因式分解16种方法

因式分解16种方法

因式分解是数学中常见的一种运算方法，但并没有普适的方法。在初中数学教材中，通常介绍提公因式法和公式法。而在竞赛中，还有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等方法。

在分解因式时，需要遵循三个原则：分解要彻底、最终结果只有小括号、多项式首项系数为正。此外，分解因式与整式乘法是互为逆变形的。

掌握分解因式的技巧也很重要。首先，等式左边必须是多项式；其次，分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；最后，分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

在使用基本方法分解因式时，提公因式法是一种常见的方法。提公因式法的具体步骤包括：找出公因式；提公因式并确定另一个因式；注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式。提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

另外一种常见的方法是公式法，即将乘法公式反过来，以分解因式。需要注意的是，把2a2+11变成2(a2+)不属于提公因式。

综上所述，掌握分解因式的技巧和方法，可以帮助我们更好地解决数学问题。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

需要注意的是，能够运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能够写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2.

分组分解法

分组分解是一种简洁的解方程方法，适用于四项或大于四项的方程。一般有两种形式：二二分法和三一分法。

例如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我们将ax和ay分为一组，bx和by分为一组，利用乘法分配律，两两相配，就可以轻松解决问题。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

以下是几道例题：

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

说明：即使系数不同，也可以进行分组分解。将5ax和5bx看成一个整体，将3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律就可以轻松解决问题。

2.x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x^2，然后相合轻松解决。

3.x^2-x-y^2-y

解法：=(x^2-y^2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

十字相乘法

这种方法有两种情况。

①对于x^2+(p+q)x+pq型的式子，可以直接将其因式分解为(x+p)(x+q)。其中，二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。

②对于kx^2+mx+n型的式子，需要使用十字相乘法进行因式分解。

如果满足k=ac，n=bd，且ad+bc=m，那么kx2+mx+n可以表示为(ax+b)(cx+d)的形式，其中a、b、c、d为常数。这个结论可以通过十字相乘法来证明，即首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

裂项法是一种将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解的方法。这种方法实质上是分组分解法，需要注意的是，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

配方法是一种将某些不能利用公式法的多项式配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式将其因式分解的方法。这种方法属于拆项、补项法的一种特殊情况，同样需要在与原多项式相等的原则下进行变形。

应用因式定理是一种通过已知多项式f(x)=0以及f(a)=0来确定因式x-a的方法。例如，如果f(x)=x2+5x+6，且f(-2)=0，则可以确定x+2是x2+5x+6的一个因式，实际上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)。

换元法是一种在分解因式时，将多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来的方法。需要注意的是，在换元后要记得还原。例如，在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x，然后将原式转化为y的二次多项式，最后再将y还原为x2+x。

x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)

求根法：

设多项式f(x)=0，求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)。例如，在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，设2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0，通过综合除法可知该方程的根为0.5，-3，-2，1.因此，2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。

图象法：

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)。与求根法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如，在分解x^3+2x^2-5x-6时，可令y=x^3+2x^2-5x-6，作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2，则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)。

主元法：

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

特殊值法：

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如，在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7.注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

待定系数法：

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如，在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd。由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4，从而得到x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)。这里介绍一种因式分解方法——双十字相乘法。双十字相乘法是一种针对二元二次六项式的因式分解方法，其启始式子为ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f，其中x、y为未知数，其余为常数。我们以x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12为例，来说明如何使用双十字相乘法进行因式分解。首先，将原式分解为(x+2y+2)(x+3y+6)。具体的步骤为：先用十字相乘法分解二次项，即x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；然后按y的一次系数分组，即6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；最后按x的一次系数检验，即(x+2y+2)(x+3y+6)。多项式因式分解的一般步骤是：先提公因式，若无公因式则尝试公式、十字相乘法，若还不能分解则尝试分组、拆项、补项法，直到每一个多项式因式都不能再分解为止。可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”最后，我们来看两道例题。第一道题是分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2，将其分解为(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)。第二道题是证明对于任何实数x,y，下式的值都不会为33，其解法为将原式分解为x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)。

个条件，要能够应用到实际问题中。

4.勾股定理和正弦定理、余弦定理，要会灵活运用，注意精度问题。

5.圆的性质，要会证明圆的各种性质，如切线垂直于半径、圆心角是弧度的两倍等等。

总之，要掌握基本概念和方法，多做题，多总结，多思考，才能在中考中取得好成绩。 在数学学科中，几何学是一个非常重要的分支。在中考中，几何学的考试占据了很大的比重。因此，我们需要掌握一些基本的几何知识和技巧，以便在考试中取得好成绩。

1.三角形是几何学中最基本的图形之一。我们需要掌握三角形的定义和分类，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。此外，我们还需要研究三角形的性质和应用，这对于解决证明题非常有帮助。

2.四边形也是几何学中常见的图形之一。我们需要掌握平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念，以及它们之间微小的差异和特性。这些知识点对于解决证明题也非常有用。

3.圆是几何学中最复杂的图形之一。虽然在中考中不是重点，但我们仍然需要掌握圆的基本知识和性质。圆的难度很大，因为它由许多细小的点构成，所以需要花费更多的时间和精力去研究和理解。

总之，在准备中考的过程中，我们需要掌握几何学的基本知识和技巧，以便在考试中取得好成绩。我们应该注重细节，理解每个图形的定义和特性，并能够应用它们来解决证明题。