高中物理 双星、多星系统问题

双星、多星系统问题

宇宙中不存在孤立的天体，常见的情况是两个或多个天体组成一个相对独立的系统。高中物理中常常

处理一些相对简单的天体系统，其中最简单的是双星系统，相对复杂的有三星、四星系统等。

一、稳定双星系统

1、基本模型

如图2-14-1所示，质量分别为m1、m2的两个天体在万有引力的相互作用下，绕着二者连线上的某个

点（公共圆心O）以相同的角速度做圆周运动，构成一个稳定的双星系统。在这个系统中，两天体的运动

存在如下三个基本关系：

（1）向心力大小相同：2212n1nLmmGFF；

（2）速度大小相同：21；

（3）轨道半径之和等于两天体的间距：Lrr21。

2、基本结论

（1）轨道半径关系：2211rmrm

由牛顿第二定律，有

天体1：12

1221rm

LmGm

，天体2：22

2221rm

LmGm

；

两式联立，有2211rmrm，即两天体的轨道半径与各自的质量成反比，质量大的天体轨道半径小，质

量小的天体轨道半径大；联立Lrr21，可得Lmmmr

2121，Lmmmr

2112。

（2

）系统的周期：)(π2

213

mmGLT

把Lmmmr

2121代入12

1221rm

LmmG，可

得321)(

LmmG

，则双星系统的周期为

)(π2π2

213

mmGLT



；即两天体间距越小，总质量越大，系统的周期越小，角速度越大。

（3）线速度关系：2211vmvm

，且

LmmGLvv)(

2121

在2211rmrm式两边乘以共同的角速度ω，得2211rmrm，也就是2211vmvm，即两天体的线速

度大小与各自的质量成反比，质量大的天体线速度小，质量小的天体线速度大。

联

立321)(

LmmG

,2211rvrv，，Lrr

21，可得两天体的线速度大小之和为：

LmmGLvvv)(

2121。

（5）动能关系：2k21k1EmEm，且

LmGmv

mmmmEE

221

212

21212k1k



由2211vmvm,有2

222

11)(

21)(

21

vmvm，即2k21k1EmEm，也就是两天体的动能与各自的质量成

反比，质量大的天体动能小，质量小的天体动能大。

两天体的动能之和为m

1m2r1r2o

m1m2LmGmv

mmmmv

mmmm

mmmvm

mmmE

mmEEEE

221)(

21

21

212

21212

2121

2212

11

2211k

211k2k1kk





【例1】(多选)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线

上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的()

A．轨道半径约为卡戎的7倍B．向心加速度大小约为卡戎的1

7

C．线速度大小约为卡戎的1

7D．动能大小约为卡戎的7倍

【解析】对冥王星M与卡戎m组成的双星系统，有Mr1＝mr2，得r1∶r2＝m∶M＝1∶7，故A错误；

根据an=ω2r可知，两者的向心加速度比为an1∶an2＝r1∶r2＝1∶7，故B正确；根据线速度v＝ωr得，两

者的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝1∶7，故C正确；由2k1kmEME，得7:1::

2k1kMmEE，

故D错误。

故本题选BC。

【例2】(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科

学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动

12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可

以估算出这一时刻两颗中子星()

A.质量之积B.质量之和

C.速率之和D.各自的自转角速度

【解析】两中子星构成了双星系统，由题意可知，合并前这个双星系统的周期为T＝1

12s，间距为

L=400km

，则由周期公式

)(π2

213

mmGLT

可以估算出两中子星的质量之和)(21mm，故A错误，B

正确；由公式LmmGvvv)(

2121可以估算出两中子星的速率之和，故C正确；由题中的条件不能

求解两中子星各自的自转角速度，故D错误。

故本题选BC。

【例3】地球和月球可以看作一个双星系统，设质量分别为M、m，它们绕两球球心连线上的某一点

O转动，据科学家研究发现，亿万年来地球把部分自转能量通过地月相互作用而转移给了月球，使地球自

转变慢了，地月之间的距离变大了，由此可以判断()

A．月球绕O点转动的角速度减小B．月球绕O点转动的角速度增大

C．地球球心到O点的距离减小D．月球绕O点转动的动能增加

【解析】地月系统的角速度321)(

LmmG

随两者间距L的增大而减小，故A正确、B错误；地

球到O点的距离LmMmr

1随L的增大而增大，故C错误；地月系统的总动能LGMmEE

22k1k随L

的增大而减小，则月球绕O点转动的动能mMM

LGMmE

22k也减小，故D错误。

故本题选A。

3、双星系统与环绕中心天体系统关系

若21mm，则有

0

1r，Lr2

，3

21

rGm



，

13

2π2

GmrT

,

21210

rGmvv，,0

1kE,LmGmE

2212k。

这就是一个质量特别大的中心天体M附近的质量远小于M的环绕天体m的运动学公式：

3rGM



，GMrT3

π2

，

rGMv，

rGMmE

2k。

即，在21mm时，双星系统蜕变为环绕-中心天体系统。地月系统就是这样的双星系统：

月地mm81，因此可以将地月系统近似的处理成地球不动，月球绕地球做匀速圆周运动。我们也可以据此理解，在太阳

系，太阳质量远大于所有其他行星的质量，因此可以把行星的运动看做是环绕静止不动的太阳的运动。类

似的，所有人造卫星在地球附近的运动，也可以看做是环绕静止不动的地球的运动。

二、稳定多星系统

1、基本模型

三个、四个甚至更多个天体在彼此的万有引力相互作用下，绕着公共圆心以相同的角速度做圆周运动，

构成一个稳定的多星系统。在这样的系统中，各个天体的运动存在如下两个基本关系：

（1）相互作用的万有引力的合力为每个天体提供向心力；

（2）绕公共圆心的角速度相等。

2、公共圆心位置的确定

稳定多星系统的计算的关键在于公共圆心位置的确定，通常我们采用如下两种方法来确定公共圆心的

位置：

（1）方法一：万有引力合力的交点

即任选一个天体1为研究对象，计算出所有其他天体对天体1的万有引力的合力F1的方向，F1的方

向应指向公共圆心O；再选另一个天体2为研究对象，计算出所有其他天体对天体2的万有引力的合力F2

的方向，F2的方向也应指向公共圆心O；则多星系统的公共圆心O就是F1、F2的交点。

（2）方法二：系统质心的位置

下面用反证法对此作一简单证明。

如果系统的公共圆心O不在系统质心C处，则把系统质量集中于质心C处，质心C绕公共圆心O的

向心力谁来提供？我们已经将系统质量集中于质心C处了，因此只可能是系统外的其他物体来提供，这与

假定多星系统只是在彼此的万有引力相互作用下运动的前提不符。

因此，稳定多星系统的公共圆心就是该系统的质心。

【例4】(2015·安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，

三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角

形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(如图2-14-2所示为A、B、C三颗星体质量

不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边

长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA；

(2)B星体所受合力大小FB；

(3)C星体的轨道半径RC；

(4)三星体做圆周运动的周期T。

[解析]（1）A受B、C的引力大小相等，222

BACAmFFGa，合力2

2233

ABAGmFF

a①；

（2）B受A的引力2

22

ABBAmFFG

a，B受C的引力2

2CBmFG

a，三角形定则结合余弦定理得，

222

272cos120o

BABCBABCBGmFFFFF

a②

（3）如图2-14-3所示，FA和FB的交点即为系统的公共圆心O。

以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，由

CBAB

FF

BDAB

2可知，

这个平行四边形与以FAB、FCB为邻边构成的平行四边形相似，即FB

的方向沿BE方向，故O点就是平行四边形ABDE的两条对角线的

交点，即系统的公共圆心O在AD的中点处。

由几何关系，有22213()()

222CaaR

解得7

4CRa④；