当前位置：文档之家 › 对数概念及其运算

对数概念及其运算

  • 格式：pdf
  • 大小：99.27 KB
  • 文档页数：6

对数概念及其运算

知识点1 对数

1.对数的定义

如果的次幂等于，那么数叫做以为底的对数，记作

1,0aaabNbaN

其中叫做对数的底数，叫做真数。在对数函数中，的取值,logbN

aaNbN

aloga

范围是，的取值范围是，的取值范围是。

1,0aa且N0NbRb

【注意】根据对数的定义可知

（1）零和负数没有对数，真数为正数，即0N

（2）在对数中必须强调底数且0a1a

2.常用对数

（1）定义：以10为底的对数叫做常用对数，记做。N

10logNlg

（2）常用对数的性质

10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即

是整数nnn

10lg

3.自然对数

（1）定义：以为底的对数叫做自然对数，通常记为。L71828.2eN

elogInN

（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数

之间的关系：，即。

4343.0lg

lglgN

eN

InNNInNlg303.2

4.指数式与对数式的互化

（1）符号既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求N

alog

其指数的算式。对数式的、、在指数式中分别是底数、指数和bN

alogaNbNab

幂。

（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：

①在中，必须，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而bN

alog0N

中的总是正数，须强调零和负数没有对数。Nab

N

②因为，所以。10

a01log

a

③因为所以。,1aa1loga

a

④因为，所以，所以。Nab

bN

alogNaNgl

a0

【例1】下列说法错误的是（）

(A)负数和零没有对数 （B）任何一个指数式都可以化为对数式

（C）以10为底的对数叫做常用对数 （D）以为底的对数叫做自然对数e

【例2】（1）把下列指数式写成对数式

① ② ③ ④;

271

3x;64

41



x

;

161

21



x

51

521



（2）把下列对数式写成指数式：

① ② ③。;29log

3;3001.0lg5

321

log

2

知识点2 对数的运算

对数的运算性质

如果且，，，那么，0a1a0M0N



;logloglog)1(NMMN

aaa

（2）;logloglogNM

NM

baa

（3）；

RnMnM

nn

aloglog

（4）。

0,,loglogmRnmM

mn

M

an

a

用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商

的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的次方的对数，等于这个正数的对数的n

倍。n

【例3】下列各式与相等的是（）

cab

lg

cabAlglg)(

cbaBlglglg

cbaClglglg

cabDlglg

【例4】计算：



;01.0lg12

;44log232

4

.

;5log3log3

22

2log

45

log

23

log4

555

知识点3 换底公式

1.换底公式



0,1,0,1,0

loglog

logNbbaa

bN

N

aa

b

2.换底公式的推论



1,0,1,0

log1

log1bbaa

ab

ba



0,1,0loglog2baabbm

aam



0,0,1,0loglog3mbaab

mn

b

an

am

【例5】计算：

;

;32log1

8

;5log4log2

825

2log2log3log3log3

9384

; 

91

log

81

log

251

log4

532

3

7575

4log

31

log9log2log

5



【例6】（1）已知用表示的值；,3lg,2lgbaba,45lg

（2）已知用表示的值。,518,9log

18baba,45log

36

反函数的概念

知识点 反函数

1.定义

对函数，设它的值域为，如果对中任意一个值，在D中总有唯一

DxxfyAAy

确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函x

xfyxy

xfy

数，记作，习惯上，自变量常用来表示，而函数用表示，所以把它改写为:

yfx1

xy

.

Axxfy1

2.反函数存在的条件

函数存在反函数的充要条件是函数是定义域到值域上的一一映射所确

xfy

xfy

定的函数。注意：单调函数必有反函数。

3.反函数与原函数的关系

（1）反函数和原函数互为反函数：如果函数有反函数，那么函数

xfy

xfy1

的反函数是，则与互为反函数；

xfy1



xfy

xfy

xfy1

（2）反函数和原函数的定义域与值域互换

函数

xfy

反函数

xfy1

定义域 A C

值域 C A

（3）互为反函数的函数的图像间的关系

函数的图像和它的反函数的图像关于直线对称。函数

xfy

xfy1

xy

的图像与的图像是同一个函数图像。

xfy

yfx1

4.求反函数的步骤

（1）求函数的值域（若值域显然，解题时常略去不写）。

xfy

（2）反解：由写出关于的关系式；

xfyx

y

（3）改写：在中，将，互换得到；

yfx1

x

y

xfy1

（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。

【例1】下列函数没有反函数的是：

① ②；;532

xy

11

2



xy

③ ④;2123xy







03)0(32

xxxx

y

（A）①②③ （B）①②④ （C）②③④ （D）①③④

【例2】求下列函数的反函数：

（1）；)2(

212



x

xx

y

（2）；

25142

xxxy

（3）

;12

xxxy

（4）







01101

22

xxxx

y

【例3】求函数的反函数.

112

xxy

对数概念及运算与反函数总结

1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）

（1） （2）NMMN

aaalogloglogNM

NM

aaalogloglog

（3） （4）MnM

an

aloglogM

nM

an

alog1

log

2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的

3、几个常用的对数结论

01log

a1loga

anan

alogbab

alog

mn

an

amlogb

mn

b

an

amloglog1loglogab

ba

4、换底公式：

ab

ab

b

cc

a

lglg

loglog

log

5、常用对数与自然对数

6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数

7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发

8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得

9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得

10、原函数与反函数的图像关于对称xy

11、 

xxff1

fRx

xxff1

Dx

12、反函数具有保奇性，并且保持单调性不变

13、函数与不是互为反函数关系

axfy

axfy1

14、互为反函数的公共点不一定在上xy

合集下载

高中数学对数的知识点总结

高中数学对数的知识点总结

高中数学对数的知识点总结

一、对数的定义

1. 对数的概念

对数是指数的逆运算。设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。其中a称为底数，b称为真数。即 logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质

（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时

⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。即对于任意正数b,0

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值

对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用

对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念

1. 对数方程的解法

对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。分为以下几种类型：

（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法 对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。对数不等式常见的类型有以下几种：

（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法

对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

对数及其运算基础知识及例题

对数及其运算基础知识及例题

对数及其运算基础知识及例题

1、定义：

对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。

2、性质：

①logb 1=0（b>0且不等于1）

②logb b=1（b>0且不等于1）

③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）

④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）

⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）

3、对数的运算性质：

①logb (mn)=logb m+logb n

②logb (m/n)=logb m-logb n

③logb m^k=klogb m

④logb (a^k)=klogb a ⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）

4、换底公式：

XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）

5、对数的其他运算性质：

①logb a=logb c，则a=c

②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b

6、常用对数和自然对数：

常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。

自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。

典型例题】

类型一、对数的概念

例1.求下列各式中x的取值范围：

1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.

改写为：

1）x≥5； 2）x>1且x<2；

3）x>1且x1且x>1.

类型二、指数式与对数式互化及其应用

例2.将下列指数式与对数式互化：

1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.

改写为：

对数的运算法则及公式是什么

对数的运算法则及公式是什么

对数的运算法则及公式是什么

对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、数据处理和各个领域中都具有广泛的应用。对数的运算法则及公式是用来简化对数运算的规则和公式，使得计算更加简便和高效。本文将介绍对数的运算法则及常用的公式，并附上相应的解释和例子。

一、对数的基本概念

在开始介绍对数的运算法则及公式前，首先需要了解对数的基本概念。对数是指数运算的逆运算，可以将指数问题转化为对数问题。具体来说，对于给定的正数a和正数b，如果满足以下等式：

b = a^x

那么x就是以a为底，b为值的对数，记作x = loga b。其中，a被称为对数的底数，b被称为对数的真数，x被称为对数的指数。

二、对数的运算法则

1. 对数相乘法则

loga (b * c) = loga b + loga c

对数相乘法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数分别取对数后相加。例如，log2 (4 * 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5。

2. 对数相除法则

loga (b / c) = loga b - loga c 对数相除法则表明，两个数的商的对数等于这两个数分别取对数后相减。例如，log10 (100 / 10) = log10 100 - log10 10 = 2 - 1 = 1。

3. 对数的幂法则

loga (b^c) = c * loga b

对数的幂法则表明，一个数的指数的对数等于这个数取对数后再乘以指数。例如，log3 (2^4) = 4 * log3 2 = 4 * 0.63 = 2.52。

三、对数的公式

1. 换底公式

对于任意的正数a、b和c，换底公式可以表示为：

loga b = logc b / logc a

换底公式可以用来将任意底数的对数转换为以其他底数的对数。例如，log3 9 = log10 9 / log10 3 = 0.95。

2. 对数的积公式

loga (b * c) = loga b + loga c

对数运算的十个公式

对数运算的十个公式

对数运算的十个公式

对数运算是数学中的重要概念，通过将复杂的乘法、除法运算转化为简单的加法、减法运算，极大地方便了计算。下面将介绍十个常用的对数运算公式。

1.基本定义：

2.对数的基本性质：

loga(1) = 0，即任何数以其本身为底的对数等于0。

loga(a) = 1，即任何数以其本身为底的对数等于1

loga(b) = loga(c) 表示以a为底的b与c相等。

3.对数的运算性质：

loga(b * c) = loga(b) + loga(c) ，即对数的乘法法则。

loga(b / c) = loga(b) - loga(c) ，即对数的除法法则。

loga(b ^ n) = n * loga(b) ，即对数的指数法则。

4.对数的换底公式：

loga(b) = logc(b) / logc(a) ，其中c为任意正数。

5.对数的积和商：

loga(b * c) = loga(b) + loga(c) ，即对数的乘法属性。

loga(b / c) = loga(b) - loga(c) ，即对数的除法属性。

6.对数的幂和根： loga(b ^ n) = n * loga(b) ，即对数的指数属性。

loga√b = 1/2 * loga(b) ，即对数的根属性。

7.对数的阶：

loga(b) = 1 / logb(a)，即一个数以其本身为底的对数，等于以该数为底的对数的倒数。

8.对数的换元公式：

logab = 1 / logba，即两个不同底数的对数可以相互转换。

9.对数的对数：

loga(loga(b)) = logb(b) = 1，即一个数以以其本身为底的对数的对数等于1

10.对数的特殊值：

log10(10) = 1，常用于计算数的数量级。

ln(e) = 1，其中ln为以自然常数e为底的对数。

通过掌握这些对数运算的公式，我们可以在计算中更加便捷地进行复杂的乘除运算，为数学问题的解决提供了有效的工具。