矿大03高代
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中国矿业大学2003年硕士生招生入学考试试题
科目代码:428 考试科目：高等代数
一. 填空题
(1)方程4
3
2230x x x -+-=的有理根是 .
(2)设A 是n 阶矩阵,n 是奇数且T A A =-,则行列式A = .
(3)设121232343454,,,,x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=515x x a -=,则方程组有解的充
分必要条件为 .
(4)设A 是n 阶可逆矩阵,A *是的A 伴随矩阵,则A *的秩为 . (5)设(){}1
2
1
2,,,0n
n V x x x x
x x =
+++= ,W 是V 的补空间,则W 的维数
是 .
二.选择题
(1) 设123,,V V V 是线性空间V 的子空间,则123W V V V =++是直和的充要条件为 (a) {}120V V ⋂=;(b) {}230V V ⋂=;(c) {}130V V ⋂=;(d)零向量的表示法惟一.
(2)设2R 上一线性变换在直角坐标系下的矩阵为cos sin sin cos A θ
θθ
θ-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,则A 有实特征值的条件是 (a) 0θ=; (b) 2
π
θ=
; (c) 3
π
θ=
; (d) 23
πθ=
. (3)设7阶矩阵A 不变因子是()()()()()()2
2
2
21,1,1,1,1,11,111λλλλλλ--+-+-,
则A 的初等因子的个数为
(a) 9; (b) 7; (c) 5; (d) 3
(4)二次型22212
312132355484x x x x x x x x x +++--是 (a) 负定的; (b) 半负定的; (c) 半正定的; (d) 正定的.
(5)一个非零的整系数多项式()g x 是本原多项式的条件为
(a) ()g x 在有理数域上是可约的; (b) ()g x 在有理数域上是不可约的; (c) ()0g x =没有实根;
(d) ()g x 的系数的最大公因子的绝对值为1.
三.设()383f x x x =-+,试证
(1) ()f x 在有理数域上是不可约的; (2) ()f x 有3个实根.
四.给定矩阵A ,求
(1) A 的秩; (2) A 的值空间的维数; (3) A 的核空间的一组基.
12310
72461011510155132
46313A ---⎛⎫ ⎪
---- ⎪
= ⎪
⎪
----⎝⎭
五.设线性子空间V 是由下列方程组给出的:
123412412
342303220390
x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
+-=⎨⎪++-=⎩; 试求给出正交补空间V ⊥
的方程组.
六.求n 阶矩阵A 的Jordan 标准形
01000001000000110000A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
七.求具有n 个变量的二次型i j i j
i j x x <-∑的规范形及其变换.
八.设,A B 是3阶矩阵,满足124A B B E -=-,E 是3阶单位矩阵,
(1) 证明2A E -是可逆矩阵;
(2) 若120120002B -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求A .
九.已知4阶矩阵()12341234,,,,,,,A αααααααα=都是4维列向量,其中234,,ααα线性无
关,1242ααα=-,如果1234βαααα=+++,试求线性方程组AX β=的通解. 十. 设12,P P 是线性空间V 的线性变换,满足
121221(1);
(2)0.P P E PP P P +=-=
试证 ()112
1
2(1)(2)0.V PV PV PV P -=⊕= 十一. 设A 是正定矩阵,B 为非零实反对称矩阵,证明A B A +>.
十二. 设A 是线性空间V 的线性变换,()m λ是V 的最小多项式.如果()()()m h g λλλ=,
且()()()
,1h g λλ=.则12V W W =⊕,且()(),h g λλ分别是1
2
12,W W A A
A A
==的
最小多项式.其中(){}(){}
120,0W V h A W V g A αααα=∈==∈=.
注:表示方阵的行列式;
表示单位矩阵或线性空间上的单位变换; 表示多项式的最大公因式; 表示线性变换在子空间上的限制; 表示直和.。
