离散作业
命题逻辑：
1.命题符号化：
1)小张不仅能吃苦，而且很能干。
2)吃一堑长一智。
3)除非小明努力学习，否则他就不能取得好成绩。
2.当P、Q的值为0，R、S的值为1时求下列公式的值。
1)（P∨(Q∧R)）→（R∨S）
2)（P↔R)∧(¬Q∨S）
3.设A、B、C为任意的命题公式，若A∨C=B∨C，则A=B一定为真吗？试说明原因。
4.列出命题公式(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))的真值表
5.证明：(P↔Q)∧(Q↔R)⇒P↔R
6.求解((P∨Q)∧¬(¬ P∧(¬ Q ∨¬ R) ) )∨(¬ P ∧¬ Q ) ∨(¬ P ∧¬R ) 的公式类型？
（永真、永假、可满足？）
7.试将P→Q化成与之等值的并仅含联结词↓的公式.
8.试将(P→Q)→R化成与之等值的并仅含{¬，∧}的公式.
9.试用推理方式求解(P∧Q)∨(¬P∧R)的主合取范式，并根据其主合取范式写出其对应的主析取范式。
10.列出公式(P∧(Q↔R))∨⌝(P∨Q∨R)的真值表，根据真值表写出其对应的主合取范式和主析取范式。
11.用演绎法证明
前提：P→(Q→S) ，R→P，Q
结论:：R→S
12.运用CP规则证明
前提：P→(Q→S) ，R→P，Q
结论:：R→S
13.用归结法证明下面推理：
前提：P→(Q→S) ，R→P，Q
结论:：R→S
14.在形式系统L中证明：⌝B→(B→A).
谓词逻辑：
1.谓词符号化：
1)所有的鱼都生活在水中。
2)没有大于2的偶素数。
3)并不是每个人都聪明。
2.设个体域D={a,b}，将一阶公式(∀x)(F(x)→(∃y)G(y))中的量词消除
3.设个体域为整数集，令P(x,y)：x+y=1；Q(x,y)：xy>0，试求解下列命题的真假。
1)(∀x) (∃y)P(x,y).
2)(∃x) (∀y)Q(x,y).
4.求前束范式：
1)(∃x)F(x)→(∀x)R(x).
2)((∀x)P(x)∨(∃y)Q(y))→(∀x)R(x).
5.证明：
前提：(∀x)(A(x) →B(x)∧C(x))，(∃x)(A(x)∧D(x))
结论：(∃x)(C(x)∧D(x))
6.所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。
写出上面推理的证明。(用谓词逻辑，写出用谓词表示的前提、结论和证明过程)
集合论：
1.A⊆B，A∈B能否同时成立，说明原因
2.求集合A＝{a，{a}}的幂集
3.证明：若B⊆C，则P(B)⊆ P(C)
4.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？
如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？
5.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.
6.列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出A*A中的恒等关系和全域关系.
7.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{|0≤x-y＜3} A={0，1，2，3，4}
8.已知S={a,b}. R⊆ ={〈x,y〉|x,y∈A∧x⊆y∧A为集合族ρ(S)}.试写出关系R⊆.
9.已知：A={a,b,c}, R={〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,c〉}该关系具有什么性质？
(自反，反自反，对称，反对称，传递性)
10.设A={a,b,c},R={〈a,b〉,〈a,c〉} 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).
11.设A是含有4个元素的集合，试求：
(1)在A上可以定义多少种对称关系？
(2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？
(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？
12.设集合A={0，1，2，3，4}. R={|x+y=4,x,y∈A} ，S={|y-x=1,x,y∈A}.
试求：R◦S，R◦R，(R◦S)◦R，R◦(S◦R).
13.证明：R是A上的传递关系⇔R◦R⊆R.
14.A={1,2,3,4,5},R={|x,y∈A∧x-y可被2整除}，试问R是否是A上的等价关系？如果是，求出R的各等价类.
15.A={1,2,3,4,5},A上的划分∏={{1,2},{3,4},{5}}，给出由∏所诱导出的A上的等价关系R的集合表达式.
16.试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)
17.设f：N→N×N，f(n)=,则：
(1)说明f是否为单射和满射，并说明理由.
(2) f的反函数是否存在？并说明理由.
(3)求ranf.
18.已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。
设X是无限集合，集合Y≠φ，证明：X与Y的笛卡儿积X×Y是无限集合。
代数系统：
1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.
2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：
2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？
3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.
1)列出B的元素.
