北林2009-2010高数D期末试卷A

一、填空题（每题3分，共30分）1．在“充分”、“必要”、“充要”和“非充要”中选择一个正确的填入下列空格内（1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的____必要_______条件；（2）某变量无界是该变量为无穷大的_____必要____条件；（3）()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[a,b]上可积分的_____充分______条件。

2.当0x →时，22ln(1)x x +-是x 的n 阶无穷小，则n =____4_________。

3.0x =是函数1siny x=的第_____二_____类间断点。

4. 设)(。

x f '存在，则0lim →r 001[(2)(2)]f x h f x h h+--=04()f x '。

5. 设x y -=11，n 为自然数，则()(0)n y =!n 。

6. 函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 的取值范围是[0,)+∞。

7. 若()()f x dx F x C =+⎰，则()x x e f e dx --⎰ =()x F e C --+。

8.若n 为正整数，则 120(1)n d x dx dx-⎰=____0___________。

9微分方程dxdy xy y dx dy x =+的通解为y cxy e =。

10.方程x e x y y y 3296=+'-''的一个特解形式*223()x y x ax bx c e =++。

二、求解下列各题（每小题5分，共70分）1. xx x x x -∞+→11sin lim 求 2.求 4200)d )1ln((lim x t t x x ⎰+→解: 解: 3. 设tan()y x y =+，求dy 4. 设 2222(21)t t x te y t e--⎧=⎪⎨=+⎪⎩求)(x y '' 解: 解:5. dx6. ⎰xdx x sin解: 当0x >时 解:当0x <时, sec () 2x t t ππ=<<令： 可得: 原积分=1arccos() C x =-++ 7．求41⎰8. 2⎰ 解: 令t = 解:9. 给定曲线21xy =，求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。

北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。

2. 微分方程的特解可设为________________________________________。

3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。

4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。

5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。

6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。

7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。

8.交换二次积分I=的积分顺序，则。

9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。

10. 幂级数的收敛半径为。

二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。

九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。

十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。

十三、（4分）设发散，又，证明收敛。

郑州轻工业学院2009-2010学年第二学期高等数学试卷A 答案试卷号：A20100621（1）一、1． A ；2． A ；3． A ；4． D ；5． D二、1． 220r r +-= ；2．32a π．3． (0)S =12 ，(1)S =1，(3)S π=12． 4．sin cos x e x ． 5．(0,2)三、1．原式2122001()(2)f x dx x dx x dx ==+-⎰⎰⎰135=2326+-=2．法一：方程为一阶线性非其次微分方程，利用通解公式11sin ()dx dx x xx y e e dx C x -⎰⎰=+⎰ln ln sin ()x x x e e dx C x-=+⎰11(sin )(cos )x dx C x C x x=+=-+⎰ 法二：先求其次通解 111'y y dy dx x y x=-⇒=- 两边积分得 ln ||ln ||ln 'y x C =-+，即有 'C y x=… 常数变易法 令()u x y x =，则有 2'()()'xu x u x y x -=，代入微分方程得21'()()()sin ''()sin xu x u x u x x y y u x x x x x-++==⇒=所以 ()cos u x x C =-+，故通解为 cos x Cy x-+=3．在t 处的切向量为2(22,1,39)T t t =--u r ，平面的法向量为(2,1,3)n =--r因为 ||T n u r r ，所以222139213t t --==--，解得 2t =，故得所求点为(0,2,10)-。

4．222222222222=,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂==∂++∂++∂++， ， 所以 2222()xdx ydy zdz du x y z ++=++。

Ω
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
L
2 3 2
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x + y , Q(x , y )=3 xy ,由 =3 y = ,故此积分与路径无关.............2 分 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3， 0 ）的直线段,方程为： y = 0,1 ≤ x ≤ 3................4 分 3 26 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx = ...........6分 1 3 L
D
】
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ...........................2分
D D D
1 = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ ⋅1⋅ 2=3........................................6分 2 D
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解：(1) 联立方程可求得交线为： x 2 + y 2 = 1, z = 1, 从而D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}..........................2分
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy........................4分
).
32π
1. 设 zLeabharlann = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求

级高等数学(二)期末试卷4．若曲面∑：2222a z y x =++，则S d z y x ⎰⎰++∑)(222＝（ ）.A. 4a p ；B. 42a p ；C. 44a p ；D. 46a p .5．已知函数22(,)f x y xy x y +=+，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+∂∂＝（ ）. A.22x y +； B.22x -； C.22x y -； D.22x +.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．直线32321x y z++==-与平面2260x y z +++=的交点为 ． 7．幂级数11212n n n x n-+∞-=∑的收敛半径为 ．8．设)(x f 是周期为π的周期函数，它在区间(0,]π上定义为2,(0)2()1,()2x x f x x x πππ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于 ．9．0(,)xudu f u v dv =⎰⎰变换积分次序 ．10．设空间立体Ω所占闭区域为1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥，Ω上任一点的体密度是(,,)1x y z ρ=，则此空间立体的质量为． 三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．2lim x y π→→求.12．已知2(,)x y f x y e =，求(1,1)x f ，(1,1)y f ．13．设函数(,)z z x y =由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定，求(1,1)dz．14．设2(,2)z f x y x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．15．1111(1)5()2n n n n n n n n a x na x -∞∞-==-+∑∑设级数的收敛半径为，求的收敛半径．16．设Ω是由2221x y z +-=,2z =-,2z =所围的有界闭区域.试计算2(1)I z dV Ω=-⎰⎰⎰．四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关，求)(x f ．18．计算∑，其中∑为下半球面z =侧．五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．设级数1nn a∞=∑绝对收敛，1n n b ∞=∑条件收敛，证明()1n n n a b ∞=+∑条件收敛．20．设{}1),(22≤+=y x y x D ，),(y x u 与),(y x v 在D 上具有一阶连续偏导数，j y v x v i y u x u G j y x u i y x v F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=,),(),(，且在D 的边界曲线L （正向）上有y y x v y x u ≡≡),(,1),(，证明： πσ-=⎰⎰⋅d G F D.。

9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

高等数学A 、B （上）试题A 参考答案与评分标准（20XX0122）1.解:原式言而亡U \im 土炉 io x 1。

4r2.解也=2（q 「ctm ）£, ... dx [ln （l+ r ）y 四、计算题（每题7分，共14分） 1. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 解 —ln （x 2 + ） = arctan —, 两边对工求导:J,2：+2）;=——1 ----------------------------------- 2 .......... 4分（2+2）2 V 2疽+寸]+（当⑵yy'= ~ , ........ 6 分 dy = -~-dx ....... 7分y + x y + x2. 解 原式=jx(sec 2 x- l)</r + j 【杠。

，4乂业=J xd tan x — ^xdx + — ^dx + — ^cos^xdxI? X \=xtan x + In |cosx|-:——i - —sin4x+ C (第一个积分 4 分，第二个积分 3 分)2 2 8五、计算题(每题7分，共14分) 1. 解令t =』2x+l,那么x = L(户—1), 原式m 房招仲-仁0【5-1萨。

2. 解 ds = + y ,2dt = 4a \sin-i ……5分（2+3）六、计算题（每题8分，共16分）通解 y = c x e^x + c 2e~2x + (- x 2 - x)e 3xo ... 8分七、(8 分)证明 J 。

J1 -cos 2xdx = sin xdx = 2^2^/(%) = lnx- —+ f Jl -cos 2xdx = In 十-土 + 2\^, x G (0, + oo),贝！J f\x) = --- = -~- , .4分e J 0 e x e xe 单项选择题（每题3分, 1:D 2:B 3:A 二、 5： 三共18分）4:C 填空（每题2分，共16分）1, 2：疽， x-2y = 1, 6： 9/2 , 计算题（每题7分，共14分） 5: A 6:D3： 2, 7： lvS2, 4： f\x In x)(ln x+1 )dx,+)『=心。

北京林业大学 2007--2008学年第二学期考试试卷试卷名称： 数理统计II （B 卷） 课程所在院系： 理学院 考试班级： 学号： 姓名： 成绩：试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共4页，共八大部分，请勿漏答；2. 考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 所有试题答案写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，参与公平竞争!答题中可能用到的数据：8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，(0.4243)0.6228Φ=，(1.414)0.9213Φ=， 0.025 1.96z =，,.)(.7764240250=t ,.)(.14311402502=χ20.025(5)12.833χ=一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，每小题３分，总计２１分） 1. 设A 、B 为任意两事件，且,()0,A B P B ⊂>则下列选择必然成立的是 (C) 。

()()()A P A P A B <; ()()()B P A P A B >;()()()C P A P A B ≤ ; ()()()D P A P A B ≥2. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 (D) （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

３.设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y = (C) ．(A) 1. (B) 9. (C)10. (D ）6.４．每次试验结果相互独立，设每次试验成功的概率为p 。

20 06 --20 07 学年第 二 学期考试试卷(A)试卷名称： 高等数学 （理工类） 课程所在院系： 理学院 （N ）考试班级 学号 姓名一、填空题（每题 3 分，共 39 分） 1． 设 f (x − y , x + y ) = x2− y 2 ，则 f (x , y ) = xy .x 2 y4． 函数 u = x sin(yz ) 的全微分为du = sin(yz )dx + xz cos(yz )dy + xy cos(yz )dz .5． 已知平面区域 D 是由直线 x + y = 1， x − y = 1及 x = 0 所围成，则 ydxdy = 0D6．微分方程 y ′ = y2 e 2x, 满足初始条件 y (0) = − 2 的特解为 y = −2e −2x .7． 设 y 1 , y 2 , y 3 是微分方程 y ′′+ p (x )y ′+ q (x )y = f (x ) 的三个不同的解， 且 ≠ 常数， 则微分方程的通解为 y = c 1 (y 1 − y 2 ) + c 2 (y 2 − y 3 ) + y 1 .8． 周期为 2π 的函数 f (x )， 它在一个周期上的表达式为 f (x ) = ， 则 f (x ) 的傅里叶级数的和函数在 x = 0 处的值为 0 . 9． 设 Σ 为平面 ++ = 1在第一卦限中的部分，则(z +2x + y )dS = 4 .Σ11. 设 L 为下半圆周 y = − ，则对弧长的曲线积分 ∫ ex 2 +y2ds = 2πe 4 .L12．函数 f (x ) =1展开为 x 的幂级数的形式为1 [1 + x + (x ) +2 + (x )n + ], −2 < x < 22 − x 2 2 2 213．若级数(u n +1)收敛，则 l nu n = -1二、（5 分） 函数 z = z (x , y ) 由方程 x − az = φ(y − bz ) 所确定， 其中φ(u ) 有连续导数， a , b 是不全为零的常数，证明： a∂x + b ∂y = 1 证明：方程 x − az = φ(y − bz ) 两边同时对 x , y 求偏导得2． 极限 lim = 2 .3． 设函数 f (x , y ) = 2x2+ ax + xy 2 + 2y 在点 (1, − 1) 处取得极值，则常数 a = -5 .10． 曲线 x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin 在对应 t = 的点处的法平面方程是2 2 π 2x + y + z − −4 = 0 .y x 00− 1 t π∂z ∂z∂x ∂x ∂x a − b φ′ ∂z ∂z ∂z −φ′ ∂y ∂y ∂y a − b φ′ ∂z ∂z ∂x ∂y 三、（5 分）设 z = e ，求1 xy xy1 − a∂z = φ′ ⋅ ( −b ∂z ) ⇒ ∂z =1− a = φ′ ⋅ (1 − b ) ⇒ =故 a + b = 1x 2 y 3 ∂2z∂x ∂y= 2xy 3ex 2 y 3,= (6xy 2+ 6x 3y 5)ex 2 y 3四、（6 分）求微分方程 y ′′ − 3y ′+ 2y = 2e x 满足条件 y (0) = 0, y ′(0) = 1 的特解. 解：特征方程为： r2− 3r + 2 = 0 特征根为： r 1 = 2, r 2 = 1 对应齐次方程的通解是： y = c 1e 2x + c 2 e x设原方程的特解为： y *= axe x ，将其代入原方程待定系数得 a = −2 .所以 y * = −2xe x故原方程的通解为 y = c 1e 2x+ c 2 e x − 2xe x 由 y (0) = 0, y ′(0) = 1 解得c 1 = 3, c 2 = −3因此所求的特解是 y = 3e 2x − 3e x − 2xe x五、（6 分）计算二重积分 (x2+ y )dxdy ，其中 D = {(x , y ) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 } .D解:(x2+ y )dxdy = x 2dxdy =πd θ∫23(r cos θ)2 rdr =πD D六、（5 分） 利用格林公式， 计算(2x 2 y − 2y )dx + (x 3 − 2x )dy ， 其中 L 为以 y = x , y = x 2 围成区域的正向L边界. 解:(2x 2y − 2y )dx + (x 3− 2x )dy = − x 2dxdy = − ∫01dx ∫ x 2 dy = −L D七、（6 分） 设 Σ 是由曲线 z = y 2 ,(0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.x = 0,(1) 写出 Σ 的方程.（2）计算 4(1 − y2)dzdx + z (8y +1)dxdy ，其中 Σ 取下侧.Σ解: (1) Σ 的方程是 z = x2+ y 2 (0 ≤ z ≤ 2) .(2) 设 Σ 1 为 z = 2, (x2+ y 2 ≤ 2) 的上侧，则4(1 − y 2)dzdx + z (8y +1)dxdy =∫ dv =πd θ 2d ρ∫ρ22 ρdz = 2πΣ+Σ Ω 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2(8y +1)dxdy = 2dxdy =4πΣ D D 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2π− 4π = −2πΣ八、（6 分）求幂级数 的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解： 收敛半径 R = 2 ，收敛区间为[− 1,3)1解：s(x) = s′(x) = ⋅ = ()n−1 =s(1) =0，s′(x)dx== dx,s(x) =ln 2 −ln(3 −x) (−1 ≤ x< 3)九、（5 分）设b n是收敛的正项级数，(a n−a n+1 ) 收敛. 试讨论a n b n的敛散性，并说明理由.解: a n b n是绝对收敛的.因为(a n−a n+1 ) 收敛,所以部分和s m= (a n−a n+1 ) = a1 −a m+1 有界,从而数列{a n}有界即存在常数M> 0 ，使| a n|< M (n= 1, 2, 3, ) ，故| a n b n|< Mb n(n= 1, 2, 3, )由于b n是收敛的正项级数，由比较审敛法知，a n b n绝对收敛.十、（6 分）设可导函数f (x) 满足f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1，求f (x) .解：方程f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1两边对x求导得f′(x) c os x+ f (x) s in x= 1即f′(x) +tan x⋅f (x) =求解上面的一阶线性微分方程得f (x) = e−∫ tan xdx[ ∫ e∫ tan xdx dx+ C] = sin x+ C cos x由于f (0) =1，所以C= 1，故f (x) =sin x+ cos x十一、（5 分）证明: (sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分，并求f(x, y)，计算(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy.解因为P= sin y−y sin x, Q= x cos y+ cos x∂P= cos y−sin x= ∂Q∂y∂x所以(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= (sin ydx+ x cos ydy) +(cos xdy−y sin xdx)= d(x sin y+ y cos x)故f (x, y) = x sin y+y cos x+ c(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= [x sin y+ y cos x]= −1十二、（6 分）求抛物面z= 1+ x2 +y2 的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面(x−1)2 + y2 = 1所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程.解：设 F (x , y , z ) = 1 + x2+ y 2 − z ，得F x = 2x , F y = 2y , z F = − 1抛物线在 (x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面方程为2x 0 (x − x 0 ) + 2y 0 (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0即 z = 2x 0 x + 2y 0 y + 1 − x 02− y 02该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为2解一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、已知两点 M 12(,2,2) 和 M 21(,3,0) ,则模 M 1M 2 = ____ 2 _____。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

高数D 综合测试题4参考答案一、填空题（每题3分，共30分） 1.函数()lg(2)f x x =+-的定义域为23x <<. 2．极限cos limn n n n →∞-=1.(解：cos cos lim lim(1)101n n n n nn n→∞→∞-=-=-=)3．当α=5时，32x sin x α与为0x →时的等价无穷小量.（解：325sin lim lim 15x x x x x x ααα→∞→∞==⇒=）4．已知1lim(1),2x x a x →∞-=则a =ln 2.(解：()1lim(1)lim(1),ln 22x a x a a x x a a e a x x -⋅--→∞→∞-=-==⇒=) 5. 设,n x y x e =+则()n y =!x n e +.6. 设函数123f (x )(x )(x )(x ),=---则方程'()0f x =有2个实根，它们分别位于区间()()1,223和，内. (解：由于(1)0,(2)0,(3)0f f f ===，且()f x 可导，由罗尔定理可知，存在1(1,2)ξ∈，2(2,3)ξ∈使得''12()0,()0f f ξξ==，且'()f x 为二次多项式，因此方程'()0f x =共有2个实根) 7. 反常积分221dx x +∞=⎰12.(解：2221112dx x x +∞+∞=-=⎰) 8. 0),(,0),(00'00'==y x f y x f y x 为可导函数),(y x f 在点),(00y x 有极值的必要条件. 9. 函数3242z x x y y =++，则'x z =234x xy +;'y z =2324x y +. 10.交换积分次序：210(,)xx dx f x y dy =⎰⎰10(,)ydy f x y dx ⎰.二、计算题（每题5分，共35分） 1. 求arccos xdx ⎰.解：原式=()cos cos xarc x xd arc x -⎰=cos xarc x x +⎰=21cos (1)2xarc x x --=cos xarc x C2. 若函数ln(1),0()1,0kx x f x xx +⎧≠⎪=⎨⎪-=⎩在0x =处可导，求k 及'(0)f .解：由于可导必连续，故00ln(1)lim ()lim1(0)x x kx f x f x→→+==-=.而0001ln(1)1lim lim 1x x kkx kx k x →→⋅++==，故1k =-. ()'00ln 11()(0)(0)lim lim 0x x x f x f x f x x →→-+-==- 200ln(1)11lim lim 2(1)2x x x x x x →→-+-===-- 3．设f (x )在[]11,-上可导，且1111f (),f (),=-=-求1211'f (x )dx f (x )-+⎰； 解：'112211()1()1()1()f x dx df x f x f x --=++⎰⎰[]11arctan f (x )-=11arctan f ()arctan f ()=-- 112arctan arctan()π=--=4．设方程20x y cos y +-=隐含y f (x )=，求''f (x ). 解：方程两边对x 求导，得''12sin 0y y y ++⋅= ，可得'12sin y y-=+220'''''x y cos y (y )sin y y +⋅+⋅=第一式再对求导：，可得 '2''3cos ()cos 2sin (2sin )y y yy y y ⋅=-=-++5．设ln(1),(1,1).xz dz y=+求解：221111,(),11z z x x x x x y x y y y xy y y y∂∂=⋅==-=-∂+∂+++ (1,1)11(1,1)()22z z dz dx dy dx dy x y ∂∂=+=-∂∂ 6. 求二元函数2256106z x y x y =+-++的极值.解: 260(3,-1)2,0,10,3110100x xx xy yy yf x f f f f y =-=⎧===-⎨=+=⎩令，得驻点，求得在点(，）处，可得2200,20,AC B A -=>=>故有极小值(3,1)8f =-极小.7. 设2343x y y y x e -'''++=（1）求出该方程所对应的齐次方程的通解（2）写出该非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*y ）解：（1） 特征方程为2430r r ++=，特征根为121,3r r =-=-故求出所对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e --=+（2）2343x y y y x e -'''++=的特解为*23()x y x ax bx c e -=++三、（8分）求曲线xxy e =在拐点处的切线方程. 解：由x x y e =，有12'''x x x x y ,y e e--==，令''''''0,2,20;20,y x x y x y ==<<>>得当时,当时,所以222e ⎛⎫⎪⎝⎭，是拐点. '221x y e ==-，于是所求切线方程为22221(2),40y x x e y e e-=--+-=即. 四、（8分）设D 是由0x ,y y x π===及所围的区域，求Dcos(x y )dxdy +⎰⎰.解：Dcos(x y )dxdy +⎰⎰=0cos()xdx x y dy ππ+⎰⎰00sin()(sin sin 2)x x y dx x x dx πππ⎡⎤=+=--⎣⎦⎰⎰1(cos cos 2)22x x π=+=-五、（10分）设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围图形面积为1S ，且它们与直线1x =所围图形面积为2S ，确定常数a ，使1S +2S 值最小，并求最小值. 解：当01a <<时，a S =1S +2S =122()()aa ax x dx x ax dx -+-⎰⎰133322012332323a a a x x a a a x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令'210,2a S a =-=得唯一驻点a =，又''20,a a a S a ==> 所以最小值311123236S =-+=六、(9分)设()g x 为可导函数，且101()()23g ux du g x =+⎰,求()g x .解：令1,,t ux t u du dt x x===则，当0u =时，0t =；1u =,t x =;1000111()()()()23x x g ux du g t dt g t dt g x x x =⋅==+⎰⎰⎰，即01()()23x g t dt xg x x =+⎰ 两边对x 求导得：'11()()()233g x g x xg x =++，即'26()()g x g x x x-=-（一阶线性非齐次微分方程）所以22()()6()dxdx xxg x eedx C x ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰=222(3)3x x C Cx -+=+。

北京林业大学20 05 --20 06 学年第 二 学期考试试卷(B)试卷名称： 高等数学（理工类） 课程所在院系： 理学院一、填空题（每题3分，共30分） 11．设y xz e =，则dz = . 2．极限求极限x xy xy y x )cos()sin(lim0→→= 。

3．设L 为圆周224x y +=，则对弧长的曲线积分22()Lxy ds +⎰=2e π。

4．Dxydxdy ⎰⎰=18，其中D 是由0,1,y x y x ===和所围成的区域。

5．设3121,y x y x =+=是方程2(32)6(1)60x x y x y y '''+-++=的两个特解，则该方程的通解 为 。

6．. 微分方程440y y y '''-+=的通解为___________.7．设函数)(x f 是(∞-,+∞)上以2π为周期的函数，在],(ππ-上定义为220()20x f x xx ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，则)(x f 的傅立叶级数在0=x 处收敛于 。

8．幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域为[0,6)。

9．双曲线22145x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为222145x y z +-=。

10．螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在对应于0=t 处的切线方程为 。

二、选择题（每题2分，共10分）1． [ B ]设∑是球面2222x y z a ++= ，则对面积的曲面积分zdS ∑⎰⎰为(A) π (B) 0 (C) 1 (D) 22．[ C ] 设常数0k >，则级数21(1)nn k nn∞=+-∑ （A ）发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散与k 的取值有关3．[ B ] 4．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于(A)423R π (B) 4R π (C) 443R π (D) 42R π 4．[A] 为轴旋转而成的曲面方程绕曲线x z by a x 0,12222==+(A) 122222=++b z y a x (B) 122222=++b y a z x (C) 2222b y a x z += (D) 12222-+=by a x z . 5．[ B ] 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则(A) L 平行于平面π (B) L 垂直于平面π(C) L 在平面π上 (D) L 与π相交，但不垂直 三、（5分）求曲面3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程。

东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。

p ( x ) dx
2 2
p ( x ) 2 x , q ( x ) 4 x (1)
e x ( 2 e x c ) (8 )
2 2
2 ce x
2
解2 : 分离变量
dy 2 xdx (3) y2 dy 两边积分 2 xdx ( 4) y2 得 ln( y 2) x 2 C1 (6) 通解 y 2 Ce x (8)
该平面图形绕 y 轴旋转一周的体积。
解 :S 0
1
x dx ( 4 )
3
2 2 x 2 ] 1 ( 7 ) 0 3 3 V y 2 0 x
5 1
x dx (11 )
2 4 2 x 2 ] 1 (14 ) 0 5 5
原式
u 0,
x
3 4
u
1 2

0 1 2
2 udu (4) u1
2
2[ u ln( 1 u )] 0 1 (6) 1 2 ln 2 ( 7 )
四、求解下列微分方程（共 16 分，每小题 8 分）
1 .求
dy dx
x 0
a (1 ) (3) x2 xf ( x ) lim x 0 2x f (x) lim x 0 2 f (0 ) 1 (6 ) 2 2
x 0 x 0 tf ( t ) dt
lim F ( x ) lim
1 . 1 x
令
f ( x ) e x (1 x ) 1 ( 2 )
(3)
, 得唯一驻点 x=0 再令 f ( x) xex 0，

0 0
2π
2
而
∫∫ xdydz + ( z
Σ0
2
− y )dzdx + ( x 2 − z )dxdy = ∫∫ x 2dxdy =
Dxy
2 1 1 2π ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dθ ∫ r 3dr = 2π ， ∫∫ 0 2 Dxy 2 0
故
∫∫ xdydz + ( z
Σ
2
− y )dzdx + ( x 2 − z )dxdy = −4π 。
2dxdy ；
2 2
积分曲面Σ 2 ： z = 1 ，( x, y ) ∈ Dxy = ( x, y ) 0 ≤ x + y ≤ 1 ，
{
}
′ 面积微元素为：dS = 1 + z′ x + z y dxdy = dxdy ；
2 2
Ò ∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 )ds = ( 2 + 1) ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ( 2 + 1) ∫ dθ ∫ r 3dr =
−1 −1
1
1
1 nπ x 2 dx = 2 ∫ (2 + x ) cos nπ xdx = [( −1) n − 1] 0 2 ( nπ ) 2
，
(n = 1, 2,L ) 1 1 bn = ∫ f ( x )sin nπ xdx = 0 ，( n = 1, 2,L ) 2 −1 5 ∞ 2 f ( x) = + ∑ [( −1) n − 1]cos nπ x ， x ∈ [ −1,1) 2 2 n =1 ( nπ ) 令 x = −1 可得 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 π2 = ，又∑ 2 = ∑ +∑ ， ∑ 2 2 2 8 n =1 (2n − 1) n =1 n n =1 (2n − 1) n =1 (2n )

2009-2010学年第一学期高等数学（机电类）A 卷参考答案及评分标准一、 单选题（共8小题，每小题2分，满分16分)（1）B （2）A （3）B （4）D 5）C （6）C （7）B （8）B二、填空题（共7小题，每小题2分，满分14分)（1）2=b （2）)0(f ' （3）2 （4）C xx +-2ln 1 （5）2 （6）)3(3cos )(sin x f x x f - （7）61 三、计算题（共8小题，每小题6分，满分48分)1、x e e x x x sin lim 0-→-2cos lim 0=+=-→xe e xx x （6分） 2、)())1ln((ln '='+-x x x e y （3分）))111(1(ln ))1ln((ln +--+⋅=+-x x x x x e x x x （5分） )111(ln )1(+-++=x x x x x x （6分） 3、 t t t e e e dx dy 2212---=-= （3分） 210-==∴=t dx dy k （4分） 又当0=t 时，2=x ，1=y∴切线方程为 )2(211--=-x y 或042=-+y x （6分） 4、)1()(sec 2y y x y '+⋅+=')(sec 1)(sec 22y x y x y +-+='⇒)(csc 2y x +-= （3分） [])1()cot()csc()csc(2y y x y x y x y '+++-+-='')(cot )(csc 232y x y x ++-= （6分）5、令t x =ln ，则 ⎰dx x )sin(ln ⎰=t tde sin ⎰-⋅=t t tde e t cos sindt e t e t e t t t t ⎰⋅-⋅-⋅=sin cos sindx x x x x ⎰-⋅-=)sin(ln )ln cos ln (sin （5分）⎰dx x )sin(ln C x x x +-=)ln cos ln (sin 2（6分） 6、令t x tan =， （2分）则 ⎰+32)1(x dx ⎰=t tdt 32sec sec ⎰=tdt cos C t +=sin C x x ++=12 （6分） 7、dx x x ⎰-π0 3sin sin ⎰=π0cos sin dx x x （2分）⎰⎰-=πππ220cos sin cos sin xdx x xdx x （3分） ⎰⎰-=πππ220sin sin sin sin x d x x d x 34=（6分） 8、⎰1 0 arctan xdx x ⎰=10 22arctan x xd ⎰+-=1 0 22102121arctan 2dx xx x x （3分） ⎰+--=1 0 2)111(218dx x π214-=π （6分） 四、应用题（共2小题，满分17分）1、（7分） 22rV h h r V ππ=⇒= rV r rh r S 222222+=+=πππ （3分） 令322024ππV r rV r dr dS =⇒=-=，34πV h = （7分） 2、（10分） （1）35)1(41=-=⎰dx x S （4分） （2）29]1)[(241ππ=-=⎰dx x V （6分） 五、证明题（共1小题，满分5分) ⎰⎰⎰⎰-=xx t xt dt t tf du u f t dt du u f 000 0 0 )()())(( （3分） ⎰⎰-=x x dt t tf du u f x 00)()(⎰-=x dt t f t x 0)()( （ 5分）。

得 分 16．计算 d S , 其中 是球面 x2 + y2 z2 + a2 被平面 z = h(0 h < a) 所截出的顶 z
部．
高等数学 AII 试卷(A 卷) 第 5 页 共 6 页
四、（本题共 12 分，每小题 6 分） 得 分 17．已知曲线 y = y(x) 过原点, 且在原点处的切线垂直于直线 x + 2 y 1 0 , y(x) 满足微分方程 y 2 y 5y + ex cos 2x , 求此曲线方程.
: x2 y2 +z2 t 2 (t = 0) 取外侧, 求 f (t) .
高等数学 AII 试卷(A 卷) 第 3 页 共 6 页
t
t
得 分 13．设 f (x) 为连续函数, F (t) = d y f (x) d x , 求 F (2) .
1
y
得分
2
4 x2
1
14．利用柱坐标计算 I = d x
院(系)
北京科技大学 2009--2010 学年第二学期
高 等 数 学 A(II) 试卷（A 卷）
班级
学号
姓名
考场
试卷卷面成绩
占课
三
四
程考 平时
题 号
一
二
11
12
13
14 15
16
17
18
小 核成 成绩 计 绩 占 20%
80%
得
分
评
阅
审
核
说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分；
得分
二、选择题（本题共 20 分，每小题 4 分）
6．已知三平面 1 : x 5y 2z + 1 0, 2 : 3x + 2 y 5z = 8 0, 3 : 4x 2 y 3z + 9 0, 则必