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磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
一、带电粒子在不同边界磁场中的运动①直线边界（进出磁场具有对称性，如图）②平行边界存在临界条件，如图③圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图）二、带电粒子在复合场中的运动复合场这儿指的是电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在(组合场)，带电粒子(带电体)连续运动时，一般需同时考虑静电力、洛伦兹力和重力的作用．对于有轨道约束的运动，还要考虑弹力、摩擦力对运动的影响．常见的类型有以下三种：1．受直棒约束的带电物体在复合场中的运动【例1】如图所示，套在很长的绝缘直棒上的带正电的橡胶环，其质量为m，带电荷量为q，橡胶环可在棒上滑动，现将此棒竖直放在互相垂直．且均沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度为E，磁感应强度是B，橡胶环与棒的动摩擦因数为 ，求橡胶环由静止沿棒下滑的最大加速度和最大速度(设橡胶环电荷量不变)．解析：橡胶环下滑的开始阶段受力情况如图所示．根据牛顿第二定律有 N g -F =m m a μ ① N F +F -qE= 0洛 ②F = qvB 洛 ③当 qvB-qE=0时，N 1F = 0,v =E B，此时a 最大．即max =a g ， 当1v > v 时，橡胶环的受力情况如图3—2（乙）所示由牛顿第二定律有：N g-F = m ma μ ④N F -qE-F = 0洛 ⑤F = qvB 洛 ⑥当v 增大到使摩擦力，N F = g m μ时，a=0．此时v 达到最大值，即：g=(qvB-qE)m μ．所以max +=mg qE v qBμμ 总结1 (1)本题目涉及带电粒子在电场、磁场、重力场中的运动，分析时应特别注意弹力、摩擦力、洛伦兹力的变化情况．(2)该题目是一个动态问题=0N f v F F F a a ↑→↑→↓↑→↓↑→↑↓→洛先后先后先后稳定．橡胶环的运动可划分为几个子过程，“max =0v a a v ↑→→→不变．要对各过程进行认真的受力分析，明确各量的动态变化才能找到极值条件，顺利求解．2．受斜面约束的带电物体在复合场中的运动【例2】在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，有一倾角为θ、足够长的光滑绝缘斜面，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，电场方向竖直向上，有一质量为m 、带电荷量为+q 的小球静止在斜面顶端，这时小球对斜面的正压力恰好为零，如图3—4所示，若迅速把电场方向反转为竖直向下，小球能在斜面上连续滑行多远?所用时间是多少?解析：重力和静电力是恒力，洛伦兹力是变力，随速度的增大而增大，电场反转前：g= m qE ①电场反转后，小球先沿斜面向下做匀加速直线运动，到对斜面压力减为零时开始离开斜面．此时有： q v B =(g +q E )c om θ ② 小球在斜面上滑行距离为：21s =2at ③ =2sin =a g v at θ， ④联立①②③④得 2222cos s =sin m g q B θθ，所用时间为 c o t t =m qB θ总结2 (1)电荷只要处在电场中就一定受到静电力作用，即静电力与电荷的运动状态无关．(2)只有运动的电荷才受洛伦兹力．由F=qvB ．当洛伦兹力是变力时，产生的效果比较复杂．解决此类问题要从受力分析入手，查找临界状态，从而得出正确结果．(3)应用洛伦兹力分析问题时，一定不要忘记速度v 的变化，会影响到洛伦兹力F 的大小和方向的变化．3．无约束的带电物体在复合场中的运动【例3】质量为m 、电荷量为+q 的微粒以速度v 与水平方向成45︒角进入匀强电场和匀强磁场中，如图所示，磁场的方向乖直于纸面向里，如微粒在电场、磁场及重力的作用下做匀速直线运动，则电场强度的大小E=_______，磁感应强度的大小为B=__________．思路点拨：带电微粒在复合场中做匀速直线运动，合力为零，只要抓住重力、静电力和洛伦兹力的特点列出平衡方程，即可求解．解析：对带电微粒进行受力分析如图所示，带电微粒受到竖直向下的重力、水平向右的静电力和垂直于速度方向斜向上的洛伦兹力．依据物体平衡条件可得：竖直方向上：，g= cos 45m qvB ︒水平方向上：= sin 45Eq qvB ︒，解得：= /;/E mg q B qv笞案：= /;/E mg q B qv总结3 无约束的带电粒子在复合场中运动的问题通过受力分析确定粒子运动的性质，是直线运动、圆周运动，还是一般的曲线运动，前两者均可运用运动学公式或牛顿第二定律解决，而后者只能运用动能定理或功能关系解决，切记洛伦兹力不做功，一般只考虑静电力和重力的功即可列方程求解．。
带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界大家好，我今天要和大家聊一聊带电粒子在磁场中运动的边界问题，我们重点讨论三角形边界的情况。
我们要明白什么是带电粒子，它是指带有电荷的粒子，而磁场则是由电流产生的磁力线。
当带电粒子进入磁场时，它会受到磁场的作用而发生运动。
那么，带电粒子在磁场中的运动边界问题是什么呢？我们知道，物体在磁场中的运动会遇到一个叫做洛伦兹力的阻力，这个阻力会使得物体的运动变得不稳定。
因此，我们需要找到一种方法来解决这个问题。
接下来，我们先来看看带电粒子在磁场中运动的基本规律。
当带电粒子垂直于磁场方向运动时，它的速度不会发生变化；而当带电粒子沿着磁场方向运动时，它的速度会发生变化。
这是因为磁场对带电粒子产生了一个垂直于速度方向的力，使得速度发生了偏转。
这个现象可以用三角形边界来表示。
所谓三角形边界，就是指带电粒子在磁场中的运动轨迹是一个三角形。
现在我们已经知道了带电粒子在磁场中的运动规律，接下来我们需要考虑如何解决洛伦兹力带来的阻力问题。
我们知道，洛伦兹力与带电粒子的速度和磁场强度有关，因此我们可以通过调整带电粒子的速度和磁场强度来控制它的运动。
具体来说，我们可以将带电粒子的速度分解为两个分量：一个沿着磁场方向运动的分量和一个垂直于磁场方向运动的分量。
然后，我们可以通过调整这两个分量的数值来控制带电粒子的运动轨迹。
当我们把速度分解成两个分量之后，就可以用三角形边界来表示带电粒子的运动轨迹了。
具体来说，我们可以把带电粒子在磁场中的运动轨迹看作是一个由三个点组成的三角形。
这三个点分别是带电粒子进入磁场、离开磁场和回到原点的位置。
通过改变带电粒子在这三个位置的速度分量，我们就可以实现对带电粒子运动轨迹的控制。
我想强调一下的是，虽然洛伦兹力会给带电粒子带来阻力，但只要我们掌握了正确的方法和技巧，就完全可以克服这个问题。
事实上，在实际应用中，我们经常需要对带电粒子进行精确的运动控制，这时候就需要用到三角形边界这样的方法来解决问题。
带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界大家好，今天我要给大家讲解一个关于带电粒子在磁场中运动的边界问题——三角形边界。
我们要明白什么是三角形边界，它是指带电粒子在磁场中运动时，其运动轨迹形成的边界是一个三角形。
接下来，我将从三个方面来详细讲解这个问题。
一、1.1 带电粒子的基本概念带电粒子是指带有电荷的粒子，它们可以是电子、质子等。
电荷是带电粒子的一种属性，它决定了粒子的运动特性。
在磁场中，带电粒子会受到洛伦兹力的作用，从而改变它们的运动轨迹。
洛伦兹力是根据爱因斯坦的洛伦兹理论计算出来的，它与带电粒子的速度和磁场的强度有关。
二、2.1 磁场的基本概念磁场是由电荷产生的，它是一种物理场。
在磁场中，带电粒子会受到一个垂直于速度方向和磁场方向的力，这个力就是洛伦兹力。
磁场的方向可以用磁感应强度来表示，磁感应强度的大小与磁场的强度成正比，与距离磁场的距离成反比。
三、3.1 三角形边界的形成原理当我们把带电粒子放在一个磁场中时，它们会在磁场中受到洛伦兹力的作用，从而改变它们的运动轨迹。
这些运动轨迹在空间中形成了一个封闭的曲线，这个曲线就是带电粒子的运动轨迹。
由于带电粒子在磁场中的运动是三维的，所以这个曲线是一个三维的空间曲面。
我们关心的是带电粒子在磁场中的边界问题。
这里的边界指的是带电粒子在磁场中运动时形成的最外层边界。
对于这个问题，我们可以通过分析带电粒子的运动轨迹来找到解决办法。
当带电粒子在磁场中沿着一个圆周运动时，它们的运动轨迹是一个圆形。
但是，当它们沿着一个螺旋线运动时，它们的运动轨迹就不再是一个圆形了。
这时，我们需要考虑一种特殊的边界情况——三角形边界。
四、4.1 三角形边界的形成过程当带电粒子沿着一个螺旋线运动时，它们的运动轨迹形成一个封闭的曲线。
这个曲线在空间中看起来像一个三角形。
这是因为螺旋线的形状使得带电粒子的运动轨迹在一个方向上保持不变，而在另一个方向上发生周期性的变化。
这种变化使得带电粒子的运动轨迹在一个方向上呈现出直线的特点，而在另一个方向上呈现出螺旋线的特点。
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
