24.1.4_圆周角_导学案

24.1.4《圆周角》（1）学习目标1．使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算. 2．了解分类思想和完全归纳的思想.学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用. 学习难点: 了解分类思想和化归思想. 学习过程 一．自主学习1．圆周角定义: 叫圆周角. 2．判断下列各图形中的是不是圆周角.（A ）2个， （B ）3个， （C ）4个， （D ）5个。

3．圆周角的两个特征： ① 角的顶点在 ；② 角的两边都 . 4．分别度量下图中AB 所对的两个圆周角∠C ，∠D 的度数，比较一下，∠C_____∠D.变动点C 的位置，圆周角的度数有没有发生变化？ （1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于 的的一半. 二．探索新知如图所示，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时折痕可能下图出现三种情况：你能分别证明这三种情况中 AB 所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗？（1）如图1，当圆周角∠BAC 的一边AB 刚好是折痕（⊙O 的直径）时；OA DB C（2）如图2，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的两侧时；（3）如图3，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。

问题1：如图，在⊙O中，若圆周角∠BAC=∠DEF，那么AC =DF 吗？为什么？结论:___________________________________________三．应用新知例1 如图，点A、B、C、D都在同一个圆上，四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中，相等的角有几对？请分别指出来.例2 如图，OA=OB=OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.OCBA87654321DCBA例3 已知:四边形ABCD 的四个顶点都在圆上，且AB ∥CD . 求证:AB=CD四．发现总结1．在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.2．数学思想方法：在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想. 五．巩固提高如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，点P 是CAD 上的一点，（不与C 、D 重合） （1）求证：∠CPD=∠COD.（2）如图 2，若点P 在劣弧CD 上（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COD 的数量关系是否发生变化？写出结论，并画图证明. 图1 图2ODB AD C PD C六．课堂检测1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒2．如图2，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）A.100°B.80°C.70°D.50°3．如图3，在⊙O 中，弦BE 与CD 相交于点F ，CB 、ED 的延长线交于点A ，如果∠A=30°, ∠CFE=70°,∠CDE=（ ） A ．20° B.40 ° C.50 ° D.60°4．如图4，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 、BE 是高，交点为H ，BE 的延长线交⊙O 于F ，下列结论：①∠BAO=∠CAD ；②AO=AH ；③DH=DC ；④EH=EF ，其中正确的的结论（ ） A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ③④5．如图5，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，E 为劣弧CB 上的一动点(不与B 、C 重合)，DE 交弦BC 于点N ，AE 交半径OC 于点M ，在E 点运动过程中，∠AMC 与∠BNE 的大小关系为（ ）A ．∠AMC>∠BNE B. ∠AMC=∠BNEC. ∠AMC<∠BNED. 随着E 点的运动以上三种关系都有可能6．如右图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=32cm ，（1）求∠ABC 的度数； （2）求⊙O 的面积7．如下图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴上的一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCQ ，A （－1，0）,C （0，3）.图2D C BA 图3OE FDB 图O F HE DC B A图5O N M E D CBA（1）求M 点的坐标.（2）当P 点运动时，线段AQ 的长度是否发生变化？若变化请求出其值，若改变说明理由.y x M O Q P DCB A。

（5）（4）A24.1.4圆周角导学案（1）学习目标：1.了解圆周角的概念．理解圆周角的定理．理解圆周角定理的推论.（重点）2.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．（难点） 自主学习：阅读教材85至86页 1.定义：顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角.（完成书后练习第1题） 2. ① 如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC 分别是所对的圆心角、圆周角，利用以前所学知识求出图（1），（2），（3）中∠BAC 的度数分别为 ．通过计算发现：∠BAC ＝ ∠BOC ， 即， 。

② 观察图（4）和（5）中的圆周角和圆心角，它们与图（1）（2）（3）有什么不同？还能得到与①相同的结论吗？你是怎么得到的？③ 圆周角定理的证明运用了什么数学思想？3.如图（6），在⊙O 中，所对的圆心角为 ，所对的圆周角是 ，你能得到什么结论？合作探究探究1 教材88页练习3 探究2 教材88页练习2 典型题例1.如图（7），点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350①∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ②∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 2.如图（8），点A ，B ，C 在⊙O 上， 若∠BAC=60°，则∠BOC=____°；若∠AOB=90°，则∠ACB=____°. 3.如图（9），点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC 的形状，并说明理由.4.如图（10），⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°，求弦DC 的长.BC （1） （2） （3）BC （6）（7）（8）(9)（10）B（13）圆周角（1）限时训练1.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°2.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°3.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°4.如图，A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中，相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对5.如图,D 是弧AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个6.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°7.如图⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于 ( ) A ．150° B ．130° C ．120° D ．60°8.如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是弧AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.9.如图,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BD 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形.10.已知,如图,∠BAC 的邻补角∠BAD=100°,则∠BOC=_____度. 11.如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_____度.12.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °,则点O 到CD 的距离OE= . 13.如图（13）,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，且AD=6cm ，若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长.第2题第3题 第4题 第5题 第7题 第6题 第9题 第10题 CD 第11题 第12题24.1.4圆周角导学案（2）学习目标：1．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径。

（2）结合圆周角定理，引导学生研究其他几何图形的性质，如椭圆、双曲线等。
（3）鼓励学生参加数学竞赛、课外活动，拓宽知识视野，提高数学素养。
四、教学内容与过的基本概念，如圆心、半径、直径等，为新课的学习做好铺垫。
（1）请学生回顾圆的定义及圆的基本性质。
（2）提问：圆心角和弧有什么关系？如何计算圆心角的度数？
（二）讲授新知
1.圆周角定理的推导：
（1）引导学生观察圆中的圆周角，尝试总结其性质。
（2）教师通过动画演示，直观展示圆周角定理的推导过程。
（3）讲解圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
2.圆周角定理的应用：
（1）结合实际例题，讲解如何运用圆周角定理解决问题。
（2）引导学生关注圆周角定理在解决角度、弧度等问题中的应用。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳，培养学生发现问题的能力。
2.通过自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
3.通过实际操作，培养学生的动手能力和空间想象能力。
4.引导学生从不同角度思考问题，培养学生思维的灵活性和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，提高学生对数学美的感受。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
3.培养学生的团队协作精神，学会与人沟通交流。
4.通过圆周角定理的学习，使学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
1.导入：通过复习圆的基本概念，引导学生关注圆周角。
2.自主探究：让学生观察圆周角的特点，尝试总结圆周角定理。
3.合作交流：分组讨论，分享探究成果，互相学习，共同完善圆周角定理。
1.学生总结：请学生谈谈本节课的学习收获，对圆周角定理的理解和运用。

OBCAO BCA << 24.1.4圆周角的概念和圆周角定理 >>导学案一、学习目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法 二、重难点重点：圆周角的概念和圆周角定理难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．三、温故知新（口答）1、复习：（1）什么是圆心角？ （2）圆心角的度数定理是什么？ （如右图）2、什么是圆周角：如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB ，它就是圆周角.（如右图）定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 四、自主探究 合作展示自学课本第85页———第86页推论前内容，尝试自主解决以下问题： 1、圆周角定义: 叫圆周角. 特征：① 角的顶点在 ；② 角的两边都 。

2、圆心角与所对的弧的关系： 3、圆周角与所对的弧的关系：4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 的一半. 5、100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。

6、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。

7、下列命题中是真命题的是（ ）（A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。

（B ）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（D ）120º的弧所对的圆周角是60º8、巩固练习（1）、如图6，已知∠ACB = 20º，则∠AOB = _______.（2）、如图7，已知圆心角∠AOB=100，则∠ACB = _______。

图6OBAC图8图7OBACOBCA（3）、如图8，OA,OB,OC 都是圆O 的半径，∠AOB = 2∠BOC.求证：∠ACB = 2∠BAC.五、小结画出本节知识树六、当堂达标练习1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）ABCD练习2、图3中有几个圆周角？（ ）（A ）2个， （B ）3个， （C ）4个， （D ）5个。