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复杂网络理论研究状况综述

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一２０１０年鹄９期■现代管理科学一管理创新

ＩＩＩＩＩＩＩｍ＿

复杂网络理论研究状况综述

●刘晓庆陈仕鸿

摘要：文章首先简要介绍了复杂网络理论；然后重点论述了小世界网络模型的研究背景、基础概念及模型的统计特

性；最后对于小世界网络在各个领域的研究进行了简单的概述．

关键词：复杂网络：小世界网络；无标度网络

一、复杂网络概述

１．复杂网络演化过程。用网络的观点描述客观世界起

源于１７３６年德同数学家欧拉Ｅｕｌａｒ使用图论解决哥尼斯堡

七桥问题。数学家和物理学家在考虑网络的时候．往往只关

心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置。边是

长还是短．足弯曲还是平直．有没有相交等等都是他们不在

意的。科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一

些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网．它看

起来像是格子体恤衫上的花纹；又如最近邻环网，它总是会

让你想列一群手牵着手、嗣着篝火跳圆圈舞的姑娘。也就是

说网络中任意两个节点之间的联系遵循既定的规则。用得

最多的规则网络是由Ｎ个节点组成的环状网络．网络中每

个节点只与它最近的Ｋ个节点连接。规则网络的特点就是：

每个节点的近邻数目都相同。但是对于大规模网络而言由

于其复杂性并不能完全用规则网络来表示。

到－ｆ２０世纪５０年代末．Ｅｒｄｏｓ＆Ｒｅｎｙｉ想出了一种

新的构造网络的方法．在这种方法下．两个节点之间连边

与否不再是确定的事情．而是根据一个概率决定。这是一

种完全随机的网络模型．数学家把这样生成的网络叫做随

机网络。随机网络ＥＲ模型的描述如下：给定网络节点总

数Ｎ，网络中任意两个节点以概率Ｐ连接．生成的网络全

体记为Ｇ（Ｎ．Ｐ）．构成一个概率空间。由于网络中连线数目

是一个随机变量Ｘ．取值可以从０到Ｎ（Ｎ一１），２。随机网络

在接下来的４０年里一直被很多科学家认为是描述真实系

统最适宜的网络。

规则网络和随机网络足两种极端的情况．随着信息技

术的飞速发展．科学家们发现对于大量真实的网络系统而

言。他们既不是规则网络。也不是随机网络。而是介于两者

之间，具有与前两者皆不同的统计特征的一种复杂网络。

１９９８年。Ｗａｔｔｓ＆Ｓｔｒｏｇａｔｚ提出了Ｗ—Ｓ网络模型．通过以

概率ｐ切断规则网络中原始的边并随机选择新的端点重新连接．构造出一种介于规则网络和随机网络之间的网

络——小世界网络（Ｓｍａｌｌ—ｗｏｄｄＮｅｔｗｏｒｋｓ）。显然，当ｐ＝０

时，相当于各边未动．还是规则网络；当ｐ＝ｌ时就成了’随机

网络。１９９９年．Ｂａｒａｂａｓｉ＆Ａｌｂｅｒｔ在Ｓｃｉｅｎｅｅ上发表文章指

出。许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律函数形式．由于幂律分布没有明显的可度量特征，该类网络又被

称为无标度网络。

２．复杂网络的统计性质。复杂网络的小同的统计性

质决定了不同的网络内部结构．而结构又决定了系统的功

能。所以．我们先了解一下复杂网络的相父统计性质。

（１）度及度分布。在网络中，节点的度足与目标节点相

连的边的条数。即与该节点相邻的节点的数目。朋友的个

数。而网络的度＜ｋ＞指网络中所有节点度的平均值。

度分布Ｐ（ｋ）指网络中一个任意选择的节点．它的度

恰好为ｋ的概率。即．不同度数的节点个数占节点总数的

比率。

在上面介绍的几种网络中，对于随机网络．当Ｎ非常

大时。随机网络的节点的度分布近似服从Ｐ０ｉｓｓｏｎ分布，表

达式如下：Ｐ（ｋ）。ｅ州粤些＝ｅ也掣

Ｋ：Ｋ：（２）平均路径长度Ｌ。在网络中，两点之间的距离为连

接两点的最短路径上所包含的边的数目。网络的平均路径

长度指网络中所有节点对的平均距离．它表明网络中节点

阃的分离程度．即网络有多小．反映了网络的全局特性。不

同的网络结构可赋予Ｌ不同的含义。如在疾病传播模型中

Ｌ可定义为疾病传播时间．交通网络模型中Ｌ为站点之间

的距离，科学家合作网络中Ｌ为交流频率。

随机网络的平均路径长度满足如下表达式：ｋ＊芯

（３）聚集系数Ｃ。在网络中，节点的聚集系数是指与该

节点相邻的所有节点之间连边的数目占这些相邻节点之

间最大可能连边数目的比例。而网络的聚集系数则是指网

络中所有节点聚集系数的平均值．它表明网络中节点的聚

集情况即网络的聚集性。也就是说同一个节点的两个相邻

节点仍然是相邻节点的概率有多大．它反映了网络的局部

特性。如在疾病传播模型中Ｃ可定义为人与人之间的接触

密度，交通网络模型中Ｌ可定义为站点之间的聚集度。科

学家合作网络中Ｌ定义为交流集中度等。

随机网络的聚集系数满足如下表达式：

一９９—万方数据一管理创新■现代管珲科学１２０１０年第９期

ｃ莳ｐ＝鲁

二、小世界网络概述

１．小世界网络珲论。

（１）小世界问题的提出。小世界理论最早提出来源于１９６７年．哈佛大学社会心理学家斯坦利．米尔格拉姆

（ＳｔａｎｌｅｙＭｉｌｇｒａｍ）作了这样的一个实验．他要求３００多人把他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成ｒ发信人的

链条．链上的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家

庭成员、商业同事或偶然认识的人．以便尽快到达目标人。

实验结果是．一共６０个链条最终到达目标人．链条中平均

步骤大约为６。人们把这个结果说成“六度分离”并广为传

播。现代版本则是．２００２年Ｗａｔｔｓ和哥伦比亚大学社会学系

合作用Ｅ—ｍａｉｌ进行了同样实验。而且实验规模也扩展到了

全球范围。１６６个国家６万人．发ｅｍａｉｌ给１８个目标人。有

科学家甚至从这个现象推演出一个可以评估的数学模型。

你也许不认识奥巴马．但是在优化的情况下．你只需要通过

六个人就可以结识他。“六度分隔”说明了社会中普遍存在

一些“弱链接”关系．但是却发挥着非常强大的作用。

这个玄妙理论表明“世界真小啊！”．“小世界”由此得

名。它引来ｎｒ数学家、物理学家和电脑科学家纷纷投入研

究。结果发现，世界上许多其他的网络也有极相似的结构。

比如，人际网络和ＷＷＷ的架构几乎完全一样．通过超文

本链接的网络、经济活动中的商业联系网络、甚至人类脑

神经元、以及细胞内的分子交互作用网络．有着完全相同

的组织结构。科学家们把这种现象称为小世界效应。

（２）小世界原理及网络模型。小世界效应的精确定义

还在讨论中，目前有一个较为合理的解释是：若网络中任

意两者间的平均距离Ｌ随网络节点数Ｎ的增加呈对数增

长，即Ｌ．ＩｎＮ，当网络中结点数增加很快时。Ｌ变化相对缓

慢，则称该网络具有小世界效应。

１９９８年Ｗａｔｔｓ＆Ｓｔｒｏｇａｔｚ提出了“小世界”网络模型

（Ｗ—Ｓ模型）。小世界网络既具有与规则网络类似的分簇特

性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度，刻画

了真实网络所有的大聚簇和短平均路径长度的特性。小世

界网络的基本模型是Ｗ—Ｓ模型，算法描述如下：

（１）给定规则网：假如我们有～个节点总数为Ｎ．每个

节点与它最近邻的节点Ｋ＝２ｋ相连线的一维有限规则网．

通常要求Ｎ＞＞Ｋ＞＞ｌ。

（２）改写旧连线：以概率Ｐ为规则网的每条旧连线重

新布线．方法是将该连线的一个端点随机地放到一个新位

置上，但需要排除自身到自身的连线和重复连线。

因为不允许重复连线，给定的规则网只有昱｝条连Ｚ线。重额布线时．依次对每条旧连线选定的某一边的端点

随机放置新位置，因此改写的连线数目为型当。由于随机Ｚ性的缘故，这些改写的连线可能会出现远距离的连线．它

们被称为捷径。显然，当ｐ－－０时，仍为给定的规则网，当Ｐ＝

１时，我们将得到一个特殊的随机网。随着Ｐ的增加。人们

一１００＿可以看到从规则网到随机网的变化。如图ｌ所示。

如图ｌ所示．在规则网络中，ｐ－－Ｏ，虽然具有很高的集团化系数Ｃ．但由于网络结点的增加会破坏原有的网络结

构并导致平均特征路径数的明显增加．不符合“Ｌ．ＩｎＮ”的

小世界效应条件；在随机网络中，ｐ＝ｌ，集团化系数Ｃ很小，

也不符合小世界网络的定义。因此，规则网络和随机网络都不是小世界网络。

在Ｗ—Ｓ模型中，ｐ很小，Ｗ．Ｓ模型中的集团化系数Ｃ

与规则网络中的值很相近：另一方面，Ｗａｔｔｓ＆Ｓｔｒｏｇａｔｚ通过数字模拟得出在模型中加入捷径使Ｌ下降很快．Ｌ与随

机网络中的平均距离可比．实现了大世界向小世界的渡越。

Ｗ—Ｓ模型由于改写连线．有可能出现孤立的集团，而且不便于理论分析。后来Ｎｔ：ｗｎｑａｎ和Ｗａｔｔｓ提出了一个改

进的模型。改进模型的算法描述如下：

（１）给定规则网：假如我们有一个节点总数为Ｎ，每个

节点与它最近邻的节点Ｋ＝２ｋ相连线的一维有限规则网．

通常要求Ｎ＞＞Ｋ＞＞ｌ：

（２）新增随机网：对规则网的Ｎ个节点。以概率Ｐ在任

意两个节点之间连线。但不改动规则网的原有连线，也不

允许自身到自身的连线和重复连线。

改进模型实际上是规则网和随机网的叠加．其中增加

的捷径总数仍近似为拦攀。对于足够小的Ｐ和很大的Ｎ，Ｚ改进模型与Ｗ—Ｓ模型基本等价。

小世界网络因为重新布线。虽然平均度仍然为Ｋ．但

每个节点的度数不再保持常数。对于Ｎｅｗｍａｎ＆Ｗ８ｔｔｓ改

进的模型，因为每个节点的度数至少为规则网的度数Ｋ．而增加的捷径是以概率拿连线，因此小世界网络的度分

州布形态与随机网的度分布形态相似．都是近似服从对称的

泊松分布。表达式如下：

ＰＰ（ｃ，＝（。兰）（鲁肿一等）～如譬

其中ｃ≥Ｋ。

（３）ＢＡ网络模型。Ｗ—Ｓ模型能够反映现实网络的小世

界特征．然而现实世界中的网络还被统计到极少节点拥有

大量的连接。而众多的节点仅具有少量连接的特征．这些

也无法用随机模型加以合理解释。１９９９年Ｂａｒａｂａｓｉ＆

Ａｌｂｅｒｔ从动态的、增长的观点研究了复杂网络具有幂律度

分布的形成机理，提出了无尺度模型（ＢＡ模型）。ＢＡ模型

的算法描述如下：

（１）初始：开始给定ｎ０个节点；

ＲｅｇｕｌａｒＳｍａｌｌ—ｗｏｒｌｄＲａｎｄｏｍ

０④桊

Ｐ＝０————————————————专Ｐ－ｌ

图１规则网、小世界网、随机网之间的演化

万方数据

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复杂网络及其在国内研究进展的综述

复杂网络及其在国内研究进展的综述

第17卷第4期2009年10月系统科学学报

JOURNALOFSYSTEMSSCIENCEVo1.17No.4oct，2009

复杂网络及其在国内研究进展的综述

刘建香

（华东理工大学商学院上海200237）

摘要：从复杂网络模型的演化入手，在简要介绍复杂网络统计特征的基础上，对国内关于复杂网络理论及其应用的研究现状从两方面进行综述：一是对国外复杂网络理论及应用研究的介绍，包括复杂网络理论研究进展的总体概括、复杂网络动力学行为以及基于复杂网络理论的应用研究介绍；二是国内根植于本土的复杂网络的研究，包括复杂网络的演化模型，复杂网络拓扑性质、动力学行为，以及复杂网络理论的应用研究等。并结合复杂网络的主要研究内容,对今后的研究重点进行了分析。关键词：复杂网络；演化；拓扑；动力学行为中图分类号：N941文献标识码：A文章编号：1005-6408（2009）04-0031-07

收稿日期：2009-01-05作者简介：刘建香（1974—），女，华东理工大学商学院讲师，研究方向：系统工程。E-mail：jxliu@

0引言

系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分

结合的具有特定功能的有机整体[1]。而网络是由节点

和连线所组成的。如果用节点表示系统的各个组成部

分即系统的元素，两节点之间的连线表示系统元素之

间的相互作用，那么网络就为研究系统提供了一种新

的描述方式[2、3]。复杂网络作为大量真实复杂系统的高

度抽象[4、5]，近年来成为国际学术界一个新兴的研究热

点，随着复杂网络逐渐引起国内学术界的关注，国内

已有学者开始这方面的研究，其中有学者对国外的研

究进展情况给出了有价值的文献综述，而方锦清[6]也

从局域小世界模型、含权网络与交通流驱动的机制、

混合择优模型、动力学行为的同步与控制、广义的同

步等方面对国内的研究进展进行了简要概括，但是到

目前为止还没有系统介绍国内关于复杂网络理论及

应用研究现状的综述文献。本文从复杂网络模型的演

复杂网络理论研究的现状与未来

复杂网络理论研究的现状与未来

复杂网络理论研究的现状与未来

网络已经成为了人们生活中不可或缺的一部分。无论是个人的社交网络还是全球的互联网，网络连接了我们的生活，也改变了我们的生活方式。随着互联网的不断发展，网络已经从简单的连接工具演变成了复杂的系统。因此，复杂网络理论的研究成为了当前的热点之一。本文将探讨复杂网络理论的现状和未来发展方向。

一、复杂网络理论的概念和基本特征

复杂网络是指由大量节点和边构成，具有复杂结构、多样性、非线性、动力学特征、自组织性、鲁棒性和鲜明的小世界效应、无标度特性等基本特征的网络。通常情况下，复杂网络分为三类：随机网络、小世界网络和无标度网络。随机网络是指所有节点的度数都差不多的网络，其中每个节点与其他节点随机连接。小世界网络是指带有高度聚集性的连通性网络，即绝大部分节点都连接在一起，少数节点之间存在着远距离的联系。无标度网络是指网络中有少部分节点拥有大量边缘连接的特性，即一小部分节点拥有着绝大部分的节点连接。

二、复杂网络理论的研究现状

复杂网络理论的研究已经成为了跨学科研究的重要领域，包括数学、物理、计算机科学、生物学等。近年来，随着人们对网络数据的深入研究，社交网络、生物网络、交通运输网络等越来越多的网络数据被发现，这些网络的存在和演变规律与我们生活中的许多重要问题相关。比如，在社交网络中，人们如何形成朋友圈，如何通过朋友圈传播信息；在生物网络中，多种生物体之间的相互作用方式及其对生物群落演化的影响等等。

在复杂网络理论的研究中，目前主要的研究方向包括网络结构的建模和分析、网络中的动态演化过程、网络的鲁棒性和动力学过程。在网络结构的建模和分析方面，研究者们主要从拓扑结构及其参数、形成机理、应用场景等方面展开探索。在动态演化过程的研究中，主要探索网络中的复杂动态行为以及动态行为的建模。在网络鲁棒性的研究中，主要探讨网络的鲁棒性如何改进和优化。最后，在网络的动力学过程的研究中，主要是探讨网络的动态演化行为如何对网络中的元素产生影响，以及如何对网络整体产生作用。

电力系统中复杂网络理论的研究与应用

电力系统中复杂网络理论的研究与应用

电力系统中复杂网络理论的研究与应用

随着电力系统规模的不断扩大和技术水平的提高，电力系统中出现了越来越多的复杂问题。为了有效地解决这些问题，研究者们开始将复杂网络理论应用到电力系统中，取得了一些显著的成果。本文将对电力系统中复杂网络理论的研究与应用进行探讨。

1. 复杂网络理论简介

复杂网络理论是近年来发展起来的一门新兴学科，它是研究非线性、非均匀和非稳态网络系统的一种重要工具。复杂网络理论主要关注网络中节点之间的关系以及这种关系如何影响网络的结构和功能。在电力系统中，节点可以表示发电机、变电站或负荷，而节点之间的关系可以表示电力线路的连接关系。

2. 复杂网络理论在电力系统状态估计中的应用

电力系统状态估计是电力系统运行和调度中的一项核心任务。传统的状态估计方法通常是基于线性化模型，这种方法对于电力系统中的非线性问题处理效果较差。而基于复杂网络理论的状态估计方法可以更好地考虑电力系统的非线性特性，提高状态估计的精度和可靠性。

3. 复杂网络理论在电力负荷预测中的应用

电力负荷预测是电力系统规划和运行中的一项重要任务。传统的负荷预测方法通常是基于统计模型，这种方法对于电力系统中存在的复杂关联关系和复杂动态特性的建模能力有限。而基于复杂网络理论的负荷预测方法可以更好地捕捉电力系统中的复杂关联关系和动态特性，提高负荷预测的准确性和可靠性。

4. 复杂网络理论在电力系统风险分析中的应用

电力系统风险分析是电力系统规划和运行中的一项重要内容，它可以评估电力系统面临的各种风险，并制定相应的应对措施。传统的风险分析方法通常是基于概率统计模型，这种方法在考虑电力系统中复杂的相互作用和动态特性时存在一定的局限性。而基于复杂网络理论的风险分析方法可以更好地考虑电力系统中节点之间的复杂关系和相互作用，提高风险分析的准确性和可靠性。

5. 复杂网络理论在电力系统优化调度中的应用

电力系统优化调度是电力系统规划和运行中的一项重要任务，它可以通过合理的调度策略来优化电力系统的运行效果和经济性。传统的优化调度方法通常是基于数学规划模型，这种方法在考虑电力系统中的非线性特性和复杂约束条件时存在一定的困难。而基于复杂网络理论的优化调度方法可以更好地考虑电力系统中节点之间的复杂关系和相互作用，提高优化调度的效果和经济性。

复杂网络的理论与应用研究

复杂网络的理论与应用研究

复杂网络的理论与应用研究

复杂网络是一种由大量节点和节点间的复杂连接所构成的网络结构。它可以用来研究和模拟各种现实世界中复杂的系统，如社交网络、生物网络和物理网络等。复杂网络的理论与应用研究得到了广泛关注和研究，本文将探讨复杂网络的理论基础以及其在不同领域中的应用。

复杂网络的研究基础是图论和复杂系统理论。图论提供了描述和分析节点与节点之间关系的数学工具，而复杂系统理论则研究了复杂系统的整体性质和行为。复杂网络的节点可以代表人、物体或其他抽象对象，节点之间的边表示它们之间的关系或相互作用。通过图论工具，可以分析网络的拓扑结构、节点的度分布以及网络的聚类性等重要特性。

研究者发现，复杂网络具有许多有趣的特性和规律。例如，复杂网络通常具有小世界特性，即虽然网络规模庞大，但通过少量的节点转发信息即可实现全局信息的传递。此外，复杂网络的节点度分布往往呈幂律分布，少数核心节点具有极高的度数，而大多数节点的度数相对较低。这种幂律度分布反映了网络中的不均衡性和节点的重要性差异。

利用复杂网络的理论基础，可以应用于多个领域。其中，网络科学是复杂网络的主要应用之一。通过对社交网络、互联网和生物网络等进行建模和分析，可以揭示隐藏在其中的模式和规律。例如，社交网络研究可以帮助我们理解信息在社会中的传播和影响力扩散。通过分析用户之间的连接关系和信息传播路径，我们可以预测和干预疾病传播、谣言的传播以及产品的营销策略。

此外，复杂网络还在交通运输、供应链管理和电力系统等领域中得到应用。在交通网络中，研究者可以通过构建交通网络模型，分析交通流量的分布和路网的拓扑结构，从而提高交通流量的效率和稳定性。在供应链管理中，复杂网络可以帮助优化供应链各个环节之间的连接和信息流动，提高供应链的响应能力和效益。在电力系统中，复杂网络可以用来建模和分析电网的脆弱性，帮助设计更健壮的电力网络架构和应对突发事件。

除了以上应用领域，复杂网络的研究还涉及神经科学、经济学和计算机科学等各个学科。在神经科学中，复杂网络可以帮助解析大脑的神经元连接和信息传递机制，进一步理解认知和行为的基本原理。在经济学中，复杂网络可以用来研究网络商业模式、金融市场和供需关系等经济现象。在计算机科学中，复杂网络可以应用于网络安全、搜索算法和分布式计算等领域。