三视图

三视图教案

教学目的：

知识技能：熟练掌握三视图的概念，会看几何体的三视图

过程方法：通过观察几何体的三视图，进一步掌握三视图的概念

情感态度价值观:培养学生的观察能力，提高空间想象力，从而激发学习数学的兴趣

学情分析

投影与视图 日常生活中，中心投影、平行投影的事例随处可见，因此数学中与投影相关的概念都与现实生活紧密相关．平行投影是三视图的学习基础．投影与视图涉及立体图形与平面图形之间的转化，需要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体．因此，本章按“投影──三视图──课题学习（制作立体模型）”的顺序展开． “投影”的内容按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论了正投影问题．教科书先从学生身边的实例出发，引出投影的概念、分类（平行投影、中心投影）；接着，通过“思考”，引导学生比较和认识中心投影与平行投影的投影线的区别，以及平行投影中“斜投影”与“正投影”的区别，进而给出正投影的概念；再通过“探究”，引导学生借助生活经验，讨论正投影中基本而重要的线段、正方形的投影问题： 线段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系； 正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系； 在此基础上，归纳出正投影的基本性质．最后，以正方体的正投影为例，举例说明这些性质在画立体图形的正投影时的应用． 概括本节内容，其编写思路是：从生活实例中抽象出投影的概念──投影的分类（以投影线的位置关系为分类标准）──特殊的投影（正投影的概念和性质）．考虑到与初中生认知水平相适应的问题，在正投影性质的讨论中，一是关注了简单但基本而重要的问题，即线段、正方形的正投影（其实就是线、面的正投影问题的代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置关系讨论它们之间的形状、大小关系（要素之间的相互关系就是性质）． “三视图”一节包括三视图的概念、画立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物）以及利用三视图知识解决度量问题．这里的立体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合．本节是“投影”知识的应用，教科书先借助生活实例介绍视图的概念，这里“从某一方向看”相当于“某一方向的平行投影线”，因此看到的平面图形是物体在这个方向光线下的正投影．接着，教科书重点介绍了三视图，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定，然后通过5个例题，引导学生画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，判断简单物体的视图，根据视图描述简单几何体等． 教科书安排的“课题学习 制作立体模型”，其目的是让学生“通过由三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系．”实际上，从三维目标看，制作立体模型的过程，不仅是巩固已学的相关知识，而且也是培养空间观念、感受数学与生活的联系、体会数学的应用价值的过程． 关于“视图”，学生在前面两个学段都已经接触过．第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”，第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”．《课程标准（2013年版）》提出的要求具有层次性，体现了从整体到局部的研究过程，也与学生的认知特点相符合，是一个循序渐进、螺旋上升、不断精细化的过程．因此，本章的重点，一是投影的概念、正投影的性质及其研究方法，二是简单几何体三视图的画法，以及简单几何体（实物）的视图与几何体（实物）的相互转化，其核心是发展学生的空间。

1.下列命题正确的是（ ）

A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以是棱柱

2.在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是

（写出所有正确结论的编号）．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

3．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的

正三角形，则其侧面积是( )．

A．4 B . 43 C. 4(13) D . 8

4.一个几何体的三视图如上（右）图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（ ）A．33 B．2 C．3 D．4

5.下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

6.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AAABC面,正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（

）A. 4

B. 32 C. 22 D. 3

7.一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的正方体的个数最多有 （ ）

)(A12个 )(B13个 )(C14个 )(D18个

正(主)视左(侧)视俯视①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 2第3题图

主视图 左视图 8.画出下列几何体的三视图，并标出各边的长度

1.正四棱锥（底面边长为22，侧棱长为4）

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三视图

作者：吴文尧

来源：《数学金刊·高中版》2011年第12期

纵观近几年的各地高考数学试卷，有关三视图的考题有以下两类：其一是从直观图到三视图，即由几何体的直观图画出或选择其三视图；其二是从三视图回归到直观图，即所谓的三视图的逆向问题．

１． 三视图的重点

①画出简单组合体的三视图．

②识别三视图所表示的空间几何体．

２． 三视图的难点

①三视图的逆向问题．

②当三视图表示的空间几何体不唯一时几何体的确定．

对于三视图中涉及的逆向问题，笔者通过对近年各地高考数学试题的研究发现，这种问题通常有定型式、寄居式、组合式等三种呈现形式，下面分类介绍解决这些问题的常用解题对策．

1． 定型式——先底面，再顶点

对于题设中已经给出原立体图的类型或容易看出原立体图的类型的问题，一般可先由俯视图确定其底面的形状（通常情况下与其全等），再由主视图、侧视图及俯视图确定其他顶点的位置． 从而画出原几何体的直观图．

2． 寄居式——先外壳，再加工 龙源期刊网

若能在三视图中发现原几何体是由一个我们熟悉的几何体进行切割加工而成的，即原几何体“寄居”在某一给定的外壳（母体）内，则可先由各个视图的外形确定其外壳，再由各个视图内的有关线段确定其加工的过程，从而确定原几何体的形状．

3． 组合式——先猜想，后验证

对于组合体问题，最好能根据三视图的性质，猜想组成组合体各部分的几何体的形状，然后加以验证，从而得到原几何体的直观图，使问题得到解决．

一个棱锥的三视图如图1，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（ ）

A． 48+12

B． 48+24

每日一题[280] 三视图还原——七字真言闯天下

2015年10月26日 大雨瓢泼

 数海拾贝

解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强

的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同

学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视

图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，

要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面

的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大

一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视

图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫

天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧．

2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）：

如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三

视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）

A．

B．

C．

D．

正确答案是 B．5

1

62√

6

42√

4

解　由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：

第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所

在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．

第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．

第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．

最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为

原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知

哪条棱是最长棱，求出即可．

4

大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核

心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那

种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以

七字真言扫天下了．

注一 此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合．