北林2009-2010高数D期末试卷A
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一、填空题(每题3分,共30分)1.在“充分”、“必要”、“充要”和“非充要”中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的____必要_______条件;(2)某变量无界是该变量为无穷大的_____必要____条件;(3)()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[a,b]上可积分的_____充分______条件。
2.当0x →时,22ln(1)x x +-是x 的n 阶无穷小,则n =____4_________。
3.0x =是函数1siny x=的第_____二_____类间断点。
4. 设)(。
x f '存在,则0lim →r 001[(2)(2)]f x h f x h h+--=04()f x '。
5. 设x y -=11,n 为自然数,则()(0)n y =!n 。
6. 函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加,则a 的取值范围是[0,)+∞。
7. 若()()f x dx F x C =+⎰,则()x x e f e dx --⎰ =()x F e C --+。
8.若n 为正整数,则 120(1)n d x dx dx-⎰=____0___________。
9微分方程dxdy xy y dx dy x =+的通解为y cxy e =。
10.方程x e x y y y 3296=+'-''的一个特解形式*223()x y x ax bx c e =++。
二、求解下列各题(每小题5分,共70分)1. xx x x x -∞+→11sin lim 求 2.求 4200)d )1ln((lim x t t x x ⎰+→解: 解: 3. 设tan()y x y =+,求dy 4. 设 2222(21)t t x te y t e--⎧=⎪⎨=+⎪⎩求)(x y '' 解: 解:5. dx6. ⎰xdx x sin解: 当0x >时 解:当0x <时, sec () 2x t t ππ=<<令: 可得: 原积分=1arccos() C x =-++ 7.求41⎰8. 2⎰ 解: 令t = 解:9. 给定曲线21xy =,求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。
北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称:高等数学B(A卷)课程所在学院:理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明:1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共计 4 页,共十大部分,请勿漏答;2. 考试时间为 120分钟,请掌握好答题时间;3. 答题之前,请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚;4. 本试卷所有答案均写在试卷上;5. 答题完毕,请将试卷和答题纸正面向外对叠交回,不得带出考场;6. 考试中心提示:请你遵守考场纪律,诚信考试、公平竞争!一、填空:(每小题3分,共30分)1. 微分方程的通解为。
2. 微分方程的特解可设为________________________________________。
3. 以点为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。
4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。
5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。
6. 若函数在点处具有偏导数,且在点处有极值,则有_______________ ,___________________。
7. 已知平面区域D是由直线,及所围成,则= 。
8.交换二次积分I=的积分顺序,则。
9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。
10. 幂级数的收敛半径为。
二、(6分)求的通解三、(6分)求微分方程满足初始条件的特解四、(6分)求过点及直线的平面方程五、(6分)设求六、(6分)设,求七、(6分)计算八、(6分)求曲面与所围立体的体积。
九、(6分)判别级数的敛散性十、(6分)判别级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?十一、(6分)在曲面上找点,使其到点的距离为最小。
十二、(6分)设具有二阶连续导数,且满足,求的表达式。
十三、(4分)设发散,又,证明收敛。
郑州轻工业学院2009-2010学年第二学期高等数学试卷A 答案试卷号:A20100621(1)一、1. A ;2. A ;3. A ;4. D ;5. D二、1. 220r r +-= ;2.32a π.3. (0)S =12 ,(1)S =1,(3)S π=12. 4.sin cos x e x . 5.(0,2)三、1.原式2122001()(2)f x dx x dx x dx ==+-⎰⎰⎰135=2326+-=2.法一:方程为一阶线性非其次微分方程,利用通解公式11sin ()dx dx x xx y e e dx C x -⎰⎰=+⎰ln ln sin ()x x x e e dx C x-=+⎰11(sin )(cos )x dx C x C x x=+=-+⎰ 法二:先求其次通解 111'y y dy dx x y x=-⇒=- 两边积分得 ln ||ln ||ln 'y x C =-+,即有 'C y x=… 常数变易法 令()u x y x =,则有 2'()()'xu x u x y x -=,代入微分方程得21'()()()sin ''()sin xu x u x u x x y y u x x x x x-++==⇒=所以 ()cos u x x C =-+,故通解为 cos x Cy x-+=3.在t 处的切向量为2(22,1,39)T t t =--u r ,平面的法向量为(2,1,3)n =--r因为 ||T n u r r ,所以222139213t t --==--,解得 2t =,故得所求点为(0,2,10)-。
4.222222222222=,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂==∂++∂++∂++, , 所以 2222()xdx ydy zdz du x y z ++=++。
级高等数学(二)期末试卷4.若曲面∑:2222a z y x =++,则S d z y x ⎰⎰++∑)(222=( ).A. 4a p ;B. 42a p ;C. 44a p ;D. 46a p .5.已知函数22(,)f x y xy x y +=+,则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+∂∂=( ). A.22x y +; B.22x -; C.22x y -; D.22x +.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6.直线32321x y z++==-与平面2260x y z +++=的交点为 . 7.幂级数11212n n n x n-+∞-=∑的收敛半径为 .8.设)(x f 是周期为π的周期函数,它在区间(0,]π上定义为2,(0)2()1,()2x x f x x x πππ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于 .9.0(,)xudu f u v dv =⎰⎰变换积分次序 .10.设空间立体Ω所占闭区域为1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥,Ω上任一点的体密度是(,,)1x y z ρ=,则此空间立体的质量为. 三、解答题(本大题共6小题,每小题8分,共48分)11.2lim x y π→→求.12.已知2(,)x y f x y e =,求(1,1)x f ,(1,1)y f .13.设函数(,)z z x y =由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定,求(1,1)dz.14.设2(,2)z f x y x y =-,其中f 具有二阶连续偏导数,求2z x y∂∂∂.15.1111(1)5()2n n n n n n n n a x na x -∞∞-==-+∑∑设级数的收敛半径为,求的收敛半径.16.设Ω是由2221x y z +-=,2z =-,2z =所围的有界闭区域.试计算2(1)I z dV Ω=-⎰⎰⎰.四、解答题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)17.设)(x f 可微,1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关,求)(x f .18.计算∑,其中∑为下半球面z =侧.五、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)19.设级数1nn a∞=∑绝对收敛,1n n b ∞=∑条件收敛,证明()1n n n a b ∞=+∑条件收敛.20.设{}1),(22≤+=y x y x D ,),(y x u 与),(y x v 在D 上具有一阶连续偏导数,j y v x v i y u x u G j y x u i y x v F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=,),(),(,且在D 的边界曲线L (正向)上有y y x v y x u ≡≡),(,1),(,证明: πσ-=⎰⎰⋅d G F D.。
高等数学A 、B (上)试题A 参考答案与评分标准(20XX0122)1.解:原式言而亡U \im 土炉 io x 1。
4r2.解也=2(q 「ctm )£, ... dx [ln (l+ r )y 四、计算题(每题7分,共14分) 1. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 解 —ln (x 2 + ) = arctan —, 两边对工求导:J,2:+2);=——1 ----------------------------------- 2 .......... 4分(2+2)2 V 2疽+寸]+(当⑵yy'= ~ , ........ 6 分 dy = -~-dx ....... 7分y + x y + x2. 解 原式=jx(sec 2 x- l)</r + j 【杠。
,4乂业=J xd tan x — ^xdx + — ^dx + — ^cos^xdxI? X \=xtan x + In |cosx|-:——i - —sin4x+ C (第一个积分 4 分,第二个积分 3 分)2 2 8五、计算题(每题7分,共14分) 1. 解令t =』2x+l,那么x = L(户—1), 原式m 房招仲-仁0【5-1萨。
2. 解 ds = + y ,2dt = 4a \sin-i ……5分(2+3)六、计算题(每题8分,共16分)通解 y = c x e^x + c 2e~2x + (- x 2 - x)e 3xo ... 8分七、(8 分)证明 J 。
J1 -cos 2xdx = sin xdx = 2^2^/(%) = lnx- —+ f Jl -cos 2xdx = In 十-土 + 2\^, x G (0, + oo),贝!J f\x) = --- = -~- , .4分e J 0 e x e xe 单项选择题(每题3分, 1:D 2:B 3:A 二、 5: 三共18分)4:C 填空(每题2分,共16分)1, 2:疽, x-2y = 1, 6: 9/2 , 计算题(每题7分,共14分) 5: A 6:D3: 2, 7: lvS2, 4: f\x In x)(ln x+1 )dx,+)『=心。
北京林业大学 2007--2008学年第二学期考试试卷试卷名称: 数理统计II (B 卷) 课程所在院系: 理学院 考试班级: 学号: 姓名: 成绩:试卷说明:1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共4页,共八大部分,请勿漏答;2. 考试时间为120分钟,请掌握好答题时间;3. 答题之前,请将试卷上的考试班级、学号、姓名填写清楚;4. 所有试题答案写在试卷上;5. 答题完毕,请将试卷交回,不得带出考场;6. 考试中心提示:请你遵守考场纪律,参与公平竞争!答题中可能用到的数据:8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,(0.4243)0.6228Φ=,(1.414)0.9213Φ=, 0.025 1.96z =,,.)(.7764240250=t ,.)(.14311402502=χ20.025(5)12.833χ=一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,每小题3分,总计21分) 1. 设A 、B 为任意两事件,且,()0,A B P B ⊂>则下列选择必然成立的是 (C) 。
()()()A P A P A B <; ()()()B P A P A B >;()()()C P A P A B ≤ ; ()()()D P A P A B ≥2. 对于事件A ,B ,下列命题正确的是 (D) (A )若A ,B 互不相容,则A 与B 也互不相容。
(B )若A ,B 相容,那么A 与B 也相容。
(C )若A ,B 互不相容,且概率都大于零,则A ,B 也相互独立。
(D )若A ,B 相互独立,那么A 与B 也相互独立。
3.设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则2()E Y = (C) .(A) 1. (B) 9. (C)10. (D )6.4.每次试验结果相互独立,设每次试验成功的概率为p 。
20 06 --20 07 学年第 二 学期考试试卷(A)试卷名称: 高等数学 (理工类) 课程所在院系: 理学院 (N )考试班级 学号 姓名一、填空题(每题 3 分,共 39 分) 1. 设 f (x − y , x + y ) = x2− y 2 ,则 f (x , y ) = xy .x 2 y4. 函数 u = x sin(yz ) 的全微分为du = sin(yz )dx + xz cos(yz )dy + xy cos(yz )dz .5. 已知平面区域 D 是由直线 x + y = 1, x − y = 1及 x = 0 所围成,则 ydxdy = 0D6.微分方程 y ′ = y2 e 2x, 满足初始条件 y (0) = − 2 的特解为 y = −2e −2x .7. 设 y 1 , y 2 , y 3 是微分方程 y ′′+ p (x )y ′+ q (x )y = f (x ) 的三个不同的解, 且 ≠ 常数, 则微分方程的通解为 y = c 1 (y 1 − y 2 ) + c 2 (y 2 − y 3 ) + y 1 .8. 周期为 2π 的函数 f (x ), 它在一个周期上的表达式为 f (x ) = , 则 f (x ) 的傅里叶级数的和函数在 x = 0 处的值为 0 . 9. 设 Σ 为平面 ++ = 1在第一卦限中的部分,则(z +2x + y )dS = 4 .Σ11. 设 L 为下半圆周 y = − ,则对弧长的曲线积分 ∫ ex 2 +y2ds = 2πe 4 .L12.函数 f (x ) =1展开为 x 的幂级数的形式为1 [1 + x + (x ) +2 + (x )n + ], −2 < x < 22 − x 2 2 2 213.若级数(u n +1)收敛,则 l nu n = -1二、(5 分) 函数 z = z (x , y ) 由方程 x − az = φ(y − bz ) 所确定, 其中φ(u ) 有连续导数, a , b 是不全为零的常数,证明: a∂x + b ∂y = 1 证明:方程 x − az = φ(y − bz ) 两边同时对 x , y 求偏导得2. 极限 lim = 2 .3. 设函数 f (x , y ) = 2x2+ ax + xy 2 + 2y 在点 (1, − 1) 处取得极值,则常数 a = -5 .10. 曲线 x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin 在对应 t = 的点处的法平面方程是2 2 π 2x + y + z − −4 = 0 .y x 00− 1 t π∂z ∂z∂x ∂x ∂x a − b φ′ ∂z ∂z ∂z −φ′ ∂y ∂y ∂y a − b φ′ ∂z ∂z ∂x ∂y 三、(5 分)设 z = e ,求1 xy xy1 − a∂z = φ′ ⋅ ( −b ∂z ) ⇒ ∂z =1− a = φ′ ⋅ (1 − b ) ⇒ =故 a + b = 1x 2 y 3 ∂2z∂x ∂y= 2xy 3ex 2 y 3,= (6xy 2+ 6x 3y 5)ex 2 y 3四、(6 分)求微分方程 y ′′ − 3y ′+ 2y = 2e x 满足条件 y (0) = 0, y ′(0) = 1 的特解. 解:特征方程为: r2− 3r + 2 = 0 特征根为: r 1 = 2, r 2 = 1 对应齐次方程的通解是: y = c 1e 2x + c 2 e x设原方程的特解为: y *= axe x ,将其代入原方程待定系数得 a = −2 .所以 y * = −2xe x故原方程的通解为 y = c 1e 2x+ c 2 e x − 2xe x 由 y (0) = 0, y ′(0) = 1 解得c 1 = 3, c 2 = −3因此所求的特解是 y = 3e 2x − 3e x − 2xe x五、(6 分)计算二重积分 (x2+ y )dxdy ,其中 D = {(x , y ) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 } .D解:(x2+ y )dxdy = x 2dxdy =πd θ∫23(r cos θ)2 rdr =πD D六、(5 分) 利用格林公式, 计算(2x 2 y − 2y )dx + (x 3 − 2x )dy , 其中 L 为以 y = x , y = x 2 围成区域的正向L边界. 解:(2x 2y − 2y )dx + (x 3− 2x )dy = − x 2dxdy = − ∫01dx ∫ x 2 dy = −L D七、(6 分) 设 Σ 是由曲线 z = y 2 ,(0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.x = 0,(1) 写出 Σ 的方程.(2)计算 4(1 − y2)dzdx + z (8y +1)dxdy ,其中 Σ 取下侧.Σ解: (1) Σ 的方程是 z = x2+ y 2 (0 ≤ z ≤ 2) .(2) 设 Σ 1 为 z = 2, (x2+ y 2 ≤ 2) 的上侧,则4(1 − y 2)dzdx + z (8y +1)dxdy =∫ dv =πd θ 2d ρ∫ρ22 ρdz = 2πΣ+Σ Ω 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2(8y +1)dxdy = 2dxdy =4πΣ D D 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2π− 4π = −2πΣ八、(6 分)求幂级数 的收敛半径与收敛区间,并求出它在收敛区间内的和函数.解: 收敛半径 R = 2 ,收敛区间为[− 1,3)1解:s(x) = s′(x) = ⋅ = ()n−1 =s(1) =0,s′(x)dx== dx,s(x) =ln 2 −ln(3 −x) (−1 ≤ x< 3)九、(5 分)设b n是收敛的正项级数,(a n−a n+1 ) 收敛. 试讨论a n b n的敛散性,并说明理由.解: a n b n是绝对收敛的.因为(a n−a n+1 ) 收敛,所以部分和s m= (a n−a n+1 ) = a1 −a m+1 有界,从而数列{a n}有界即存在常数M> 0 ,使| a n|< M (n= 1, 2, 3, ) ,故| a n b n|< Mb n(n= 1, 2, 3, )由于b n是收敛的正项级数,由比较审敛法知,a n b n绝对收敛.十、(6 分)设可导函数f (x) 满足f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1,求f (x) .解:方程f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1两边对x求导得f′(x) c os x+ f (x) s in x= 1即f′(x) +tan x⋅f (x) =求解上面的一阶线性微分方程得f (x) = e−∫ tan xdx[ ∫ e∫ tan xdx dx+ C] = sin x+ C cos x由于f (0) =1,所以C= 1,故f (x) =sin x+ cos x十一、(5 分)证明: (sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分,并求f(x, y),计算(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy.解因为P= sin y−y sin x, Q= x cos y+ cos x∂P= cos y−sin x= ∂Q∂y∂x所以(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= (sin ydx+ x cos ydy) +(cos xdy−y sin xdx)= d(x sin y+ y cos x)故f (x, y) = x sin y+y cos x+ c(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= [x sin y+ y cos x]= −1十二、(6 分)求抛物面z= 1+ x2 +y2 的一个切平面,使它与抛物面及圆柱面(x−1)2 + y2 = 1所围成的立体的体积最小,并求出最小的体积,写出所求切平面方程.解:设 F (x , y , z ) = 1 + x2+ y 2 − z ,得F x = 2x , F y = 2y , z F = − 1抛物线在 (x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面方程为2x 0 (x − x 0 ) + 2y 0 (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0即 z = 2x 0 x + 2y 0 y + 1 − x 02− y 02该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为2解一、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 1、已知两点 M 12(,2,2) 和 M 21(,3,0) ,则模 M 1M 2 = ____ 2 _____。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学(下)课程考试试题册A试题使用对象 : 2009 级 理科各 专业(本科)命题人: 考试用时 120 分钟 答题方式采用:闭卷说明:1.答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整.2.考生应在答题纸上答题,在此卷上答题作废.一.填空题(本题共15 分,共5 小题,每题 3 分) 1.已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r,则当m = 时,向量a b⊥r r .2.(,)(2,0)sin()limx y xy y →= .3.设区域D 为22y x +≤x 2,则二重积分Dd σ=⎰⎰ .4.函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数,如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关,则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 .5. 当p 时,级数211pn n +∞=∑收敛.二.选择题(本题共15分,共5小题,每题3 分)1.直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 .A .直线L 与平面π平行;B .直线L 与平面π垂直;C .直线L 在平面π上;D .直线L 与平面π只有一个交点,但不垂直.2. 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的( ).A .充分条件; B. 必要条件; C. 充分必要条件; D. 既非充分也不必要条件 3.改变积分次序,则100(,)y dy f x y dx⎰⎰.A .1(,)xdx f x y dy ⎰⎰; B .11(,)dx f x y dy ⎰⎰;C .11(,)x dx f x y dy ⎰⎰;D .11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.下列级数中收敛的是 . A .∑∞=+1884n n nn B .∑∞=-1884n n nn C .∑∞=+1824n n nnD .1248n nn n ∞=⨯∑.5.级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三. 求解下列各题(本题共70分,共9小题,1~2每题7 分,3~9每题8 分). 1.设sin uz e v=,而u xy =,v x y =- 求xz .2.设22(,tan())u f x y xy =-,其中f 具有一阶连续偏导数,求yz . 3.求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程. 4.计算 22Dx d y σ⎰⎰,其中D 是由直线y x =.2x =和曲线1xy =所围成的闭区域. 5.计算L⎰,其中L 是圆周222x y a +=(0a >).6.计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰,其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界,沿逆时针方向.7.将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数. 8.计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰,其中∑为1x y z ++=,0,x =y =,0z =所围立体的外侧.9.求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离.2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学(下)课程试题A 参考答案试题使用对象: 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一.填空题(本题共15 分,共5 小题,每题 3 分) 1. 1-; 2. 2; 3. π; 4.y P ∂∂=xQ ∂∂; 5.12p >二.选择题(本题共15分,共5小题,每题3 分) 1.B ; 2.A ; 3.D ; 4.C ; 5.C 三. 求解下列各题(本题共70分,共9小题,1~2每题7 分,3~9每题8 分).1.z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2.2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3. 令22(,,)1F x y z xy z=+--,则法向量(2,2,1)n x y =-r,(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=.即4260x y z +--=. (6)分法线方程为214421x y z ---==-. ……8分 4.22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5.令cos ,sin x a y a θθ==,则sin ,cos x a y a θθ''=-=,ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分=2aae π ……8分6.2P xy=-,1P y ∂=-∂ ,2(sin )Q x y =-+,1Q x∂=-∂ , ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7.1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<,即 39x -<<时,13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8. ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9.设抛物面一点(,,)x y z ,它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=,2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=,220Lx y z λ=+-=解方程组得,12x y ==-,12z =. 由问题本身知最短距离存在,所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
北京林业大学2009--2010学年第 一 学期考试试卷
课程名称: 高等数学D (A 卷) 课程所在学院: 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明:
1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共计 4 页,共 五 大部分,请勿漏答;
2. 考试时间为 120 分钟,请掌握好答题时间;
3. 答题之前,请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚;
4. 本试卷所有答案均写在试卷上;
5. 答题完毕,请将试卷和答题纸正面向外对叠交回,不得带出考场;
6. 考试中心提示:请你遵守考场纪律,诚信考试、公平竞争!
一、填空题(每空3分,共 30分)
1..设x x f 2sin 1)(cos +=,则=)(x f _______________。
2. =++→x
x x 2
)]1ln(1[lim _________________________________。
3. 已知函数sin ,0(),0x
x f x x a x π⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩在0=x 处连续,则=a ___________。
4. 曲线x y e =在点(0,1)处的切线方程为 。
5. 设⎰++=c x dx x f )1ln()(2,则()f x = , 6.
=⎰。
7.=++⎰
-dx x
x x 2
22
2|
| 。
8.8.已知1)(0-='x f ,则=--→)
()2(lim 000
x f x x f x
x 。
9.已知2arcsin )(),2323(
x x f x x f y ='+-=,则==0
x dx
dy。
10. 微分方程20ydx xdy -=的通解是____________________。
二、计算题(每题5分,共50分)
1.)1
1
1(lim 0--→x x e x 2.4
2
0])1ln([lim
x
dt t x
x ⎰+→
3. dx x x ⎰-23 4.dx x x
⎰π
π
3
22
1sin 1 5. dx x
⎰
-π20
2
2cos 1 6.⎰xdx x arctan
7.设隐函数()y y x =由方程1
sin()ln 1x xy y
+-=确定,求0|x y ='
8. 已知(1)sin()y z xy xy =++,求dz
9. 设D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域,计算二重积分
cos()D
x x y d σ+⎰⎰.
10.设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且当[0,]x π∈时,()f x x =,计算3()f x dx π
π
⎰.
三.(5分)工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5,为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处?
四.(10分)过曲线x y =上点(4,2)处作切线,于是该切线与曲线x y =及y 轴围成一平面图形。
求
(1)过切点(4,2)处的切线方程。
(2)上述平面图形的面积。
(3)上述平面图形绕x 轴一周得到的旋转体的体积。
五.证明题(5分)求证:方程0=++x cos q p x 有且只有一个实数根,其中常数,p q 满足10<<q 。