圆轴扭转时的强度与刚度计算

教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算

学

校 潍 坊 工 商 职 业 学校

执 教

人 许 秀 兰 授课班级 13机电一、二班

课程名称 工程力学 课

时 2节（90分钟）

课

题 第九章 第二节

圆轴扭转时的应力与强度计算 课

型 新 授 课

一、教材及教学内容分析

1．使用教材 21世纪高职高专规划教材《工程力学》 机械工业出版社 张秉荣等主编

2．本章教材处理 本章共三节：从扭转概念入手，对圆轴扭转时的内力、应力和变形进行分析，并给出扭转变形的强度和刚度的计算与校核方法。 根据教学过程以及学生构建知识的思维方式，将本章五节的知识内容融为一体，安排6个课时如下：

第一、二课时 扭转的概念、扭矩与扭矩图

第一部分

第三、四课时 圆轴扭转时的应力与强度计算

第五、六课时 圆轴扭转时的变形与刚度计算

3．教学内容分析 第九章 第二节 圆轴扭转时的应力与强度计算

圆轴扭转时的应力

惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp

圆轴发生扭转时强度计算

(1)教材的缺陷：教材中本节内容中的圆轴扭转时的应力分布规律及切应力公式的推导，理论性较强，且用到高等数学中相关的积分与求导知识，不便于学生理解与学习。

(2)教学内容的处理：为此对本节教学内容进行重新整合，力求以应用为导向，在基础理论的学习上，坚持必需、够用的原则，简化理论推导过程，注重理论应教材本节内容结构用。

二、教学对象分析

1．学情分析

学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱；

41 一、 传动轴如图19-5（a）所示。主动轮A输入功率kWNA75.36，从动轮DCB、、输出功率分别为kWNkWNNDCB7.14,11，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。

解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW为单位，根据（19-1）式：

117030075.3695509550nNMAA(N·m)

3513001195509550nNMMBCB(N·m)

4683007.1495509550nNMDD(N·m)

（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：ADCABC、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。

BC段：以1nM表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1nM的方向假设为图19-5（b）所示。根据平衡条件0xm得：

01BnMM

3511BnMM(N·m)

结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC段内各截面上的扭矩不变，均为351N·m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内：

MnⅡ＋0BCMM

ⅡnM= －BCMM= －702(N·m)

AD段：0DnMM－Ⅲ

468DnMMⅢ(N·m)

根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA段内，且702maxnMN·m

二、 如图19-15所示汽车传动轴AB，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径(a)

(c) I

II

D MA MD

MC MB

MB

MnⅡ MC

MB MnⅢ

468N·m

702N·m 351N·m (d)

(e)

图19-5 (b) A C B I II III

III

MnI

MD 42 D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩Mn＝1.5kN·m，材料的许用剪应力][＝60MPa。求（1）试校核AB轴的强度；（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。

解：1、轴的强度计算 M T τ 轴 max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 ×

10 6 × 2、轴套的强度计算 π × 66 3 × 10 −9 = 3387 N ⋅ m 16 习题 4－6 图 τ 套 max

= Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ⎞ Wp2 πD ⎛ ⎜1 − ( ⎟ 16 ⎝ 80 ⎠ 6 ⎡ ⎛ 17 ⎞ 4 ⎤ π × 80

3 −9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 2883 N ⋅ m 16 ⎢ ⎣ ⎝ 20 ⎠ ⎥ ⎦ 3、结论

Tmax ≤ T2 = 2883 N ⋅ m = 2.883 kN ⋅ m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、 壁厚均为 δ ， 横截面上的扭 矩均为 T = Mx。试： 习题 4－7 图

1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6

τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力

δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。 解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1） ，于是有 习题 4－7 解图 Mx = ∫ A D D ⋅ τd A = ⋅ τ ⋅ π Dδ 2 2

由此得到 δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力 根据狭长矩形扭转剪应力公式，有 3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ⋅δ δ 2π D τ= 2M x

即： τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布 两种情形下剪应

力沿壁厚方向的分布分别如图 a1 和 b2 所示。 4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2，且 R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别 为 Ts 和 Th。若二者横截面上的最大剪应力相等，试证明： Ts 1− n2 = Th 1+ n2 解：因为长度和质量相等，所以面积也相等。于是有 2 2 π R0 =π ( R2 − R12 （a） （b） 实心轴： τ max =

1基础篇之四

第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，

杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。

本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转

角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。

4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图

作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P

和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：

[]

[]ekw9549[Nm]r/minPMn=⋅

其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如功率P单位用

马力（1马力=735.5 N•m/s），则

e[]7024[Nm][r/min]PMn=⋅马力

外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加

扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,

称为扭矩（twist moment），用Mx表示。

图4－1 受扭转的圆轴 用假想截面m－m将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有

Mx －Me= 0

由此得到

2 图4－3 剪应力互等 Mx = Me 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因

此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一

致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b和c中的同一横截面上的扭矩均为正。

当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩

最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩

图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。

【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a所示。试画出扭矩

图。

解：用假想截面从AB段任一位置（坐标为x）处截开，由左段平衡得：