求函数解析式的方法和例题

高考求函数解析式方法及例题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 函数专题之解析式问题

求函数解析式的方法

把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法；

（3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

若已知)(xf的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(xf的表达式。

【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=，f(x-1)=

解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7

【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=

解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7

∴xa3+b(2a+a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1

【评注：】

待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

待定系数法()fx22(2)fx(2)fx设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。xy()fx例题： 3 解法一、1222xxa2248baca21()212fxxx1c又1,2,12abc解得2()(0)fxaxbxca设(2)(2)fxfx由40ab得

学必求其心得，业必贵于专精

赋值法求函数解析式

赋值法是一种很常用的方法，对于涉及任意量词的题目，要特别注意是否可以通过赋特殊的值，求出函数的解析式.要注意如何选择所赋的值，从而成功得到解析式。

先看例题:

例:已知函数f（x）满足f(0)=1,对任意实数x，y有21fxyfxyxy求函数f(x)的解析式。

解：式子中有两个变量,尽量通过赋值让y消失,从而找到解析式

方法一：

021,xyffxxxx令得

21fxxx

方法二：

001,xfyfyy令得

211()1fyyyyy

再把-y看作x，

得21fxxx

提示：函数的对应法则与使用什么变量无关

整理： 学必求其心得，业必贵于专精

赋值法求函数解析式

若函数的性质是用条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式。

抓住任意性，对自变量合理的取特殊值，分析已知与结论之间的差异进行赋值，从而易于求出函数的表达式，这是求抽象函数解析式的常用方法.

再看一个题目，增加印象

练：已知函数f(x）对任意实数x，y有222323yxxyfxfxyyy，求函数f(x）的解析式

解：如果令y=1，那么f（xy)就会变为f(x），所以

1y令得2212133fxfxxx

整理为22152,fxx

22152fxfxx

要求解析式还差f(1)的值，通过分析题目条件，再一次赋值：

11218,18xfff令得

所以函数解析式为2514fxxx

变式：已知函数f（x)对任意实数x，y有222332yxxfxyfyyxy，求函数f（x)的解析式

解:

20203yfxfxx令得

0020,xff令得00f 学必求其心得，业必贵于专精

求函数解析式的五种方法及其例子

在数学领域中，求解函数解析式是一项重要的任务。本文将介绍五种常用的方法来求解函数解析式，并通过例子来展示其应用。

1. 数列法：该方法适用于已知函数的输出序列，并希望找到一个函数解析式来描述它。通过观察函数输出值之间的规律，可以尝试找到相应的数学模式。例如，若某函数的输出序列为1，4，9，16，25，...，我们可以观察到这是个平方数序列，因此函数解析式为f(x) = x^2。

2. 经验法：该方法适用于已知函数的输入和输出值，但不清楚具体的数学关系。通过绘制出函数的散点图，可以尝试通过经验找到适合的函数类型。例如，若某函数的输入和输出值如下表所示：

| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

|-------|-------|-------|-------|-------|-------|

| y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |

我们可以观察到y值递增2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x + 1。

3. 代数法：该方法适用于通过已知函数的性质和结构来推导函数解析式。例如，若需要求解一个线性函数，已知它通过点(1, 3)和(2, 5)，可以使用直线的斜率公式来得到函数解析式。根据两点之间的斜率公式，我们可以得到函数解析式f(x) = 2x

+ 1。

4. 差分法：该方法适用于已知函数的差分序列，即函数输出值之间的差异。通过观察差分序列之间的规律，可以尝试找到函数的解析式。例如，若某函数的输出值差分序列为1, 3, 5, 7，我们可以观察到差分序列的差值为2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x。 5. 推理法：该方法适用于已知函数的一些特殊性质或限制条件。通过寻找函数性质和限制条件的推理，可以得到函数解析式。例如，若某函数是一个偶函数且通过原点(0, 0)，我们知道偶函数具有对称性，并且f(0) = 0。因此，猜测函数解析式为f(x) = ax^2。

[函数]

1 | 5

求函数的解析式

（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知

区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式．

例1 已知2

211

()fxx

xx

，求()fx的解析式．

解析：22

2111

()()2fxxx

xxx

，用新的x替换掉括号内的1

x

x

得2

()2fxx

，(,2)(2,)x．

答案：2

()2fxx

，(,2)(2,)x

例2 已知(1)2fxxx

，求()fx的解析式．

解析：2

(1)2(1)1fxxxx

，用新的x替换掉括号内的1x

得2

()1fxx

，[1,)x．

答案：2

()1fxx

，[1,)x

（2）换元法：已知(())()fhxgx求()fx时，往往可设()hxt，从中解出x，带入()gx

进行换元，求出()ft的解析式，再将t

替换为x即可，注意新元t

的取值范围．

例3 已知2

(1)lgfx

x

，求()fx的解析式．

解析：令2

1t

x

，则2

1x

t

且1t

带入原式得2

()lg(1)

1ftt

t



2

()lg(1)

1fxx

x

．

答案：2

()lg(1)

1fxx

x



例4 已知(1)2fxxx

，求()fx

的解析式．

解析：令1xt

，则2

(1)xt

且1t

带入原式得222

()(1)2(1)1(1)fttttt

[函数]

2 | 5

2

()1(1)fxxx

．

答案：2

()1(1)fxxx

（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数

解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．

例5 已知()fx是一次函数，且满足(())41ffxx，求()fx的解析式．

解析：设()(0)fxkxbk，带入原式得

2

(())()()41ffxfkxbkkxbbkxkbbx