2008年高考试题——数学理(全国卷1)(有答案解析)
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2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅰ）
第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件AB，互斥，那么 球的表面积公式
()()()PABPAPB 24πSR
如果事件AB，相互独立，那么 其中R表示球的半径
()()()PABPAPB 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 34π3VR
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，
一、选择题
1．函数(1)yxxx的定义域为（ ）
A．|0xx≥ B．|1xx≥
C．|10xx≥ D．|01xx≤≤
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）
3．在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD（ ）
A．2133bc B．5233cb C．2133bc D．1233bc
4．设aR，且2()aii为正实数，则a（ ）
A．2 B．1 C．0 D．1
5．已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fxs
t O
A． s
t O s
t O s
t O
B． C． D．
年级： 班别： 姓名： 考场； 考号； （ ）
A．21xe B．2xe C．21xe D．22xe
7．设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（ ）
A．2 B．12 C．12 D．2
8．为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（ ）
A．向左平移5π12个长度单位 B．向右平移5π12个长度单位
C．向左平移5π6个长度单位 D．向右平移5π6个长度单位
9．设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（ ）
A．(10)(1)，， B．(1)(01)，，
C．(1)(1)，， D．(10)(01)，，
10．若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（ ）
A．221ab≤ B．221ab≥ C．22111ab≤ D．22111ab≥
11．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
A．13 B．23 C．33 D．23
12．如图，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．13．若xy，满足约束条件03003xyxyx，，，≥≥≤≤则2zxy的最大值为 ． D
B C A 14．已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e ．
16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且3coscos5aBbAc．
（Ⅰ）求tancotAB的值；
（Ⅱ）求tan()AB的最大值．
18．（本小题满分12分）
四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．
（Ⅰ）证明：ADCE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．
19．（本小题满分12分）
已知函数32()1fxxaxx，aR．
（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3C D E A
B 只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分12分）
设函数()lnfxxxx．数列na满足101a，1()nnafa．
（Ⅰ）证明：函数()fx在区间(01)，是增函数；
（Ⅱ）证明：11nnaa；
（Ⅲ）设1(1)ba，，整数11lnabkab≥．证明：1kab．
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）
答案与解析：
1.C. 由(1)xxx≥≥0,0得0xx≥1,或；
2.A.根据汽车加速行驶212sat，匀速行驶svt，减速行驶212sat结合函数图象可知.
3. A.2(),322ADABACADADABACc+b,1233ADc+b
4. D222()(21)2(1)0,1aiiaaiiaaia
5.C．243511014,104,3,10454013595aaaaadSad由得
6. B.2(1)2(1)2ln1,(1),()yxxyxxefxefxe
7. D.3212211,,11(1)2xxyyyxxx,2,2aa
8.A． π55cos2sin(2)sin2()3612yxxx，只需将函数sin2yx的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos23yx的图像.
9.D．由奇函数()fx可知()()2()0fxfxfxxx，而(1)0f，则(1)(1)0ff，当0x时，()0(1)fxf；当0x时，()0(1)fxf，又()fx在(0)，上为增函数，则奇函数()fx在(,0)上为增函数，01,10xx或.
10.D．由题意知直线1xyab与圆221xy有交点，则2222111111abab≤1,≥.
另解：设向量11(cos,sin),(,)abm=n=，由题意知cossin1ab
由≤mnmn可得22cossin11abab≤1
11.C．由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则13ABa，棱柱的高22221236()323AOaAOaaa（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB.
另解：设1,,ABACAA为空间向量的一组基底，1,,ABACAA的两两间的夹角为060
长度均为a，平面ABC的法向量为111133OAAAABAC,11ABABAA
2111126,,333OAABaOAAB
则1AB与底面ABC所成角的正弦值为111123OAABAOAB.
12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284AAA.
另解：按ABCD顺序种花，可分AC、同色与不同色有43(1322)84
13.答案：9．如图，作出可行域，
作出直线0:20lxy，将0l平移至过点A处 (3,3)A 20xy 0xy
30xy
O 3x y
x 时，函数2zxy有最大值9.
14. 答案：2.由抛物线21yax的焦点坐标为
1(0,1)4a为坐标原点得，14a，则2114yx
与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为14122
15.答案：38.设1ABBC，7cos18B则222252cos9ACABBCABBCB
53AC，582321,21,3328cacea.
16.答案：16.设2AB，作COABDE面，
OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角
3,cos1CHOHCHCHO，结合等边三角形ABC
与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则3ANEMCH
11(),22ANACABEMACAE,11()()22ANEMABACACAE12
故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM
另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)ABEC,
112112(,,),(,,)222222MN,
则3121321(,,),(,,),,32222222ANEMANEMANEM,
故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM.
17.解析：（Ⅰ）在ABC△中，由正弦定理及3coscos5aBbAc
可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB
即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；
（Ⅱ）由tancot4AB得tan4tan0AB z
y H o M
B D E C
N
A
x 16题图（2） H o M
B D E C
N
A
16题图（1）
