01第一节 定积分的元素法
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第一节 定积分的元素法
高等数学教案 定积分的元素法
1 第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
如果某一实际问题中的所求量U 满足:
(1)U 是与x 的变化区间],[b a 有关的量;
(2)U 关于],[b a 具有可加性,即U =
∑∆i i U ;
(3)i i i x f U ∆≈∆)(ξ. 则可用定积分表示该量U .
该方法(即定积分的元素法)的基本步骤是:
(1)选取一个变量如x 为积分变量,并确定积分区间],[b a (即积分变量x 的变化范围); (2)在],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +,求出所求量U 在],[dx x x +的元素dU 的表达式(即为被积表达式)
dU =dx x f )(.
其中)(x f 为],[b a 上的连续函数,dx x f U )(-∆是dx x =∆的高阶无穷小.
(3)求定积分,即 ⎰⎰==b
a
b a dx x f x dU U )()(.
注：在上章讨论的曲边梯形的面积问题中，求曲边梯形的面积就是采用元素法。
其它许多实际问题都采用元素法。
经济数学》第七章：定积分的元素法
间［a，b］. 第二步 设想把区间［a，b］分成 n 个小区间，取其中一小区间并记作［x，x＋dx］，
求出相应于这个小区间的部分量图 F 的近似值.如果 F 能近似地表示为［a，b］ 上的一个连续函数在 x 处的值 f(x)与 dx 的乘积，就把 f(x)dx 称为量 F 的元素且记作 dF，即 dF=f(x)dx. 第三步 以所求量 F 的元素 f(x)dx 为被积表达式，在区间［a，b］上作定积分，
n
阶的无穷小，因此所得和式
i 1
f(ξi)
xi 的极限是 A 的精确值，而 A 可以表示为定积分
编辑ppt
b a
f (x)dx .
3
经济数学★★★
第一节 定积分的元素法
页码：3
在引出 A 的积分表达式的四个步骤中，主要是第二步，这一步是要确定 Ai 的近似值 f(ξi) xi ，使得
n
A= lim 0 i1
一、已知边际函数求总量的问题
例 1 已知生产某种产品 x 个单位时的总收益 R 的变化率(边际收益)为 R′(x)=30－x5(百元/单位)(x≥0)， (1)求生产 100 个单位时的总收益； (2)求生产 100 个单位到 150 个单位时总收益的增加量.
编辑ppt
16
经济数学★★★
第二节 定积分在经济上的应用
间，则 F 相应地分成许多部分量，而 F 等于所有部分量之和； ③部分量 Fi 的近似值可表示为 f(ξi)xi；
那么就可考虑用定积分来表示这个量.
编辑ppt
5
经济数学★★★
第一节 定积分的元素法
页码：5
通常写出这个量 F 的积分表达式的步骤是： 第一步 根据问题的具体情况，先取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区
求出相应于这个小区间的部分量图 F 的近似值.如果 F 能近似地表示为［a，b］ 上的一个连续函数在 x 处的值 f(x)与 dx 的乘积，就把 f(x)dx 称为量 F 的元素且记作 dF，即 dF=f(x)dx. 第三步 以所求量 F 的元素 f(x)dx 为被积表达式，在区间［a，b］上作定积分，
n
阶的无穷小，因此所得和式
i 1
f(ξi)
xi 的极限是 A 的精确值，而 A 可以表示为定积分
编辑ppt
b a
f (x)dx .
3
经济数学★★★
第一节 定积分的元素法
页码：3
在引出 A 的积分表达式的四个步骤中，主要是第二步，这一步是要确定 Ai 的近似值 f(ξi) xi ，使得
n
A= lim 0 i1
一、已知边际函数求总量的问题
例 1 已知生产某种产品 x 个单位时的总收益 R 的变化率(边际收益)为 R′(x)=30－x5(百元/单位)(x≥0)， (1)求生产 100 个单位时的总收益； (2)求生产 100 个单位到 150 个单位时总收益的增加量.
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16
经济数学★★★
第二节 定积分在经济上的应用
间，则 F 相应地分成许多部分量，而 F 等于所有部分量之和； ③部分量 Fi 的近似值可表示为 f(ξi)xi；
那么就可考虑用定积分来表示这个量.
编辑ppt
5
经济数学★★★
第一节 定积分的元素法
页码：5
通常写出这个量 F 的积分表达式的步骤是： 第一步 根据问题的具体情况，先取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区
定积分的元素法
b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
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二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
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2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
第6章定积分的应用1元素法
0 λ→
∑f (ξ ) ∆x =∫
i i
i=1 =
b
a
f (x) dx
一、什么问题可以用定积分解决 ? 什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是 与区间[a , b]上 的某函数 f (x) 有关的 的某函数 与区间[ 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 具有可加性 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
U = ∫a f (x)dx
微元分析法 分析法) 称为元素 元素法 这种分析方法 称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为 元素的几何形状常取为:条, 环, 扇等 的几何形状常取为:
b
∆ xi
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ? 如何应用定积分解决问题
第一步 利用“化整为零 , 常代变”求出局部量的 局部量的 利用“ 以常代变”求出局部量 微分表达式 微分表达式 近似值
dU = f (x)dx
第二步 利用“ 积零为整 无限累加 ”求出整体量的 利用“ , 精确值 积分表达式
小曲边梯形面积
∆Ai ∆An
∆A ∆A2 1
f (ξ1f (ξ2f (ξ3 f (ξi) ) ) )
x0 x x2 xi−1 xi xn−1xn 1
3) 近似和. 近似和
∆A ≈ f (ξi ) ∆xi i ∆xi = xi − xi−1
A=∑∆A = i
i=1 = n
n
取极限. 4) 取极限. A= lim ≈
复习 曲边梯形的面积 设曲边梯形 是由连续曲线 是由连续 连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 1) 大化小. 在区间 [a , b]中 任意插入 n –1 个分点 大化小.
∑f (ξ ) ∆x =∫
i i
i=1 =
b
a
f (x) dx
一、什么问题可以用定积分解决 ? 什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是 与区间[a , b]上 的某函数 f (x) 有关的 的某函数 与区间[ 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 具有可加性 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
U = ∫a f (x)dx
微元分析法 分析法) 称为元素 元素法 这种分析方法 称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为 元素的几何形状常取为:条, 环, 扇等 的几何形状常取为:
b
∆ xi
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ? 如何应用定积分解决问题
第一步 利用“化整为零 , 常代变”求出局部量的 局部量的 利用“ 以常代变”求出局部量 微分表达式 微分表达式 近似值
dU = f (x)dx
第二步 利用“ 积零为整 无限累加 ”求出整体量的 利用“ , 精确值 积分表达式
小曲边梯形面积
∆Ai ∆An
∆A ∆A2 1
f (ξ1f (ξ2f (ξ3 f (ξi) ) ) )
x0 x x2 xi−1 xi xn−1xn 1
3) 近似和. 近似和
∆A ≈ f (ξi ) ∆xi i ∆xi = xi − xi−1
A=∑∆A = i
i=1 = n
n
取极限. 4) 取极限. A= lim ≈
复习 曲边梯形的面积 设曲边梯形 是由连续曲线 是由连续 连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 1) 大化小. 在区间 [a , b]中 任意插入 n –1 个分点 大化小.
定积分的应用元素法教案
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x 因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A( x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V bπ[ f (x)]2 dx a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA (
x x2)dx
0
1 3
在第一象限所围
y
y2 x y x2
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
d
y
O
yx4 x
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
0
0
几个常见极坐曲线
a
ra
0 2
x2 y2 a2
r a sin 0
x2 (y a)2 a2 24
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
第一、二节 元素法与平面图形面积
f ( x)dx;
的积分表达式的步骤可简化如下： 求A的积分表达式的步骤可简化如下： 的积分表达式的步骤可简化如下 及积分区间［ ］； （1）确定积分变量 及积分区间［a, b］； ）确定积分变量x及积分区间 （2）在［a, b］上任取小区间 [ x, x + dx], ） ］ 的近似值， 以 f ( x)dx作为 ∆A的近似值， 即： ∆A ≈ f ( x)dx
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用
第一节 定积分的元素法
求由 x = a, x = b, y = 0和 y = f (x)所围成的曲边梯形的面积 A须经过以下四个步骤： 须经过以下四个 分成n个小区间 设第 个小曲边梯形的面 个小区间， 设第i个小曲边梯形的面 （1）分割 把 [a, b]分成 个小区间， ）分割: 积为 ∆Ai , 则：A = （2）近似代替： ）近似代替：
4
o
y
x
(8,4)
o
dA
(2,−2)
x
求曲线y=lnx, x=2及x 轴所围成的平面图形的面积. 例3 求曲线 及 轴所围成的平面图形的面积. y 2 解1 A = [ln x − 0 ]dx
∫
1
y=lnx 1 2
= [ x ln x ] − ∫ xd ln x = 2 ln 2 − 1. o 1
解
取x为积分变量，积分区间为[1, 3]
1 面积元素为 dA = x − dx x 因此， 因此，总面积
1 A = ∫ x − dx 1 x 3 31 = ∫ xdx − ∫ dx 1 1 x 3 2 x = − ln x = 4− ln 3 2 1
∑∆A
第一节 定积分在几何上的应用6-1
所围图形绕 x 轴旋转
而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例6. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
b
b
A a dA( x) a f ( x)dx.
y
妨此可得（图1）的面积： d
A
d
dA( y)
d
f ( y)dy.
y
c
c
c
（图2）的面积：
y
O
y f2(x)
y f1( x)
oa
x bx
（图2）
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
A
x=f(y)
（图1）
及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴的旋转体的体积计算公式
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第一节 定积分的元素法
一、问题的提出 二、小结 思考题
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
ξ i ∈ ∆x i
n i =1
（3） 求和，得A的近似值 A ≈ ∑ f (ξ i )∆xi . ） 求和， 的近似值
（4） 求极限，得A的精确值 ） 求极限， 的精确值
面
b
A = lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x )dx a λ →0
i =1
n
积 元 素
提示 若用∆A 表示任一小区间
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 ）根据问题的具体情况， 积分变量， 积分变量，并确定它的变化区间[a , b ]；
2）设想把区间[a , b]分成 n 个小区间，取其中任一 个小区间， ） 小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区间的 的近似值.如果 部分量 ∆U 的近似值 如果 ∆U 能近似地表示为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的 乘积， 乘积，就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作dU ， 即 dU = f ( x )dx ；
符合下列条件： 当所求量U 符合下列条件：
） 具有可加性，就是说， （2）U 对于区间[a , b]具有可加性，就是说， 分成许多部分区间， 如果把区间[a , b]分成许多部分区间 ，则U 相 应地分成许多部分量， 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量∆U i 的近似值可表示为 f (ξ i )∆x i ； ）
二、小结
元素法的提出、思想、步骤 元素法的提出、思想、步骤.
（注意元素法的本质） 注意元素法的本质）
思考题
元素法的实质是什么？ 元素法的实质是什么？
思考题解答
元素法的实质仍是“和式”的极限 元素法的实质仍是“和式”的极限.
面积表示为定积分的步骤如下
的小区间， （1） 把区间 [a , b]分成 n 个长度为 ∆x i 的小区间， ） 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为 ∆Ai ，则 A = ∑ ∆Ai .
n i =1
） （2）计算∆Ai 的近似值
∆Ai ≈ f (ξ i )∆xi
y [ x , x + ∆x ]上的窄曲边梯形的面积， 上的窄曲边梯形的面积，
A = ∑ ∆A，
∆A ≈ f ( x )dx ，
b
y = f (x)
dA
A ≈ ∑ f ( x )dx
A = lim ∑ f ( x )dx = ∫a f ( x )dx .
o a x x + dx x b
） （1）U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 的量； 的量；
为被积表达式， ） 3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 上作定积分， 区间[a , b]上作定积分，得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
∫a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法． 这个方法通常叫做元素法． 元素法 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积水压力；引力和平均值等． 功；水压力；引力和平均值等．
一、问题的提出 二、小结 思考题
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
ξ i ∈ ∆x i
n i =1
（3） 求和，得A的近似值 A ≈ ∑ f (ξ i )∆xi . ） 求和， 的近似值
（4） 求极限，得A的精确值 ） 求极限， 的精确值
面
b
A = lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x )dx a λ →0
i =1
n
积 元 素
提示 若用∆A 表示任一小区间
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 ）根据问题的具体情况， 积分变量， 积分变量，并确定它的变化区间[a , b ]；
2）设想把区间[a , b]分成 n 个小区间，取其中任一 个小区间， ） 小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区间的 的近似值.如果 部分量 ∆U 的近似值 如果 ∆U 能近似地表示为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的 乘积， 乘积，就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作dU ， 即 dU = f ( x )dx ；
符合下列条件： 当所求量U 符合下列条件：
） 具有可加性，就是说， （2）U 对于区间[a , b]具有可加性，就是说， 分成许多部分区间， 如果把区间[a , b]分成许多部分区间 ，则U 相 应地分成许多部分量， 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量∆U i 的近似值可表示为 f (ξ i )∆x i ； ）
二、小结
元素法的提出、思想、步骤 元素法的提出、思想、步骤.
（注意元素法的本质） 注意元素法的本质）
思考题
元素法的实质是什么？ 元素法的实质是什么？
思考题解答
元素法的实质仍是“和式”的极限 元素法的实质仍是“和式”的极限.
面积表示为定积分的步骤如下
的小区间， （1） 把区间 [a , b]分成 n 个长度为 ∆x i 的小区间， ） 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为 ∆Ai ，则 A = ∑ ∆Ai .
n i =1
） （2）计算∆Ai 的近似值
∆Ai ≈ f (ξ i )∆xi
y [ x , x + ∆x ]上的窄曲边梯形的面积， 上的窄曲边梯形的面积，
A = ∑ ∆A，
∆A ≈ f ( x )dx ，
b
y = f (x)
dA
A ≈ ∑ f ( x )dx
A = lim ∑ f ( x )dx = ∫a f ( x )dx .
o a x x + dx x b
） （1）U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 的量； 的量；
为被积表达式， ） 3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 上作定积分， 区间[a , b]上作定积分，得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
∫a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法． 这个方法通常叫做元素法． 元素法 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积水压力；引力和平均值等． 功；水压力；引力和平均值等．