高一集合第一章知识点

完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题

高一数学必修

第一章 集合

1.集合的概念

集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。其中的各事物叫作集合的元素或简称元。

集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。

集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。集合的表示方法有列举法和描述法。常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。

2.集合间的关系

集合间有包含关系和相等关系。包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。

真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。如果XXX且B⊆C，则A⊆C。如果XXX且B⊆A，则A=B。

空集是不含任何元素的集合，记为Φ。规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

3.集合的运算

集合的运算包括交集、并集和补集。交集是由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。

1 / 4高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理

1.2.3 充分条件、必要条件

学习目标

1．理解充要条件的概念，并会判断和证明p是q的充要条件.

2．培养逻辑推理能力．

重难点

重点：掌握充要条件的概念和判断方法.

难点：能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明．

一、充分条件、必要条件

我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”①的命题，例如：

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；

（3）如果x>2，那么x>3；

（4）如果a>b且c>0，那么ac>bc.

在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果p，那么q”是一个真

命题，则称由p可以推出q，记作

pq

读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”.

例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相

平行”，这也可记作

两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；

而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作

x>2⇏x>3.

①“如果p，那么q”也常常记为“如果p，则q”或“若p，则q”，【尝试与发现】

当pq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不

是p的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.

因此， “如果p，那么q”是真命题，



用类似的方法分析上述例子中的（2）（4），并将它们用符号表示出来.

2 / 4pq，

p是q的充分条件，

q是p的必要条件，

这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.

例如，因为“如果x=-y，则x2=y2”是真命题，所以

x=-yx2=y2，

x=-y是x2=y2的充分条件，

x2=y2是x=-y的必要条件.

高一数学必修一集合知识点梳理

一、集合的概念：

1.集合：由一些确定的事物按照一定的规则组成的整体。

2.元素：构成集合的单个事物。

3.集合的表示方法：枚举法、描述法。

4.空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

5.集合的相等：两个集合的元素完全相同，则称两个集合相等。

二、集合的运算：

1.并集：包含两个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示。

2.交集：包含两个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示。

3.差集：包含第一个集合中有而第二个集合中没有的元素的集合，用符号\(A-B\)表示。

4.互斥集：两个集合没有相同的元素，即交集为空集。

5.补集：在一个全集中，除去一个集合的元素剩下的元素构成的集合，用符号A'表示。

三、集合的关系：

1. 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，用符号\( A \subseteq B \)表示。

2. 真子集：如果集合A是集合B的子集且集合A不等于集合B，则称集合A是集合B的真子集，用符号\( A \subset B \)表示。 3. 幂集：由原集合的所有子集构成的集合，用符号\(\mathcal{P}(A)\)表示。

四、集合的拓展：

1.有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数不限的集合称为无限集。

2.嵌套集：集合中的元素本身也是集合的集合。

3.无序对：是由两个元素组成的二元关系，其中元素的顺序是不重要的。

4.索引集：用一个集合的所有元素作为索引的集合。

五、集合的运用：

1.列举集合的元素。

2.解集合间的元素关系问题。

3.使用集合运算解决实际问题。

4.使用文氏图表示集合的关系。

六、集合的应用：

1. Venn图：用圆形表示集合，用图示的方式描述集合间的关系和运算。

2.元素的分类：将一组事物按其中一种特征分类，构建一个集合。

3.基数计数：通过挑选元素，建立元素与集合间的一一对应关系，测量集合中元素的个数。 4.群体角度问题：确定集合元素满足其中一种性质的条件，并找出集合中所满足不同性质条件的元素个数。

高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理

1.1.2集合的基本关系

学习目标

1. 理解集合之间包含与相等的含义；

2. 能识别给定集合的子集；

3. 能判断给定集合间的关系. 重难点

重点：理解集合间包含与相等的含义．难点：包含关系的判断与证明．（空集与任意集合的关系）.

学习新知1.子集一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.

（1）记作(或);（2）读作“包含于”（或“包含”）；（3）

不是

的子集，记作(或).尝试与发现尝试(1)根据子集的定义判断，如果，那么吗？

根据子集的定义，；

发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即成立.

尝试（2）：是的子集吗？

根据子集的定义，是的子集.

发现(2)：成立

尝试（3）:你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？

因为空集不包含任何元素，不会出现“内有元素不在集合”的可能，

因此，这里的也可以是空集.

发现(3)：空集是任意一个集合的子集.2.真子集一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，（1）记作（或）；

（2）读作“真包含于”（或“真包含”） .

尝试与发现

尝试(1)：分析集合,之间的关系。

发现(1)：.

尝试(2):是任意任意一个集合的真子集吗？

发现(2)：是任意任意一个非空集合的真子集 .尝试(3): 能否借助图形来形象地表示两个集合的真子集关系？

，，

发现（3）如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间

的关系,这种示意图通常称为维恩图.尝试（4）：对于集合，

，

,如果

，，那么

， 之间有什么关系？发现（4）：对于集合，

，

,如果

，

，则.尝试（5）：对于集合，，

,如果

，，那么， 之间有什么关系？如何用维恩图来描述

它们之间的关系？发现（5）：对于集合，，

,如果

，

，则.尝试（6）：对于集合，，,如果

，，那么， 之间有什么关系？发现（6）：对于集合，，,如果