以立体几何的定义.

＝
要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，
∴CM＝
＝2 ，∴PM的最小值为2 .
答案：2
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，
∠BAC＝∠BDC＝90°，且
AB＝AC＝a，则AD＝
.
源自文库
解析：取BC中点E，连结ED、AE，
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BCD.
∴AE⊥ED.
1.证明平面与平面垂直的方法主要有： (1)利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角
即可. (2)利用判定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能
是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边， 勾股定理等结论.
2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.
(2009·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
[思路点拨]
[课堂笔记] 证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝
＝2 .
∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.
本例中，ED与平面ABD垂直吗？ 解：由例1知，AB⊥BD， ∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD， ∴ED⊥平面ABD.
两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂 直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的 辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线.
如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起， 记折起后点的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图②.
A.b⊥β
B.b∥ β
C.b⊂ β
D.b⊂β或b∥ β
解析：由垂直和平行的有关性质可知b⊂ β 或b∥ β.
答案：D
2.(文)已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；
②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；
③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；
④若α⊥β，则β内的任何直都与α垂直.
以立体几何的定义、公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定 理.
1. 直线与平面垂直
2.直线和平面所成的角 3.二面角的有关概念
4.平面与平面垂直
[思考探究] 垂直于同一平面的两平面是否平行？
提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交.
1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是 ( )
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点， 所以EF∥BC， 又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以EF∥平面ABC. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1. 所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D⊂平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
答案：A
(理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B
所成角的大小是
()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
解析：如图所示，连结AC交BD 于O点，易证AC⊥平面DD1B1B， 连结B1O，则∠CB1O即为B1C与 对角面所成的角，设正方体边长为a，则B1C＝ a，CO＝
行， ∴②错误； 对③，∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，
又m⊂ β ，∴α⊥ β ，∴③正确；④错误.
答案：D
4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥
平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值
为
.
解析：∵PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，
∴PC⊥CM，∴PM＝
(1)求证：平面PBC⊥平面PDC； (2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作 EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)证明：折叠前，在四边形ABCD中， AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以△ABD为等腰直角三角形.又因为∠BCD＝45°，所以 ∠BDC＝90°. 折叠后，因为面PBD⊥面BCD， CD⊥BD，所以CD⊥面PBD. 又因为PB ⊂面PBD，所以CD⊥PB. 又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC. 又PB⊂面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.
a，∴sin∠CB1O＝ . ∴∠CB1O＝30°. 答案：B
3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是
()
A.①与②
B.③与④
C.②与④
D.①与③
解析：对①，l⊥α，α∥β ⇒l⊥ β ， 又∵m⊂ β ，∴l⊥m，∴①正确； 对②，α⊥ β ，l⊥α，则l∥β或l⊂ β ，∴l不一定与m平
则其中
()
A.②、③为真
B.①、②为真
C.①、④为真
D.③、④为真
解析：若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意 一条，即①不正确；若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，
即②正确；若α∥β ，则β内的任何直线都与α平行，即③ 正确；若α⊥ β ，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是
任意一条，即④不正确. 综上可得②、③为真，故应选A.
在Rt△ABC和Rt△BCD中，
AE＝ED＝ BC＝ a，
∴AD＝
＝a.
答案：a
1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α). (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β). (4)利用面面垂直的性质.
当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线， 常用来证明线线垂直.
2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的 判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直 的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线 面平行.
(2009·福建高考改编)如图， 平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°， AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起 到△EBD的位置，使平面EBD⊥平 面ABD. 求证：AB⊥DE.