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中考数学 第35课时 解直角三角形复习导学案

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第35课时 解直角三角形

[考点梳理]

一、必知1个知识点

解直角三角形应用的常用知识

仰角和俯角：

如图（1），在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．

坡度和坡角：

如图（2），通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．

方向角：

如图（3），指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．

（1） （2） （3）

二、必会2个方法

1．解直角三角形应用的基本图形

在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：

① 如图（3），不同地点看同一点：

② 如图（4），同一地点看不同点：

③ 如图（5），利用反射构造相似：

（3） （4） （5）

2．数形结合思想

数形结合是重要的数学思想，解直角三角形的应用问题，需要充分运用数形结合思想．此类题型是中考的热点考题．

三、必明1个 易错点

在解直角三角形的应用时，要注意以下几点： (1)要弄清仰角、俯角、坡角、方向角等概念的意义；

(2)分析题意，画图并找出要求解的直角三角形，有些图形如果不是直角三角形，可以通过适当作辅助线构造直角三角形；

(3)选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；

(4)按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求确定答案，注明单位．

[小题热身]

1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与 树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m (即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是 ( )

A.533＋32 m B.53＋32 m

C.533 m D．4 m

2．小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了 （ ）

A．2005 m B．500 m

C．5003 m

D．1 000 m

3．如图，AC是电线杆AB的一根拉线， 在点C测得A处的仰角是52°，BC＝6 m， 则拉线AC的长为( )

A.6sin52° m

B.6tan52° m

C．6cos52° m

D.6cos52° m

4．如图，小惠家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，测得一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向600 m处，那么水塔所在位置到公路的距离AB为（ ）

A．3002 m B．3003 m

C．300 m D．2003 m

[典型例题]

类型之一 利用解直角三角形测量物体的高度(或宽度)

例1.如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶 端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角 分别是60°和30°.

(1)求∠BPQ的度数；

(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．

2．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，如图，其测量步骤如下：

（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；

（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；

（3）测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5 m，并测得CD之间的距离为288 m；

类型之二 利用解直角三角形解决航海问题

例2.

[2015·恩施]如图35－13，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1 h到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里，参考数据：3≈1.732)．

如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以v km/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．

(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？

(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

类型之三 利用直角三角形解决坡度问题

例3．

如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m，BG＝0.7 m，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8 m，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为_________ m．(结果保留根号)

坡比的概念模糊

(广安中考)如图35－17，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤坝高BC＝50

m，则迎水坡面AB的长度是 ( )

A．100 m B．1003 m

C．150 m D．503 m

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中考数学专题复习：解直角三角形教案

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教案

科

目

数学

课

题 解直角三角形

课 型 复习 讲课教师 班级 时间

教学目标 1、认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)30。，45。，60。角的三角函数值。

2、使用计算器已知锐角求它的三角函数值，已知三角函数值求它对应的锐角。

3、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

教学重点 会计算含有特殊角的三角函数的值及解直角三角形有关的简单实际问题

教学难点 解直角三角形有关的简单实际问题

教学环节 教 师 活 动 学 生 活 动 设计意图

明确目标

自主学习

合作探究

展示提升

引课，同时明确学习目标

教师对学生的观察、推广等结果进行及时的评价，在此基础上，师生共同的得出结论。

针对自主学习后，应用知识体系对考点的解答及时评价，帮助解决组内疑难。

引导学生对典型的三角函数问题，掌握其方法规律

教师巡视，及时点评批改，了解学生对知识掌握的情况。 教师展出学习目标，学生了解本节课所复习内容

思考并完成导学案相应内容,交流自主学习成果

完成4道基本知识对应考题，组内交流成果，

快速掌握解题技巧，提高图形认知，感受数学思想，加快解题速度

通过阅读学习目标让学生回顾知识体系

进一步完善知识体系。发展学生的动手操作能力和概括能力。

为了揭示规律的形成过程，进一步加强学生对解直角三角形的思考方法。

对本节难点攻克，引导学生掌握其解题方法和技巧，加深对图形的理word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

达标训练

学生自主完成，分层达标。

解，提高解题的效率

对学生达标训练中出现的情况，进行有针对性的讲解，了解学生是否通过数学思想解决问题。

板书设计 解直角三角形——复习

教学反思

《解直角三角形》复习课教学设计

《解直角三角形》复习课教学设计

九年级数学《锐角三角函数》专题复习 教学设计瓮安第五中学 李景鸣

【知识要点】

一、三角函数的概念、特殊角的三角函数值、仰角、俯角的概念

1、直角三角形 ABC中，∠ C=90o，a、b、c、∠ A、∠ B这五个元素间有哪些等

量关系呢？

（1）三边之间关系

a2+b2=c2（勾股定理）

（2）锐角之间关系∠ A+∠ B=90o

（3）边角之间关系

2. 特殊角的三角函数值

30° 45° 60°

siaA

cosA

tanA

3．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

二 、直角三角形的性质

1. 直角三角形的两个锐角互余；

2. 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）

3. 直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于

30°）

4. 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方( 称为勾股定理 ) ；

1

a 2 b 2 c 2

（反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其它两边的平方和，那么它是直角三角形）

三、直角三角形的其它特殊性质 、 斜边为 ， a h b

1. 直角三角形中，如果两条直角边为

b, c a

ab

斜边上的高为 h，那么它们存在这样的关系： ab ch 或 h

c

c .

2. 直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么较长的直角边等于较短边的3

倍。

3 . 在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的 2 倍（斜边上的高正好是斜边

的一半。）

c

a

a a 30°

b= 3 a 45°

c= 2 a

【典型例题】

考点一 : 锐角三角函数的定义及性质

中考数学一轮复习 解直角三角形教案

中考数学一轮复习 解直角三角形教案

解直角三角形教案

【课标要求】

1．掌握直角三角形的判定、性质．

2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．

3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．

4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．

5．能根据已知条件求锐角三角函数值．

6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．

7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．

8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．

【课时分布】

解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供参考）．

课时数 内容

1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单的解直角三角形

2 解直角三角形的应用

2 解直角三角形单元测试及评析

【知识回顾】

1．知识脉络

2．基础知识

直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半； 建模出数学图形，再添设辅助线求解 解直角三角形 解直角三角形 直角三角形的边角关系

实际应用 已知一边一锐角解直角三角已知两边解直角三角形

添辅助线解直角三角形

直接构建直角三角形 已知斜边一锐角解直角三角已知一直角边一锐角解直角三角已知两直角边解直角三角形

已知斜边一直角边解直角三角形 ⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；

⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．

锐角三角函数的定义：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,

则sinA=ac ,cosA=bc ,tanA=ab ,cotA=ba

2022年初中数学《 解直角三角形》精品导学案

2022年初中数学《 解直角三角形》精品导学案

1.4 解直角三角形

课题 解直角三角形

学习目标 1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．

学习重点 归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．

学习难点 利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．

学习用具

执教者

学习内容 共 案 个

案

一、新课引入：

1、什么是解直角三角形？

2、在Rt△ABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？

请学生答复以上二小题，因为本节课主要是运用以上关系解直角三角形，从而解决一些实际问题．

学生答复后，板书：

(1)三边关系：a2+b2=c2；

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°；

(3)边角之间关系

第二大节“解直角三角形〞，安排在锐角三角函数之后，通过计算题、证明题、应用题和实习作业等多种形式，对概念进行加深认识，起到稳固作用．

同时，解直角三角形的知识可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度．其中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值．解决这类问题需要进行运算，但三角的运算与逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常常先选择公式并进行变换．同时，解直角三角形的应用题和实习作业也有利于培养学生空间想象能力，要求学生通过观察，或结合文字画出图形，总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的三大数学能力和分析问题、解决问题的能力．

解直角三角形还有利于数形结合．通过这一章学习，学生才能对直角三角形概念有较完整认识，才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来．另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章知识加以处理．

基于以上分析，本节课复习解直角三角形知识主要通过几个典型例题的学习，到达学习目标．