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《金融工程》作业一、二、三

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1 作业一

1、一只股票现在价格是100元。有连续两个时间步，每个步长6个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为100元的看涨期权的价值。

2、假设市场上股票价格S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报价欧式看涨期权的价格是3元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？

3、股票当前的价格是100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是3元和7元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票）。试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？

作业解答：

1、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=( e0.08×0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里p是风险中性概率。期权的价值是：

(0. 70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。

2、本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。17以10%投资一年，成为17 e0.1==18.79。到期后如果股票价格高于18，套利者以18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利18.79-18=0.79元。若股票价格低于18元（比如17元），套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是18.79-17=1.79元。

3、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。

第一，若投资成本低于96元（比如是93元），则合成股票的成本只有97元（7-3+93），相对于股票投资少了3元。套利者以97元买入合成股票，以100元卖空标的股票，获得无风险收益3元。

第二，若投资成本高于96元（比如是98元），则合成股票的成本是102元，高于股票投资成本2元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来2元的无风险利润。 2 作业二：

1. A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：

固定利率 浮动利率

A公司 12.0％ LIBOR+0.1%

B公司 13.4％ LIBOR+0.6%

A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

2. X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下：

日元 美元

X公司 5.0％ 9.6%

Y公司 6.5％ 10.0%

请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。

3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6个月的LIBOR利率交换12％的年利率（每半年计一次复利）。市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10％（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6％。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？

作业答案：

1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是0.5。如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4%－0.5%=0.9%。因为银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A公司和B公司将分别以LIBOR－0.3%和13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。

12.3% 12.4%

12% A 金融中介 B LIBOR+0.6% 3 LIBOR LIBOR

2. X公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款上的利差为1.5%，在美元贷款上的利差为0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为1.5%－0.4%=1.1%。因为银行要求收取0.5%的中介费，这样X公司和Y公司将分别获得0.3%的合作收益。互换后X公司实际上以9.6%－0.3%=9.3%的利率借入美元，而Y实际上以6.5%－0.3%=6.2%借入日元。合适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担。

日元5% 日元6.2%

日元5% A 金融中介 B 美元10%

美元9.3% 美元10%

3. 根据题目提供的条件可知，LIBOR的收益率曲线的期限结构是平的，都是10%（半年计一次复利）。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为

0.33330.10.83330.16106103.33ee百万美元

互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为

0.33330.11004.8101.36e百万美元

因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33101.361.97百万美元，对支付固定利率的一方的价值为－1.97百万美元。

加元5% 加元6.25%

加元5% A 金融中介 B 美元LIBOR+1%

美元LIBOR+0.25% 美元LIBOR+1%

本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反，在互换终止时与箭头指示相同。金融中介在此期间承担了外汇风险，但可以用外汇远期合约抵补。

作业三：

1．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：第二天收盘时的预期价格，第二天收盘时股价的标准差，在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。

2．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效 4 期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。

3．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？

习题答案：

1、 由于),(~ttSS

在本题中，S＝50，＝0.16,=0.30,t=1/365=0.00274.因此，

S/50(0.160.00274,0.30.002740.5)

=(0.0004,0.0157)

S(0.022,0.785)

因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.960.785至50.022+1.960.785,即48.48元至51.56元之间。

2、D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65

221()0.10.1667()0.10.25[1]65(1)1.07[1]65(1)1.60rTtrttXeeXee

可见，

221()2()1[1][1]rTtrttDXeDXe

显然，该美式期权是不应提早执行的。

红利的现值为：

0.250.10.500.11.9265ee

该期权可以用欧式期权定价公式定价：

S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32 5 2121ln(68.0735/65)(0.10.32/2)0.66670.320.66670.320.66670.3013ddd

N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184

因此，看涨期权价格为：

0.10.666768.07350.7131650.618410.94e

3、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：

42Δ-3=38Δ

得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：

28.5e-0.08×0.08333=28.31元。

这意味着：

-c+40Δ=28.31

c=40×0.75-28.31=1.69元。

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《金融工程》作业一二三

《金融工程》作业一二三

作业一

1、 一只股票现在价格是100元。有连续两个时间步，每个步长6个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为100元的看涨期权的价值。

2、 假设市场上股票价格S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报价欧式看涨期权的价格是3元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？

3、 股票当前的价格是100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是3元和7元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票）。试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？

作业解答：

1、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=( e0.08×0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里p是风险中性概率。期权的价值是：

(0. 70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。

2、本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。17以10%投资一年，成为17 e0.1==18.79。到期后如果股票价格高于18，套利者以18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利18.79-18=0.79元。若股票价格低于18元（比如17元），套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是18.79-17=1.79元。

3、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。

第一，若投资成本低于96元（比如是93元），则合成股票的成本只有97元（7-3+93），相对于股票投资少了3元。套利者以97元买入合成股票，以100元卖空标的股票，获得无风险收益3元。

金融工程作业题答案

金融工程作业题答案

1 2020.3.3

1.已知年单利率 4%，问经过多少时间它对应的年复利率可以达到 2.5%？

解：设经过t年后年复利率达到2.5%

年4.36%5.21%41ttt

2.为了在第 4 年底收益 2000 元，第 10 年底收益 5000 元，当前选择这样的投资：

前两年每年初投入 2000 元，第 3 年初再投入一部分。若季换算名利率为 6%，试计算第三年初投入的金额。

解：

(1) 求解年复利率%14.614%614ii

(2) 设第三年初投入x元，则

元7.50450002000)1(2000)1(2000822xvvxii

3.已知 1 个货币单位的本金以实利率i 累积到第 3 年底的终值再加上第 3 年底的

1 个货币单位的资本以实贴现率i 贴现的现值之和为 2.0096.计算i 。

解：

04.00096.2)1()1(33iii

4.现有不允许提前支取的银行定期存款，其利率（保持 6 年不变）如表 1 所示。

某投资者准备存入 1000 元，存期 6 年。计算最大收益的定期储蓄组合的年平均年利率。

表 1 某定期存款的利率

存期/年 1 2 3 4

季结算名利率/% 5 6 7 8 2

解：由表可知，任何存期为1，2,3年两两的组合都不会大于（3,3）组合，只有（2,4）组合可能比（3,3）组合的年平均收益大。

分别计算（3,3）和（2,4）组合的年平均收益：

（3,3）组合：%19.7)1()471(1664ii

（2,4）组合：%54.7)1()481()461(264424ii

所以最大收益的定期储蓄组合为（2,4），其年平均利率为7.54%

2020.3.10

1.假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元，无风险连续复利年利率为

郑振龙《金融工程》_第2-5章课后作业_习题及答案

郑振龙《金融工程》_第2-5章课后作业_习题及答案

2022年3月23日；第1页共6页 第二章课后作业：【1】

1.假如英镑与美元的即期汇率是1英镑=1.6650美元，6个月期远期汇率是1英镑=1.6600美元，6个月期美元与英镑的无风险年利率分别是6%和8%，问是否存在无风险套利机会？如存在，如何套利？

解：11121.66001.6650100%0.60%8%6%2%161.6650美元年升水率 则美元远期升水还不够，处于被低估状态，可以套利，基本过程为：

首先借入美元，在期初兑换成英镑到英国投资6个月；同时在期初卖出一份6个月期的英镑期货合约；在投资期满后将英镑计价的本息和按原定远期汇率兑换回美元，偿还借款本息和后剩余的即为无风险套利。

2.一只股票现在价格是40元，该股票1个月后价格将是42元或者38元。假如无风险利率是8%，用风险中性定价法计算执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少？

解：设价格上升到42元的概率为P，则下降到38元的概率为1P，根据风险中性定价法有

18%1242381400.5669PPeP

设该期权价值为f，则有 18%124239011.69fPPe元

第三章课后作业：

1.假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。（0.0251.025e）

.该股票3个月期远期价格为

解：310%1220201.02520.5rTtFSee元。

2.假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。

该指数期货价格为

解： 110%3%31000010236.08rqTtFSee点。

3.某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：①该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？②3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？（0.010.0250.030.99,0.975,1.03eee）

金融工程学第1次答案

金融工程学第1次答案

1 《金融工程》作业

1、通过一学期的学习，请你谈谈对《金融工程学》的认识。（提示：主要从“金融工程学”含义、产生的原因、学科发展现状、作用等方面进行论证）

答：金融工程学侧重于衍生金融产品的定价和实际运用，它最关心的是如何利用创新金融工具，来更有效地分配和再分配个体所面临的各种经济风险，以优化它们的风险/收益率。较为具体而言，金融工程是在风险中性的假设条件下，将某种金融证券资产的期望收益率拟合于无风险收益率；从而是趋向于一种风险厌恶型的投资型。

金融工程创造性解决企业的金融问题，创造性体现在工具的创新和制度的创新，核心是风险管理，它进行风险管理的特征：高效性、准确性、成本的低迷性，核心内容是流动性、安全性、完善性

金融工程在实际运用方面，甚至已超出了金融和财务的领域。一些工业企业已把金融工程的技术方法应用于企业管理、市场营销、商品定价、专利权价值估算、员工福利政策的制定、商务契约的谈判等等方面，取得了意想不到的成功。而且经常是只用一项简单的金融工程技术就可以解决原本相当复杂的问题。实际上，只要是牵涉到收益和风险权衡抉择和分配转移问题，金融工程就有用武之地。也就是说，金融工作的理论和实务，可拓展到更为广泛的领域中去。

另外，在某种意义上，金融工程师们在扮演着三种角色：交易方案制定者(市场参与者)、新观念创造者(创造者) 和经济法律打擦边球者。

2、分析比较“两得宝”与“期权宝”异同并谈谈2002年11月央行为什么先批准国内商业银行推出“两得宝”业务而暂不允许从事“期权宝”业务？

答：两得宝：两得宝简单来说，就是将到期提取本金的货币选择权交付给国银行，即可获得银行支付的期权费，从而在一定期限内，可以让您利息收入和期权费收入双双得益的一种投资组合。在投资两得宝时，首先要选定存款货币，同时还须选择另一种客户有可能获得的挂钩货币。需要提醒的是，在存款货币和挂钩货币中有一种必须是美元，银行会根据客户所选择的那组货币即时报出一个协定汇率，期权到期之日，银行会按协议约定将当时的参考汇率同协定汇率比较，决定以存款货币还是挂钩货币支付客户的存款本金、税后利息和期权费，以确定您的收益回报。一般说来，在国际汇市风平浪静，汇率波动不大时，两得宝可获得较高收益，特别适合在预期汇价走高时进行投资。即使挂钩货币汇率升跌的幅度与客户的预测不符，由于有期权费收入作补偿，也有可能减低客户因汇率升跌超过预期引发的损失。