2020年高考数学考点分析与突破性讲练专题30圆的方程理

专题六 第1讲1．(2017·四川绵阳质检)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( A )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]解析 设圆心为B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0(此时直线l 过圆心)，故选A.3．(2017·山东青岛模拟)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3)∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，即d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn . 又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.4．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A )A. 3B ．2 C. 2 D ．4解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP ，|AB |＝2|AC |. ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AC |＝2|AO |·sin ∠AOP ＝3，故选A.5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析 设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|P A |＝|PB |，得a ＝1，则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.6．(2017·陕西西安调研)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A. 7．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 当直线AB 的斜率不存在，且0<r <5时，有两条满足题意的直线l .当直线AB 的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l .设圆的圆心为C (5,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22， ∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2y 0. ∵k CM ＝y 0x 0－5，且k AB k CM ＝－1，∴x 0＝3. ∴r 2＝(3－5)2＋y 20>4(∵y 0≠0)，即r >2.另一方面，由AB 的中点为M 知B (6－x 1,2y 0－y 1)，∵点B ，A 在抛物线上，∴(2y 0－y 1)2＝4(6－x 1)，①y 21＝4x 1，②由①和②，得y 21－2y 0y 1＋2y 20－12＝0.∵Δ＝4y 20－4(2y 20－12)>0，∴y 20<12.∴r 2＝(3－5)2＋y 20＝4＋y 20＝4＋y 20<16，∴r <4.综上，r ∈(2,4)，故选D.8．(2017·湖南七校一模)已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( C )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B ．[22－3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤22－3，569D.⎣⎡⎦⎤32，569解析 如图，设P A 与PB 的夹角为2α，则0<α<π2，|P A |＝|PB |＝1tan α， 所以P A →·PB →＝|P A |·|PB |cos 2α＝1tan 2α·cos 2α＝cos 2αsin 2α·cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)1－cos 2α＝(cos 2α－1)＋(cos 22α－1)＋21－cos 2α＝－1－(cos 2α＋1)＋21－cos 2α＝－3＋(1－cos 2α)＋21－cos 2α， 令t ＝1－cos 2α，则设f (t )＝P A →·PB →＝t ＋2t－3.由图易知，点P 在椭圆左顶点时，α取得最小值，此时sin α＝13，而点P 接近椭圆右顶点时，α→π2，所以sin α∈⎣⎡⎭⎫13，1，所以t ＝1－cos 2α＝2sin 2α ∈⎣⎡⎭⎫29，2.易知f (t )在⎣⎡⎭⎫29，2上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f (t )min ＝f (2)＝22－3，而f ⎝⎛⎭⎫29＝569，f (2)＝0，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫29＝569，所以P A →·PB →的取值范围为⎣⎡⎦⎤22－3，569，故选C. 9．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为__2__. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2.10．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0,2)，C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 11．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝__5__.解析 由x 2＋y 2－4y －1＝0，得x 2＋(y －2)2＝5，可知圆心为C (0,2)，半径r ＝5，∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB ＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos 45°＝5.12．(2017·四川成都一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点为P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为__2__.解析 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0(P 为垂足)，过P 作圆O 的切线P A (A 为切点)，连接OA ，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2，即所求最小值为2.。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题01 分段函数与函数的图象【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合，重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算，偶尔有创新题型，是基础题.2020年的高考将会继续以选择填空题形式，与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系，仍为基础题，分值5分。

【主题考前回扣】1.集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.2.子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题，常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻 找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析，未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题，若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【分析】先求出B A ⋃，再对m 分类讨论，求出C ，利用A B C ⋃⊆，即可求出m 的取值 范围.考向二 集合的并、交、补运算【解决法宝】对集合运算问题，先正确理解集合的含义，弄清集合元素的属性及元素所代 表的意义，再集合进行化简，最好求出具体集合，若是离散的集合，直接依据并、交、补的定义求解，若是连续实数集，常利用数轴进行计算，若是抽样集合，常用文氏图法.例2 已知全集U R =，集合2{|24},{|60}A x x B x x x =<<=--≤，则()R A C B ⋂等于（ ） A. ()1,2 B. ()3,4 C. ()1,3 D. ()()1,23,4⋃【分析】先求出B 集合，再根据补集的定义和数轴法求出B 的补集，再利用数轴法求出()R A C B ⋂.【解析】由题意知 {}|23B x x =-≤≤，则{}|23U C B x x x =-或， ∴ (){}|34U A C B x x ⋂=<<，故选B. 考向三 与集合有关的参数问题【解决法宝】对含参数的集合运算及关系问题，先对已知集合化简，若是连续实数集合常 用将集合在数轴上表示出来，根据集合运算的概念，列出关于参数的不等式，即可解出参数的范围，注意空集的情况；若离散集合，则根据集合运算或集合间关系的概念，列出关于参数的方程，即可解出参数的值，注意要检验集合元素的互异性．例3已知集合()()4{,|21},{,|1}23y A x y ax y B x y x -=+===+，若A B φ⋂=，则实数a 的值是 （ ）A. 4-B. 4C.143 D. 4-或143【分析】由题知，B 集合表示270x y -+=上的点除去点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭之外的点组成的集合，分成直线直线21ax y +=与直线270x y -+=平行和直线21ax y +=过点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况分别求出a 即可.考向四 与新概念有关的集合问题【解决法宝】对与新概念有关的集合问题，认真阅读试题，理解新定义，利用新定义将集 合问题转化为普通集合间的关系问题或集合运算问题，或直接利用新概念对问题求解.例4用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*{,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥=-<，若}2,1{=A ，B =ax x ax x x ++22)((|{ +}0)2=且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据新定义B 要么是单元素集，要么是三元素集,分两种情况分别分析求出方程20x ax +=和220x ax ++=解得情况，即可求出a 值，从而求出S ，进而求出)(S C .【主题集训】1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则)(B C A U ⋂=（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}4 D. {}1,2 【答案】A【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，∴}5,3,1{=B C U ， ∴)(B C A U ⋂={1}，故选A 。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题06 直线与圆【副题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，与函数、解析几何结合考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识和方法，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5分.【主题考前回扣】1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．【易错点提醒】1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．【副题考向】考向一 直线的方程与两直线的位置关系【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是： ①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再 由其他条件求出待定系数．2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存 在的情况．3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使 用两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y x ,的系数要对应相等．例1．“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【分析】由两直线垂直的充要条件求出a 值，再充要条件的判定方法即可作出判断. 【答案】选A. 考向二 圆的方程【解决法宝】圆的方程的求法：①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆 心、半径）和方程；②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．例2．抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【分析】先求出抛物线于坐标轴的交点，用待定系数法求出圆的方程. 【答案】D考向三 直线与圆的位置关系【解决法宝】1.在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关 图形的几何特征，尽可能地简化运算，判断直线与圆的位置关系的2种方法：(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关 系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔ 相离．2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线 斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．3．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，222d r l -=(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐 标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解． 例3．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 （ ）A. 1B. -1C.D.【分析】由是正三角形知，圆心O 到直线AB 的距离为r 23，利用点到直线的距离 即可列出关于a 的方程，即可解出a 值.【答案】C考向四 圆与圆的位置关系【解决法宝】两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .例4已知圆1C ： 2220x y kx y +-+=与圆2C ： 2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过 定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ）A. 104⎛⎫⎪⎝⎭， B.104⎛⎤⎥⎝⎦， C. 14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D. 14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 【分析】两圆方程相减即可得出两圆公共弦所在的直线方程，将公共弦所在的直线方程整 理成关于k 的一元一次方程，利用公共弦所在的直线恒过定点，则关于k 的方程的系数都为0，即可得到关于x,y 的方程组，方程组的解即为定点P 坐标，代入直线20mx ny --=，利用基本不等式即可求出mn 的取值范围.【解析】2220x y kx y +-+=与2240x y ky ++-=,相减得公共弦所在直线方程：()240kx k y +--=，即()()240k x y y +-+=，所以由240{y x y +=+=得2,2x y ==-，即()2,2P -，因此2122201,24m n m n m n mn +⎛⎫+-=∴+=≤= ⎪⎝⎭，选D.考向五 圆与其他知识的交汇 【解决法宝】1.将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题 创新．2.求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有： (1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值；(2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题； (4)形如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系．例5 以抛物线220y x =的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=的两条渐近线都相切的圆的 方程为( )A. 2220640x y x +-+=B. 2220360x y x +-+=C. 2210160x y x +-+=D. 221090x y x +-+=【分析】由抛物线220y x =即可求出其焦点即为圆心，写出双曲线的渐近线方程，利用点 到直线的距离公式即可求出圆心到渐近线的距离即为圆的半径，即可写出圆的方程.【答案】C 【主题集训】1. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直时，2350a a a +==，即0a =，∴ “2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的既不充分也不必要条件，故选D ．2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A.B.C.D.【答案】A3.已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则 实数m 的值为（ ）A. 36+或36-B. 326+或326-C. 9或3-D. 8或2-【答案】A【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为62,所以36,3622m d m -===±，选A 。

解密18 圆与方程考点1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研1 一个圆经过以下三个点12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为A ．22211344x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2251344x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设圆心坐标为()0,b ，半径为r ，则圆的方程为()222x y b r +-=，将12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -三点代入，得()222222110292b rb r b r ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得54b =，216916r =． ∴圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研2 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上， 又圆心()1,1-到直线40x y --==设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=． 故选C ．调研3 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x −2y −1=0上的圆的标准方程为________________． 【答案】(x −5)2+(y −2)2=17【解析】根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB 的垂直平分线上， 又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB 的垂直平分线方程为2x +2y −14=0， 则有{x −2y −1=02x +2y −14=0 ，解得{x =5y =2，即圆心为(5，2)，圆的半径r 2=(5−1)2+(2−3)2=17， 故圆的方程为(x −5)2+(y −2)2=17．☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2=r 2．（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．考点2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关的对称问题调研1 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称，所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上，所以2260a b -++=，即3a b -=，，当点(a,b )与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a,b )≥4.故答案为4.☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研2 圆C 1:x 2+(y −1)2=1与圆C 2：(x +4)2+(y −1)2=4的公切线的条数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【解析】∵|C 1C 2|=√(0+4)2+(1−1)2=4，r 1=1，r 2=2，r 1+r 2=1+2=3，∴|C 1C 2|＞r 1+r 2， 所以圆C 1与圆C 2相离，有4条公切线． 故选A ．调研3 直线y =x +3被圆(x +1)2+y 2=4所截的弦长为 A ．1 B ．2 C ．√2D ．2√2【解析】直线方程可化为x −y +3=0，圆心到直线的距离为d =√12+12=√2，由垂径定理可得半弦长为√22−(√2)2=√2， 所以截直线所得弦长为2√2， 故选D ．调研4 两圆x 2+y 2+4x −4y =0和x 2+y 2+2x −8=0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为 A ．4 B ．35√5 C ．125√5D ．65√5【答案】C【解析】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y =0 ①，x 2+y 2+2x ﹣8=0 ②，①﹣②可得x ﹣2y +4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y =0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2√2， ∴圆心到公共弦的距离为d =√12+22=25√5， ∴公共弦长=2√(2√2)2−(25√5)2=125√5．故选C ．调研5 已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则⋅u u u r u u u rCP CQ ＝_______． 【答案】0【解析】根据题意，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ==，则|PQ |＝2=PCQ ＝90°，故CP CQ ⋅=u u u r u u u r 0.故答案为0.调研6 若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33) D ．[－33，33]【解析】解法1：如图，BC =1，AC =2，∴∠BAC =30°，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法2：设直线l 的方程为y =k (x －4)，则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法3：过A (4，0)的直线l 可设为x =my ＋4，代入(x －2)2＋y 2=1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3=0， 由Δ=16m 2－12(m 2＋1)=4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥3．∴l 的斜率k =1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k =0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]．故选D ． 调研7 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u r u u u r＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y =kx +1，即：kx -y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标为（2，3），半径R =1．1=，解得：12k k==故当4433k <<时，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点． （2）设M ()11,x y ，N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++，∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k =1， 故直线l 的方程为 y =x +1，即 x -y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 的长即为圆的直径，所以|MN |=2.☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．题组三 与圆有关的综合问题调研8 已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A或 BCD【答案】B【解析】∵直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，O ∴到直线AB 的距离为11,a =∴=故选B ．调研9 若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】因为圆的方程为22(3)9x y -+=2=，可设一条渐近线方程为0bx ay -=322c b a e =⇒=⇒=⇒== 故选C ．调研10 已知点M 是抛物线y 2=2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为 A ．10 B ．4√3 C ．8 D ．2√15【答案】D【解析】设圆心M (a 22， a)，而r 2=(a 22)2+(82)2，∴圆M 的方程为(x −a 22)2+(y −a )2=a 44+16，当y =0时，得x 2−a 2x +a 2−16=0，x 1+x 2=a 2，x 1x 2=a 2−16，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 4−4a 2+64=√(a 2−2)2+60≥√60=2√15． 故选D ．调研11 已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则a =________________． 【答案】−2【解析】因为点P 在圆()2215x y -+=上，所以过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切的切线为()()21125,260x y x y --+=+-=，又该切线方程与直线10x ay -+=平行，得2, 2.a a -==-调研12 已知点()()2,0,0,2,A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为________________． 【答案】2【解析】将圆22220x y x y +-+=化简成标准方程，得()()22112x y -++=，其圆心坐标为()1,1-，半径为r =()()2,0,0,2A B -，所以AB =，要求ABM △的面积最小，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线距离为，所以min d ==，故ABM S △的最小值22⨯=． 调研13 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为圆M:x 2+y 2−4x =0的圆心，直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P ，Q ，且P ，Q 的纵坐标分别为3t −1t ，2t(t ∈R ，t ≠0)． （1）求抛物线C 的方程； （2）求证：直线l 恒与圆M 相切．【解析】（1）圆心为(2，0)，半径为2，设抛物线C 的方程为y 2=2px(p ＞0)，因为焦点为圆M ：x 2+y 2−4x =0的圆心，所以p =4，因此抛物线C 的方程为y 2=8x ． （2）由题意可知，P (−2，3t −1t )，Q(0，2t)， 则直线PQ 方程为y −2t =2t−(3t−1t)2x ，即(t 2−1)x +2ty −4t 2=0，圆心M(2，0)到直线PQ 的距离2(2)22=2， 因此直线l 恒与圆M 相切．调研14 已知以点C （t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证：OAB △的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析；（2）()()22215x y -+-=．【解析】（1 设圆C 令0x =，得10y =，2y =；令0y =，得10x =，22x t =， ，即OAB △的面积为定值4． （2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ． 因为2MN k =-，所以12OC k =，所以212t t =，解得2t =或2t =-．当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1，OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<，圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--， OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>，圆C 与直线24y x =-+不相交， 所以2t =-不符合题意，舍去．综上，可得所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．调研15 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=， 所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--u u u u r u u u r，由题意知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3N为半径的圆. 由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥， 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-， 所以l 的方程为1833y x =-+.又OM OP ==O 到lPM =， 所以POM △的面积为165.1．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）直线3y kx =+被圆()22-+x ()234-=y截得的弦长为AB．C．3D．3±【答案】D【解析】因为直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为()2,3到直线的距离1d ==1==，解得3k =±，故选D ．2．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．3．（河南省郑州市2019-2020学年高三上学期第一次质量预测数学）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m = A ．-5或15 B ．5或-15 C ．-21或1D ．-1或21【答案】A【解析】由圆22410x y x y +-++=，即22(1)(2)4x y -++=, 得圆心为(1,2)-，半径为2.直线340x y m ++=与圆22410x y x y +-++=相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2d ==，解得：15m =或5-. 故选A.4．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =ABC ．3D．【答案】D【解析】根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2， 又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==. 故选D ．5．（河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高三上学期第二次质检数学）已知圆22:2+-=M x y ay()00>a截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=-<<12r r +⇒两圆相交. 故选B.6．（重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，∵圆C 与直线3440x y ++=2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．7．（四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考）已知两点A(a ，0)，B(−a ，0)(a >0)，若曲线x 2+y 2−2√3x −2y +3=0上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为 A ．(0，3] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[1，3]【答案】D【解析】因为∠APB =90°，所以点P 在圆x 2+y 2=a 2上，又点P 还在圆(x −√3)2+(y −1)2=1上，故|a −1|≤2≤a +1，解不等式可得1≤a ≤3， 故正实数a 的取值范围为[1，3]， 故选D ．8．（安徽首合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．【答案】B【解析】设圆心坐标为P （a ,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a =1， 所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长为，∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长的最小值为 故选B ．9．（安徽省黄山市2019届高三第一次质检）直线2x −y −√3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x +1)2+y 2=36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】令x =0代入2x −y −√3=0可得P(0，−√3)，圆心坐标为(−1，0)，则P 与圆心的距离为√1+3=2，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2．故选A ．10．（河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期第三次联考）已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上， 该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点，又两圆的圆心距5d ==，∴151r r -≤≤+，解得46r ≤≤.故选D.11．（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检）若直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为 A ．(−1，1]∪{−√2} B ．{−√2，√2} C ．[−1，1)∪{√2} D ．(1，√2]【答案】C【解析】y =√1−x 2表示半圆，如图所示，∵直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点， ①d =√12()2=1，解得m =√2，m =−√2（舍去）；②代入（-1，0）可得0=−1+m ，m =1，代入（1，0）可得0=1+m ，m =−1． 综上，结合图象可得−1≤m <1或m =√2，故选C ．12．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学）若直线x ﹣my +m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D【解析】将圆与直线联立()22110x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120m y m m y m m +-+++=，Q 图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，即>0∆，由()()()22224142180=+-++=->mm m m m m ∆，得0m <.Q 圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，∴交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限，2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D.13．（四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 【答案】22(2)10x y -+=.【解析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上，结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)=22(2)10x y -+=.14．（山东省济南市2019届高三上学期期末考试）过圆C:x 2+y 2−2x −3=0内一点P(2，1)作直线l ，则直线l 被圆C 所截得的最短弦长为________________． 【答案】2√2【解析】圆方程可化为（x ﹣1）2+y 2＝4，∴圆心C （1，0），半径r ＝2，|CP |=√1+1=√2，当截得的弦长最短时，CP ⊥l ，即P 为弦的中点，∴最短弦长为2√4−2=2√2．15．（甘肃省白银市会宁县第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则nm=______________． 【答案】8 【解析】21111,,0(11),4,8.2-=∴=++=∴=∴=QQ nm n n m m16．（广东省茂名市2019届高三第一次综合测试）已知O(0，0)，A(−2，2)，点M 是圆(x −3)2+(y −1)2=2上的动点，则ΔOAM 面积的最大值为________________． 【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心C(3，1)，半径r =√2，OA =√22+22=2√2，直线OA 的方程为x +y =0，则ΔOAM 边OA 上的高ℎ就是点M 到直线OA 的距离，圆心C(3，1)到直线OA 的距离为d =√2=2√2，可得圆(x −3)2+(y −1)2=2上的点M 到直线OA 的距离的最大值为ℎmax =d +r =3√2，故ΔOAM 面积的最大值S =12OA ⋅ℎmax =12×2√2×3√2=6．17．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________________． 【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222△==⨯=BMF S S ， 故答案为12．18．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点()1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 【解析】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意. ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径22=，解得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离d =又∵△CPQ的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2.∴d =，∴ k ＝1 或k ＝7.故所求直线l 1的方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .19．（江西省临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年高三上学期第三次月考数学）已知椭圆22:+x E a21221(0),、=>>y a b F F b为其左、右焦点，12B B 、为其上、下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O . （1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”，此时a =故长轴12A A的最小值为此时椭圆E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒22220x y x ++-=，两式作差得公共弦的方程为：()00110x x y y ++-=， 所以弦心距====d，则弦长2MN ==， 所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2.20．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r求实数t 的取值范围.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<， 于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，所以……①，因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②， 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.21．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 为△ABC 的内切圆，其中(,),(2,1),(1,3)A m n B C --. （1）求圆O 的方程及A 点坐标；（2）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q 使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数 )？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(2,1),(1,3)B C --知直线BC 的方程为4350x y +-=， 由于圆O 与线段BC 相切，所以半径|5|15r -==，即圆O 的方程为221x y +=. 由题意221x y +=与线段AC 相切，所以线段AC 的方程为1x =-，即1m =-. 又221x y +=与线段AB 也相切，所以线段AB 的方程为1y =-，即1n =-. 故(1,1)A --.（2）设()00,,(,)Q x y P x y，则||PA =||PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数)，=，对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y x x y y λλ+++=-+-， 整理得：()()()()()2222222200001222220xy x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =， 由于P 在圆O 上，所以221x y +=.故()22220022()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A重合，舍去. 当λ=11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭， 综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，此时λ= 22．（河南省郑州市2019届高三第一次质量预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点．（1）若AR//FN ，求|MR||MN|的值；（2）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系． 【解析】（1）F(1，0)，设直线l 方程为x =my +1，由{y 2=4x ，x =my +1， 得y 2−4my −4=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1，2=4m±√16m 2+162=2m ±2√m 2+1，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4．由题知M(−1，y 1)，N(−1，y 2)，设R(−1，y R )，把各个点坐标代入方程，分别求出以下点坐标：A(2m 2+1−2m√m 2+1，2m −2√m 2+1)，F(1，0)，N(−1，2m +2√m 2+1)， 利用平行关系，可得AR =λFN ，代入点坐标，可得|MR||MN|=12． （2）若R 是MN 的中点，则R(−1，2m)，RA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅RB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+1，y 1−2m)⋅(x 2+1，y 2−2m) =(my 1+2，y 1−2m)⋅(my 2+2，y 2−2m) =(my 1+2)⋅(my 2+2)+(y 1−2m )⋅(y 2−2m )=(m 2+1)y 1y 2+4m 2+4=0．因此，R 在以AB 为直径的圆上．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =．Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△．故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可．2．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A ．5．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，则()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．6．（2016新课标全国Ⅲ理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ，,AB DE 交x 轴于,M F 点，则||AM =，即A点纵坐标为A 点横坐标为4p，即4||OM p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||AM OM AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．7．（2016新课标全国Ⅲ理科）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得1d ==，解得43a =-，故选A ．【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d =r ，则直线与圆相切；若d <r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ=0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交． 提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．8．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________________．【答案】3【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =．在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===． 9．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =||CD =________________． 【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为r =，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=的距3=，3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去）或1k =， 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=；或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=． 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+． 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-． 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-， 所以OA OB ⊥，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+．故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．12．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.。

考点30 曲线方程及抛物线一、考纲要求1、理解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单的曲线方程；理解求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法，进一步体会数形结合的思想方法；2、理解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；理解抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程与几何性质处理一些简单的实际问题。

二、近五年江苏高考江苏高考主要考查动点的轨迹问题以及直线与抛物线的位置关系，此类问题的难度较大，得分率较低，考查的频率较低，在复习时要注意控制深度和广度。

三、考点总结1、重视抛物线的定义在解题中的应用，反是涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离处理，若是过焦点的弦，则弦长可以用定义来求解。

2、认真区分抛物线四种形式的标准方程。

3、涉及垂直、夹角问题时，向量法往往可以简化计算。

四、近五年江苏高考1、(2016年江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p ＞0)．(1) 若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2) 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．．解答 (1) 抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)． 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0. (*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43.五、三年模拟 题型一 求轨迹方程1、(2019镇江期末） 已知定点A(－2，0)，点B 是圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0上一动点，求AB 中点M 的轨迹方程．解法1 设点M(x ，y)，点B(x 0，y 0)，因为M 为AB 的中点，则有x ＝x 0－22，y ＝y 02.(4分)即x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.(6分)将点B(x 0，y 0)代入圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0得，(x －1)2＋y 2＝1.即点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分)解法2(定义法) 设点M(x ，y)，圆心记为点C(4，0)，AC 的中点记为M′，则M′(1，0)．(2分) 所以MM′为△ABC 的中位线，则MM′＝12BC ＝12r ＝1，动点M 到定点M′的距离为1，M 轨迹为以M′为圆心，以1为半径的圆．(7分)则点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分)2、(2019无锡期末） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补． 规范解答 (1)由题意得（x －2）2＋y 2－|x ＋1|＝1.(2分) 即（x －2）2＋y 2＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以（x －2）2＋y 2＝x ＋2， 两边平方整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x ＋2），得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分)由k FA ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2＝k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）（x 1－2）（x 2－2）.(8分)将x 1x 2＝4代入得k FA ＋k FB ＝0.所以直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．(10分)3、(2019 苏锡常镇调查）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．(1) 求线段AF 的中点M 的轨迹方程；(2) 已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程． 规范解答 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分) (1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为M 为线段AF 的中点，则x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分)则x 0＝2x －1，y 0＝2y ，代入抛物线方程得：y 2＝2x －1， 即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0， 设△AOF 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2，因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2. 因为S 1＝12OF·y 1，S 2＝12OF·|y 2|＝－12OF·y 2，则y 1＝－2y 2 ①.(6分)设AB ：x ＝ty ＋1(t>0) ②，与y 2＝4x 联立，消去x 得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ③，y 1y 2＝－4 ④，(8分) 由①③④可得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)． 综上，直线l 的方程为：y ＝±22(x －1)．(10分)4、(2018苏北四市期末） 在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：y 2＝4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E 的方程；(2) 若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s ，t)，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B.当线段AB 的长度最小时，求s 的值．规范解答 (1) 因为抛物线C 的方程为y 2＝4x ，所以F 的坐标为(1，0)．设M(m ，n)，因为圆M 与x 轴、直线l 和PF 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2，2n)，则直线PF 的方程为y 2n ＝x －1n 2－1，即2nx －(n 2－1)y －2n ＝0，(2分)所以圆心M 到直线PF 的距离d ＝|2mn －n （n 2－1）－2n|（2n ）2＋（n 2－1）2＝|n|，即|n ·（2m －n 2－1）|n 2＋1＝|n|.又m ，n ≠0，所以|2m －n 2－1|＝n 2＋1，即n 2－m ＋1＝0，所以E 的方程为y 2＝x －1(y ≠0)．(4分) (2) 设Q(t 2＋1，t)，A(0，y 1)，B(0，y 2)．由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t>0.由y′＝12x －1，所以k AQ ＝t －y 1t 2＋1＝12t 2＋1－1，k BQ ＝t －y 2t 2＋1＝－2t 2＋1－1，所以y 1＝t 2－12t，y 2＝2t 3＋3t ，(6分)所以AB ＝⎪⎪⎪⎪2t 3＋3t －t 2＋12t ＝2t 3＋52t ＋12t (t>0)．(8分) 令f(t)＝2t 3＋52t ＋12t，t>0，则f′(t)＝6t 2＋52－12t 2＝12t 4＋5t 2－12t 2.由f′(t)>0得t>－5＋7324；由f′(t)<0得0<t<－5＋7324， 所以f(t)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－5＋7324上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋7324，＋∞上单调递增， 所以当t ＝－5＋7324时，f(t)取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值， 此时s ＝t 2＋1＝19＋7324.(10分)5、(2017苏州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1) 求证：OA ⊥OB ；(2) 在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任意作一条抛物线y 2＝4x 的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．思路分析 可直接判断点C 的轨迹是直线MN ，也可设C (x ，y )，得关于(x ，y )的参数方程．(1) 只要证OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.可利用根与系数的关系． (2) 设弦为EF ，则OE →·OF →＝0，可设直线EF 的方程为x －m ＝λy .规范解答 (1) 由OC →＝tOM →＋(1－t )ON →，得OC →－ON →＝t (OM →－ON →)，即NC →＝tNM →. 所以点C 的轨迹就是直线MN ，其轨迹方程为x －y －4＝0.(2分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4＝0，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4y －16＝0，所以y 1y 2＝－16.而x 1x 2＝y 214·y 224＝16，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以OA ⊥OB .(4分)(2) 设经过点P (m,0)的弦EF 所在的直线方程为x －m ＝λy .设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则以EF 为直径的圆经过原点等价于x 1x 2＋y 1y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝λy ，y 2＝4x ，得y 2－4λy －4m ＝0. 当Δ＝16λ2＋16m ＞0时，y 1＋y 2＝4λ，y 1y 2＝－4m .从而x 1x 2＝y 21y 2216＝m 2.所以m 2－4m ＝0，解得m ＝0或m ＝4.(6分)①若m ＝0，则λ≠0，此时圆心D (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ2，y ＝2λ(λ≠0)．圆心的轨迹方程为y 2＝2x (y ≠0)．(8分)②若m ＝4，则λ∈R ，此时圆心D (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ2＋4，y ＝2λ.圆心的轨迹方程为y 2＝2(x －4)．(10分) 易错警示 不要轻易舍去m ＝0的情况．题型二 直线与圆锥曲线的综合1、(2019 南京三模）平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)及点M(2，0)，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.(1) 求p 的值；(2) 若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上．规范解答 (1) 因为l 过点M(2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4， 所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1.(2分)(2) 设直线l 方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k （x －2），消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.(4分)因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k， 则直线l 1方程为y ＝1k.(6分)因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为y ＝－1k(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k （x －2），(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P ⎝⎛⎭⎫1，1k ， 所以，点P 在定直线x ＝1上．(10分)2、(2018南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，点A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2.(1) 求p 的值；(2) 若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN.记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．规范解答 (1) 因为点A 在抛物线C 上，由抛物线的定义，得AF ＝1＋p2＝2，所以p ＝2.(3分)(2) 解法1 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x.因为点A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2.(4分) 设直线AM 方程为x －1＝m(y －2)(m ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m （y －2），y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my ＋8m －4＝0， 即(y －2)(y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2.(6分)因为AM ⊥AN ，所以用－1m 代m ，得y 2＝－4m－2，(8分)所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝⎪⎪⎪⎪4m ×⎝⎛⎭⎫－4m ＝16.(10分) 解法2 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x.因为点A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2.(4分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.(6分) 又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4)(y 22－4)＋16(y 1－2)(y 2－2)＝0，即[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16](y 1－2)(y 2－2)＝0.因为(y 1－2)(y 2－2)≠0，所以(y 1＋2)(y 2＋2)＝－16，(8分) 所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝16.(10分)解法3 由(1)知，抛物线方程为y 2＝4x ，点A(1，2)．(4分) 设M ⎝⎛⎭⎫m 24，m ，N ⎝⎛⎭⎫n24，n ，其中m ≠2，n ≠2. 由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，即⎝⎛⎭⎫m 24－1⎝⎛⎭⎫n 24－1＋(m －2)(n －2)＝0，(6分) 即(m ＋2)(m －2)(n ＋2)(n －2)＋16(m －2)(n －2)＝0. 因为m ≠2，n ≠2，所以(m ＋2)(n ＋2)＝－16.(8分) 因为d 1＝|m ＋2|，d 2＝|n ＋2|，所以d 1d 2＝16.(10分)解后反思 设抛物线上的点的坐标，用一个变量较好．例如：设抛物线y 2＝2px 上的点A ⎝⎛⎭⎫a22p ，a ；设抛物线x 2＝－2py 上的点P ⎝⎛⎭⎫x 1，－x 212p . 3、(2017苏州暑假测试）已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，点R (1,2)在抛物线C 上． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于点M ，N ，求线段MN 的长度最小时直线AB 的方程．思路分析 由题意可知，MN 的长度随着直线AB 的方程的变化而变化的，因此，由直线AB 的方程与抛物线的方程联立成方程组可求得A ，B 两点的坐标，进而求出直线AR ，BR 的方程，通过直线AR ，BR 与直线l 联立就会得到M ，N 的坐标，由此来求MN 的长度．规范解答 (1) 将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(3分) (2) 设直线AB 的方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1得y 2－4my ＋4(m －1)＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(5分) 设直线AR 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)＋2，y ＝2x ＋2，得x M ＝k 1k 1－2.而k 1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2，可得x M ＝－2y 1，同理x N ＝－2y 2，所以MN ＝5|x M －x N |＝25·m 2－m ＋1|m －1|.(8分)令m －1＝t (t ≠0且t ≠－1)，则m ＝t ＋1， 所以MN ＝25·⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋34≥15. 当MN ＝15时，t ＝－2，m ＝－1， 故直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.(10分)4、(2017南通一调） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)上的点M (m ，1)到焦点F 的距离为2.(1) 求抛物线的方程；(2) 如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．规范解答 (1) 抛物线x 2＝2py (p ＞0)的准线方程为y ＝－p 2，因为M (m,1)，由抛物线定义，知MF ＝1＋p 2，所以1＋p2＝2，即p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(3分) (2) 因为y ＝14x 2，所以y ′＝12x .设点E ⎝⎛⎭⎫t ，t 24，t ≠0，则抛物线在点E 处的切线方程为y －t 24＝12t (x －t )． 令y ＝0，则x ＝t2，即点P ⎝⎛⎭⎫t 2，0. 因为P ⎝⎛⎭⎫t 2，0，F (0,1)，所以直线PF 的方程为y ＝－2t ·⎝⎛⎭⎫x －t 2，即2x ＋ty －t ＝0.则点E ⎝⎛⎭⎫t ，t 24到直线PF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2t ＋t 34－t 4＋t 2＝|t |4＋t 24.(5分) 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，2x ＋ty －t ＝0，消元，得t 2y 2－(2t 2＋16)y ＋t 2＝0.因为Δ＝(2t 2＋16)2－4t 4＝64(t 2＋4)＞0， 所以y 1＝2t 2＋16＋64(t 2＋4)2t 2，y 2＝2t 2＋16－64(t 2＋4)2t 2，所以AB ＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝2t 2＋16t 2＋2＝4(t 2＋4)t 2.(7分)所以△EAB 的面积为S ＝12×4(t 2＋4)t 2×|t |4＋t 24＝12×(t 2＋4)32|t |.不妨设g (x )＝(x 2＋4)32x (x ＞0)，则g ′(x )＝(x 2＋4)12x2·(2x 2－4)． 因为x ∈(0，2)时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，2)上单调递减； x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(2，＋∞)上单调递增．所以当x ＝2时，g (x )min ＝(2＋4)322＝6 3.所以△EAB 的面积的最小值为3 3.(10分)5、(2017苏北四市摸底） 如图，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．规范解答 (1) 将点(2,1)代入抛物线C ：x 2＝2py 的方程，得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(4分)(2) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0 ，则Δ＝16k 2－16>0，x 1·x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ， 所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14. 于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)．(8分) 所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1， 当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0,1)．(10分)5、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P ⎝⎛⎭⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . (1) 求抛物线的方程；(2) 若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．规范解答 (1) 由题意得点P ⎝⎛⎭⎫34，m 到准线的距离为PO ， 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF ，所以PO ＝PF ，即点P ⎝⎛⎭⎫34，m 在线段OF 的中垂线上，(2分) 所以p 4＝34， p ＝3， 所以抛物线的方程为y 2＝6x .(4分)(2) 如图，由抛物线的对称性，设点A ⎝⎛⎭⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0， 所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝⎛⎭⎫x －16y 20， 令上式中y ＝0，得x ＝－16y 20， 所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫－16y 20，0，(6分)又E ⎝⎛⎭⎫－32，y 0，F ⎝⎛⎭⎫32，0， 所以F A →＝⎝⎛⎭⎫16y 20－32，y 0，BE →＝⎝⎛⎭⎫16y 20－32，y 0，所以F A →＝BE →，所以F A ∥BE ，又AE ∥FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，(8分)再由抛物线的定义，得AF ＝AE ，所以四边形AEBF 为菱形．(10分)。

9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题13 概率（文）【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、不等式、统计等知识结合考查古典概型、几 何概型及互斥事件、对立事件的概率求法，考查应用意识、运算求解能力，难度为容易题或中档试题，分值为5至10分.【主题考前回扣】 1.古典概型的概率(1)公式P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能 性相等.2.几何概型的概率(1)P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.(2)几何概型应满足两个条件：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每 个基本事件出现的可能性相等.3.概率的性质及互斥事件的概率 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.(4)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，特别地P (A )＋P (A －)＝1.【易错点提醒】1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事 件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误3.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数， 两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.4.利用古典概型计算事件A的概率应注意的问题：①本试验是否是等可能的；②本试验的基本事件有多少个；③事件A是什么，它包含的基本事件有多少个，回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.【主题考向】考向一古典概型【解决法宝】1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.2..基本事件数的探求方法：①列举法：适合于较简单的试验；②树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．③列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.例1．用种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（）A. B. C. D.【分析】列出所有基本事件，找出两个小球颜色不同所包含的基本事件数，利用古典概型公式即可求出概率.考向二几何概型【解决法宝】1.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2.利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.例2七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是A. 14B.18C.38D.316【分析】设小正方形边长为1，计算出各等腰梯形的边长和大正方形的边长，计算出各自面积，算出非阴影部分面积，根据几何概型公式即可求出所求事件的概率.【解析】不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为1,1,2,一个等腰直角三角形的边长为2,2,2，两个等腰直角三角形的边长为2，2，22，即最大正方形边长为22，P=12112212188⨯+++⨯-=,选B.考向三互斥事件和对立事件【解决法宝】1.注意区分互斥事件和对立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个或多个事件，对立事件是同一试验中不可能同时发生的两个事件，且其和事件为必然事件；2.一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”、“至多”等问题往往用这种方法求解；例3．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为.【分析】利用互斥事件的概率公式进行求解.【解析】因为甲获胜的概率，甲、乙下和棋的概率以及乙获胜的概率三者之和为1，所以乙获胜的概率为10.20.50.3--=.【主题集训】1.欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）A.49πB.14πC.19πD.116π【答案】B2. 从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（）A．25B．310C．35D．45【答案】A【解析】从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，共有10种取法，其中所取两个数之和能被3整除包含(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)四种取法，所以概率为42105=，选A.学科@网3.甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7:00～7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05～7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】建立直角坐标系如图，分别表示甲，乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点可对应甲，乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是，其构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率为，故选C4.若[]0,θπ∈，则1sin 32πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立的概率为（ ）A.13B. 16C. 12D. 34【答案】C 【解析】ππ4π333θ≤+≤,由于π1sin 32θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,所以5ππ4π633θ≤+≤, ππ2θ≤≤,故概率为ππ12π2-=,选C. 5.在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ） A.18 B. 14 C. 78 D. 34【答案】A【解析】如图：不妨设两个数为x y ，，故3x y +>，如图所示，其概率为11112228p ⨯⨯==⨯，故选A6.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是，故选B.7.在内任取一个实数，设，则函数的图象与轴有公共点的概率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的图象与轴有公共点，或在内取一个实数，函数的图象与轴有公共点的概率等于，故选D.8.满足不等式24120m m--≤的实数m使关于x的一元二次方程2240x x m-+=有实数根的概率是（）A．12B．13C．14D．15【答案】A.9.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行为此发行了以此为主题的金质纪念币,如图所示,该圆形金质纪念币,直径22mm.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻(将芝麻近似看作一个点)向硬币内随机投掷220次,其中恰有60次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是A. 32B. 33C. 132D. 133【答案】B【解析】设军旗的面积为s ，由题知，圆的半径为11mm ，由几何概型公式知，21122060⨯=πs，解得233mm s π=，故选B.10.从标有数字1，2，3的三个红球和标有数字2，3的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同．．．．的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35D ．45【答案】B11.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选A.12.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。

姓名，年级：时间：§9.3 圆的方程最新考纲 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式（x －a )2＋(y －b ）2＝r 2（r 〉0）圆心为（a ,b ）半径为r一般式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0充要条件：D 2＋E 2－4F >0圆心坐标:错误! 半径r ＝12错误!概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，，B ＝0D 2＋E 2－4AF 〉0.2．已知⊙C :x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为错误!，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0"是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件． 3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤: (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D,E，F代入标准方程或一般方程．4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a）2＋（y－b)2＝r2，点M（x0，y0）(1）点在圆上：（x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；（2)点在圆外：(x0－a）2＋（y0－b）2>r2；(3）点在圆内：(x0－a)2＋（y0－b)2<r2。

题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．( √）（2）已知点A（x1，y1)，B(x2,y2），则以AB为直径的圆的方程是(x－x1）（x －x2)＋(y－y1)（y－y2)＝0.（√）（3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( ×)（4)若点M(x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x2，0＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F>0。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题07 三角函数定义、三角公式、三角变换【主题考法】本热点的主要考试形式为选择填空题或解答题的一个小题，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式及其变形、角的分拆与配凑，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为基础题或中档题.. 【主题回扣】1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，注意正用、逆用和变形应用，如x x x x cos sin 21)cos (sin 2±=± （2）商关系：x x x cos sin tan =，变形：x x x cos tan sin =，xxx tan sin cos =. 2.诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β，变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβαμ±=±.4.二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 变形：22cos 1cos 2x x +=，22cos 1sin 2xx -=， xx x 2tan 1tan 22tan -=5.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ． 6．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)（其中ab=ϕtan ）. 【易错提醒】1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.2.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解. 【主题考向】 考向一 给角求值【解决法宝】(1)一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题. (2)利用诱导公式化简求值时的原则①“负化正”，运用α-的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数； ②“大化小”，利用360()k k Z α⋅+∈o 的诱导公式将大于360o 的角的三角函数化为0o 到360o 的三角函数；③“小化锐”，将大于90o 的角化为0o 到90o 的角的三角函数；④“锐求值”，得到0o 到90o 的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．（3）若角终边上一点求角的三角函数问题，利用三角函数的定义求三角函数值. 例1设，则（ ） A. B. C.D.【答案】B【分析】先诱导公式对cos 2017°进行化简，找出未知角与已知角的关系，即可求解． 【解析】因为，，故选B例2已知4πα-的终边上有一点()1,2-，则tan2α=（ ）A. -2B. -3C. 13-D. 34-【分析】先由三角函数定义求出)4tan(πα-的值，再用差角的正切公式求出αtan ，在利用二倍角公式求出α2tan 的值.【解析】tan tantan 14tan 2241tan 1tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=-===- ⎪+⎝⎭+，解得1tan 3α=-，22tan 3214tan tan ααα==--，故选D考向二 给值求值【解决法宝】（1）在给值求值中，先对所给式子和所求式子化简，然后观察所给角与已知角的差异，通过角的配凑与分拆寻求未知角与已知角的联系，用已知角表示未知角或用未知角表示已知角，再利用两角和与差的三角公式用已知角的三角函数表示出来，再利用同角三角函数基本关系求出所需的三角函数，若用到平方关系，注意根据角的范围确定根号前的符号，若是用未知角表示已知角，常用解方程的方法求所求角的三角函数. （2）几个常见的变形切入点： ααcos sin 可凑倍角公式； αcos 1±可用升次公式；αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭；④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握； ⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--. （3）三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用及变形应用等.例3已知，则( )A. B. C. D.【分析】先利用诱导公式对已知条件化简，即可求出θtan 的值，将结论的看成分母为1的分式，1换成θθ22cos sin +，分子分母同除以θ2cos ，将其化成关于θtan 的函数，即可求出函数值.【解析】由已知则，故选C.考向三 给值求角【解决法宝】实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等例4设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ）A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=-【分析】将已知条件中的正切化为正弦、余弦，去分母，化为两边为同名的三角函数方程，根据角的范围，即可得到角的关系.【主题集训】1.求0000sin16cos134sin 74sin 46+=（ ） A ．12 B ．12- C ．32 D ．32-【答案】A【解析】0000000000sin16cos134sin 74sin 46sin16cos 46cos16sin 46sin(4616)+=-+=-＝1sin 302︒=，故选A ． 2.已知()0,απ∈，且5cos 13α=-，则sin 2tan παα⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭（ ） A. 1213-B. 513-C. 1213D. 513【答案】C【解析】由()0,απ∈，且5cos 13α=-，可得12sin ,,132πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故sin 12sin cos sin 2cos 13tan παααααα⎛⎫-⋅=⋅== ⎪⎝⎭，故选C.3.设(0,)2πα∈，(0,)4πβ∈，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是（ ）A.24παβ-= B.24παβ+=C.4παβ-=D.4παβ+=【答案】C【解析】22221sin 2(sin cos )(sin cos )sin cos tan cos 2cos 2cos sin cos sin βββββββαββββββ++++====--1tan tan()1tan 4βπββ+==+-，∵(0,)2πα∈，(,)442πππβ+∈，∴4παβ=+，选C.4.若，则( ) A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，故选C.5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得，，则，故选 6.已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值是（ ）A ．15±B ．15 C. 15- D ． 75-【答案】C【解析】()3tan tan 4απα-==-，又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α=，4cos 5α=-，所以sin cos αα+＝15-，故选C ．7.若为第一象限角，且，则的值为 （ ）A.B. C. D.【答案】B 【解析】∵，∴，∵为第一象限角，∴，即，∴，故选B.8.已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．16B ．39 C.36- D ．33-【答案】B【解析】由已知得4sin cos 2sin 2sin 23cos 2sin 2663πππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3tan22θ=，∴33323tan26933123πθ-⎛⎫+==⎪⎝⎭+⨯.故选B.9. 已知角的终边经过点，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得三角函数的定义可知：，，则oo13sincos13cossinαα-=oooo13sin47cos13cos47sin-=)1347cos(oo+=2160cos o=，故选A.10.若113sin cosαα+=，则sin cosαα=（）A．13-B．13C．13-或1 D．13或1-【答案】A11.已知2sin33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么cos23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.59- B.23- C.23D.59【答案】A【解析】依题意有22πππ5cos2cos212sin3339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故π2π2π5cos2cosπ2cos23339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A.12.若tan=34α⎛⎫+-⎪⎝⎭π，则2cos2sin2αα+=（）A．9 5B．1 C．35-D．75-【答案】A【解析】3tan1tan1)4tan(-=-+=+ααπα，解得2tan=α，2222cos4sin coscos2sin2sin cosααααααα++=+ 214tan9tan15αα+==+.故选A.13.若2cos23sin2cos4θθπθ=⎛⎫+⎪⎝⎭，则sin2θ=（）A.13B.23- C.23D.13-【答案】B14．设()0,90α∈︒︒，若()3sin7525α︒+=-，则()()sin15sin75αα︒+⋅︒-=( )A.110B.220C.110- D.220-【答案】B【解析】()()sin15sin75αα︒+⋅︒-=()()()1sin15cos15sin3022ααα++=+o o o而()()()()2sin302sin75245sin752cos7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦o o o o o，()75275,255α+∈o o o，又因为()sin7520α+<o，所以()752180,255α+∈o o o，可求得()4cos7525α+=-o，那么()()()22342sin302sin752cos752225510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---=⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦o o o，那么()12sin 302220α+=o ，故选B. 15．若0,,0,22x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()tan 23tan x x y =-，则x y +的可能取值是（ ）A ．12π B ．4π C ．3πD ．712π 【答案】A【解析】()⎪⎭⎫⎝⎛-∈-=-<+<∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,2,tan .0,2,0,2,0πππππy x u y x y x y x 设Θ,则u 的值域是R . ()()()[]()()22312313tan 2tan 1tan 2tan 2tan tan ,3tan 32tan u uu u u y x x y x x y x x y x u y x x +=+-=-+--=--=+∴=-=Θ,记为()()333123120;0tan 0,312tan 22≤+=+=≠=+==+=+=u u u u w u y x w u u u y x w 时，时，,当且仅当33=u 时取等号,()πππ<+≤≤+<∴≤+≤-∴y x y x y x 6560,33tan 33或,故选A. 16.已知()sin2sin cos 2πααπα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 15-B. 15C. 13D. 2【答案】A【解析】2sin2cos αα=，解得22sin cos cos ααα=，解得1tan 2α=222cos 2cos2sin2cos sin 2sin cos 4πααααααα⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭ ，构造原式为222222111cos sin 2sin cos 1tan 2tan 141cos sin 1tan 514ααααααααα------===-+++，故选A. 17.已知cos 3cos 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 3tan 3β=，则()tan αβ+=__________．【答案】33-【解析】∵31cos()cos sin 3cos 622παααα+=-=，∴sin 3cos αα-=，故tan 3α-=-,()3233+tan tan 333tan 1tan tan 233133αβαβαβ--++====--+⨯． 18.若点是函数的一个对称中心，则__________【答案】【解析】∵点（θ，0）是函数f （x ）=sinx+3cosx 的一个对称中心，∴sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=﹣3，则cos2θ+sinθcosθ=.19.已知α为锐角，若3sin()65πα+=，则cos(2)6πα-= ．【答案】2425【解析】由于cos(2)6πα-)6cos()6sin(2)6(2sin )32sin()232cos(παπαπαπαππα++=+=+=-+=,因α为锐角，若3sin()65πα+=,故54)6cos(=+πα,所以cos(2)6πα-252454532=⨯⨯=,故应填答案2425. 20.已知，均为锐角，，，则__________．【答案】【解析】因为，均为锐角，所以，所以.21.已知3sin 5β=， ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()sin cos αβα+=，则()tan αβ+=______．【答案】-21122.,若，则_________. 【答案】 【解析】，令，平方得，因为，所以 ，所以，解得 ，，． 23.若224cos sin παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则2cos α=__________． 【答案】158【解析】令4t πα-=，则4t πα=+.，∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,44t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴原式可化为2cos2sin 4t t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2sin2sin t t -=，∴4sin cos sin t t t -=，即1cos 4t =-，∴15sin 4t =，∴15115cos2cos2=sin22sin cos 24448t t t t πα⎛⎫⎛⎫=+-=-=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

专题22 简单线性规划一、考纲要求：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、概念掌握及解题上的注意点： 1. 确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法1“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式.若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分. 2当不等式中不等号为≥或≤时，边界为实线，不等号为＞或＜时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点. 2.求目标函数最值的解题步骤 1作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； 2平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.3求值——解方程组求出对应点坐标即最优解，代入目标函数，即可求出最值. 3.常见的三类目标函数 1截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值. 2距离型：形如z ＝x －a 2＋y －b2.3斜率型：形如z ＝y －bx －a. 三、高考考题题例分析：例1.（2020课标卷I ） 若x ，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最大值为 ．【答案】6例2.（2020课标卷II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【答案】9【解析】：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9．故答案为：9．例3.（2020北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．【答案】3例4.（2020天津卷）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．45【答案】C例5.（2020浙江卷）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是，最大值是．【答案】最小值-2，最大值8例6.【2020课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点()6,3B -- 处取得最小值12315z =--=- ，故选A 。

8.2 圆的方程考向一 圆的方程【例1】(1)已知圆E 经过三点A (0,1),B (2,0),C (0,－1),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254（2）（2019·重庆复旦中学高二月考）若方程220x y x y k ++++=表示一个圆,则k 的取值范围是 ( ) A ．12k >B ．12k ≤C ．102k <<D ．12k <（3）（2019·四川广安中学高二月考（理））若直线220ax by +-=（,0a b >）始终平分圆224280x y x y +---=的周长,则12a b+的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．D ．3+【举一反三】1．（2020·全国高一专题练习）以()1,2-为圆心 ） A ．22240x y x y +-+= B ．22240x y x y +++= C ．22240x y x y ++-=D ．22240x y x y +--=2．（2019·四川高二期中（理））圆:C ()()22439x y -++=关于直线:l 30x y +-=对称的圆的标准方程是（ ）A ．()()22619x y -++= B ．()()22619x y ++-= C ．()()22619x y -+-=D ．()()22619x y +++=3．（2019·宣威市民族中学高一月考）已知圆22240x y x my +-+-=上两点M ,N 关于直线20x y +=对称,则圆的半径为（ ）．A ．9B ．3C ．D ．2考向二 点与圆的位置关系【例2】（2018·上海高二期中）点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【举一反三】1．（2019·重庆一中高二月考（理））已知点()1,2A 在圆22230x y x y m ++++=外,则实数m 的取值范围是（ ） A ．()13,-+∞B ．1313,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()13,13,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭2．（2019·江西上高二中高二月考（理））如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3,则实数a 的取值范围为( )A ．2⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．⎡⎣考向三 直线与圆的位置关系【例3】（1）（2020·石嘴山市第三中学高一期末）已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）． A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定（2）（2019·重庆复旦中学高二月考）若直线y ＝x +b 与曲线1y =有两个不同的公共点,则实数b 的取值范围为（ ）A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,1）D ．[2,1]（3）（2020·安徽高三期末（文））过点(2,2)的直线与圆221x y +=相交于A,B 两点,则OAB V （其中O 为坐标原点）面积的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【举一反三】1．（2020·安徽高三期末（理））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切,则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D ．42．（2020·湖南高二期末）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线被圆22(2)2x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为（ ）ABC D ．23．（2020·江苏高三专题练习）在圆x 2+y 2−2x −6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_______.考向四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2020·全国高三专题练习）已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离（2）（2019·重庆西南大学附中高二期中）已知圆()221:21C x y ++=与圆()222:4C x a y -+=相交,则实数a 的取值范围是（ ） A ．35a <<B ．53a -<<-C ．11a -<<或 53a -<<-D ．11a -<<或35a <<（3）（2019·湖南高一期末）已知圆C 1：x 2+y 2＝4,C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25交于A ,B 两点,则直线AB 的方程为（ ） A ．4x ﹣3y ﹣2＝0 B ．4x ﹣3y +2＝0 C ．3x ﹣4y ﹣2＝0 D ．3x +4y ﹣2＝0【举一反三】1（2018·甘肃临夏中学高一期末）圆x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－6x －10y ＋30＝0的公共弦所在的直线方程是__________．2．（2020·全国高三专题练习）已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0． （1）m 取何值时两圆外切？ （2）m 取何值时两圆内切？（3）当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．考向五 圆的切线方程【例5】（1)（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末（文））由直线1y x =-上的点向圆()()22231x y -+-=引切线,则切线长的最小值为（ ）A ．1B ．2CD (2)（2019·全国高三专题练习（文））圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条(3)（2020·江苏高三专题练习）已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线,若a R ∈,b R ∈,且0ab ≠,则2211a b+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．49D ．19【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线,则切线方程为( )A x ＋y －5＝0B x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝02．（2020·全国高三专题练习）已知点P ＋1,2),点M (3,1）,圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.（1）求过点P 的圆C 的切线方程；（2）求过点M 的圆C 的切线方程,并求出切线长．3．（2019·陕西西安中学高三月考（文））圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条考向六 有关圆的最值【例6】2020·全国高三专题练习）已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,则 ①yx的最大值为_____； ②y －x 的最大值和最小值分别为____________________； ③x 2＋y 2的最大值和最小值分别为____________________. 【举一反三】1．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1,P (x ,y )为圆上任意一点,则y －2x －1的最大值为________． 2．设点P (x ,y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),则PA ―→·PB ―→的最大值为________．1．（2019·江西南康中学高二月考）当圆22220x y x ky k ++++＝的面积最大时,圆心坐标是()融会贯通A ．(0,－1)B ．(－1,0)C ．(1,－1)D ．(－1,1)2．（2018·甘肃高一月考）圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切3．（2019·黑龙江哈师大附中高二期中）若曲线C ：x 2+y 2﹣2ax +6ay +10a 2﹣1＝0上所有的点均在第二象限内,则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣1,0）B ．（﹣∞,﹣1）C ．（1,+∞）D ．（0,1）4．（2018·华东师范大学第三附属中学高二期中）已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4,则点P (3,2)满足（ ） A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外5．（2019·宣威市民族中学高一月考）若原点(0,0)O 在圆2222210x y ax a a +++-+=外,则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≠B ．0a >C ．112a <<或1a > D ．1a > 6．（2019·平罗中学高二期中（理））若点(,1)M m m -在圆22:2410C x y x y +-++=内,则m 的取值范围（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞U7．（2020·四川高三（文））已知直线3y x =-+与圆22220x y x y +--=相交于A ,B 两点,则AB =（ ）A ．2B C D ．28．（2020·江苏高三专题练习）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,学会一寸,锯道长一尺,问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯取锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面如图所示,已知弦1AB =尺,弓形高1CD =寸,则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈,5sin 22.513︒≈,1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸9．（2020·全国高三专题练习）圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2,则实数a 等于（ ） A ．2B ．2-C ．4D ．4-10．（2020·全国高三专题练习）若圆Ω过点()()0,10,5-,且被直线0x y -=截得的弦长为,则圆Ω的方程为（ ）A ．()2229x y +-=或()()224225x y ++-= B ．()2229x y +-=或()()221210x y -+-= C ．()()224225x y ++-=或()()224217x y ++-= D ．()()224225x y ++-=或()()224116x y -+-=11．（2020·江苏高三专题练习）一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53B ．35-或32C ．23-或23D ．43-或34- 12．（2020·浙江高二期末）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A ,()0,2B ,圆()22:1C x a y -+=,若圆C 上存在点M ,使得2212MA MB +=,则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1,1⎡+⎣D ．1⎡-+⎣13．（2019·四川高二期中（理））已知圆222212:()()4,:(1)(2)1(,)O x a y b O x a y b a b R -+-=--+--=∈,那么两圆公切线的条数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314．（2018·上海交大附中高二期末）已知两点()1,2A ,()4,2B -到直线l 的距离分别为1,4,则满足条件的直线l 共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．（2019·上海市通河中学高二期中）圆22620x x y y -++=关于直线0x y -=对称的圆方程为___________16．（2020·江苏高三专题练习）在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的点共有________个．17．（2020·江苏高三专题练习）过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条,则该切线的方程为________．18．（2020·江苏高三专题练习）过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB 的面积为_______．。

2.1.3 方程组的解集学习目 标核 心 素 养1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养． 2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.1．方程组的解集一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x ，y )|(a ，b )，…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y ，z )|(a ，b ，c )，…}，其中a ，b ，c 为确定的实数．1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是( )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4C [⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2(1－x )＝4，去括号得，x －2＋2x ＝4.故选C.]2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为( )A ．{(x ，y )|(2,3)}B ．{(x ，y )|(3,2)}C ．{(x ，y )|(－2,3)}D ．{(x ，y )|(－2，－3)}A [⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{(x ，y )|(2,3)}，故选A.] 3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝5}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝( ) A ．{(x ，y )|(1,4)} B ．{(x ，y )|(2,3)} C ．{(x ，y )|(3,2)}D ．{(x ，y )|(4,1)} C [根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{(x ，y )|(3,2)}. ] 4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．－1 [两式相减可得结果x －y ＝－1.]二元一次方程组的解集【例1】 求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.②(2)⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.② [解] (1)由①，得y ＝4－x .③ 把③代入②，得2x －3(4－x )＝3. 解这个方程，得x ＝3.把x ＝3代入③，得y ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2. 把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}． 法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1. 把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.1．求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.②(2)⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②[解] (1)由②，得2y ＝3x －5.③把③代入①，得4x ＋4(3x －5)＝12，解得x ＝2. 把x ＝2代入③，得y ＝12.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. (2)由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16.把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559.三元一次方程组的解集【例2】 求下列方程组的解集．(1)⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③(2)⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③[解] (1)法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， 把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． 法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④ ②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． 法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤联立③⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x ＋8z ＝11，④ ①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3,2,1)}．求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3 ③的解集．[解] ①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝10，即x ＋y ＋z ＝5.④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(－1,2,4)}．待定系数法求函数的解析式【例3】 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．[思路点拨] 把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．[解]根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④ ③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12.因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．[解]根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1.二元二次方程组的解集【例4】 求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②(2)⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.②[解] (1)由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0. 解得x 1＝2，x 2＝6. 把x 1＝2代入③，得y 1＝6. 把x 2＝6代入③，得y 2＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,6)，(6,2)}． (2)由①得(x －2y )2＋(x －2y )－2＝0， 解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪(3，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．[解] ∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎨⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32.方程组的实际应用【例5】 某汽车在相距70 km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h ，从乙地到甲地需要2.3 h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km和z km.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km ，平路是54 km ，下坡路是4 km.根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.②②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x .因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4,8,12.若x ＝4，则y ＝18，z ＝78； 若x ＝8，则y ＝11，z ＝81； 若x ＝12，则y ＝4，z ＝84.故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是( )A ．{(x ，y )|(1,2)}B ．{(x ，y )|(1,0)}C ．{(x ，y )|(－1,2)}D ．{(x ，y )|(1，－2)}A [由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{(x ，y )|(1,2)}．]2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对B [根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.]3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出， 则原本甲、乙两杯内的水量相差( )A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升B [设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水 b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B.]4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________． ⎩⎨⎧ xy ＝6x －y ＝－1[由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1， 故可组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x －y ＝－1(答案不唯一)．]。

2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题30 圆的方程理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题30 圆的方程理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题30 圆的方程一、考纲要求：1。

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、概念掌握和解题上注意点：1。

求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

2待定系数法：①若已知条件与圆心a，b和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值。

②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组,进而求出D,E,F的值。

2。

与圆有关的最值问题的三种几何转化法1形如μ＝错误!形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.2形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题。

3形如m＝x－a2＋y－b2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

3。

求与圆有关的轨迹问题的四种方法1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.2）定义法：根据圆的定义列方程求解.3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解。

4）代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.三、高考考题题例分析例1。

（2018天津卷）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【答案】例2。

专题29 直线方程一、考纲要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．4.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、概念掌握和解题上注意点：1. 求直线方程应注意以下三点1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.3）截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.2.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1）求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.2）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.3）求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.3.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法1）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；2）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.4.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.5.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.6.处理距离问题的两大策略1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.2）动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算. 三、高考考题题例分析例1.（2020北京卷）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x ﹣my ﹣2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例2. (2020高考新课标II)圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A 【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：，解得43a =-，故选A ． 例3.(2020高考广东卷)平行于直线且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．或B.或C.或 D.或【答案】D ．【解析】：依题可设所求切线方程为，则有，解得5c =±，所以所求切线的直线方程为或，故选D ．三、解答题17．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程． 【答案】(1) x ＋2y －4＝0； (2) 2x －3y ＋6＝0； (3) 2x －y ＋2＝0(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.18．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.； (2) a ≤－1.【解析】： (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴{ －a ＋1＞0，a －2≤0或{ －a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.19．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值． 【答案】(1) a ＝－1；(2) a ＝23法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.法二：∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23.20．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程. 【答案】(1)见解析； (2) 5x ＋y ＋7＝0.21．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．【答案】(1)见解析； (2) k ≥0.； (3) x －2y ＋4＝0.【解析】： (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令{ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得{ x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有{ k ＞0，1＋2k ≥0， 解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 的取值范围是k ≥0.此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.22．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．【答案】(1) l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (210)【解析】：(1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA时等号成立)，∴d max＝PA＝5－22＋0－12＝10.。