等边三角形的性质与判定

等边三角形和等腰三角形的性质

知识梳理

等腰三角形：

（－）等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

（二）等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 。）

推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。

推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形：

定义：三条边都相等的三角形

性质：三边相等，三角相等且都为 60 度，加等腰三角形性质。

判定：三条边相等的三角形，三个角都为 60 度的三角形，有一个角是 60 度的等腰三角形。

等边三角形的判定方法：

（ 1）有 边相等的三角形叫做等边三角形；

（ 2）有 角相等的三角形叫做等边三角形；

（ 3）有 个内角都等于 600 的三角形叫做等边三角形；

（ 4）有 个内角等于 600 的 三角形叫做等边三角形。

典型例题

例 1. 如图，已知在等边三角形 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延长线上一点，且 CE＝ CD， DM ⊥ BC ，垂足为

M 。求证： M 是 BE 的中点。

A

D

1 B M C E

1

例 2. 如图，已知： ABC 中， AB AC ， D 是 BC 上一点，且 AD DB， DC CA ，求 BAC 的度数。

A

B C D

例 3. 已知：如图， ABC 中， AB AC ，CD AB 于 D。求证： BAC 2 DCB 。 A

1 2

D

3 B C E

例 4. 如图， ABC 中， AB AC， A 100 ， BD 平分 ABC 。求证： AD BD BC 。

A

D

B C

2

例 5. 如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ ABC 和△ CDE ?都是等边三角形． BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H，

求证：（ 1）△ BCE ≌△ ACD ． （ 2） CF=CH （ 3） FH//BD

A

E

F H

B C D

线段的垂直平分线与角平分线专题学习

【知识总结】

1、线段的垂直平分线的性质定理：________________________

F _______________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵ ______________________________

∴ ______________________________.

A C B

2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：_________________

________________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵ ______________________________

∴ ______________________________.

3、线段中垂线的尺规作图法：

3

A B

4、三角心的外心：

三角形三边的中垂线交于一点，它到 __________________距离相等，这个点就叫做三角形的外心 .

5、角分线的性质定理： __________________________________

_______________________________________________________. C

如右图，几何语言表述为：

∵ ______________________________ D

∴ ______________________________.

A B

6、角平分线性质定理的逆定理： ___________________________

________________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵ ______________________________

∴ ______________________________.

7、角平分线的尺规作图法：

A

8、三角心的内心：

三角形三边的角平分线交于一点，它到 ____________ 距离相等，这个点就叫做三角形的内心 .

【例题解析】

例 1：如图，在△ ABC 中， AC=27 ，DE 为 AB 的中垂线，△ BCE 的周长等于 50，求 BC

A

的长 .

D E

B C

例 2：如图， A 、 B 是两个仓库，直线 CD 是河，要在河上建码头，使码头到两个仓库的距离相等，问仓库应建在什么地方？ (保留作图痕迹即可 )

A B

D C

4

例 3：如图，求作点 P，使 P 到 C、 D 的距离相等，同时到角两边的距离也相等 .

C D

A

例 4：如图，已知∠ ACB、∠ ADB 都是直角，且 AC＝ AD， P 是 AB 上任意一点．求证： CP＝ DP．

例 5：如图，△ ABC 的外角平分线∠ DBC 、∠ ECB 的平 分线相交于点 F.求

证：点 F 在∠ A 的平分线上 . E

C

F

A B D

例 6：如图， AD 是△ ABC 的角平分线， EF 是 AD 的中垂线，求证： (1) ∠ EAD=∠ EDA；

A

(2)DF ∥ AC；

(3) ∠EAC=∠ B.

F

B D C E

5

例 7：如图， A 、 B、 C 三点在同一直线上，分别以 AB 、 BC 为边在直线的同旁作等边三角形 ABD 、BCE ，连结 AE

交 BD 于 M，连结 CD 交 BE 于 N，连结 MN ，求证： BMN 是等边三角形。

E

D

5

M 3 N

4 1 2

A B C

例 8：如图，已知在△ ABC 中， AB＝ AC，∠ A＝ 120°， AB 的垂直平分线 MN

分别交 BC、 AB 于点 M、N．

求证： CM＝ 2BM．

题组一：

1、 如图， AP平分∠ BAC，且 PE⊥ AB， PF⊥ AC， PE= 3 ，则 PF=_______.

6

第1题 第3题 第4题

2、 在△ ABC中，∠ C=90o， BD是∠ ABC的平分线 . 已知， AC=32，且 AD： DC=5： 3，则点 D 到 AB 的距离为 _______.

3、如图，在 Rt △ABC中，∠ C=90o，AC=BC，AD是∠ CAB的角平分线， DE⊥ AB. 若 AB=8，则△ DEB的周长是

__________.

4、如图，在△ ABC中， OB平分∠ ABC，OC平分∠ ABC，MN∥ BC且过点 O.若 AB=8，AC=7，则△ AMN的周长是 _________.

5、如图，在△ ABC中， AB=AC， AD是中线，且 DE⊥ AB， DF⊥

AC，求证： BE=DF.(要求 证明过程中要用到 角平分线性质定理 )

6、如图，已知： AD⊥ OB于 D， BD⊥OA于 C，AD、 BC相交于 E，且 EA=EB.求证： EO为∠ AOB的平分线 .

题组二：

1、如图， 0P 是∠ AOB的角平分线， PC⊥ AO，PD⊥ OB，则 PD与 PC的大小关系为 ( )

A． PC>PD B ．PC=PD C ． PC

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