北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷及答案

北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试

数学试卷

本试卷满分120分，考试时间100分钟

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（－l，1，－2）的距离相等，则点N的坐标为（ ）

A. （0，0，21） B. （0，0，52）

C. （0，0，21） D. （0，0，21）

2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）

A. BD与CF成60°角 B. BD与EF成60°角

C. AB与CD成60°角 D. AB与EF成60°角

3. 若椭圆22ax+22by=1（a>b>0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（ ）

A. 42x+22y=1 B. 22x+12y=1

C. 42x+32y=1 D. 82x+42y=1

4. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）

A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种

5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）

A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）

A. 68种 B. 70种 C. 240种 D. 280种

7. 在（xx12）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ）

A. 10 B. －10 C. 5 D. －5

8. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{na}，使得

次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第nnan,1,1记1aSn+a2+…an（n∈N+），则24S的概率为（ ）

A. 161 B. 81 C. 41 D. 21

9. 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为31，则ABAD（ ）

A. 21 B. 23 C. 32 D. 35

10. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是（ ）

A. 454 B. 157 C. 154 D. 158

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为__________。（用数字作答）

12. 若抛物线pxy22的焦点与双曲线1422yx的右顶点重合，则p=_________。

13. 设P是椭圆92522yx=1上的一点，且021PFPF，则△PF1F2的面积为_________。

14. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小是__________。 15. 在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒。当你到达路口时，不是红灯的概率为_________。

16. 若2019)21(xa0+ a1x+…+a2019x2019（x∈R），则21a+222a+…+201920192a的值为_______。

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. （本小题8分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列。

18. （本小题10分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力。某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果。例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人。

视觉

听觉 视觉记忆能力

偏低 中等 偏高 超常

听觉

记忆

能力 偏低 0 7 5

1

中等 1 8 3 b

偏高 2 a 0

1

超常 0 2 1 1

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为52。

（1）试确定a，b的值；

（2）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为X，求随机变量X的分布列。

19.（本小题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=3，EF=1，BC=13，且M是BD的中点。

（1）求证：EM∥平面ADF；

（2）求二面角D－AF－B的余弦值；

（3）在线段ED上是否存在一点P，使得BP∥平面ADF?若存在，求出EP的长度；若不存在，请说明理由。

20. （本小题10分）己知椭圆W：22ax+22by=1（a>b>0），直线l：y=2x与x轴，y轴的交点分别是椭圆W的焦点与顶点。

（1）求椭圆W的方程；

（2）如图，设直线m：y=kx（k≠0）与椭圆W交于P，Q两点，过点P（0x，0y）作PC⊥轴，垂足为点C，直线QC交椭圆W于另一点R。

①求△PCQ面积的最大值；

②求出∠QPR的大小。

参考答案

1. D 2. C 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. C 9. D 10. B 11. 20 12. 4 13. 9

14. 32 15. 53 16. 1

17. （2011高考北京理（改编）17）

（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，

所以平均数为435410988；

方差为1611])43510()4359()4358()4358[(4122222s。

（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21。

事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，

所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=162=81。

同理可得P（Y=18）=41；P（Y=19）=41；

P（Y=20）=41；P（Y=21）=81。

所以随机变量Y的分布列为

Y 17 18 19 20

21

P

81 41 41 41 81

18. （1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人。记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，

则P（A）=524010a，解得a=6，从而b=40－（32+a）=40－38=2。

（2）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C，

其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，

从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为kkCC31624，

所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P（X=k）=34031624CCCkk（k=0，1，2，3）。X的可能取值为0，1，2，3。

因为P（X=0）=24714340316024CCC，P（X=1）=24772340216124CCC， P（X=2）=1235552340116224CCC，P（X=3）=1235253340016324CCC，

所以X的分布列为

X 0 1 2 3

P

24714 24772 1235552 1235253

19. 解：（1）取AD的中点N，连接MN，NF。

在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MN∥AB，MN=21AB，

又因为EF∥AB，EF=21AB，

所以MN∥EF且MN=EF，

所以四边形MNFE为平行四边形，

所以EM∥FN，

又因为FN平面ADF，EM平面ADF，

故EM∥平面ADF。

解法二：因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，

建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz。

由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C（3，－2，0），

E（0，0，3），F（0，1，3），M（23，0，0）。

（1）EM=（23，0，3），AD=（3，－2，0），AF=（0，－1，3）。

设平面ADF的一个法向量是),,(zyxn 由,0,0AFnADn得.03,023zyyx

令3y，则n=（2，3，3）。

又因为EM·n=（23，0，3）·（2，3，3）=3+0－3=0，

所以EM⊥n，又EM平面ADF，

所以EM∥平面ADF。

（2）由（1）可知平面ADF的一个法向量是n=（2，3，3）

因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD，

又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF，

故BD=（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量，

所以nBD,cos>=21||||nBDnBD，又二面角D－AF－B为锐角，

故二面角D－AF－B的余弦值为21。

（3）假设在线段ED上存在一点P，使得BP与平面ADF平行。

不妨设EP=EP=（3，0，－3）（0≤≤1），

则BP=（3，0，3－3）。

所以BP·n=6+0+33－3=0，

由题意得=3<0，

所以在线段ED上不存在点P，使得BP与平面ADF平行。

20. （1）直线l：2xy与x轴，y轴的交点分别（2，0），（0，2），

可知c=2，2b，

椭圆W的方程12422yx。

（2）①设P（0x，0y），则Q（0x，0y），C（0x，0），可知S||00yxPQC，

有已知可知1242020yx，根据重要不等式得2||00yx，