小学五年级奥数第38讲 最大最小问题(含答案分析)
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1 第38讲 最大最小问题
一、专题简析：
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
二、精讲精练
例题1 把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？
练习一
1、将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？
2 2、把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。
例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？
练习二
1、一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？
2、如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？
3 例题3 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）
练习三
1、 一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。
2、如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？
4 例题4 一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？
练习四
1、三个老师为7位不同的扮演者化妆，这7位同学化妆需要的时间分别为8、12、14、17、18、23、30分钟。如果三位老师化妆速度相同，问最少经过多少时间完成化妆任务？
2、甲、乙、丙三位同学为7棵树苗浇水，由于各棵树路程的远近关系，需浇水的时间分别为：4、5、6、6、8、9、9分钟。现三人各自同时开始，至少几分钟全部浇完？
5 例题5 A、B、C是三个风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16千米，从B经过A到C要走24千米。相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？
练习五
1.人民路两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走300米，从乙店经过丙店到甲店要走350米，从丙店经过甲店到乙店要走250米。哪两家店之间的距离最近？相距多少米？
2、在期中测试中，小华语文和数学平均成绩是96分，数学和作文平均成绩是88分，语文和作文平均成绩是86分。求小华的这三门功课哪门得分最高，是多少分？
三、课后作业：
1、将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。
6 2、五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？
3、一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？
4、有五人来理发，按发型所用时间是10、12、15、22和24分钟。由两位师傅同时为这五人理发，问怎样安排，使五人理发和等候的时间总和最少，最少是多少分钟？
5、十个参赛者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5个和第6个人的平均分是多少分？
第38周 最大最小问题答案
解：
因为10＝2×5，所以从1开始100个连续自然数的积的末尾有多少个零，是由在100以内含有多少个因数5决定的.
在2012以内，总共有100÷5＝20，所以有20个因数5.
7 25的倍数有：100÷25＝4.所以5的个数一共有：20＋4＝24.
故答案为：
24个
解析
这道题关键是考虑0是怎样出现的，因为10＝2×5，也就是说只要有一个2和一个5就会出现一个0.显然从1开始100个连续自然数中含因数2的数远多于含因数5的数.因此只需要考虑因数5的个数就可以了，这样我们考虑5的倍数，在100以内，总共有100÷5＝20，所以有20个因数5.但是此时我们仍然需要考虑诸如25＝5×5，可以提供2个5，而在100以内，25的倍数有：25，50，75，100，又带来4个5.所以5的个数一共有：20＋4＝24(个).即从1开始100个连续自然数的积的末尾有24个零.
专题简析：
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
例题1 把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？
分析 为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以
8 计算出这个和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72
练习一
1，将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？
答案
解：
由题意知，三角形三个角上数为8、9、10.
(5＋6＋7＋8＋9＋10＋8＋9＋10)÷3
＝72÷3
＝24
答：这个和最大是24.
故答案为：
三边之和，三个角上的三个数都被用了两次.
解析
三个角上的三个数都被用了两次，所以要尽可能填大数，即填8、9、10.然后根据“三角形每条边上的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了.
2，把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。
9 答案
解：
2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝44
9＋7＝16
(44＋16)÷2
＝60÷2
＝30
30－16＝14
2＋4＋8＝14
3＋5＋6＝14.
故答案为：
解析
2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝44，那么公共部分两个数字的和应该是偶数，要使五个数的和最大，那么公共部分两个数的和为最大偶数，由此进行作答
从数字和入手，判断出公共部分数字和为最大偶数.
3，将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都
10 等于20。
答案
按顺序先把1、2、3填入顶点位置的上、右、左3个三角形中，接着把4、5、6依次填入左中，下中，右中3个三角形中，再计算得出剩余三角形中的数字。
结果如图：
例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？
分析 3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。5千克组成，另外两堆分别是14千克。
练习二
1，一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？答案
最多试开36次就能配好全部的钥匙和锁.
因为这9把钥匙是开这9把锁的.这样,用第1把钥匙最多拭开8次,如果8次都打不开锁,那么就不必再试,肯定这把钥匙就是第9把锁的钥匙.依次类推,第2把钥匙最多试开7次第8把钥匙最多试开1次,最后剩下的1把钥匙和1把锁时根本就不用试.
11 这就是说,采用试开的办法,在最坏的情况下,要把10钥匙和10把锁都配好,最多试开(次)
2，如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？答案
解：
25×4＝100(岁)
100－17－18－19＝46(岁)
故答案为：
46岁
其余三人年龄为最小情况下，年龄最大的岁数最多.
解析
4个人的平均年龄是25岁，那么四个人的年龄和为25×4＝100(岁)，要使年龄大的尽可能大，那么，另外三人就尽可能的小，因为四个人没有小于17的，当其余三个人为17、18、19岁，此时年龄最大的岁数最多.
3，五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？答案
1.
元有点多,因为问的是至少
2.
再试试,能不能继续少
