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专题四 数 列第1讲 数列的概念、等差数列与等比数列[记牢方能用活]一、由递推公式求数列通项的常用方法 1．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(n ≥2，n ∈N *)求解． 2．形如a n ＋1＝a n ·f (n )，常用累乘法． 利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)求解．3．形如a n ＋1＝ba n ＋d (b ≠1)，常用构造等比数列法．对a n ＋1＝ba n ＋d 变形得a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ＝d b －1，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它可求出a n .4．形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r ，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp . 若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用等差数列的通项公式求1a n，进而求a n ；若p ≠r ，则采用3的方法来求1a n，进而求a n .5．形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ＋q ＝1)，常用构造等比数列法．将a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n 变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )(n ≥2，n ∈N *)，然后用累加法求a n .二、等差等比的基本运算 1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)． 2．求和公式等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .三、等差数列的常用性质1．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．2．若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .3.若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 4．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)仍是等差数列． 5．若{a n }是等差数列，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列．四、与等差数列各项的和有关的性质1．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.2．S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．3．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.4．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.五、等比数列的性质1．若数列{a n }是等比数列，则有：(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }({b n }是等比数列)，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 等也是等比数列．(2)数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k，…仍是等比数列．(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.2．若S n是等比数列{a n}的前n项和，则有：(1)当{a n}的公比q≠－1(或q＝－1且m为奇数)时，数列S m，S2m－S m，S3m －S2m，…是等比数列．(2)当项数是偶数时，S偶＝S奇·q；当项数是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.调研1数列的有关概念及运算a．S n与a n的关系1．(2018·全国Ⅰ，14,5分)记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n＋1，则S6＝________.答案：－63解析：∵S n＝2a n＋1，当n≥2时，S n－1＝2a n－1＋1，∴a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{a n}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴S n＝a1(1－q n)1－q＝－1(1－2n)1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.2．(2019·上海，8,5分)已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n＋a n＝2，则S5＝________.答案：3116解析：当n＝1时，S1＋a1＝2，∴a1＝1.当n≥2时，由S n＋a n＝2，得S n－1＋a n－1＝2，两式相减，得a n＝12a n－1(n≥2)，∴{a n}是以1为首项，12为公比的等比数列，∴S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.小提示：S n 与a n 共存于同一代数式，要么转化为a n ，a n －1的关系，要么转化为S n ，S n －1的关系，a n ＝S n －S n －1是转化的关键．b ．由递推公式到通项公式3．(2014·课标Ⅱ，17,12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.(1)解：由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)证明：由(1)知，1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.小提示：1．结论中的形式，指明变形的方向，递推公式变形为a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，从而构造等比数列．2．放缩后求和，应用3n －1≥2·3n －1进行放缩转化． [对点提升]1．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 017的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7答案：B 解析：由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，{a n }中的整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 017＝4×504＋1，故b 2 017的末位数字为2.故选B.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2)，则a n ＝________.答案：n ＋23n 解析：∵a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ≥2)，∴3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)， 即3n a n －3n －1a n －1＝1(n ≥2)． 又∵a 1＝1，∴31·a 1＝3，∴数列{3n a n }是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴3n a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， ∴a n ＝n ＋23n (n ∈N *)．调研2 等差、等比数列的基本运算 a ．等比数列的基本运算1．(2019·全国Ⅰ，9,5分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案：A 解析：设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.2.(2018·北京，4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f 答案：D 解析：由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，则第八个单音的频率为(122)7f ＝1227f .故选D. 小提示：第1题中解数列选择题，可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法．本题若用逐项检验法去验证S 4和a 5，就会发现无法排除错误选项，因此，还是要从通用方法入手．b ．等差数列的判定与求和问题3．(2016·天津，18,13分)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．证明：小提示：等差数列的判定方法1．定义法：a n＋1－a n＝d.2．等差中项法：2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．3．前n项和公式法：S n＝An2＋Bn.4．通项公式法：a n＝pn＋q.c．等差、等比数列中S n的最值与计算4．(2019·福建龙岩新罗区模拟)已知等差数列{a n}的公差为－2，前n项和为S n，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若S n≤S m对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝()A．7 B．6C．5 D．4答案：B 解析：∵等差数列{a n }的公差为－2，又a 3，a 4，a 5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，∴a 23＝a 24＋a 25－2a 4·a 5cos 120°， 即(a 4＋2)2＝a 24＋(a 4－2)2＋2a 4(a 4－2)×12， 化为a 24－5a 4＝0，又a 4≠0，解得a 4＝5， ∴a 3＝7，a 5＝3，a 6＝1，a 7＝－1.∴S n ≤S m 对任意的n ∈N *恒成立，∴实数m ＝6.故选B.5．(2019·湖南湘潭三模)已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，则当T n 取最大值时，n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C 解析：等比数列{a n }中，由a 1＝－24，a 4＝－89， 可得q 3＝a 4a 1＝127，解得q ＝13，小提示：求等差数列{a n }的前n 项和最值的方法如下：d．构造法求通项6．(2019·吉林长白山二模)在数列{a n}中，设f(n)＝a n，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1.(1)求b n＝a n2n－1，并证明数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.解：(1)由已知，得a n＋1＝2a n＋2n，得b n＋1＝a n＋12n＝2a n＋2n2n＝a n2n－1＋1＝b n＋1，所以b n＋1－b n＝1，又a1＝1，所以b1＝1，所以b n＝n.所以{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，b n＝a n2n－1＝n，所以a n＝n·2n－1.所以S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2，得2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以S n ＝(n －1)·2n ＋1. 题目拆解：高考大题综合性较强，求解时，把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决，可化难为易，得步骤分.学会了快速拆解题目，就能在解大题时得高分、得满分.(1)构造b n ＋1－b n ＝常数，证明{b n }为等差数列； (2)①求b n 的通项公式，求a n 的通项公式； ②求数列a n 的前n 项和S n . [对点提升]1．(2019·原创冲刺卷一)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 3＝6，则S 2n ＋1＝( )A ．(2n ＋1)(n ＋1)B ．(2n ＋1)(n －1)C ．(2n －1)(n ＋1)D ．(2n ＋1)(n ＋2)答案：A 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋d ＝3,3a 1＋3d ＝6，所以a 1＝d ＝1，则a n ＝1＋(n －1)×1＝n . 因此S 2n ＋1＝(2n ＋1)(1＋2n ＋1)2＝(2n ＋1)(n ＋1)．2．(2019·安徽巢湖模拟)已知数阵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21a 22 a 23a 31a 32a 33中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若a 22＝5，则该数阵中九个数的和为( )A ．18B ．27C ．45D ．54答案：C 解析：由题意得，这九个数的和S 9＝a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33.根据等差数列的性质，得a 11＋a 12＋a 13＝3a 12，a 21＋a 22＋a 23＝3a 22，a 31＋a 32＋a 33＝3a 32，又因为各列也构成等差数列，则a 12＋a 22＋a 32＝3a 22，所以S 9＝9a 22＝45.故选C.调研3 等差、等比数列性质的综合应用 a ．等比数列公比的讨论1．(2018·浙江，10,4分)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则( )A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4 答案：B 解析：构造不等式ln x ≤x －1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1， 所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0. 又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1， 所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾． 因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0， 所以a 1>a 3，a 2<a 4. 故选B. 小提示：1．由题中的选项可知要判断0<q 2<1，还是q 2>1.2．由条件可知要利用不等式ln x ≤x －1(x >0)，得a 4<0，进而得q <0. 3．直接求q 的取值范围较难，转化为判断q ＝－1和q <－1时，等式a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)左、右两边的正负，进而得出矛盾．从而得－1<q <0.4．注意a 1>0，而a 2<0，利用－1<q <0得结论． b ．等差数列前n 项和的特殊性质2．(2019·广东珠海3月联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则数列{a n }( )A ．既非等差数列，又非等比数列B ．既是等差数列，又是等比数列C ．仅为等差数列D ．仅为等比数列答案：B 解析：根据题意，数列{a n }中，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则S n S n －1＝nn －1(n ≥2)，则S n ＝S nS n －1×S n －1S n －2×…×S 2S 1×S 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n (n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －(n －1)＝1，当n ＝1时，a 1＝1符合，故a n ＝1(n ∈N *)，则数列{a n }为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列，故选B.3．(2019·广东汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．4或5答案：B 解析：由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5，故选B. 小提示：与等差数列各项的和有关的性质1．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.2．S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．3．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.4．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[对点提升]1．(2019·北京东城区模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＝a n ＋1＋2，定义数列{b n }，使得b n ＝1a n，n ∈N *，若4<a <6，则数列{b n }的最大项为( )A ．b 2B ．b 3C ．b 4D ．b 5答案：B 解析：∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＝a n ＋1＋2，∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公差d ＝a n ＋1－a n ＝－2的等差数列，∴a n ＝a －2(n －1)．∵4<a <6，∴{a n }的最后一个正项是a 3＝a －4，∴b n ＝1a －2(n －1)中，当n ＝3时，数列{b n }取得最大项b 3，故选B.2．(2019·贵州遵义模拟)在数1和2之间插入n 个正数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记为A n ，令a n ＝log 2A n ，n ∈N *，则T n ＝tan a 2·tan a 4＋tan a 4·tan a 6＋…＋tan a 2n ·tan a 2n ＋2＝________.答案：tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n ，n ∈N * 解析：设在数1和∴a n ＝log 2A n ＝n ＋22. 又tan 1＝tan[(n ＋1)－n ]＝tan (n ＋1)－tan n1＋tan (n ＋1)tan n，∴tan(n ＋1)tan n ＝tan (n ＋1)－tan ntan 1－1，∴tan a 2n ·tan a 2n ＋2＝tan(n ＋1)tan(n ＋2)＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1，n ∈N *，∴T n ＝tan a 2·tan a 4＋tan a 4·tan a 6＋…＋tan a 2n ·tan a 2n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 3－tan 2tan 1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 4－tan 3tan 1－1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5－tan 4tan 1－1＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1＝tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n ，n ∈N *，故答案为tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n ，n ∈N *.提醒 完成专题训练(十一)第2讲 数列求和及数列的综合应用[记牢方能用活]一、求数列的前n 项和的方法 1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式 a ．当q ＝1时，S n ＝na 1；b ．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．裂项相消把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和．4．错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 5．倒序相加把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n 项和公式的推导方法． 6．并项求和将某些具有某种特殊性质的项放在一起先求和，再求整体的和． 二、常见的拆项公式1．若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则1a n ·a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1； 2.1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； 3.1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；4．log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (a >0且a ≠1)．三、常见数列的前n 项和 1．1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； 2．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； 3．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； 4．12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；5．13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 四、放缩为等比数列求和的两种类型1a n <1a n －b n ＝1a n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ≤1a n －1，a －b ≥1，a ，b >0； 1a n －b ≤1a n －1(a －b )≤1a n －1，a －b ≥1，a ，b >0. 小积累放缩为裂项相消法求和的常见类型1n 2>1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n 2<1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，n ≥2； 1n 2<1n 2－14＝44n 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； 1(2n －1)2>1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； 1(2n －1)2<1(2n －1)(2n －3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，n ≥2； 1n ＝2n ＋n >2n ＋1＋n ＝2(n ＋1－n )； 1n ＝2n ＋n <2n －1＋n ＝2(n －n －1)； 1q n －1<q n ＋1(q n －1)(q n ＋1－1)＝q q －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －1－1q n ＋1－1， q >1；1n 3<1(n －2)(n －1)n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n －2)(n －1)－1(n －1)n ， n ≥3；1n 3<1(n －1)n (n ＋1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n －1)n －1n (n ＋1)，n ≥2.调研1 数列求和问题 a ．简单代数式裂项求和问题1．(2019·湖北十堰调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝0.(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝9a n(a n ＋3)(a n ＋1＋3)，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S 2n ＝0，∴S 2n ＝S n －1S n ＋1(n ≥2)．又由S 1＝a 1＝1≠0，S 2＝a 1＋a 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0， ∴数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －Sn －1＝3×4n －2，又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). (2)当n ≥2时，b n ＝9a n(a n ＋3)(a n ＋1＋3)＝ 9×3×4n －2(3×4n －2＋3)(3×4n －1＋3) ＝3×4n －2(4n －2＋1)(4n －1＋1)， 又知b 1＝38，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧38(n ＝1)，3×4n －2(4n －2＋1)(4n －1＋1)(n ≥2)，则T 1＝b 1＝38.当n ≥2时，b n ＝3×4n －2(4n －2＋1)(4n －1＋1)＝14n －2＋1－14n －1＋1， 则T n ＝38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142－2＋1－142－1＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＋1－14n －1＋1＝78－14n －1＋1，又当n ＝1时，T 1＝38符合上式， ∴T n ＝78－14n －1＋1(n ∈N *)．题目拆解：高考大题综合性较强，求解时，把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决，可化难为易，得步骤分.学会了快速拆解题目，就能在解大题时得高分、得满分.本题可以拆分成以下几个小题： (1)①求数列{S n }的通项公式； ②求数列{a n }的通项公式． (2)裂项求数列{b n }的前n 项和． b ．复杂代数式的裂项求和问题2．(2018·天津，18,13分)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n(n∈N*)，{b n}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*)．①求T n；(1)解：设等比数列{a n}的公比为q.由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故a n＝2n－1.设等差数列{b n}的公差为d，由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故b n＝n.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，数列{b n}的通项公式为b n＝n.小提示：数列问题求解常用方法为应用方程思想，把条件转化为基本量的方程求解，如第(2)①问．求和现象必须观察代数式的结构特点，再选择合适的方法．c ．错位相减求和3．(2019·河南百校联盟模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n <3. (1)解：设数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，7a 1＋21d ＝49，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)证明：b n ＝a n 2n ＝2n －12n ， 所以T n ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ， 12T n ＝14＋38＋516＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减，得12T n ＝12＋12＋14＋18＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，故T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n <3.小提示：错位相减求和常有以下几点易错之处1．作差的代数式写不对，尤其后面两项的变化规律． 2．作差后求和过程中，等比求和易数不对项数． 3．最后细致的计算，合并同类项时一定认真． [对点提升](2019·广东广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意，可得S nn ＝1＋2(n －1)， 化简得S n ＝2n 2－n .∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1对上式也成立． ∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 两式相减，得a n b n ＝(4n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2)，又a 1b 1＝12满足上式，∴a n b n＝(4n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)．∴b n ＝2n .∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.调研2 数列求和中的不等式问题 a ．前n 项和与不等式恒成立问题1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋2n ，b n ＝a n a n ＋1cos[(n ＋1)π]，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：(－∞，－5] 解析：当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，当n ＝1时上式也成立，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．∴b n ＝a n a n ＋1cos[(n ＋1)π]＝(2n ＋1)(2n ＋3)·cos[(n ＋1)π]，当n 为奇数时，cos[(n ＋1)π]＝1； 当n 为偶数时，cos[(n ＋1)π]＝－1.因此，当n 为奇数时，T n ＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…＋(2n ＋1)(2n ＋3)＝3×5＋4×(7＋11＋…＋2n ＋1)＝15＋4×(2n ＋8)(n －1)4＝2n 2＋6n ＋7.∵T n ≥tn 2， ∴2n 2＋6n ＋7≥tn 2，∴t ≤7n 2＋6n ＋2＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋372＋57，∴t <2.当n 为偶数时，T n ＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…－(2n ＋1)(2n ＋3) ＝－4×(5＋9＋13＋…＋2n ＋1)＝－2n 2－6n . ∵T n ≥tn 2，∴－2n 2－6n ≥tn 2，∴t ≤－2－6n ，∴t ≤－5. 综上可得，t ≤－5. 小提示：先求出a n ，进而得b n ，分析b n 的结构，对n 分奇数和偶数求T n ，进而利用分离参数法转化为求最值问题．b ．数列与函数单调性的综合问题2．(2018·江苏，20,16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1,2,3,4均成立，求d 的取值范围；(2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2 ]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．(1)解：由条件知，a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1. 因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1,2,3,4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得 73≤d ≤52.因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，52.(2)证明：由条件知，a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1.若存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立， 即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2,3，…，m ＋1)， 即当n ＝2,3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1.因为q ∈(1，m2 ]，则1＜q n －1≤q m ≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －1n －1b 1＞0，对n ＝2,3，…，m ＋1均成立．因此，取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1的最大值和数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1的最小值(n ＝2,3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n (n －1)＝n (q n －q n －1)－q n ＋2n (n －1)，当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －q n －1)－q n ＋2＞0. 因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1单调递增， 故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1的最大值为q m －2m . ②设f (x )＝2x (1－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0， 所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1.当2≤n ≤m 时，q nn qn －1n －1＝q (n －1)n ≤21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＜1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1单调递减， 故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1的最小值为q mm .因此，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 1(q m －2)m ，b 1q m m .小提示：本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的概念和相关性质． 1．第(1)问主要考查绝对值不等式．2．第(2)问要求d 的取值范围，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立，首先把d 分离出来，变成q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1，难点在于讨论q n －1－2n －1b 1的最大值和q n －1n －1b 1的最小值．对于数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1，可以通过作差讨论其单调性，而对于数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1，要通过作商讨论单调性，∴q nnq n －1n －1＝q (n －1)n ＝q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ，当2≤n ≤m 时，1<q n ≤2.∴q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ≤21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ，可以构造函数f (x )＝2x (1－x )，通过讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性去证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n <1，得到数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1的单调性，解出最小值．两个数列，一个作差得到单调性，一个作商得到单调性，都是根据数列本身结构而得，方法自然合理，最后构造函数判断21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 与1的大小是难点，平时多积累，多思考，也是可以得到的．[对点提升](2019·天津滨海新区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ，通项a n 满足S na n －1＝qq －1(q 是常数，q >0且q ≠1)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当q ＝14时，证明：S n <13；(3)设函数f (x )＝log q x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，是否存在正整数m ，使1b 1＋1b 2＋…＋1b n ≥m 3对n ∈N *都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)解：由题意S n ＝q q －1(a n －1)，得S 1＝a 1＝q q －1(a 1－1)，所以a 1＝q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝q q －1(a n －a n －1)，所以a na n －1＝q ，故数列{a n }是首项为q ，公比为q 的等比数列， 所以a n ＝q ·q n －1＝q n .(2)证明：由(1)知，当q ＝14时，a n ＝14n ， 所以S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <13. (3)解：因为f (x )＝log q x ，所以b n ＝log q a 1＋log q a 2＋…＋log q a n ＝log q (a 1a 2…a n ) ＝log q (q ·q 2·…·q n )＝log q q 1＋2＋…＋n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以1b n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 欲使2n n ＋1≥m 3，即m ≤6n n ＋1＝6－6n ＋1对n ∈N *都成立，需有m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫6－6n ＋1min ，而当n ∈N *时，6－6n ＋1随n 的增大而增大， 所以m ≤6－61＋1＝3，又m 为正整数， 所以m 的值为1,2,3，故使1b 1＋1b 2＋…＋1b n≥m3对n ∈N *都成立的正整数m 存在，其值为1,2,3.调研3 数列的综合应用 a ．双数列问题1．(2019·福建晋江期中)已知等比数列{a n }，{b n }，{c n }的公比分别为2，A ，B .记b n ＝a 4(n －1)＋1＋a 4(n －1)＋2＋a 4(n －1)＋3＋a 4(n －1)＋4，c n ＝a 4(n －1)＋1a 4(n －1)＋2a 4(n －1)＋3a 4(n －1)＋4，n ∈N *，则A B＝________.答案：1212 解析：本题考查等比数列的应用．根据题意，等比数列{a n }的公比为2.因为b n ＝a 4(n －1)＋1＋a 4(n －1)＋2＋a 4(n －1)＋3＋a 4(n －1)＋4，则b n ＋1＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4，所以A ＝b n ＋1b n ＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4a 4(n －1)＋1＋a 4(n －1)＋2＋a 4(n －1)＋3＋a 4(n －1)＋4＝24.因为c n ＝a 4(n －1)＋1a 4(n －1)＋2a 4(n －1)＋3a 4(n －1)＋4，则c n ＋1＝a 4n ＋1a 4n ＋2a 4n ＋3a 4n ＋4，所以B ＝c n ＋1c n ＝a 4n ＋1a 4n ＋2a 4n ＋3a 4n ＋4a 4(n －1)＋1a 4(n －1)＋2a 4(n －1)＋3a 4(n －1)＋4＝216，则A B ＝24216＝1212.b ．数列与导数、三角的渗透问题2．(2019·宁夏银川月考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．110B ．100C ．55D ．0答案：C 解析：本题考查数列与三角函数．∵2n ＋12·π＝n π＋π2，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2，n 是奇数，n 2，n 是偶数，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝22－12＋42－32＋…＋102－92＝(2－1)×(2＋1)＋(4－3)×(4＋3)＋…＋(10－9)×(10＋9)＝1＋2＋3＋…＋10＝10×(1＋10)2＝55.故选C.3．(2019·江西宜春3月联考)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，记f ′(x )是f (x )的导函数，将满足f (x )＝0的所有正数x 从小到大排成数列{x n }，n ∈N *，则数列{f ′(x n )}的通项公式是( )答案：B解析：[对点提升]如图，设函数y＝1x图象上的点与x轴上的点顺次构成等腰Rt△OB1A1，等腰Rt△A1B2A2，…，直角顶点在函数y＝1x的图象上，设A n的坐标为(a n,0)，A0为原点．(1)求a 1，并求出a n 与a n －1之间的关系式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝2a n －1＋a n(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12，2a 1，2×2a 1＝a 1，解得a 1＝2.过点B n 作B n H ⊥x 轴，垂足为点H .∵△A n －1B n A n 为等腰直角三角形，且B n 为直角顶点， ∴|B n H |＝12|A n －1A n |＝a n －a n －12，∴点B n 的纵坐标为a n －a n －12.∵△A n －1B n A n 为等腰直角三角形，且B n 为直角顶点， ∴点H 为线段A n －1A n 的中点， ∴点H 的横坐标为a n ＋a n －12. ∵B n H ⊥x 轴，∴点B n 的横坐标也为a n ＋a n －12.∵点B n 为函数y ＝1x (x >0)图象上的点， ∴a n ＋a n －12·a n －a n －12＝1， ∴a 2n －a 2n －1＝4.(2)∵a2n－a2n－1＝4，a1＝2，∴数列{a2n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2n＝4n，∴a n＝2n(n∈N*)．(3)∵b n＝2a n－1＋a n＝1n－1＋n＝n－n－1，∴S n＝(1－0)＋(2－1)＋…＋(n－n－1) ＝n(n≥2，n∈N*)．提醒完成专题训练(十二)。
专题四 数 列第1讲 等差数列、等比数列真题试做 1．(2020·福建高考，理2)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·安徽高考，理4)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )．A ．4B ．5C ．6D ．73．(2020·浙江高考，理7)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )．A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列4．(2020·课标全国高考，理5)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )．A ．7B ．5C ．－5D ．－75．(2020·江苏高考，20)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n，n ∈N *，求证：数列2n nb a⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b n a n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．考向分析高考中等差(等比)数列的考查主客观题型均有体现，一般以等差数列、等比数列的定义或以通项公式、前n 项和公式为基础考点，常结合数列递推公式进行命题，主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等，中低档题占多数．考查的热点主要有三个方面：(1)对于等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解，属于低档题；(2)对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题；(3)对于等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．热点例析热点一 等差、等比数列的基本运算【例1】(2020·福建莆田质检，20)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，等式a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1对任意n ∈N *均成立．(1)若a 4＝10，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2＝1＋t ，且存在m ≥3(m ∈N *)，使得a m ＝S m 成立，求t 的最小值．规律方法 此类问题应将重点放在通项公式与前n 项和公式的直接应用上，注重五个基本量a 1，a n ，S n ，n ，d (q )之间的转化，会用方程(组)的思想解决“知三求二”问题．我们重在认真观察已知条件，在选择a 1，d (q )两个基本量解决问题的同时，看能否利用等差、等比数列的基本性质转化已知条件，否则可能会导致列出的方程或方程组较为复杂，无形中增大运算量．在运算过程中要注意消元法及整体代换的应用，这样可减少计算量．特别提醒：(1)解决等差数列前n 项和常用的有三个公式S n ＝n (a 1＋a n )2；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，灵活地选用公式，解决问题更便捷；(2)利用等比数列前n 项和公式求和时，不可忽视对公比q 是否为1的讨论．变式训练1 (2020·山东青岛质检，20)已知等差数列{a n }的公差大于零，且a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 3＝a 3，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤5，b n ，n >5，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .热点二 等差、等比数列的性质【例２】(1)在正项等比数列{a n }中，a 2，a 48是方程2x 2－7x ＋6＝0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为( )．A ．212B ．9 3C ．±9 3D ．35(2)正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )．A ．5＋12或5－12 B ．5＋12 C ．5－12 D ．1－52规律方法 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系，项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ”这一性质与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2的综合应用．变式训练2 (1)(2020·江西玉山期末，3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＝25π，则tan a 8的值是( )．A ． 3B ．－ 3C ．± 3D ．－33(2)(2020·广西桂林调研，7)已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8＝( )．A ．17B ．16C ．15D ．256 热点三 等差、等比数列的判定与证明【例３】(2020·山东淄博一模，20)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n－1(n ≥2，且n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .规律方法 证明数列{a n }为等差数列或等比数列有两种基本方法： (1)定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)⇔{a n }为等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数)⇔{a n }为等比数列． (2)等差、等比中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；a 2n ＝a n －1a n ＋1(a n ≠0，n ≥2，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．我们要根据题目条件灵活选择使用，一般首选定义法．利用定义法一种思路是直奔主题，例如本题中的方法；另一种思路是根据已知条件变换出要解决的目标，如本题还可这样去做：由a n ＝2a n －1＋2n －1，得a n －1＝2a n －1－2＋2n ，所以a n －1＝2(a n －1－1)＋2n，上式两边除以2n，从而可得a n －12n ＝a n －1－12n －1＋1，由此证得结论．特别提醒：(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n 项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)即可；(3)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.变式训练3 在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N )，a 1＝－23.是否存在常数λ使数列{a n －n ＋λ}为等比数列，若存在，求出λ的值及数列的通项公式；若不存在，请说明理由．思想渗透1．函数方程思想——等差(比)数列通项与前n 项和的计算问题：(1)已知等差(比)数列有关条件求数列的通项公式和前n 项和公式以及由通项公式和前n 项和公式求首项、公差(比)、项数及项等，即主要指所谓的“知三求二”问题；(2)由前n 项和求通项；(3)解决与数列通项，前n 项和有关的不等式最值问题． 2．求解时主要思路方法：(1)运用等差(比)数列的通项公式及前n 项和公式中的5个基本量，建立方程(组)，进行运算时要注意消元的方法及整体代换的运用；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的函数解析式，因此在解决数列问题时，应用函数的思想求解．【典型例题】在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，求n 的值．解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25. 又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5.∴a 3＝4，a 5＝1，q ＝12，a 1＝16.∴1511622n n n a -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭－＝＝.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列．∴S n ＝n (9－n )2，S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S n n ＞0，当n ＝9时，S n n ＝0，n ＞9时，S n n＜0， 当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．1．(2020·河北冀州一模，5)在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }前11项的和S 11等于( )．A ．24B ．48C ．66D ．1322．在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 5＝( )． A ．16 B ．8 C ．4 D ．323．(2020·广东汕头质检，2)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且2a 3＋a 4＝a 5，则q 的值为( )．A ．32B ．2C ．52D ．3 4．(2020·河北衡水调研，6)等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S 20＝S 40，则下列结论中正确的是( )．A ．S 30是S n 中的最大值B ．S 30是S n 中的最小值C ．S 30＝0D ．S 60＝05．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值为________．6．(原创题)已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且满足a 1 000＋a 1 013＝π，b 1b 13＝2，则tan a 1＋a 2 0121－b 47＝__________.7．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝pS n ＋r (n ∈N *)，p ，r ∈R ，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)当p ＝2，r ＝0时，求a 2，a 3，a 4的值；(2)是否存在实数p ，r ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出p ，r 满足的条件；若不存在，说明理由．8．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．B 2．B 3．C 4．D5．解：(1)证明：由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1n b＋所以b n ＋1a n ＋1＝，从而2211n n n n b b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－＝1(n ∈N *)，所以数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1为公差的等差数列．(2)因为a n ＞0，b n ＞0， 所以(a n ＋b n )22≤a 2n ＋b 2n ＜(a n ＋b n )2，从而1＜a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0知q ＞0.下证q ＝1.若q ＞1，则a 1＝a 2q＜a 2≤2，故当n ＞log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n＞2，与(*)矛盾；若0＜q ＜1，则a 1＝a 2q ＞a 2＞1，故当n ＞log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n＜1，与(*)矛盾． 综上可知，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1＜a 1≤ 2.又b n ＋1＝2·b n a n ＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列．若a 1≠2，则2a 1＞1，于是b 1＜b 2＜b 3.又由1a ＋得1n b ，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而1n b ＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2. 精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)∵a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1对n ∈N *都成立，∴数列{a n }为等差数列． 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝1，a 4＝10，∴a 4＝a 1＋3d ＝10，∴d ＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)∵a 2＝1＋t ，∴公差d ＝a 2－a 1＝t .∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)t .S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2t .由a m ＝S m ，得1＋(m －1)t ＝m ＋m (m －1)2t ，∴(m －1)t ＝(m －1)＋m (m －1)2t .∴t ＝1＋m 2t .∴t ＝22－m.∵m ≥3，∴－2≤t ＜0.∴t 的最小值为－2.【变式训练1】解：(1)设{a n }的公差为d (d ＞0)，{b n }的公比为q (q ＞0)，则由x 2－18x ＋65＝0，解得x ＝5或x ＝13. 因为d ＞0，所以a 2＜a 4，则a 2＝5，a 4＝13. 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝b 1q 2＝9，b 1＋b 1q ＋b 1q 2＝13，q >0，解得b 1＝1，q ＝3.所以b n ＝3n －1.(2)当n ≤5时， T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ；当n ＞5时，T n ＝T 5＋(b 6＋b 7＋b 8＋…＋b n )＝(2×52－5)＋35(1－3n －5)1－3＝3n－1532，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－n ，n ≤5，3n－1532，n >5.(n ∈N *)【例2】(1)B 解析：依题意知a 2·a 48＝3. 又a 1·a 49＝a 2·a 48＝225a ＝3，a 25＞0， ∴a 1·a 2·a 25·a 48·a 49＝a 255＝9 3.(2)C 解析：因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2.∴q 2＝1＋q .又q ＞0，解得q ＝1＋52，故a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4(a 3＋a 4)q ＝1q ＝5－12. 【变式训练2】(1)B (2)A【例3】(1)证明：设b n ＝a n －12n ，b 1＝5－12＝2，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是首项为2，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)知，a n －12n ＝a 1－12＋(n －1)×1，∴a n ＝(n ＋1)·2n＋1.∵S n ＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n ·2n －1＋1)＋[(n ＋1)·2n＋1]，∴S n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n＋n .设T n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n，①则2T n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1.② 由②－①，得T n ＝－2·21－(22＋23＋…＋2n )＋(n ＋1)·2n ＋1＝n ·2n ＋1，∴S n ＝n ·2n ＋1＋n ＝n ·(2n ＋1＋1)．【变式训练3】解：假设a n ＋1－(n ＋1)＋λ＝－(a n －n ＋λ)成立，整理得a n ＋1＋a n ＝2n ＋1－2λ，与a n ＋1＋a n ＝2n －44比较，得λ＝452.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n－n ＋452是以－32为首项，－1为公比的等比数列．故a n －n ＋452＝－32(－1)n －1，即a n ＝n －452－32(－1)n －1.创新模拟·预测演练1．D 2．A 3．B 4．D 5．326．－ 37．解：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝pS n ＋r ，当p ＝2，r ＝0时，a n ＋1＝2S n ，∴a 2＝2a 1＝2，a 3＝2S 2＝2(a 1＋a 2)＝2×(1＋2)＝6，a 4＝2S 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＝2×(1＋2＋6)＝18. (2)∵a n ＋1＝pS n ＋r ， ∴a n ＝pS n －1＋r (n ≥2)．∴a n ＋1－a n ＝(pS n ＋r )－(pS n －1＋r )＝pa n ，即a n ＋1＝(p ＋1)a n ，其中n ≥2. ∴若数列{a n }为等比数列，则公比q ＝p ＋1≠0. ∴p ≠－1.又a 2＝p ＋r ＝a 1q ＝a 1(p ＋1)＝p ＋1， 故r ＝1.∴当p ≠－1，r ＝1时，数列{a n }为等比数列． 8．解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ＞1)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，亦即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 1(1－6q ＋q 2)＝－7，解得a 1＝1，q ＝2或a 1＝4，q ＝12(舍去)．故a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n＝3n ln 2， ∴b n ＋1－b n ＝3ln 2.∴{b n }是以b 1＝3ln 2为首项，公差为3ln 2的等差数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n (3ln 2＋3n ln 2)2＝3n (n ＋1)ln 22，即T n ＝3n (n ＋1)ln 22.。
环节一：记牢概念公式，避免临场卡壳 1．等差数列、等比数列2．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 环节二：巧用解题结论，考场快速抢分 1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ，p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd . (3)S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1.(5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. 2．等比数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m ，p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)仍然成等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q .(5)等比数列前n 项和有：①S m ＋n ＝S m ＋q m S n ；②S m S n ＝1－q m1－q n(q ≠±1)． 环节三：明辨易错易混，不被迷雾遮眼1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．4．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．5．对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论．6．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 环节四：适当保温训练，树立必胜信念1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2 解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. 3．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 4．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2 B ．16 C.114 D.32解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，由a 3＝a 2＋2a 1，得q 2＝q ＋2，∴q ＝2，∴a n ＝a 1·2n－1，由a m ·a n ＝16a 21，得a 21·2m＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：276．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________． 解析：由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1.答案：－17．已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12×[⎝⎛⎭⎫11－13＋(13－15)＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1]＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3. 又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112，而当n ＝2时，32－22－5×2＋112＝3＝T 2，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。
2024年高考数学数列易错知识点总结高考数学中的数列作为重要考点之一，经常涉及到的知识点较多且易错。
在2024年高考数学考试中，以下是数列的易错知识点总结：一、数列的基本概念与性质1. 数列的概念：数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
需要区分数列的元素与项，元素是指数列中的具体数字，而项是指元素所在的位置。
2. 等差数列与等差中项：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差中项是指位于等差数列中的任意一项。
3. 等差数列的通项公式：对于等差数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，d表示公差。
4. 等比数列与等比中项：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比中项是指位于等比数列中的任意一项。
5. 等比数列的通项公式：对于等比数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，r表示公比。
6. 等差数列与等比数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，等比数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$。
7. 数列的性质：数列的奇数项和与偶数项和的关系，数列的倒数项和与首项和的关系。
如等差数列中的奇数项和是首项和的一半，倒数项和是首项和的倒数。
二、数列的综合应用1. 数列的增长率与减少率：通过对序列中的元素进行操作，可以计算出数列的增长率与减少率。
如等差数列中，相邻元素的增长率是公差d；等比数列中，相邻元素的增长率是公比r。
2. 数列的问题转化：将数列问题转化为方程或等价式，从而找到解题的方法。
如通过设置未知数，将一个复杂的数列问题转化为简单的方程求解。
回扣6 概率与统计1．概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n. (2)互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(3)对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )．(4)几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 2．抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．(1)从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N. (2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．3．统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．(2)中位数：在样本数据中，将数据按从大到小(或从小到大)排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )． (4)方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 标准差：s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].4．线性回归(1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧ b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^ x .(2)相关系数r 具有如下性质：①|r |≤1；②|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越高；③|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．5．独立性检验 利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．1．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．。
