初中数学因式分解培优
考试要求：
知识点汇总：
一、基本概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称
为将这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法互为逆变形：
()
m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解
式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式
因式分解的常用方法：
提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.
分解因式的一般步骤：
如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式
十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.
注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；
②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；
④相同的因式的积要写成幂的形式.
在分解因式时，结果的形式要求：
①没有大括号和中括号；
②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再
分解；
③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.
二、提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
三、公式法
平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+
2222()a ab b a b -+=-
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-
2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
例题精讲：
模块一 因式分解的基本方法
【例1】已知248
﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ． 【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；
∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．
【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路
【巩固】 333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________. 【解析】 原
式
22222
()()()()()b a x y a b ab x y a b xy ⎡⎤=--++++++
⎣⎦()()
a b x y --22()a ab b ++22()x xy y ++
()()a b x y abxy =---.
【巩固】 化简下列多项式：()()()()
23
2006
11111x x x x x x x x x ++++++++++
【解析】 原
式
()()()
2005
1111x x x x x x ⎡⎤=+++++
++⎣⎦
()()()()2004
11111x x x x x x x ⎡⎤=++++++
++⎣⎦
…()
()2005
111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()
2007
1x =+
【例2】已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ． 【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，然后由非
负数的性质求解．
【答案】由已知得a 2+b 2+c 2+43﹣ab ﹣9b ﹣8c≤0，配方得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2
≤0，
又∵（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≥0，∴（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2=0， ∴a ﹣=0，﹣3=0，c ﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．
【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解．
模块二 重组分解法
【例3】分解因式：2222(1)(2)(1)x x x x x x ++-++- 【解析】 原式424322212x x x x x x x =+++----
43221x x x =--+ 3(21)(21)x x x =---
3(21)(1)x x =--
2(1)(21)(1)x x x x =--++.
【答案】2(1)(21)(1)x x x x --++
【巩固】 分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++ 【解析】
3322()()ax y b by bx a y +++ 332222axy ab x b x y a by =+++
2222()()xy ay b x ab ay b x =+++
22()()ay b x xy ab =++
【答案】22()()ay b x xy ab ++
【例4】分解因式：2222111
[()()](2)222
x y x y x y -++-
【解析】 2222111
[()()](2)222x y x y x y -++-
222222111
[](2)442x xy y x xy y x y =-++++- 222211
(2)(2)22x y x y =+- 【答案】222211
(2)(2)22
x y x y +-
【巩固】 分解因式：2231()b a x abx +-- 【解析】
2231()b a x abx +-- 2223(1)()a x bx abx =-+-2(1)(1)(1)ax ax bx ax =+-+-2(1)(1)ax ax bx =-++
【答案】2(1)(1)ax ax bx -++
【例5】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数． 【解析】 设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则利用
()
()()2
22
212123251n n n -++++=，求n 的值．
设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则 ()()()2
2
2
212123251n n n -++++= 整理后，得2200n n +-=，()()540n n +-=
∴15n =-，24n =∴三个连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．
