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数学理卷·2016届江西省高三上学期复习中期诊断考试(2015.11)扫描版

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2016年高三复习中期诊断考试理科数学参考答案一、选择题（1）【答案】（D ）【解析】A ={－1，0，1}, B ={x |0≤x ≤1},则A ∪B =[0，1]∪{－1}.（2）【答案】（B ）【解析】()()()2i 2i =224i a a a +-++-为纯虚数，则220,40a a +=-≠，所以1a =-.（3）【答案】（B ）【解析】||||cos 2CA CB CA CB C ⋅=⋅⋅=- ，120C ∠=︒，所以||||4CA CB ⋅= ， 因为()12CD CA CB =+ ，所以()()()2222211124241444CD CA CB CA CB CA CB CA CB =++⋅=+-≥⋅-=， 即：min 1CD = .（4）【答案】（C ） 【解析】1e e x x y =+偶函数； xy x =奇函数； x x y tan =偶函数；1ln y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭定义域为()∞+，0，是非奇非偶函数.（5）【答案】（C ）【解析】全称命题的否定是特称命题，将∀∃改为，再对结论否定，所以只有（C ）选项符合.（6）【答案】（A ）【解析】()11n n n n S na n S S ++==-,得nn S S n n 11+=+.当2≥n 时，-11nn S n S n =-，1212n n S n S n ---=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，2121S S =，1nS n S =，又11S =,当2≥n 时,n S n =. 经检验11S =也适合.（7）【答案】（A ）【解析】=22,=16a b ，a b >，22166a =-=；a b <，16610b =-=；a b <，1064b =-=；a b >，642a =-=；a b <，422b =-=；a b =，结束，输出2a =.（8）【答案】（C ） 【解析】ln 1,011()e =+=1,0x x x x f x x x x x x x ⎧+>⎪⎪=+⎨⎪-+<⎪⎩，所以选（C ）. （9）【答案】（D ）【解析】)(x f 满足三个性质：①)(x f 为奇函数；②)(x f 的对称轴为43π=x ；③)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，上是增函数.（A ）()sin f x x =不满足②；（B ）()cos(2)2f x x π=-不满足③；（C ）()sin 4f x x =不满足②③；只有（D ）3()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭全部符合.（10）【答案】（C ）【解析】如图建立平面直角坐标系xAy ， 设()y x P ,，()()2001，，，M B ， 由AP AB AM λμ=+ 得()()()(),1002,2x y λμλμ=+=，，. ⎩⎨⎧==μλ2y x ，所以2y x λμ+=+. 令2y z x =+，即22y x z =-+， 由图象可知，当z 取最大值时，最优解为()11，C ，此时max 32z =. （11）【答案】（B ）【解析】当0m >时，22,22<->+m m ，即()22f m +=，()246f m m -=-，又()()m f m f +=-22，所以2=m ；当0m <时，22,22m m +<->，()226f m m +=--，()222f m m -=-，但()()22f m f m -≠+，m 不存在.（12）【答案】（C ）【解析】由()()11+-=+-x f x f ，所以()f x 关于()0,1点对称，则()10f =；又()00f =，所以()20f =；令()()1-=x x f x F ，得()()()()//21(1)f x x f x F x x --=-，当1>x 时，()()()01/<--x f x x f ，所以当1>x 时，()/0F x <，即()()1-=x x f x F 在()+∞,1上是减函数，且()()020F F ==， 如右图是()()1-=x x f x F 的简图，当0<x 时，()0f x >，不符合条件；当01x <<时，()0f x <，符合条件；当12x <<时，()0f x >，不符合条件；当2x >时，()0f x <，符合条件.所以()0f x <的解集是()()∞+，，210 .二、填空题（13）【答案】522-或【解析】由y ax z +=，得y ax z =-+.当0a ->时，z 取最大值为3时，最优解为()12--，A ,则2-=a ；当0a -<时，z 取最大值为3时，最优解为12B ⎛⎫⎪⎝⎭1，, 则52a =；（14）【答案】 1【解析】()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，3上单调，所以()f x 的周期34322ππ=⨯≥T ， 因为536f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22365T <=-πππ，所以⎪⎭⎫⎝⎛0,127π是()f x 的对称中心， 因为36f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12π=x 是()f x 的对称轴，即2121274πππ=-=T ，所以2T π=，即=ω 1.（15）【答案】3【解析】由已知得n a n a n n 11,==则，所以nT n 131211+⋅⋅⋅+++=，得2111=+++122n n T T n n n -⋅⋅⋅++，令()111=+++122f n n n n ⋅⋅⋅++.得()11111=++++232122f n n n n n +⋅⋅⋅++++，得()()02211211>+-+=-+n n n f n f ，所以()()211min ==f n f，即21210n n T T -≥>. 所以5.12<k ，即k 的最大正整数值为3.（16）【答案】33 【解析】由已知32=∆ABC S ， 由AOB BOC AOCAO BO BO CO AO CO S S S ∆∆∆⋅⋅⋅==得120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=︒.令z OC y OB x OA ===,,,111++sin120+sin120+sin120222ABC AOB AOC BOC S S S S xy xz yz ∆∆∆∆==⋅︒⋅︒⋅︒)xy xz yz =++=8xy xz yz ++=.在BOC AOC AOB ∆∆∆,,中分别应用余弦定理，有16,7,7222222=++=++=++zy y z xz z x xy y x ,得：22211x y z ++=.所以：()332222222=+++++=++=++yz xz xy z y x z y x z y x . 三、解答题（17）解：原不等式等价变形为102ax x -<-，即()()021<--x ax . ……………2分（1）当0=a 时，不等式解为 2>x . ……………………4分（2）当0a <时，原不等式等价变形为()120x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭, 不等式的解为a x x 12<>或. ……………………6分（3）当0a >时，原不等式等价变形为()120x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭,①当210<<a 时，不等式的解为12x a <<.②当12a =时，不等式无解 .③当12a >时，不等式的解为12x a <<. ……………………9分综上所述：当0a <时，不等式解集为1|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.当0=a 时，不等式解集为 {}|2x x >. 当210<<a 时，不等式的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 当12a =时，不等式的解集为∅. 当12a >时，不等式的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ . ……………………10分（18）解：（Ⅰ）因为cos B =1sin 7B =，即……………………1分1411712173423sin 3cos cos 3sin 3sin sin =⨯-⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠B B B BAD πππ.………………………4分 由正弦定理得：BAD BDB AD ∠=sin sin ,即112=AD . ………………………6分（Ⅱ）过A 作AE ⊥BC 于E ，在ADE ∆中，113231123sin =⨯=⋅=πAD AE .………………………9分即:132ABC S ∆=⨯=.………………………12分（19）解（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d ，则()()111112221n n a a a nd a n d dn a d n ++=+++-=+-=-， …………………3分 ⎩⎨⎧-=-=12221d a d ，得10a = .………………………6分 （Ⅱ）若1=1a ，当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++()()()()2121221241211=1+22+4++-122n n n n n --+=+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=⎡⎤⎣⎦.………………………9分 当n 为偶数时，()()()12341n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++()()()()2211231211=21+3++-122n n nn n -=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=⎡⎤⎣⎦.………………………12分（20）解：（Ⅰ）由()()4f x f x +=，可知函数()x f 的周期为4， …………1分 所以()()311f f =-=，又()211-+=m f 且()()31f f = ， ……………………3分所以3-=m . ………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()2,20,31,02,3x x f x x x x +-≤≤⎧⎪=-+⎨<<⎪-⎩又()()()()h x f x f x h x -=-+=，所以()h x 为偶函数. ………………………5分 所以只需求[]0,1x ∈时，()h x 的值域即可.又()()0=204h f =. ………………………7分 令01x <≤，则10x -≤-<，即()()()(]31821,0,133x h x f x f x x x x x x -+=+-=-+=--∈--.即()()/283h x x =--1，令 ()/0h x =，得223-=x . ………………………9分当(0,3x ∈-时，()'0h x ≤；当()3x ∈-时，()'0h x ≥.所以()h x 在(0,3-上单减，在()3-上单增,()(min 34h x h =-=，当()50,3x h x →→时，()12h =,所以()42h x ≤≤. ………………………11分综上，()h x 在[]1,1x ∈-上的值域为{}4,24⎡⎤⎣⎦ . ………………………12分（21）解：（Ⅰ）由已知11112n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 所以n nn n a n a 2111=-++，即 ………………………2分当2≥n 时,11112nn n a a n n ---=-，1221122n n n a a n n ----=--，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，211212a a -=.所以，当2≥n 时，112111111112222nn n a a n ---=++⋅⋅⋅+=-，又112a =-.………………………4分 当2≥n 时，122--=n n n na ，当=1n 时，112a =-也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为122--=n n nn a . ………………………6分 （Ⅱ）()0110111122112=122222222222n n n n n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令01211232222n n n T -=+++⋅⋅⋅+， 12n T = n n 2232221321+⋅⋅⋅+++， 1231111112122222222n n n n n n T -+∴=++++⋅⋅⋅+-=-. 1242n n n T -+∴=- . 即()112=442n n n n n S -++-+. ………………………8分 由题意1222417tan 4-+≥+-n n n n S θ对任意的N *n ∈恒成立. 即：1tan 22++≤⋅n n n θ对任意的N *n ∈恒成立. 所以2211tan 1n n n n n θ++≤=++，对任意的N *n ∈恒成立. …………………10分 令()113h n n n=++≥（当且仅当1=n 时取等号），所以只需2tan 3,tan θθ≤≤≤θ为ABC ∆的内角. 故存在满足条件的角θ，取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛πππ,323,0 . ……………………12分 （22）解：（Ⅰ）法一： 由()()13e 21x f x a a >+--得，()2233e 3e 3=e +e 124x xx x a a ⎡⎤⎛⎫-+->-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即2e 1e 3e 3x x x a ->-+. ………………………3分 设()2e 1e 3e 3x x x g x -=-+，令()e 1x t t =>，得()21112ln 21331+11t y t x t t t t -==≤==-+---当且仅当，即时，等号成立.， 即1a >. 所以a 的取值范围是()+∞1，. ………………………6分 法二：由()()13e 21x f x a a >+--，得()2e 31e 310x x a a a -+++>.令()e 1x t t =>，得()()23131g t at a t a =-+++ . ………………………2分 因为0>a ，对称轴为3112a t a +=>，若()0g t >，则()()0134132<+-+=∆a a a ，得1a >.所以a 的取值范围是()+∞1，. ………………………6分 （Ⅱ）由()313f x x x <-+得，()231e 103x a x x ++-<.令()()231e 13x h x a x x =++-，[)+∞∈,1x ，得()/222e 10x h x a x =+->.所以()h x 在[)+∞∈,1x 上单增，即()()()2min 21e 13h x h a ==+-.存在[)+∞∈,1x ，使()313f x x x <-+成立，即()min 0h x <成立即可.得()223e 1a <+，所以a 的取值范围是()2203e 1,⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭. ………………………8分令()()()111e ln 0F x x x x =--->，则()()/2e 11x F x x --=.令()/0F x =，得1e 1x =-. 当10e 1x <<-时，()/0F x <；当1e 1x >-时，()/0F x >. 所以10e 1x ,⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，()F x 单调递减；1,e 1x ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭，()F x 单调递增.所以()min 1e 1F x F ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，又()110e F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ………………………10分因为()2210,0,e 3e 1a ⎛⎫⎛⎫⎪∈⊆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以()10e F a F ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()111e ln 0a a --->，得()111e ln a a ->-. 即111e e a a -->. ………………………12分。

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2015-2016年江西省五市九校联考高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2015-2016年江西省五市九校联考高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2015-2016学年江西省五市九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．1．（5分）复数i3（1+i）2=（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）若函数y=f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）=f（x﹣1）+的值域是（）A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，] 4．（5分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图2所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则图1所示程序框图的运算结果为（注：n！=1×2×3×…×n，如5！=1×2×3×4×5）（）A．800!B．810!C．811!D．812!5．（5分）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数6．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长都为4，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣πC．64﹣πD．64﹣16π7．（5分）已知P为△ABC内一点，且满足，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．1：2：3B．1：4：9C．2：3：1D．3：1：28．（5分）已知函数f（x）=，则“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）10．（5分）已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1）下面说法正确的是（）①当k=时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A．①②B．②④C．③④D．②③11．（5分）双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则△F1PF2的面积为（）A．9B．3C．D．112．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）﹣+≥0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是．14．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项a1=，对于n∈N*，b n=loga n，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为．15．（5分）记P（x，y）坐标满足不等式组，则|x+3y﹣5|的取值范围．16．（5分）已知f（x）=在x∈（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．请写出必要的文字说明及演算步骤．17．（12分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差数列．（1）求角C的值；（2）求2sin2A+cos（A﹣B）的范围．18．（12分）已知：多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB=BC=2AD=2，平面BCEF⊥平面ABCD，四边形BCEF为等腰梯形，EF=1，EC ⊥AF，EF∥BC．（1）求：E到平面ABCD的距离；（2）求：二面角A﹣ED﹣C的余弦值．19．（12分）“女大学生就业难”究竟有多难？其难在何处？女生在求职中是否收到了不公平对待？通过对某大学应届毕业生的调查与实证分析试对下列问题提出解答．为调查某地区大学应届毕业生的调查，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500为大学生做问卷调查，结果如下：（1）估计该地区大学生中，求职中收到了公平对待的学生的概率；（2）能否有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的大学生中，求职中是否受到了不公平对待学生的比例？说明理由．附：K2=20．（12分）在直角三角形ABC中，∠CAB=，AB=2，AC=，DO垂直AB于点O[其中O为原点]，且D（0，2），OA=OB，曲线E过C点，一点P在C上运动，且满足|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点D的直线L与曲线E相交于不同的两点M，N，且M在NB之间，使=λ，试确定实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，（a＞1）．（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）对∀x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1恒成立，求a的取值范围．四、选做题：轻在22、23、24题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O 为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．（Ⅰ）若BD=6，求线段DE的长；（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF=EF．极坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M、N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（2）求三角形OMN的面积．选做题24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈N，使得f（x）≤a2﹣5a，求a的取值范围．2015-2016学年江西省五市九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．1．（5分）复数i3（1+i）2=（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：i3（1+i）2=（﹣i）（2i）=2，故选：A．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：A={1，2}，B={2，4}，A∪B={1，2，4}，∴C U（A∪B）={3，5}，故选：B．3．（5分）若函数y=f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）=f（x﹣1）+的值域是（）A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]【解答】解：∵y=f（x）的值域为[，3]，∴t=f（x﹣1）∈[，3]，g（t）=F（x）=f（x﹣1）+=在[，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，又g（）=+2=，g（1）=2，g（3）=3+=．∴函数F（x）=f（x﹣1）+的值域是[2，]．故选：B．4．（5分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图2所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则图1所示程序框图的运算结果为（注：n！=1×2×3×…×n，如5！=1×2×3×4×5）（）A．800!B．810!C．811!D．812!【解答】解：由频率分布直方图知：130～140分数段的频率=0.05，又频数为90，∴样本容量为=1800，90～100分数段的频率为0.45，∴90～100分数段的人数为a=1800×0.45=810，根据框图的流程知：算法的功能是求S=n！的值，∵跳出循环体的n值为811，∴输出S=810！．故选：B．5．（5分）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数【解答】解：f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值图象左移一个单位，是偶函数，即f（x+1）是偶函数，所以判定A、B、C是错误的．故选：D．6．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长都为4，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣πC．64﹣πD．64﹣16π【解答】解：由已知得该几何体是一个边长为4的正方体去掉它的内切球的剩余部分，∴该几何体的体积：V==64﹣．故选：A．7．（5分）已知P为△ABC内一点，且满足，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．1：2：3B．1：4：9C．2：3：1D．3：1：2【解答】解：如图：设D、E 分别为BC、AC的中点，∵=0，∴﹣=﹣3（+），∴=﹣3×2 =﹣6 ，同理由（+）=﹣2（+），即 2 =﹣2×，∴=﹣．∴P到BC的距离等于A到BC的距离的，设△ABC的面积为S，则S2 =S．P到AC的距离等于B到AC的距离的，∴S3 =S．∴S1 =S﹣S2﹣S3 =S．∴S1：S2：S3=S：S=S=3：1：2，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=，则“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x＞1时，f（x）=﹣x﹣3，单调递减；当x≤1时，f（x）=x2+ax=﹣，当，即a≤﹣2时，函数f（x）单调递减．∵f（x）在R上单调函数”，∴﹣1﹣3≤1+a，解得a≥﹣4．∴“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的必要而不充分条件．故选：B．9．（5分）若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）【解答】解：要使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，所以只要方程有3个不同的实数解，变形得=，设函数g（x）=，如图所以只要0＜＜4即可，所以k＞；故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1）下面说法正确的是（）①当k=时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A．①②B．②④C．③④D．②③【解答】解：①当时，，∵，∴a1=a2，即数列{a n}不是递减数列，∴①错误．②当时，==，∴，例如取k=时，第七项与第八项相等且为最大项，因此数列{a n}可有最大项，因此错误；③当时，==≤1，∴a n＜a n，故数列{a n}+1为递减数列；④==，当为正整数时，1＞．当k=时，a1=a2＞a3＞a4＞…．当时，令，解得k=，则，数列{a n}必有两项相等的最大项．故选：C．11．（5分）双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则△F1PF2的面积为（）A．9B．3C．D．1【解答】解：∵PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，∴∠F1PF2=90°，|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，∴4c2=（4a）2+（2a）2，∴∵F2到一条渐近线的距离为3，∴=3，∴b=3，∴c2﹣a2=9，∴a=，∴|PF2|=3，|PF1|=6，∴△F1PF2的面积为|PF2||PF1|=9．故选：A．12．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）﹣+≥0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：设x∈[﹣4，﹣2），则x+4∈[0，2），f（x+4）===3f（x+2）=9f（x），即f（x）=，∵f（x）﹣+≥0恒成立，∴当x∈[﹣4，﹣3）时，，即，也就是，解得：t≤﹣2或0＜t≤1；当x∈[﹣3，﹣2）时，，即，也就是，解得：t≤﹣2或0＜t≤1．综上，实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（0，1]．故选：D．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣192．【解答】解：由题意可得：的展开式的通项为=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1故展开式中x2项的系数是T2=﹣25C61=﹣192．故答案为：﹣192．14．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项a1=，对于n∈N*，b n=loga n，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（2，4）．【解答】解：因为等比数列的公比为q，首项a1=，﹣b n=log a n+1﹣log a n=log=log q，∴b n+1∴数列{b n}是以log q为公差，以log a1=6为首项的等差数列，∴b n=6+（n﹣1）log q．又当且仅当n=4时前n项和最大，∴log q＜0，且，∴，∴﹣2＜log q＜﹣，即2＜q＜4，故答案为：（2，4）．15．（5分）记P（x，y）坐标满足不等式组，则|x+3y﹣5|的取值范围[0，7] ．【解答】解：由约束条件作差可行域如图，令z=x+3y﹣5，化为，由图可知，当直线分别过A（﹣2，0），B（0，2）时，目标函数z=x+3y ﹣5取得最小值和最大值，分别为：﹣7，1．∴|x+3y﹣5|的取值范围是[0，7]．故答案为：[0，7]．16．（5分）已知f（x）=在x∈（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【解答】解：；∵f（x）在x∈（0，1）上单调递增；∴f′（x）≥0在x∈（0，1）上恒成立；∴在x∈（0，1）上恒成立；∴ax+1﹣a（x+1）ln（x+1）≥0，即1≥a[（x+1）ln（x+1）﹣x]在x∈（0，1）上恒成立；设g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣x，g′（x）=ln（x+1）；∵x∈（0，1）；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（0，1）上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0；即（x+1）ln（x+1）﹣x＞0；∴在x∈（0，1）上恒成立；g（0）＜g（x）＜g（1）；即0＜（x+1）ln（x+1）﹣x＜2ln2﹣1；∴；∴；∵f（x）＞f（0）；即；∵x∈（0，1），ln（x+1）＞0；∴ax+1＞0在x∈（0，1）上恒成立；即在x∈（0，1）上恒成立；0＜x＜1；∴，；∴a≥﹣1；∴；∴实数a的取值范围为．故答案为：[]．三、解答题：共70分．请写出必要的文字说明及演算步骤．17．（12分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差数列．（1）求角C的值；（2）求2sin2A+cos（A﹣B）的范围．【解答】解：（1）∵acosB，ccosC，bcosA成等差数列．∴acosB+bcosA=2ccosC，∴由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∴cosC=，∴锐角C=…6分（2）∵C=，∴A+B=，∴2sin2A+cos（A﹣B）=1﹣cos2A+cos（2A﹣）=1﹣cos2A﹣cos2A+sin2A=1+sin（2A﹣），在锐角△ABC中，∵A+C＞，∴＜A＜，则0＜2A﹣＜，则有0＜sin（2A﹣）≤1，即有1＜1+sin（2A﹣）≤1+．则所求取值范围是（1，1+]…12分18．（12分）已知：多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB=BC=2AD=2，平面BCEF⊥平面ABCD，四边形BCEF为等腰梯形，EF=1，EC ⊥AF，EF∥BC．（1）求：E到平面ABCD的距离；（2）求：二面角A﹣ED﹣C的余弦值．【解答】解：（1）取EF、BC中点M，O，连结MO，设MO=a，∵ABCD是等腰梯形，∴OM⊥BC，∵平面BCEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面BCEF=BC，OM⊂平面BCEF，∴OM⊥平面ABCD，分别以OD、OC、OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（2，﹣1，0），F（0，﹣，a），C（0，1，0），E（0，，a），=（﹣2，，a），=（0，﹣，a），∵EC⊥AF，∴=﹣=0，解得a=（a＞0），∴E到平面ABCD的距离为．（2）由（1）得A（2，﹣1，0），D（2，0，0），C（0，1，0），E（0，，），F（0，﹣，），=（﹣2，，），=（0，1，0），=（0，﹣，），=（2，﹣1，0），设平面ADEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，4），设平面CDE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，2，2），cos＜＞===，∵二面角A﹣ED﹣C的平面角是钝角，∴二面角A﹣ED﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）“女大学生就业难”究竟有多难？其难在何处？女生在求职中是否收到了不公平对待？通过对某大学应届毕业生的调查与实证分析试对下列问题提出解答．为调查某地区大学应届毕业生的调查，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500为大学生做问卷调查，结果如下：（1）估计该地区大学生中，求职中收到了公平对待的学生的概率；（2）能否有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的大学生中，求职中是否受到了不公平对待学生的比例？说明理由． 附：K 2=【解答】解：（1）调查的500位大学生中有70位求职中受到公平对待，因此该地区大学生中，求职中受到公平对待的比例的估算值为=14%．（2）K 2==9.967，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关．（3）由（2）得结论知，该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性大学生比女性大学生中受到了不公平对待与性别有关有明显差异，因此在调查时，先确定该地区大学生中男、女的比例，再把大学生分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．20．（12分）在直角三角形ABC 中，∠CAB=，AB=2，AC=，DO 垂直AB 于点O [其中O 为原点]，且D （0，2），OA=OB ，曲线E 过C 点，一点P 在C 上运动，且满足|PA |+|PB |的值不变． （1）求曲线E 的方程；（2）过点D的直线L与曲线E相交于不同的两点M，N，且M在NB之间，使=λ，试确定实数λ的取值范围．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，∴动点P的轨迹是椭圆．a=，b=c=1，∴椭圆E的方程为：=1．（2）直线L与y轴重合时，=．直线Ld的斜率存在时，设直线L的方程为：y=kx+2，代入椭圆的方程可得：（2k2+1）x2+8kx+6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），△=64k2﹣24（2k2+1）＞0，解得k2．∴x1+x2=，x1x2=．λ==，∴=λ++2，又==，∵k2，∴∈．∴，又0＜λ＜1，∴．综上可得：λ∈．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，（a＞1）．（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）对∀x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1恒成立，求a的取值范围．【解答】（I）证明：求导函数，可得f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，由于a＞1，∴lna＞0，当x＞0时，a x﹣1＞0，∴f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）解：令f'（x）=2x+（a x﹣1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的变化情况如下表：因为函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以f（x）=t±1共有三个根，即y=f （x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=f min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）（Ⅲ）解：问题等价于f（x）在[﹣1，1]的最大值与最小值之差≤e﹣1．由（Ⅱ）可知f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（﹣1），f（1）中较大的一个，，f（1）=a+1﹣lna，，记，（x≥1），则（仅在x=1时取等号）∴是增函数，∴当a＞1时，，即f（1）﹣f（﹣1）＞0，∴f（1）＞f（﹣1），于是f（x）的最大值为f（1）=a+1﹣lna，故对∀x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（1）﹣f（0）|=a﹣lna，∴a ﹣lna≤e﹣1，当x≥1时，，∴y=x﹣lnx在[1，+∞）单调递增，∴由a﹣lna≤e﹣1可得a的取值范围是1＜a≤e．四、选做题：轻在22、23、24题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O 为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．（Ⅰ）若BD=6，求线段DE的长；（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF=EF．【解答】（Ⅰ）解：∵BD是直径，∴∠DEB=90°，∴==，∵BD=6，∴BE=，在Rt△BDE中，DE==．（5分）（Ⅱ）证明：连结OE，∵EF为切线，∴∠OEF=90°，∴∠AEF+∠OEB=90°，又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠AEF=∠A，∴AE=EF．（10分）极坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M、N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（2）求三角形OMN的面积．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数得直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立，消去y，得x2﹣8x+4=0，∵直线l与曲线C交于M、N两点，∴设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8，x1x2=4，∴|MN|==4，原点O到直线MN的距离d==，∴三角形OMN的面积S==4．选做题24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈N，使得f（x）≤a2﹣5a，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|x+1﹣x+4|﹣1=4，故f（x）的最小值是4；（2）由题意得只需f（x）min≤a2﹣5a即可，而f（x）min=|x+1﹣x+4|﹣a=5﹣a，即5﹣a≤a2﹣5a即可，解不等式a2﹣4a﹣5≥0，得：a≤﹣1或a≥5．。

【真题】2015-2016年江西省赣州市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案

【真题】2015-2016年江西省赣州市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案

2015-2016学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．D．2．（5分）A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x||x|≤2}，则A∩（∁R B）=（）A．[2，5]B．（2，5]C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）3．（5分）等比数列{a n}中，S2=2，S4=8，则S6=（）A．﹣32B．32C．﹣26D．264．（5分）已知命题p：∀x＜1，都有x＜0，命题q：∃x∈R，使得x2≥2x 成立，则下列命题是真命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧q5．（5分）从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有（）A．B．C．D．6．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2B．3C．4D．57．（5分）若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（）A．l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βB．l∥m，m⊆α⇒l∥αC．l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α∥βD．l⊥n，m⊥n⇒l∥m8．（5分）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．3B．C．6D．9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=﹣x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．10．（5分）一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（）A．i≤9B．i≤6C．i≥9D．i≤811．（5分）已知圆O的半径为2，A，B是圆O上任意两点，且∠AOB=120°，PQ是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．612．（5分）已知函数g（x）=lnx﹣mx2﹣nx（m，n∈R）在x=2处取得最大值，则m的取值范围为（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（1﹣x）10（2+x）的展开式中x3的系数为．14．（5分）已知对任意n∈N*，点，在直线y=x上，若a1=1，a n＞0，则a n=．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．16．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[﹣2，2]上，，其中m，n∈R，若f（1）=f（3），则=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数（1）若函数f（x）图象的一条对称轴是直线，求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，a=12，，求b的值．18．（12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在175个以上（包括175）定义为“高产”，挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少？（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且．（1）证明：DM⊥SN；（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．20．（12分）从抛物线C：x2=2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x0，4）在抛物线C上，且|MF|=6（F为抛物线的焦点）．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：四边形PCQD是平行四边形．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x（1）求函数g（x）=f（x）﹣x﹣2的图象在x=1处的切线方程（2）证明：（3）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（10分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT（1）求证：；（2）若∠BMC=40°，试求∠DOT的大小．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）﹣1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=3，求直线的倾斜角α的值．24．已知a、b为正实数，若对任意x∈（0，+∞），不等式（a+b）x﹣1≤x2恒成立．（1）求的最小值；（2）试判断点P（1，﹣1）与椭圆的位置关系，并说明理由．2015-2016学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是：．故选：C．2．（5分）A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x||x|≤2}，则A∩（∁R B）=（）A．[2，5]B．（2，5]C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【解答】解：∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}=[﹣1，5]，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，∴∁R B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴A∩（∁R B）=（2，5]．故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，S2=2，S4=8，则S6=（）A．﹣32B．32C．﹣26D．26【解答】解：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），即（8﹣2）2=2（S6﹣8），解关于S6的方程可得S6=26，故选：D．4．（5分）已知命题p：∀x＜1，都有x＜0，命题q：∃x∈R，使得x2≥2x 成立，则下列命题是真命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧q【解答】解：命题p：∀0＜x＜1，则＞0，因此是假命题；命题q：∃x∈R，使得x2≥2x成立，由几何画板画出图象，例如取x＜﹣2时不等式成立，可知是真命题．则下列命题是真命题的是p∨q．故选：A．5．（5分）从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有（）A．B．C．D．【解答】解：至少要有一名英语教师，分含1名，2名，3名英语老师三类，故有，故选：B．6．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．7．（5分）若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（）A．l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βB．l∥m，m⊆α⇒l∥αC．l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α∥βD．l⊥n，m⊥n⇒l∥m【解答】解：由l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，知：在A中：l⊥α，m⊥β，l⊥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；在B中：l∥m，m⊆α⇒l∥α或l⊂α，故B错误；在C中：l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α与β相交或平行，故C错误；在D中：l⊥n，m⊥n⇒l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：A．8．（5分）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．3B．C．6D．【解答】解：将函数的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则函数的周期不大于，若ω取最小值，则函数的最小正周期为，即=，解得：ω=，故选：D．9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=﹣x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，一条渐近线的方程为，可得b=a，即有c==a，可得e==．故选：D．10．（5分）一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（）A．i≤9B．i≤6C．i≥9D．i≤8【解答】解：当S=0时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=2，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=3，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=4，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=5，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=6，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=7，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=8，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=9，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=10，当S=时，满足输出条件，故空白处的条件为：i≤9，故选：A．11．（5分）已知圆O的半径为2，A，B是圆O上任意两点，且∠AOB=120°，PQ是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：以O为原点，OB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：；根据题意，设P（2cosθ，2sinθ），Q（﹣2cosθ，﹣2sinθ）；=；∴；∴，；∴+27λ2﹣4sin2θ=4（27λ2﹣27λ+8）．∴的最小值为5．故选：C．12．（5分）已知函数g（x）=lnx﹣mx2﹣nx（m，n∈R）在x=2处取得最大值，则m的取值范围为（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，）D．（0，+∞）【解答】解：函数g（x）=lnx﹣mx2﹣nx的导数为g′（x）=﹣2mx﹣n，由g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值，即有g′（2）=0，即n=﹣4m，由1﹣2mx2﹣nx=0的一个根为2，由韦达定理可得另一个根为﹣，当m＞0时，﹣＜0，g′（x）=0的根为2，即有x=2取得极大值，也为最大值；当m＜0时，﹣＞2，解得﹣＜m＜0，g（x）存在极大值和极小值，x=2为最大值点．当m=0时，g′（x）=﹣，可得g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值．综上可得m的范围为m＞﹣．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（1﹣x）10（2+x）的展开式中x3的系数为﹣195．【解答】解：∵（1﹣x）10（2+x）=[1+•（﹣x）+•（﹣x）2+•（﹣x）3+…+•（﹣x）10]（2+x），故展开式中x3的系数为﹣2•+=﹣240+45=﹣195，故答案为：﹣195．14．（5分）已知对任意n∈N*，点，在直线y=x上，若a1=1，a n＞0，则a n=．【解答】解：∵点在直线y=x上，∴，即，∴，则a n﹣a n=±n，+1∵a n＞0，﹣a n=n，∴a n+1则a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+1=；故答案为：．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是6﹣．【解答】解：由三视图可知几何体为直四棱柱挖去一个半球得到的，直四棱柱的底面为左视图中的直角梯形，棱柱的高为2，半球的半径为1，所以几何体的体积V=×（1+2）×2×2﹣×13=6﹣．故答案为．16．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[﹣2，2]上，，其中m，n∈R，若f（1）=f（3），则=8．【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[﹣2，2]上有，且f（1）=f（3），∴f（﹣2）=f（2），f（1）=f（3）=f（﹣1），∴﹣2m+2=，=﹣m+2，联立解得m=﹣2，n=10，∴=•（mx2+nx）=m+n=8故答案为：8三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数（1）若函数f（x）图象的一条对称轴是直线，求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，a=12，，求b的值．【解答】解：=．（1）由得：，∵0＜ω＜2，∴，则函数f（x）的最小正周期为；（2）由，得，又，∴，由，得．18．（12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在175个以上（包括175）定义为“高产”，挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少？（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是…（2分）所以选中的“高产”有棵，“非高产”有棵，用事件A表示至少有一棵“高产”被选中，则，因此至少有一棵是“高产”的概率是．…（4分）（2）依题意，抽取30棵中12棵是“高产”，所以抽取一棵是“高产”的频率为…（5分）频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取3棵可看成进行3次独立重复试验，所以ξ服从二项分布…（6分）ξ的取值为0，1，2，3，，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（9分）所以ξ的分布列如下：ξ0123P…（11分）所以．…（12分）19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且．（1）证明：DM⊥SN；（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取AB中点E，连接EM、ED，…（1分）∵M为PB中点，所以EM∥PA…（2分）又PA⊥面ABCD，SN⊂面ABCD，∴PA⊥SN，所以EM⊥SN…（3分）∵，所以∠AED=45°…（4分）过S作SF⊥AB交AB于F则NF=FS，∴∠FNS=45°∴ES⊥ED…（5分）又ED∩ME=E，SN⊥平面EDM∴SN⊥DM…（6分）解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），D（0，1，0），，，…（7分），，，设为平面DMN的一个法向量，则，∴…（8分）取x=2，得…（9分）设SN与平面DMN所成角为α∴…（10分）∴…（11分）∴SN与平面DMN所成角的余弦值为．…（12分）20．（12分）从抛物线C：x2=2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x0，4）在抛物线C上，且|MF|=6（F为抛物线的焦点）．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：四边形PCQD是平行四边形．【解答】（1）解：因为所以p=4，即抛物线C的方程是x2=8y…（3分）（2）证明：由x2=8y得，…（4分）设，则直线PA的方程为，①…（5分）则直线PB的方程为，②…（6分）由①和②解得：，所以…（7分）设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t…（8分）由得x2﹣8kx﹣8t=0则x1+x2=8k，x1x2=﹣8t…（9分）所以P（4k，﹣t），所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分，在①中，令y=0解得，所以，同理得，所以线段CD 的中点坐标为，即（2k，0）…（10分）又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点（2k，0）在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分…（11分）因此，四边形PCQD是平行四边形…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x（1）求函数g（x）=f（x）﹣x﹣2的图象在x=1处的切线方程（2）证明：（3）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由．【解答】（1）解：因为g（x）=lnx﹣2（x+1）所以，g'（1）=﹣1…（1分）又因g（1）=﹣4，所以切点为（1，﹣4）…（2分）故所求的切线方程为：y+4=﹣（x﹣1），即y+x+3=0…（3分）（2）证明：因为，所以f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是减少的，所以f（x）max=f（1）=ln1﹣1=﹣1，|f（x）|min=1…（4分）设G（x）=，则，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是减少的，故，G（x）max＜|f（x）|min所以对任意x∈（0，+∞）恒成立…（7分）（3）解：，∵m＞n＞0，∴，故只需比较ln﹣与O的大小…（8分）令=t，设G（t）=lnt﹣…（9分）因为t＞1，所以G'（t）＞0，所以函数G（t）在（1，+∞）上是增加的，故G（t）＞G（1）=0…（10分）所以G（t）＞0对任意t＞1恒成立…（11分）即，从而有＞…（12分）请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（10分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT（1）求证：；（2）若∠BMC=40°，试求∠DOT的大小．【解答】证明：（1）∵MD与圆O相交于点T∴由切割线定理DN2=DT•DM，DN2=DB•DA，得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），∵BD=OB，且，∴DB•DA=r•3r=3r2，，∴DT•DM=DO•DC，则；（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，且∠TDO=∠CDM，故△DTO∽△DCM，∴∠DOT=∠DMC．根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠BMC=∠DMB=40°，∴∠DOT=80°．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）﹣1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=3，求直线的倾斜角α的值．【解答】解：（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，化为﹣1=0，配方得圆C 的方程为（4分）（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=5，（5分）化简得t 2﹣2tcosα﹣4=0，（6分）设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则，（7分）所以，（8分）所以4cos 2α=2，，．（10分）24．已知a 、b 为正实数，若对任意x ∈（0，+∞），不等式（a +b ）x ﹣1≤x 2恒成立． （1）求的最小值；（2）试判断点P （1，﹣1）与椭圆的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为（a +b ）x ﹣1≤x 2，x ＞0，所以（1分）因为，所以a +b ≤2（3分），所以（5分）所以的最小值为2（6分）（2）因为（7分）所以（8分）即，所以点P （1，﹣1）在椭圆的外部（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2016届江西省上饶中学高三(上)期中数学试卷(理科)(零、培优、实验、理补班)(解析版)

2016届江西省上饶中学高三(上)期中数学试卷(理科)(零、培优、实验、理补班)(解析版)

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）期中数学试卷（理科）（零、培优、实验、理补班）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4+a25=5，则一定有（）A．a6是常数 B．S7是常数 C．a13是常数D．S13是常数【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故选：D．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．3．若0＜x＜y＜1，0＜a＜1，则下列不等式正确的是（）A．3log a x＜log a y2 B．cosax＜cosayC．a x＜a y D．x a＜y a【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；不等式．【分析】利用幂函数的性质判断即可．【解答】解：∵0＜x＜y＜1，0＜a＜1，∴x a＜y a，故选：D．【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握幂函数的单调性是解本题的关键．4．记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】弦切互化．【专题】计算题．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．5．已知点A（﹣1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．DD．【考点】平面向量数量积的运算；直线的倾斜角．【专题】平面向量及应用．【分析】先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出P（x，kx+2），所以能得到的坐标，从而根据条件会得到关于x的不等式（1+k2）x2+4kx+3＜0，要满足条件，该不等式便有解，从而△＞0，这样便得到k，这样即可求出此时l倾斜角α的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到，这两种情况的α求并集即可．【解答】解：如图，（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；∴设P（x，kx+2）；∴=（﹣1﹣x，﹣kx﹣2）•（1﹣x，﹣kx﹣2）=（1+k2）x2+4kx+3＜0；∴该不等式有解；∴△=16k2﹣12（1+k2）＞0；解得k，或k；∴；∴，且；（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；∴设P（0，y）；∴；∴﹣1＜y＜1；即存在P点使；而此时；∴综上得直线l的倾斜角的范围是．故选：A．【点评】考查直线的点斜式方程，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，一元二次不等式是否有解和判别式△的关系，熟悉正切函数的图象，知道倾斜角的取值范围，注意不要漏了斜率不存在的情况．6．设，，且tanα=，则下列结论中正确的是（）A．2α﹣β=B．2α+β= C．α﹣β=D．α+β=【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式得出，然后分子分母同时除以cosβ，最后由角的范围得出答案即可．【解答】解：．因为，β+∈（，），所以．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角的应用，属于基础题．7．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．【解答】解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b 即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为（）A．[﹣1，0）∪（3，4]B．[﹣1，0）C．（3，4]D．[﹣1，4]【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=﹣1，即有f（4）=﹣2，原不等式f （﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，则f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0，由于，则f（2）=﹣1，即有f（4）=2f（2）=﹣2，不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．由于对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则f（x）在（0，+∞）上递减，则原不等式即为，即有，即有﹣1≤x＜0，即解集为[﹣1，0）．故选B．【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．9．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（）A．（2，﹣2）B．（﹣4，0）C．（4，0） D．（7，3）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．11．已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）A．B．C． D．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得|=，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，∵∠A=120°，，则根据向量的数量积的定义可得，设∴即xy=4==x2+y2≥2xy=8（当且仅当x=y取等号）∴即的最小值为故选：C【点评】此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为==，还利用了基本不等式求解最值．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y0）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y1）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（，+∞）C．（1，）D．[1，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为k1=（ax0+a﹣1），函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为k2=（x0﹣2），由题设有k1•k2=﹣1从而有（ax0+a﹣1）•（x0﹣2）=﹣1，∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3，∵x0∈[0，]，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a=，又a′=﹣，令导数大于0得，1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故选D．【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由可得x+y=3；化简=•+•=++，从而利用基本不等式求最值．【解答】解：∵，∴x﹣3=﹣y；即x+y=3；故=•+•=++≥+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．14．已知数列{a n}中a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），S n是数列{a n}的前n项和，则S2015=5239．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），可得a n+5=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），∴a3==2，a4==4，a5==4，a6==2，a7==1，…，∴a n+5=a n．∴S2015=S5×403=（2+1+2+4+4）×403=5239．故答案为：5239．【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【专题】导数的概念及应用；推理和证明．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V==πydy=，故答案为：2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，]．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】分段函数的应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．【解答】解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x是递减函数，则f（x）∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，则f（x）在（，1]上递增，则f（x）∈（，]．则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，]，故①正确；当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acos x﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），所以g（x）=﹣2cos[2（x+）+]，=﹣2cos（2x+）=2sin2x，由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：．【点评】本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题．18．若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于p，先求出|x1﹣x2|∈[2，4]，再根据不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范围，对于q，函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，则f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，根据判别式求出a的范围，由于p且￢q为真命题，得到p真，q假，问题得解．【解答】解：若命题p为真命题，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根∴x1+x2=a，x1x2=﹣3，∴|x1﹣x2|==，∵a∈[﹣2，2]，∴|x1﹣x2|∈[2，4]，∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈[﹣2，2]成立即可∴|m+1|≥4∴m+1≥4或m+1≤﹣4，∴m≥3，或m≤﹣5，若命题q为真命题，∵f（x）=x3+mx2+（m+）x+3，∴f′（x）=3x2+2mx+（m+），∵函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，∴△=4m2﹣12m﹣40≥0，解得m≤﹣2，或m≥5，∵p且￢q为真命题，∴p真，q假，∴，解得3≤m＜5，实数m的取值范围为[3，5）【点评】本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P，Q为真时的m的取值范围，属于中档题．19．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9，h （﹣2）=h（0）=1且h（﹣3）=﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）﹣x2g（x2）成立，求a的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）令x=﹣x得到g（﹣x）+2g（x）=2e x+﹣9，与g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9构成方程组，解得即可求出g（x），h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，带值计算即可；（2）构造函数设φ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=g（x）﹣xg（x）=e x ﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，转化为，当﹣1≤x≤1时，φ（x）min≥F（x）max．利用导数求出最值即可．【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9，①∴g（﹣x）+2g（x）=e﹣x+﹣9，即g（﹣x）+2g（x）=2e x+﹣9，②由①②联立解得，g（x）=e x﹣3．∵h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（﹣3）=﹣2，解得a=﹣1，∴h（x）=﹣x（x+2）+1=﹣x2﹣2x+1，∴g（x）=e x﹣3，h（x）=﹣x2﹣2x+1．（2）设φ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=g（x）﹣xg（x）=e x﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，依题意知，当﹣1≤x≤1时，φ（x）min≥F（x）max．∵F′（x）=﹣e x+（1﹣x）e x+3=﹣xe x+3，在[﹣1，1]上单调递减，∴F′（x）min=F′（1）=3﹣e＞0，∴F（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴F（x）max=F（1）=0，∴解得﹣3≤a≤7，∴实数a的取值范围为[﹣3，7]．【点评】本题考查了函数解析式的求法，和导数和函数的最值问题，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题．21．设正项数列{a n}的前n项和S n，且满足S n=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{a n}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，证明：T n＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想a n=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想a n=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，a k=k….4分，则当n=k+1时，，结合a n＞0，解得a k+1=k+1…..6分，于是对于一切的自然数n∈N*，都有a n=n…7分．（Ⅱ）证法一：∵，…10分∴．…14分证法二：用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，….8分（ⅱ）假设当n=k时，…9分则当n=k+1时，要证：只需证：由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*，都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．22．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；（Ⅱ）假设存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到，解此不等式组求得t的取值范围；（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）﹣，由函数在[e2，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e2，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．【解答】解：（I）由f（x）=，得．∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴，∴a=1，∴，x＞0，．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（Ⅱ）∵x＞1时，，当x→0时，y→﹣∞，由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：∵函数f（x）在区间（t，t+），t＞0上存在极值和零点．∴，解得．∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（）；（III）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，则．∴．∴函数F（x）=f（x）﹣在[e2，+∞）上单调递减，又，∴在[e2，+∞）上恒成立，∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立．在[e2，+∞）上，k≤2．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判定方法，训练了利用恒成立问题求参数的范围，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，是压轴题．。

2015—2016学年度高三阶段性检测数学(理工类)试题

2015—2016学年度高三阶段性检测数学(理工类)试题

2015—2016学年度高三阶段性检测数学(理工类)试题2016.01 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．答第II卷时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．参考公式：锥体的体积公式V=Sh．其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则A. B. C. D.2.下列说法中错误的是A.若命题，则B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“若”的逆否命题为:“若，则0”D.若为假命题，则均为假命题3.由曲线，直线所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D.4. C 解析：因为，，所以，故选C.5. 李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为,（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（）A.11000B. 22000C. 33000D. 400005.C解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售辆，故利润，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C。

6.已知函数，且，则的值是（）A. B. C. D.6.A解析：因为，所以，所以，故选A.7. “”是“函数在区间内单调递减”的（）A充分非必要条件．必要非充分条件．充要条件．既非充分又非必要条件．7. D 解析：若函数在区间内单调递减，则有，即，所以“”是“函数在区间内单调递减”的非充分非必要条件，所以选D.8. （文）已知全集，，，则集合为( )A．B．C．D．8.(文) C解析：因为，，所以，所以.故选C.8.（理）曲线在点处的切线为，则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（）．A. 1B.C.D.8. （理）B解析：曲线在点处的切线为，与x轴的交点为，所以由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是9.设函数的零点为的零点为可以是A. B.C. D.10.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足取最小值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知经计算得，……，观察上述结果，可归纳出的一般结论为▲.12.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是▲.13.已知两直线截圆C所得的弦长均为2，则圆C的面积是▲.14.定义是向量的“向量积”，它的长度，其中为向量的夹角.若向量▲.15.已知函数时，函数的最大值与最小值的差为，则实数▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）在中，角A,B,C的对边分别是向量. （1）求角A的大小；（2）设的最小正周期为，求在区间上的值域.17. （本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD//BC,CE//BG，且,平面平面BCEG,BC=CD=CE=.（1）证明：AG//平面BDE；（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分12分）第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为（万元）；若年产量不小于80台时，（万元）.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？19. （本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前n项和为；数列是等比数列，首项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.20. （本小题满分13分）已知函数.（1）若函数的图象在点处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）讨论的单调性；（3）若恒成立，求实数的最大值.21. （本小题满分14分）椭圆的上顶点为P，是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F且与坐标不垂直的直线l交椭圆于A,B两点，在直线x=2上是否存在一点D，使得为等边三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由.。