=-+=，又z 为纯虚数，则 1310,3a a -==，检验符合题意.2.B 由题意，知{|0}M y y =≥，{|22}N x x =-≤≤，所以MN =0,2⎡⎤⎣⎦．3.D 全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以p ⌝是30000x x ∃>，≤. 4.D 22222cos 323)23()(b b a a b b a a b a b a -⋅-=-⋅-=+⋅-α，其中α为a 与b 的夹角，因为()(32)a b a b -⊥+，所以有02cos 322=-⋅-b b a a α，将223a b =代入，求得422cos παα=⇒=. 5.B 根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体．其底面积22282S ππ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭；底面周长6C π=+；侧面面积为()62122ππ+⨯=+．所以几何体的表面积等于()()8122203πππ+++=+．6.B 等差数列的前n 项和为d n n na S n )1(211-+=，所以有d n a n S n )1(211-+=，代入32132S S -=中，即d d a d a S S 21])12(21[-)13(212-31123=-+-+=，所以有2=d . 7.A 圆心的坐标为(3,2)，设圆心到直线的距离为d ，则由点到直线距离公式，有2|323|1k d k -+=+，∴2222(31)||2241k MN r d k +=-=-+，|MN |23≥，∴2860k k +≤，解得3[,0]4-. 8.A 将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得函数()cos 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，可得函数[||]444|4|4y cos x cos x ππϕϕ=-+=+-（）（）的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得||442k ππϕπ-=+，即,4||16k k Z ππϕ=--∈， 则ϕ的一个值是316π． 9.D 21国领导人中，除了中美俄三国需要指定位置外，其余18国领导人可以任意排序，虽然分前后两排，但不影响排序结果，所以有1818A 种站法，而中美俄三国领导人根据要求则有22A 种站法，因为这两个事件互不影响，所以共有181822A A 种站法.10.B 易得]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ，C ，cos cos cos '()(sin )(1sin )x x x f x e xe x e x x =+⋅-=-，显然存在0(0,)x π∈，使得当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，0(,)x x π∈时，'()0f x <，即()f x 在[0,]π上先增后减，故排除D ，故选B ．11.A 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-，即22564AC =+－258cos B ⨯⨯＝8980cos B -．在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AD DC AD DC D =+-，即2259253cos 3430cos AC D D =+-⨯⨯=-．因为B ∠与D ∠互补，所以cos cos B D =-，所以2234893080AC AC ---=，解得7AC =. 12.A 第一次循环，得=b 18-14=4，14=a ；第二次循环，得14410,4a b =-==；第三次循环，得1046,4a b =-==；第四次循环，得642,4a b =-==；第五次循环，得422,2b a =-==，此时2a b ==，不满足循环条件，退出循环，输出2a =.13.D A 中的否命题没有否定条件，所以A 错误；B 中由123a a a <<可知，10,1a q >>或10,01,a q <<<任何情况都能保证{}n a 为递增数列，所以恒有45a a <，反之若45a a <，可能存在0q <，这时就不能保证123a a a <<，所以“123a a a <<”是“45a a <”的充分而不必要条件，所以B 错误；C 中(),0x ∀∈-∞，34x x >，所以C 错误. 14.C 0,0>>b a ，由基本不等式得ab b a 21≥+=，21≤∴ab ，41≤∴ab ， 4111≥=+=+abab b a b a ，因此ba 11+的最小值为4，()ab b a b a 2222-+=+2112-1-≥=ab =21， ()ab b a b a 22++=+1121+≤+=ab =2，所以a b +有最大值2．15.A 由三视图知该几何体是一个组合体，下面是圆柱，上面是三棱锥，如图三棱锥D ABC -中，AC 是圆柱底面直径，B 在底面圆周上，DO ⊥平面ABC ，O 是圆心，尺寸见三视图，则2221111122132V π=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-33π=+． ODCBA16.D ①在1A BD ∆中，每条边都是2，即为等边三角形，∴1A B 与1A D 所成角为60°，又1B C ∥1A D ，∴直线1A B 与1B C 所成的角为60°，正确；②由正方体可得平面1BDC ⊥平面1ACC ，当M 点位于1AC 上，且使CM ⊥平面1BDC 时，直线CM 与平面1BDC 所成角的正弦值最大为1，当M 与1C 重合时，连接CM 交平面1BDC 所得斜线最长，直线CM 与平面1BDC 所成角的正弦值最小等于33，∴直线CM 与平面1BDC 所成角的正弦值的取值范围是3[,1]3，正确；③连接1B P ，1B Q ，设1D 到平面1B AC 的距离为h ，则h =233，1B 到直线AC 的距离为62，则四面体11PQB D 的体积116221332236V =⨯⨯⨯⨯=，正确．∴正确的命题是①②③．17.D 由二项展开式的通项公式，得1()r r r k xT C k+=，令3r =，则33211(1)(2)1416616k k k C k k k --⋅=⇒=⇒=， ∴4223400132(4)(2)|33S x x dx x x =-=-=⎰，所求概率32134166P ==⨯． 18.C 由题意，得214365605910,1,1,,1a a a a a a a a =-==+=-=+，所以S S =奇偶．又121222k k k a a ---=+(2)k ≥，代入221(1)kk k a a-=+-，得12222(1)k kk k a a--=++-(2)k ≥，所以20a =，12422(1)a a =++-，23642(1)a a =++-，34862(1)a a =++-， (12222)1)k kk k a a --=++-，将上式相加，得21232222(1)(1)(1)k k k a -=++++-+-++-＝111(1)3(1)22222k k kk----+--+=-， 所以S 偶＝2329301(22222)(152154)2+++++-⨯+⨯＝302(12)4512--- ＝31247-，所以31602(247)S =-＝32294-.19.C 如图，过点G l AG A 与作⊥，过点E l BE B 与作⊥，由抛物线的性质可知BF BE AF AG ==,，AB M 是中点，所以AGEB MN 是梯形的中位线，则)(21)(21BF AF BE AG MN +=+=，在三角形ABF 中， BF AF BF AF BF AF BF AF AB ⋅-+=⋅-+=22223cos2π，则22222221()314(1)4AF BF MN AF BF AB AF BF AF BF AF BF AF BF+⋅==++-⋅+-⋅ 1313(1)(1)1442-1-1AF BFBF AF=+≤+=+，当且仅当BF AF =时，不等式取等号. G N MFEBAyxO20.A ()()()22()2e e [2]x x x f x x a x ax b x a x a b e '=++++=++++,因为函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，所以()0f x '≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，即()2[2]0x x a x a b e ++++≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，令2()(2)h x x a x a b =++++，则()0h x ≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，所以有2(2)(2)(2)(2)h a a b -=-++⨯-++=0a b -+≥，(1)1(2)230h a a b a b =++++=++≥，2212a +-≤-≤,即,a b 满足0230142a b a b b a -+≥⎧⎪++≥⎪⎨<⎪⎪-≤≤⎩, 在直角坐标系内作出可行域，2221222a b a b b a a a +-+++==+---，其中22b k a +=-表示的几何意义为点(2,2)P -与可行域内的点(,)Q a b 两点连线的斜率，由图可知<3-k 31-≤，所以<-2k +132≤，即2a b a +-的取值范围为2(2,]3-.21.2． 当1x >时，21log 2y x ==，所以2x =；当1x ≤时，112y x =-=，所以32x =，不符合题意．故应填2． 22.120 因为成绩()2~100,X N a ，所以其正态曲线关于直线100x =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知，成绩在120分以上的人数约为总人数的1311255-=（），所以数学考试成绩不低于120分的学生约有16001205⨯=人．23.)1,0( 令)0()()(>=x xx f x g ，因为()()f x xf x '>，所以2()()()0xf x f x g x x '-'=<，则)(x g 在()0,+∞上单调递减，将()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭化为x x f xx f )(1)1(<，即)()1(x g x g <，则x x >1， 解得10<<x ． 24.62524依题意可知，每一个人入住的方法都是5种，所以5人入住的方法总数为553152=种，而每个房间恰好进入一人的方法数是55120A =种，因此，每个房间恰好进入一人的概率是5551202453125625A ==.25.70 由已知，1813101104x ++-==，24343864404y +++==，所以401060,2b b =+=-， ˆ260y x =-+，当5x =-时，ˆ70y =．26. )34,2⎡⎣因为对x R ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，所以()()4,4,f x f x T =+∴=作出函数()log (2)a y f x y x ==+与的图象，如图所示，由图象可知log 43,log 83a a ≤⎧⎨>⎩解得342a ≤<.27.32 设PT 交x 轴于点T ，1PF m =，则121233c MP F F ==，由OM ∥PT ，得1111F M FO F P FT =，即123m c c m FT -=，则123mc FT m c =-，所以2223mc F T c m c =--，又PT 是12F PF ∠的角平分线，则有1122F P FT F PF T=，代入整理得423m a m c -=-，所以离心率为32c e a ==. 28. 12如图，连接CG ，延长交AB 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，因为AG BG ⊥，所以12DG AB =，由重心的性质得3CD DG =，即32CD AB =，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠,2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠，因为,ADC BDC AD BD π∠+∠==，所以222222AC BC AD CD +=+，所以2222219522AC BC AB AB AB+=+=，又11tan tan tan A B Cλ+=，所以c o s c o s co ssi n s i nsinA B CA B C λ+=，所以22(sin cos cos sin )sin sin 22sin sin cos 2sin sin cos 2cos A B A B C C AB A B C A B C BC AC Cλ+===⋅⋅2222AB BC AC AB =+-222154AB AB AB ==-，所以12λ=．29.2[,)3e +∞ 由3ln 1mx x -≥，得3ln 1mx x -≥或3ln 1mx x -≤-，即3l n 1m xx ≥+或3ln 1mx x ≤-.又(]0,1x ∈，所以3ln 1x m x +≥或3ln 1x m x -≤，所以3maxln 1x m x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或3minln 1x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭. (1)令3ln 1()x f x x+=，则3261(ln 1)3()x x x x f x x ⋅-+⋅'=2632(1l n )2x x x -+=，令()0f x '=，得231x e -=<，当230x e -<<时，()0f x '>；当231ex -<≤时，()0f x '<.所以()f x 在23(0,)e -上是增函数，在23(,1]e -是减函数.所以2233m a x 2232321l ()()(n 133)e f x e e e e f -----++====，所以23e m ≥.(2)令3ln 1()x g x x -=，则3261(ln 1)3g ()x x x x x x ⋅--⋅'=22643ln x x x x -=，因为(]0,1x ∈，所以ln 0x ≤，所以易知g ()0x '>，所以g()x 在(]0,1上是增函数.易知当0x →时，g()x →-∞，故g()x 在(]0,1上无最小值，所以3ln 1x m x-≤在(]0,1上不能恒成立.综上所述，23e m ≥，即实数m 的取值范围是2[,)3e +∞.30.201420172⨯ 第一行为1、2、3的三角形，最后一行的数为()1312+⨯；第一行为1、2、3、4的三角形，最后一行的数为()2412+⨯；第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为()3512+⨯；…，可猜想第一行为1、2、3，…，2016最后一行的数为()2014201420161220172+⨯=⨯.三、解答题31.解：（1）2311()3cos cos sin 2cos 2222f x m n sinx x x x x =⋅=+=++ 1sin(2)62x π++=，由Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ可得ππππk x k +≤≤+-63，所以函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. （2）21)62sin(,1)(=+∴=πA A f ， 130,2666A A ππππ<<∴<+<， 52,663A A πππ∴+=∴=. 由,cos 2222A bc c b a -+= 得1,343cos2122=∴-=-+=bc bc bc c b π，43sin 21==∴∆A bc S ABC . 32.解：（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =. 所以区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 服从二项分布(),B n p ，所以X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．33. 解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，∵底面ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥，且O 为BD 的中点，又∵PA BD ⊥，PAAC A =，∴⊥BD 平面PAC ，由于⊂PO 平面PAC ，故⊥BD PO ， 又∵DO BO =，故PD PB =；（2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，EQ //12CD ， ∴AFEQ 为平行四边形，//EF AQ ，∵⊥EF 平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，PD 的中点为Q ， ∴2AP AD ==，由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又∵AD CD ⊥，AQAD A =，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又∵BD PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ，由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，向量AB ，AD ， AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，22(0,,)22Q ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 22(0,,)22AQ =，(2,0,2)PB =-，而AQ 为平面PCD 的一个法向量， 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2||||PB AQ PB AQ θ⋅==⋅，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π. 34.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==； Q当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的分布列为ξ 2930 31 32 33 34 35P 0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35.解：（1）由(3,9)C 及AC 平行于x 轴知(3,9)A -，设211(,)B x x ，222(,)D x x ；yxODCB A由题意知，过点C 的切线斜率存在，故设切线的方程为9(3)y k x -=-，联立229(3)390.y k x x kx k y x -=-⎧⇒-+-=⎨=⎩22()4(39)0(6)0 6.k k k k ∆=---=⇒-=⇒=从而 6.BD k k ==从而设直线BD 的方程为6y x m =+，22660.y x m x x m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 则126,x x += 12x x m =-， 又因为90BAD ∠=，所以221212121212991(3)(3)13()9 1.33AB ADx x k k x x x x x x x x --⋅=-⇒⋅=--=-⇒-++=-++即36918.m m --⨯+=-⇒=- 故直线BD 的方程为68.y x =-（2）解方程2680x x -+=，可得 (2,4)B ，(4,16)D ， 四边形ABCD 面积ACD ACB S S S ∆∆=+ 1116(75)36222D C B C AC y y AC y y =⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯+=． 36.解：（1）设PA 中点为G ，连结EG DG ，，因为PA //BE ，且42PA BE ==，， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形， 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB CD AB =，， 所以EG //CD ，且EG CD =， 所以四边形CDGE 为平行四边形， 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE //平面PAD ．（2）如图，建立空间坐标系，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()4,0,2E ，()0,0,4P ，()0,4,0D ， 所以()4,4,4PC =-，()4,0,2PE =-，()0,4,4PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z =，所以0200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩．令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()1,1,2m =．设PD 与平面PCE 所成角为α，则43sin cos ,6642m PD m PD PD mα⋅-=<>===⨯． 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是36． （3）假设存在点(),0,0F a 满足题意，则()4,0,2FE a =-，()4,4,2DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则()22004200x y z n DE a x z n FE ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩，令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,42a n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为平面DEF ⊥平面PCE ， 所以0m n ⋅=，即22802aa ++-=， 所以1245a =<， 故存在点12,0,05F ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，且35AF AB =．37.解：（1）3(1)n n S na n n =--，(N,2)n n ∈≥， 所以3n ≥时，11(1)3(1)(2)n n S n a n n --=----，两式相减，得11(1)3(1)[(2)]n n n n n a S S na n a n n n --=-=------， 即1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-，也即16n n a a --=（3n ≥）， 又由3(1)n n S na n n =--，(N,2)n n ∈≥，得216a a -=， 所以{}n a 是公差为6的等差数列，且11a =，所以65n a n =-.（2）23(1)=(65)3(1)32n n S na n n n n n n n n =-----=-(N )n *∈，所以32nS n n=-， 23123(1)31...3(123...)22123222n S S S S n n n n n n n n +++++=++++-=-=-， 所以222312331353...(1)(1)2016123222222n S S S S n n n n n n ++++--=---=-=，所以54035n =，所以807n =，即当807n =时，23123...(1)20161232n S S S S n n ++++--=. 38.解：（1）1a =时，1()ln 1f x x x=+-，所以21()x f x x-'=，(1)0f '=，又(1)0f =，所以切线方程为0y =.（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()x af x x-'=， ①若0,()0a f x '≤>则，()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，②若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,)a 单调递减． 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(,)a +∞单调递增．（3）1111 2 ln 12x x x <<∴-<-等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->， 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x+'=+-=+-，由（2）知，当1a =时，min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即1ln 10x x+-≥， 所以()0F x '≥，则()F x 在(1,2)上单调递增， 所以()(1)0F x F >=， 即11112ln 12x x x <<-<-有时，成立.39.解：（1） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=， 因为点()22B ,在椭圆C 上，所以22421a b +=， 解得22a =，2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()22,0-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --， 联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22812x k =+， 所以022212x k=+，则022212k y k=+，所以直线AE 的方程为()222112k y x k=+++，因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =，得222112ky k =++，即点2220,112kM k ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭， 同理可得点2220,112k N k ⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎝⎭， 所以()22222122222112112k k k MN kkk+=-=++-+．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为20,P k ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．则以MN 为直径的圆的方程为222x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭()22212k k ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即22224x y y k++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．40.解：（1）当1m =时，令()()()3103x g x f x x =--<≤，则()31x g x x -'=+， 当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，即当10x -<≤时，()33x f x ≤…① .（2）()11mx x m m f x mx ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+ …② ，令()0f x '=，得10x =，21x m m =-，（a ）当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+…③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥， ∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，∴10x -<<时，()()00f x f <=，0x >时，()()00f x f >=， 故函数()y fx =在1x>-时有且只有一个零点0x = ； (b)当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， 此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；∴函数()y fx =的增区间为11,m mm ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛⎤- ⎥⎝⎦，故当10m x m-<≤时，()()00f x f ≥=，当0x >时，()()00f x f >=， ∴函数()y fx =，1,x m m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =； 又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭ …④，易知，()0,1t ∀∈，)t （ϕ'﹤0， ∴函数()y t ϕ=(01t <<)为减函数，∴()()10t ϕϕ>=，由01m <<，知201m <<，∴()222111=ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…⑤， 构造函数()()ln 10k x x x x =-+>，则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m e x m m ----<<时，()21ln 11mx m+<--…⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+…⑦， 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=…⑧， 又函数()y fx =在11,m mm ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增，21111m e m m m ---->， 由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x mm ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =，综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， （c ）当1m >时，10m m ->，由②知函数()y f x =的增区间是1,0m ⎛⎤- ⎥⎝⎦，和1,m m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，减区间是10,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭…⑨， 由④知函数()y t ϕ=，当1t >为减函数，∴当1t >时()()10t ϕϕ<=， 从而10f m m⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当2x m >时，12m m m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭其中，11mx +>，()()()()2ln 1ln 12022x xf x mx mx mx x m =++-=++->…⑩，又1x m m >-时，函数()y f x =递增，∴01,2x m m m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭使得()00f x =， 根据⑨知，函数1,0x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，有()0f x <；10,x m m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，而f (0)=0，∴函数)(x f y =在)1,1(mm m --上有且只有一个零点0x =, ∴1m >时，函数()y fx =有两个零点.综上所述：当01m <<和1m >时，函数()y f x =有两个零点，当1m =时，函数()y fx =有且仅有一个零点．。