高二数学函数试题答案及解析

高二数学函数试题答案及解析

1. 已知函数若，则 【答案】 【解析】当时，，解得；当时，，解得.

【考点】分段函数的求法.

2.

函数的最大值为(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A 【解析】一方面函数的定义域为，另一方面，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数在取得最大值，故选A. 【考点】函数的最值与导数. 3. 已知函数. （1）解关于的不等式； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或；（2）的取值范围是.

【解析】（1）本小题是含参数的一元二次不等式问题，求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可；（2）不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过均值不等式进行求解，从而可求得的取值范围.

试题解析：（1）由得，即 1分

当，即时，原不等式的解为或 3分

当，即时，原不等式的解为且 4分

当，即时，原不等式的解为或

综上，当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或 6分

（2）由得在上恒成立，即在上恒成立，所以（） 8 分 令，则 10分

当且仅当等号成立

，即

故实数的取值范围是 12分.

【考点】1.一元二次含参不等式；2.分类讨论的思想；3.分离参数法；4.均值不等式.

4. 已知函数．

(Ⅰ)若，试判断在定义域内的单调性；

(Ⅱ) 当时，若在上有个零点，求的取值范围.

【答案】(Ⅰ) 增函数； (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)因为通过对 函数，求导以及可得导函数恒成立，所以可得函数在定义域内是单调递增的.

(Ⅱ)由于代入即可得，对其求导数可得到，所以可知当时函数取到最小值，再根据左右两边分别是先减后增从要使在上有个零点必须使得最小值小于零.同时在的两边都有大于零的值，所以可得的范围.

试题解析：解：（Ⅰ）由可知，函数的定义域为

又，所以当时，

从而在定义域内恒成立。

所以，当时，函数在定义域内为增函数。

（Ⅱ）当时，

所以，由可得解得

由可得解得，所以在区间上为减函数

在区间上为增函数，所以函数在上有唯一的极小值点

也是函数的最小值点，所以函数的最小值为

要使函数在上有个零点，则只需，即

所以实数的取值范围为

【考点】1.函数的单调性.2.函数的最值.3.函数的求导.

5. 已知函数（是不为零的实数，为自然对数的底数）.

（1）若曲线与有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；

（2）若函数在区间内单调递减，求此时k的取值范围.

【答案】（1）．

（2）当时，函数在区间内单调递减.

【解析】（1）设曲线与有共同切线的公共点为，

则． 1分

又曲线与在点处有共同切线，

且，， 2分

∴， 3分

解得 ． 4分

（2）由得函数，

所以 5分

． 6分

又由区间知，，解得，或． 7分 ①当时，由，得，即函数的单调减区间为， 8分

要使得函数在区间内单调递减，

则有 9分

解得． 10分

②当时，由，得，或，即函数的单调减区间为和， 11分

要使得函数在区间内单调递减，

则有，或， 12分

这两个不等式组均无解. 13分

综上，当时，函数在区间内单调递减. 14分

【考点】导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极（最值）值。

点评：难题，本题属于导数内容中的基本问题，（1）运用“函数在某点的切线斜率，就是该点的导数值”，确定直线的斜率。通过研究导数值的正负情况，明确函数的单调区间。确定函数的最值，往往遵循“求导数，求驻点，计算极值、端点函数值，比较大小确定最值”。本题较难，主要是涉及参数K的分类讨论，不易把握。

6. 设F（x）=3a+2bx+c，若a+b+c=0，且F（0）>0，F（1）>0.

求证：a>0，且—2<<—1.

【答案】主要求出F(0)和F（1）

【解析】证明：由题意，

又，所以.

注意到，又，所以，即，

又，，

所以，即.

综上：，且

【考点】不等关系与不等式．

点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

7. 若函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )

A． B．

C． D．不存在这样的实数k 【答案】B

【解析】根据题意，由于函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内是单调函数，则可知，则可知函数的单调区间为k-1<0.5,k-1,故可知k的取值范围是，故答案为B.

【考点】函数的单调性

点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。

8. 设定义在上的函数满足若，则（ ）

A．13 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，由于定义在上的函数满足，结合，则可知，依次可知函数的周期为4，则那么可知，故可知答案为C.

【考点】函数的性质

点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。

9. 设对于任意实数x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．

(1)求m的取值范围；

(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.

【答案】（1）

（2）

【解析】解：（1）根据题，由于不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立，则可知|x＋7|＋|x－1|≥|x＋7-x+1|≥8

故

2）由已知，不等式化为

或

由不等式组解得：

由不等式组解得：

原不等式的解集为

【考点】绝对值不等式

点评：主要是考查了绝对值不等式的求解以及不等式的恒成立问题的运用，属于基础题。

10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，

的导函数的图象如图所示． 下列关于的命题： ①函数的极大值点为，；

②函数在上是减函数；

③如果当时，的最大值是2，

那么的最大值为4；

④当时，函数有个零点；

⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】根据题意，根据函数的定义域为，以及部分的对应值如下表，

，

导数图象说明原函数增减增减的变化趋势，可知在x=0取得极大值x=2处取得极小值，在x=4处取得极大值，故①函数的极大值点为，；正确

对于②函数在上是减函数；也成立，对于③如果当时，的最大值是2，

那么的最大值为4；错误对于④当时，函数有个零点；错误。

⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个，成立。故正确的命题有3个，选B.

【考点】函数与导函数

点评：主要是考查了导数研究函数单调性以及极值的运用就，属于中档题。

11. 已知函数若对任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围是____________.

【答案】

【解析】根据题意，由于函数若对任意的，不等式在上恒成立，即只要即可。因为的导数为

，，可知函数在递增，在递减，可知函数的最大值为-8+4a+2+m，则m1-（-8+4a+2），故可知答案为

【考点】不等式的恒成立

点评：主要是考查了不等式 恒成立问题的运用，转化为求解函数的最值即可，属于中档题。

12. 已知函数在点处的切线方程为．

（I）求，的值；

（II）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I）2，-1（II）

【解析】（Ⅰ）由

而点在直线上，又直线的斜率为

故有

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

由及 令

令，故在区间上是减函数，故当时，，当时，

从而当时，，当时，

在是增函数，在是减函数，故

要使成立，只需

故的取值范围是。

【考点】导数的几何意义及函数最值

点评：直线与函数曲线相切时，常从切点入手寻找关系式，充分利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率来实现数与形的结合，第二问中将不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题，进而借助于导数工具求解

13. 设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A． B．是的极小值点

C．是的极小值点 D．是的极小值点

【答案】D

【解析】对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大；

对于B项，f（－x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，－x0是f（－x）的极大值点；

对于C项，－f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是－f（x）的极小值点；

对于D项，－f（－x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此－x0是－f（－x）的极小值点．

故选D．

【考点】命题及命题的否定，函数的极值。

点评：小综合题，关键是理解命题的概念，明确函数存在极值的条件。

14. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，由于，导数的图像开口向上是二次函数，那么可知原函数诶三次函数，排除A,C，另外对于单调性可知导数符号为先正后负再正，说明原函数先增后减再增，那么可知的导数满足题目的条件，故选B.

【考点】导数与函数图像关系

点评：主要是考查了函数的导函数图像与原函数图像的关系，属于基础题。

15. 设是方程的解，则属于区间 （ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）