分布的数学表达

幂律分布

什么是幂律分布？

⽤数学表达就是“节点具有的连接数和节点数的乘积是⼀个定值”。简单说，在⼀个系统⾥，如果拥有1万元的⼈有10个，那么拥有1000元的⼈就有100个，⽽有10块钱的⼈就有1万个。这种分布现象就是幂律分布。

幂律分布的两个特征：1、⾼度的不平均。 2、⽆标度（分形）

说幂律分布，你可能不太了解，但你肯定听过⼀个词，叫“⼆⼋法则”。⽐如全社会80%的财富集中在20%的⼈⼿⾥，⼀个⾏业80%的市场被20%的头部公司占据，⼀家公司80%的⽣意来⾃20%的重点客户……⼆⼋法则，其实就是幂律分布最直观的表现。这也是幂律分布特征之⼀，⾼度的不平均。

图⾥横坐标，代表随机变量的取值；纵坐标，代表发⽣的概率。⽽幂律分布就是⼀条向下的曲线，拖着⼀个长长的尾巴。它的含义也⾮常明确——在随机变量中，越⼩的数值，出现的概率越⼤；越⼤的数值，出现的概率则越⼩。

虽然幂律分布⽆处不在，但它的数学特征只有⼀个，就是⽆标度，也叫“⽆尺度”“尺度⽆关”。不管怎么叫，意思是⼀致的——在任何观测尺度下，幂律分布都呈现同样的分布特征。

⼀般的分布都会有个尺度范围，在这个范围内服从这个分布，超过这个尺度可能就不服从这种分布了。⽽幂律分布没有尺度的限制，不管截取任何⼀个部分，都仍然呈现幂律分布的特征。

⽐如，图书销量是服从幂律分布的，最畅销那本书的销量在前10名销量中占的⽐例，和前10名的销量在前100名的销量中占的⽐例，和前100名在前1000名的总销量中占的⽐例，⼤体都是相同的。

这就是幂律分布的数学特征——⽆标度。符合幂律分布的⽹络，⼜被称为“⽆标度⽹络”。如果你懂”分形“的话，分形的结构⾃相似性符合幂律分布。

世界是不公平的

幂律分布和正态分布，给我们展⽰了两个不同的世界。在正态分布的社会⾥，中等收⼊阶层占绝⼤多数，低收⼊和⾼收⼊阶层只占极少数。这种分布，被认为是⾮常理想的社会结构，对聪明勤奋的⼈有激励，让弱者的落差感没那么⼤。但是真实世界的趋势，是越来越像幂律分布。第⼀个为幂律分布命名的是经济学家帕累托。他发现，在19世纪的意⼤利，极少数的富⼈赚⾛了绝⼤部分的钱，⼤部分家庭的收⼊都很低。他的这⼀发现被后⼈称为“帕累托法则”，也叫“⼆⼋定律”

分布函数与概率密度函数的数学性质及证明

一、引言

在概率论中，分布函数与概率密度函数是描述随机变量分布的两种常用方式。本文将详细介绍分布函数与概率密度函数的数学性质，以及相应的证明过程。

二、分布函数

分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）定义为随机变量小于或等于某个实数的概率。设X为一个随机变量，其分布函数表示为F(x)。

1. 非递减性

分布函数F(x)是非递减函数，即对于任意的x1 < x2，有F(x1) ≤

F(x2)。这是由于随机变量小于或等于x1的概率一定小于等于随机变量小于或等于x2的概率。

2. 右连续性

分布函数F(x)在任意实数x处右连续，即lim┬(δ→0⁺) F(x+δ) =

F(x)，其中δ>0。这是由于随机变量小于或等于x+δ的概率在取极限时趋近于随机变量小于或等于x的概率。

3. 边界性质 当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1。这是因为随机变量小于或等于负无穷的概率为0，小于或等于正无穷的概率为1。

三、概率密度函数

概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续型随机变量分布的函数，定义为对其进行微分后的导数。设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数表示为f(x)。

1. 非负性

概率密度函数f(x)非负，即对于所有的x，有f(x) ≥ 0。这是由概率密度函数表示的是概率在单位长度内的分布。

2. 积分性质

概率密度函数f(x)在整个实数轴上的积分等于1，即∫[∞,-∞] f(x)dx =

1。这是由于随机变量在整个样本空间内的取值概率之和必然为1。

3. 密度与分布函数的关系

随机变量X的分布函数F(x)是概率密度函数f(x)的积分，即F(x) =

∫[x,-∞] f(t)dt。

四、分布函数与概率密度函数的关系

分布函数F(x)与概率密度函数f(x)之间存在以下关系：

瑞利分布：平稳的窄带高斯过程，平均值为（0.5*π*σ^2）^（0.5），方差为（2-0.5*π）*σ^2。其包络的一维分布是瑞利分布。其表达和概率密度如图所示。当随机二维向量的两个分量独立且具有相同方差时，向量的模量为瑞利分布。瑞利分布是最常见的分布类型，用于描述平坦衰落信号或独立多径分量的接收包络的统计时变特性。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。

在概率论和统计学中，指数分布是连续的概率分布。指数分布可用于表示独立随机事件的时间间隔，例如乘客进入机场的时间间隔，中文维基百科中新条目的时间间隔等。 许多电子产品的寿命分布通常遵循指数分布。一些系统的寿命分布也可以通过指数分布来近似。它是可靠性研究中最常用的分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特例。当产品的故障是偶然的时，其寿命遵循指数分布。

当威布尔分布的形状系数等于1时，可以将指数分布视为特殊分布。指数分布的失效率是与时间t无关的常数，因此分布函数简单。

如果指数分布的参数为λ，则指数分布的期望值为1/λ，方差为（1//λ）的平方。

正态分布也称为高斯分布，在数学，物理和工程领域是非常重要的概率分布。它对统计的许多方面都有很大的影响。如果随机变量x服从具有数学期望μ和标准偏差σ2的高斯分布，则其概率密度函数为正态分布，期望值μ确定其位置，其标准偏差σ确定分布的幅度。因为它的曲线是钟形的，所以人们经常称其为钟形曲线。我们通常所指的标准正态分布是μ=0和σ=1的正态分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续随机变量的分布。第一个参数μ是服从正态分布的随机变量的平均值，第二个参数σ2是随机变量的方差，因此正态分布表示为n（μ，σ2）。

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,XYL表示．

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值ix与该取值对应的概率ip(1,2,,)inL列表表示：

X 1x 2x … ix … nx

P 1p 2p … ip … np

我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 1 0

P p q

其中01p，1qp，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．

X 1 0

P 0.8 0.2

两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()nN≤，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

CC()CmnmMNMnNPXm(0ml≤≤，l为n和M中较小的一个)．

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X知识内容

正态分布

取不同值时的概率()PXm，从而列出X的分布列．

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()C(1)kknknnPkpp(0,1,2,,)knL．