变量可分离方程

§2 变量分离的方程考虑微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2(若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2(变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积.问题是：对)2.2(如何求解？一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：0)()(=+dy y Y dx x X )3.2()3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( )4.2(由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到0)()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的.附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上.例1 求解微分方程0)1)(1(22=+-+xydy dx y x )7.2(解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程01122=-++dy y y dx x x ， 积分得C y x x ln 1ln )ln(222=-++，即 C y e x x =-1222，亦即 2221x e C y x -⋅+= )8.2( 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许)8.2(中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于)8.2(中.因此方程)7.2(的通积分为2221xe C y x -⋅+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .例2 求解微分方程 31'23y y = )9.2( 并作出积分曲线族的图形.解 当0≠y 时，将)9.2(改写为dx ydy2331=， 两边积分，得 C x y +=32， （0≥+C x ）， 或 32)(C x y +=， （C x -≥） )10.2(最后，还有特解0≡y ，它不包含在)10.2(之中.利用方程)9.2(并参照通积分)10.2(，可以作出积分曲线族的图形（图 ）由图 不难看出，过x 轴上的每一点)0,(**x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.总之，微分方程)9.2(满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是局部不唯一的.我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.下面我们通过几个例子来说明,尽管一些方程本身不是可分离变量的,但通过适当变换后,便可变为可分离变量方程.例3 求解微分方程y x dxdy +=2 )11.2( 解 作变换,令y x z +=2,则dx dydx dz +=2,代入原方程得z dx dz+=2,将它分离变量得dx z dz=+2,积分得c x z ln 2ln +=+,或2-=x ce z ,所以原方程的解为22--=x ce y x .例4 求解微分方程)(t a n 2y x dx dy+=)12.2( 解 作变换,令y x z +=,则dx dydx dz+=1,代入原方程,化简后得zdz dx 2cos =,积分得12sin 4121c z z x ++=,所以原方程的隐式解为c y x y x =+--)(2sin )(2.其中14c c =.习题2—21．求解下列微分方程：（1） 221xy y x dxdy +++=； 解 分离变量，得dx x y dy )1(12+=+， 积分后得通积分C x x y ++=221arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++=. （2） 2)2c o s (c o s y x dxdy =； 解 分离变量，得xdx ydy 22cos 2cos =， 积分后得通积分C x x y =--2sin 212tan . 此外由02cos =y 可求得特解42ππ+=n y . （3） 21y dxdy x -=； 解 分离变量，得xdx y dy=-21， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .此外还有特解1±=y .（4） y xey e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得dx e x dy e y x y )()(--=+，积分后得通积分C e e x y x y =-+--)(222.2．求解下列微分方程的初值问题：（1）0=+-dy ye xdx x ，1)0(=y ；解 将方程改写为 0=+y d y dx xe x ，积分后得通积分C y e xe x x =+-221. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22=++-y e x x .（2） 21ln y x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 313. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+x x x y y . （3）321xy dxdy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x x d xdy y +=，积分后得通积分 C x y=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为312122=++x y . 3． 跟踪：设某A 从xOy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从),0(b 开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ，试求B 的光滑运动轨迹.解 设B 的运动轨迹由)(x y y =表达，在0=t 时，B 的坐标为),0(b ，在时刻t 时，B 的坐标为))(,(x y x ，因为B 与A 永远保持等距b ，从而22yb y dx dy --=， 分离变量，得 dx dy yy b =--22， 积分后得通积分C y b y b b y b b b x +-----+=222222ln 2. 由初值条件b y =)0(，得0=C .所以设B 的运动轨迹为222222ln 2y b y b b y b b b x -----+=. 4． 设微分方程)(y f dxdy = )11.2( 其中)(y f 在a y =的某领域（例如，区间ε≤-a y ）内连续，而且0)(=y f ，当且仅当a y =.则在直线a y =上的每一点，方程)11.2(的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa a y f dy )( （发散）. （从而在特解a y =的领域内的每一点，方程)11.2(的解都局部唯一）.证 显然a y =是方程)11.2(的一个解，又经过域 a y a x D <≤-+∞<<-∞ε,:1和域ε+≤<+∞<<-∞a y a x D ,:2内任一点),(00y x ，恰有方程)11.2(的一条积分曲线，它由下式确定： 00)(x x s f ds yy -=⎰ )12.2( 这些积分曲线彼此不相交.其次域1D （2D ）内所有积分曲线C x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，如0)(C x y f dy +=⎰，经过坐标变换0,C C x y --==ξη平移而得到.因此只需考察经过1D （或2D ）内某点的一条积分曲线，它由)12.2(式确定.若在直线a y =上某一点),(1a x ，方程)11.2(的解不局部唯一，即有所论积分曲线当1x x =时达到直线a y =上点),(1a x ，因此积分⎰a y s f ds 0)(必收敛.这与∞=⎰±εa a y f dy )(矛盾. 反之，若⎰a y s f ds 0)(发散.此时由)12.2(容易看出，所论的经过),(00y x 的积分曲线不可能达到直线a y =上，而以直线a y =为渐近线.从而)11.2(的解在直线a y =上的每一点都局部唯一.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。