考向3.5 二次函数的图象和性质
例1、（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 2
12
13x 583x 8x ≤⎧=⎨-+≤≤⎩（＜）（）（）的图象如图所示，若直线y ＝kx ﹣3与该图象有公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____．
解：当直线经过点（1，12）时，12=k -3，解得k =15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x -5）2+8=kx -3， 整理得x 2-（10+k ）x +36=0，
∴10+k =±12，解得k =2或k =-22（舍去）， ∴k 的最大值是15，最小值是2， ∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17．
1、二次函数
抛物线位置与a ，b ，c 的关系：
（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨
⎧⇔<⇔>开口向下
开口向上00a a
（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：
c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。对称轴在y 轴右侧；
1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k 的最大值和最小值是解题的关键；
2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内容；
例 2、（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴a ＜0，c ＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣
2b
a
=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c =0，故②正确；
根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣， 根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点， ∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④．
理解并熟练运用二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键。 例 3、（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点 A （0，53
）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y ＝kx 2
3
+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22
＝10时，求k 的值；
（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值
43
m
，求m 的值．
解：（1）把50,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入()2
23y a x =-+中，
5
43,3
a ∴+=
1
,3
a ∴=-
∴ 抛物线的解析式为：()2
12 3.3
y x =-
-+ （2）联立一次函数与抛物线的解析式得： ()2
23
1233y kx y x ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=--+⎪⎩
()2
1223,33
x kx ∴-
-+=+ 整理得：()2
4330,x k x ---=
121243,3,x x k x x ∴+=-=-
()2
22
121212210,x x x x x x +=+-=
()()()22
432343120,k k ∴--⨯-=-+>
∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3， ∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10， 解得：122
2,,3k k ==
∴122
2,,3
k k ==
（3）∵函数的对称轴为直线x=2， 当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，43
m =-1
3（m-2）2+3， 解得m=±5，∴m=-5，
当m≥2时，当x=2时，y 有最大值， ∴
43
m
=3， ∴m=9
4
，
综上所述，m 的值为-5或9
4
．
1、利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x 轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键；
2、考前让学生进行适度训练此类题型对突破重点题是十分必要的。
一、单选题 1．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．y ＝﹣2x B ．y ＝﹣2x +3
C ．y 2
x
=
（x ＜0） D ．y ＝﹣x 2+4x +3（x ＜2）
2．（2021·上海·中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A ．开口方向不变 B ．对称轴不变
C ．y 随x 的变化情况不变
D ．与y 轴的交点
不变
3．（2021·江苏连云港·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出
