多元统计分析课后练习答案汇编

第二章2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。

设X =(X 1,X 2，⋯X p )′是p 维随机向量，称由它的q （<p ）个分量组成的子向量X(i)=(X i1,X i2，⋯X iq )′的分布为X 的边缘分布，相对地把X 的分布称为联合分布。

当X 的分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )时，X (1)的分布函数即边缘分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )=P(X 1≤x 1,⋯X q ≤x q ,X q+1≤∞,⋯X p ≤∞) = F (x 1,x 2，⋯x q ,∞,⋯∞)当X 有分布密度f （x 1,x 2，⋯x p ）则X (1)也有分布密度，即边缘密度函数为：f （x 1,x 2，⋯x q ）=∫⋯+∞−∞∫f （x 1,x 2，⋯x p ）dx q+1⋯d +∞−∞x p 2.2 设随机向量X =(X 1,X 2)′服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X 1,X 2各自的边缘密度函数。

联合分布密度函数12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−12(1−ρ2)[(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+f (x 1,x 2)=(x 2−μ2)2σ22]} ， x 1>0,x 2>00 , 其他(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+(x 2−μ2)2σ22=(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+(x 2−μ2)2σ22+ρ2(x 1−μ1)2σ12−ρ2(x 1−μ1)2σ12=[ρ(x 1−μ1)σ1−(x 2−μ2)σ2]2+（1−ρ2）(x 1−μ1)2σ12所以指数部分变为−12{[11√1−ρ2σ1−22√1−ρ2σ2]2+(x 1−μ1)2σ12}令t=22√1−ρ2σ2−11√1−ρ2σ1 ∴dt =√1−ρ2σ22∴f (x 1)=∫f (x 1,x 2)+∞−∞dx 2=12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−(x 1−μ1)22σ12∫exp(+∞−∞−12t 2√1−ρ22dt =√2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] √2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] ， x 1>0f (x 1)=0 ，其他 同理， √2πσ2exp[−(x 2−μ2)22σ22] ， x 2>0f (x 2)=0 ，其他2.3 已知随机向量X =(X 1,X 2)′的联合分布密度函数为f (x 1,x 2)=2[(d−c )(x 1−a )+(b−a )(x 2−c )−2(x 1−a)(x 2−c)(b−a)2(d−c)2,其中,a ≤x 1≤b,c ≤x 2≤d 。

第二章 多元正态分布及参数的估计2-1 解：利用性质2, 得二维随机向量Y~N 2(μy ,∑y )，其中：3112121312211,().y y A d A I A AA μμ∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫''=== ⎪-⎝⎭2-2 (1)证明：记Y 1＝ X 1 +X 2 ＝(1,1) X , Y 2＝ X 1－X 2＝ (1,﹣1) X ，利用性质2可知Y 1 , Y 2 为正态随机变量. 又()()212111111011Cov(,)Y Y ∑σρρ⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故X 1 +X 2和X 1－X 2相互独立.另证：记112121221111Y X X X Y CX Y X X X +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2~(,),Y N C C C μ∑'因222111111111111112101111021()()Y ΣC C ρ∑σρρρρσσρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭故由定理2.3.1可得X 1 +X 2和X 1－X 2相互独立.（2）解：因为1212221212210021()~,()X X Y N X X μμρσμμρ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以22121212122121~(,()),~(,()).X X N X X N μμσρμμσρ+++---2-3 (1)证明：令121122()()()()()()pp pp I I X X X Y CX I I X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2~(,)p Y N C C C μ∑'. 因为1221121212211212D()22D()()()pp pp p p pp pp pp I I I I Y C X C I I I I I I I I O O ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+⎛⎫= ⎪-⎝⎭由定理2.3.1可知X (1) +X (2)和X (1) -X (2) 相互独立. （2）解：因为121212212121222()()()()()()()()()~,()p O X X Y N O X X ∑∑μμ∑∑μμ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以12121212121222()()()()()()()()~(,()),~(,()).p p X X N X X N μμ∑∑μμ∑∑+++---2-6 解：（1）记B =(3,-1,1), 由性质2得，~(,')Y BX N B B B μ=∑.123121113(3,2,1)313,'(3,2,1)132291122132(13,9).B B B Y X X X N μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=--=∑=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=-+ (2)令1132'X Y X a X ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 显然31,X Y 均服从正态分布, 故要使它们相互独立，只需()31,0COV X Y =即可. 又因()313311223313123212,(,)(,)(,)(,)22COV X Y COV X X a X a X COV X X a COV X X a COV X X a a =--=--=-- ∴1222a a +=，故当(1,0.5)a =时满足条件. 2-9 解：(1)1/1/1/1/1/1/1/1/1/21/2001/41/21/61/ '1/61/62/601/402/61/1/1/1/3/1/003/1000010000100001AA⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎢--⎣⎣⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴A是正交矩阵.(2)①由Y=AX知，11/1/1/1/2Y X X⎡==⎣，且()442211'()'()'''i ii iY Y Y AX AX X AA X X X X=======∑∑，所以()444222221211444222221114214842()4.i i ii i ii i ii i iiiY X Y X XX X X X X X XX X========-=-=-+=-+=-∑∑∑∑∑∑∑②由2444(,)X N Iμσ1，Y=AX知：2444(,')Y N A AI Aμσ1.而22244''AI A AA Iσσσ==，故由定理2.3.1的推论2知1234,,,Y Y Y Y相互独立.③由②知1234,,,Y Y Y Y均服从正态分布，且方差均为2σ，又41/1/1/1/121/1/0010101/1/2/0101/1/1/3/Aμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-⎣1所以221~(2,),~(0,)(2,3,4).iY N Y N iμσσ=2-11解：设221212121211(,)exp(22221465)22f x x x x x x x xπ⎧⎫=-++--+⎨⎬⎩⎭2222211121122122222121[()2()()()]2(1)x x x xσμσσρμμσμσσρ⎧⎫=-----+-⎨⎬-⎩⎭比较上下式相应的系数,可得:1222112212122221121222212211212121122222214265σσσσρσσμσρσσμμσρσσμμσμσρσσμμ⎧=⎪=⎪⎪=⎪-=⎨⎪-+=-⎪⎪-+=-⎪+-=⎩解得：121211/43σσρμμ=⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪=⎪⎪=⎩，所以2111222122411,312μσρσσμμρσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∑==⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2-13解：(1)[]()()'(')'(')'ΣE X EX X EX E XX EXEX E XXμμ=--=-=-(')'.E XXΣμμ∴=+(2)()()()(')tr'tr'tr'E X AX E X AX E AXX E AXX===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()tr'tr'tr()tr(')tr()tr(')tr()'.AE XX AΣAΣAΣA AΣA Aμμμμμμμμ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=+(3)∵22'2'1tr()=tr()()=trp p p p p p pΣA I I Ip pσσσ⎛⎫⎡⎤--⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1111()()()2222'2'22 tr tr tr tr(1) p p p p p pI I p p pp p pσσσσσσσ⎛⎫=-=-=-=-⎪⎝⎭1111，又'2'''11'()'()()()p p p p p p p p p p pA a I a ap pμμ=-=-11111111112''=()=0p p p ppap-1111，∴2(')()'(1)E X AX tr ΣA A p μμσ=+=-.2-18解：(1)()()1111()()().n n n ni i i i i i i i i i E Z E c X c EX c c μμμ=========∑∑∑∑(2)∵Z 为p 维正态随机向量的线性组合，故Z 也为正态随机向量，又 22()()111()()()'nnni i i i i i i i D Z D c X c DX c Σc c Σ=======∑∑∑， 结合(1)知 ~(,')p Z N c c Σμ(3)∵22221212()1n nc c c c c c nn++++++≥=，且Σ为非负定矩阵 ∴对任意p 维向量0x ≠，有2111111''()'()'''''0,n n n i i x c c Σ-Σx x c c Σ-Σx c c -x Σx c -x Σx n n n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑11即1n c n=1 时，Z 的协方差阵在非负定意义下达到极小.第三章 多元正态总体参数的假设检验3-1解：因为A 对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1，且只有r 个非0特征值，即存在正交阵Γ（其列向量i r 为相应特征向量），使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ'000t I A ，记),,(1n r r =Γ，令X Y Y Y n Γ'=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 1（即Y X Γ=）， 则),(),(~22n nn n I N I N Y σμσμΓ'=ΓΓ'Γ'， ∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=ΓΓ'''ti it YY I Y Y A Y AX X 122222100011~1σσσσ，因为),,2,1)(,(~2r i r N Y i i ='σμ，且相互独立，所以∑=='=ti ir X YAX X 12222),(~11δσσξ，其中非中心参数为121112221111()[)][,,]tt i t t t i t r r rr rr r r r δμμμμμσσσ='⎡⎤⎢⎥''''==++=⎢⎥'⎢⎥⎣⎦∑（μμσμμσA I t '=Γ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ'=22100013-2解：记()rank A r =.① 若n r =，由O AB =，知n n O B ⨯=，于是AX X '与BX X '相互独立； ② 若0=r 时，则0=A ，则两个二次型也是独立的. ③以下设0r n <<.因A 为n 阶对称阵，存在正交阵Γ，使得100',000rr r D ΓA Γ=D λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中0λ≠为A 的特征值1(,,)i r =.于是,r r D D A=ΓΓ'AB ΓΓ'B ΓΓ'⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦000000， 令11122122,nnH H H =Γ'B ΓH H ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦其中11H 为r 阶方阵, 由于111211122122rr r H H D D H D H AB =ΓΓ'ΓΓ'H H ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦000000， 故11120,0r r D H D H ==. 又因r D 为满秩阵，故有1112()0,0r r r n r H H ⨯⨯-==. 由于H 为对称阵，所以21()0n r r H -⨯=.于是 2200,0H =Γ'B ΓH ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 令H X Γ'=，则2~(,)n n Y N I μσΓ'，且21'()rr i i i D X AX Y A Y Y A Y Y Y Y ξλ=⎡⎤'''''==ΓΓ=ΓΓ==⎢⎥⎣⎦∑000， 112222000ηΓΓΓ(,,)r r n n Y X BX Y B Y Y Y Y H H Y ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥''''====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，由于11,,,,,r r n Y Y Y Y +相互独立，故AX X '与BX X '相互独立..3-11解：这是两总体均值向量的检验问题. 检验统计量取为(p =3,n =6,m =9):021~(,1)(2)H n m p F T F p n m p n m p+--=+--+-下其中2112(2)()()()nmT n m X Y A A X Y n m-'=+--+-+故检验统计量为1121()()()n m p nmF X Y A A X Y p n m-+--'=⨯-+-+用观测数据代入计算可得: 25.3117,1.4982,T F == 显著性概率值 0.26930.05p α=>= 故H 0相容.第五章 判别分析5-1 解：由题意，其错判概率为1111211P μμμμΦΦσσ()*()*(|)[()]()--=-+ 12121121212112111μσμσμσμσμμσσσσΦΦσσ()()[()]()（）（）（）（）-+---+=-+(1)(2)(2)(1)2112[1()]()μμμμσσσσ--=-Φ+Φ-+),()(21)1()2(12)1()2(σσμμσσμμ+-Φ+--Φ= )]()(1[1)2|1(1)1(*1)1(*σμμσμμ-Φ+-Φ--=P)()(2)2(2112212)2(121221σμσσσμσμσμσσσμσμ-++Φ----Φ=）（）（）（）（ )()(21)2()1(12)2()1(σσμμσσμμ+-Φ---Φ= )](1[)(121)1()2(12)1()2(\σσμμσσμμ+-Φ----Φ-= ).()(12)1()2(21)1()2(σσμμσσμμ--Φ-+-Φ= 5-2 解：由题意（1）样品x 与三个总体21,G G 和3G 的马氏距离分别为 ,15.0)25.2()()(22212121=-=-=σμx x d ,5625.12)05.2()()(22222222=-=-=σμx x d,25.01)35.2()()(22232323=-=-=σμx x d 显然，{})()(),(),(min 23232221x d x d x d x d =，则3G x ∈，即样品5.2=x 应判归总体3G .（2）样品x 与三个总体21,G G 和3G 的贝叶斯距离分别为 ,3863.0)3863.1(1)ln()()(212121-=-+=+=σx d x D ,9488.24ln 5625.1)ln()()(222222=+=+=σx d x D ,25.01ln 25.0)ln()()(232323=+=+=σx d x D显然，{})()(),(),(min 21232221x D x D x D x D =，则1G x ∈，即样品5.2=x 应判归总体1G .5-4解：(1)可取121812207385123275537A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∑+∑=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(组内)()(1)(2)(1)(2)1020100100()()10,101525100100B μμμμ-⎛⎫⎛⎫'=--=--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(组间) 类似于例5.3.1的解法, A -1B 的特征根就等于2(1)(2)1(1)(2)3751016500()()(10,10) 4.70675381013811381d A μμμμ---⎛⎫⎛⎫'=--=--== ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭取1(1)(2)321()33a A d μμ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则1a Aa '=， 且a 满足：2().Ba Aa d λλ==判别效率：() 4.7067a Baa a Aaλ'∆==='， Fisher 线性判别函数为：12()33)u X a X X X '==+ 判别准则为*1*2()()X G u X u X G u X u⎧∈>⎨∈≤⎩判当判当， 阈值为(1)(2)*21124.2964u u u σσσσ+==-+，其中 ()21118123217862432,330.87591232338976589765a a σ⎛⎫⎛⎫'=∑=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2222073211114132,330.124175338976589765a a σ-⎛⎫⎛⎫'=∑=== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭(1)(1)10 2.720215ua μ⎛⎫'====- ⎪⎝⎭(2)(2)20 4.889725ua μ⎛⎫'====- ⎪⎝⎭故(1)(2)uu >.当(1)2020X ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，(1)20() 4.339020u X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 因*(1)() 4.3390u X u =-<，∴判(1)2X G ∈. 当(1)1520X ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，(2)15() 3.805020u X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因*(2)() 3.8050u X u =->，∴判(2)1.X G ∈ (2) )(10)(75)1|2()()2|1()()()()()1(1)1(2)1(11)1(22)1(2)1(1)1(X f X f L X f q L X f q X h X h X W ===(2)'1(2)(1)'1(1)(1)2(1)(1)2(1)1511exp{()()()()}222X X X X μμμμ--=--∑-+-∑- )25202020(32121218)25202020(21exp{5.71'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- ,19229.75)}15102020(32121218)15102020(211'>=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- )(10)(75)1|2()()2|1()()()()()2(1)2(2)2(11)2(22)2(2)2(1)2(X f X f L X f q L X f q X h X h X W ===(2)'1(2)(1)'1(1)(2)2(2)(2)2(2)1511e x p {()()()()}222X X X X μμμμ--=--∑-+-∑- )25202015(32121218)25202015(21exp{5.71'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- ,15.7)}15102015(32121218)15102015(211'>=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- 故,2)1(G X ∈ )2()2(G X ∈.(3)122'1112010181220101812()()ln ||()()ln 2015123220151232D x d x Σ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦122'22220202072020207()()ln ||()()ln 202575202575D x d x Σ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦212212exp(0.5())(1|)0.7306exp(0.5())exp(0.5())D x P x D x D x -==-+-, 222212exp(0.5())(2|)0.2694exp(0.5())exp(0.5())D x P x D x D x -==-+-. 5-5 解：2()()()()a d a d a d a a Sa a Sa ''''∆==''(1)(2)(1)(2)def 1()()a X X X X a a Baa Sa a Saλ'''--==≤''111,S B a λλ-=其中为的最大特征值且仅当对应的特征向量时等号成立. 又1(1)(2)(1)(2)12(1)(2)1(1)(2)()()()()S B X X X X S D X X S X X ---''=--=--,与有相同的特征值. 故21D λ=；以下验证a 就是D 2对应的一个特征向量：11(1)(2)(1)(2)1(1)(2)1(1)(2)22()()()().S Ba S X X X X S X X S X X D D a ----'=---=-∙=1(1)(2)2(),().a S X X a D -=-∆=故当取时比值达最大值5-6 解：记(1)(2)(),()()W X X a μμμ'-=-是X 的线性函数，21111,()~(,),X G W X N νσ∈当时且(1)(1)(2)1(1)(2)122(1)(2)1(1)(2)1(())()()()21[()()]2E W X a d d νμμμμμμμμμμ--''==-=-∑-'==-∑-其中21(1)(2)11(1)(2)2(())[()]()()()D W X D a X a D X a a ad σμμμμμμ--'''==-=-=∑'=-∑∑∑-=11111()0(2|1){()0|}{}W X P P W X X G P ννσσ--∴=≤∈=≤2111{/}()1().222P U d d d d =≤-=Φ-=-Φ其中11()~(0,1).W X U N νσ-=2(2)2222122221,()~(,),(),2X G W X N a d d νσνμμσ'∈=-=-=当时且222222()0(1|2){()0|}{}11{/}1().22W X P P W X X G P P U d d d ννσσ--∴=>∈=>=>=-Φ其中22()~(0,1).W X U N νσ-=第六章 聚类分析6-2证明：设变量X i 和X j 是二值变量，它们的n 次观测值记为x ti , x tj (t =1,…,n ). x ti , x tj 的值为0 or 1.由二值变量的列联表（表6.5）可知：变量X i 取值1的观测次数为a +b,取值0的观测次数为c +d ;变量X i 和X j 取值均为1的观测次数为a,取值均为0的观测次数为d .利用两定量变量相关系数的公式：()()ntii tj j ij xx x x r --=∑又11()()11[()()][()()()]n nti i tj j ti tj i j t t a b a cx x x x x x nx x a n n n an a b a c a a b c d a b a c n nad bc n==++--=-=-=-++=+++-++-=∑∑222211()()1[()]()()n nti i ti i t t a b x x x nx a b n n a b n a b a b c d n n==+⎛⎫-=-=+- ⎪⎝⎭+=-+=++∑∑222211()()1[()]()()nntj j tj j t t a c x x x nx a c n n a c n a c a c b d n n==+⎛⎫-=-=+- ⎪⎝⎭+=-+=++∑∑故二值变量的相关系数为：()()(7)ntii tj j ij xx x x C --==∑利用两定量变量夹角余弦的公式：cos nti tjij x xα=∑其中1,nti tj t x x a ==∑2211,n ntitj t t x a b x a c ===+=+∑∑故有(9)c o s )i j i jc α==. 6-3解：用最长距离法:① 合并{X (1),X (4)}=CL4,并类距离 D 1=1.(2)(3)(2)(5)0903********X XD X CL ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭② 合并{X (2),X (5)}=CL3,并类距离 D 2=3.③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D 3=8. ④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D 4=10. 最长距离法的谱系聚类图如下:用类平均聚类法：① 合并{X (1),X (4)}=CL4,并类距离 D 1=1.② 合并{X (2),X (5)}=CL3,并类距离 D 2=3.③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D 3=(165/4)1/2. ④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D 4=(121/2)1/2. 类平均法的谱系聚类图如下:(3)(3)010049803X D CL CL ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(3)(4)01002X DCL ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)2(3)(2)22(5)0903506513610004222X X D X CL ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)(3)01362041062165403X D CL CL ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(3)(4)0121202X D CL ⎛⎫= ⎪⎝⎭6-6解：按中间距离法, 取β=-1/4,将B 和C 合并为一类后,并类距离D 1=1,而A 与新类G r ={B,C}的类间平方距离为222211()0.5(1.1 1.1)0.251 1.10.250.8524Ar AB AC BC D D D D =+-=⨯+-⨯=-=当把A 与{B ，C}并为一类时，并类距离210.9221D D ==<= 故中间距离法不具有单调性。

第一章测试1【单选题】(1分)研究两组变量间关系的方法是（）A.因子分析B.典型相关分析C.主成分分析D.聚类分析2【多选题】(1分)多元统计分析常用的方法有（）A.判别分析B.典型相关分析C.主成分分析D.聚类分析E.因子分析3【多选题】(1分)常用的外部数据读取函数有（）A.read.table()B.read.spss()C.read.txt()D.read.csv()4【判断题】(1分)多元统计分析是一元统计分析的推广。

A.对B.错5【判断题】(1分)多元统计分析是对多个随机变量同时进行分析研究。

A.错B.对6【判断题】(1分)多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科。

A.错B.对7【判断题】(1分)R程序包需要到相关网站购买。

A.错B.对8【判断题】(1分)向量x<-(10.4,5.6,3.1,6.4,21.7)。

A.错B.对9【判断题】(1分)rep(1:2,5)是把1、2重复5次。

A.错B.对10【判断题】(1分)直接用read.spss()读取SPSS格式的数据。

A.错B.对第二章测试1【单选题】(1分)随机向量X和Y分别服从正态分布，如果X和Y满足（），则它们的联合分布也服从正态分布。

A.有相关关系B.相互独立C.无条件D.互不相关2【单选题】(1分)A.B.C.D.3【单选题】(1分)A.B.C.不确定D.4【多选题】(1分)离散随机向量的概率分布列具有基本性质（）。

A.归一性B.非负性C.单调性D.有界性5【多选题】(1分)（）。

A.互不相关B.相互独立C.不确定D.有相关关系6【判断题】(1分)样本均值向量是总体均值向量的一致估计。

A.对B.错7【判断题】(1分)A.对B.错8【判断题】(1分)Wishart分布具有可加性。

A.对B.错9【判断题】(1分)样本离差阵S就是类似于一元随机变量的离差平方和。

A.对B.错10【判断题】(1分)样本离差阵是总体协方差阵的极大似然估计。

第二章 多元正态分布及参数的估计2-1 解：利用性质2, 得二维随机向量Y~N 2(μy ,∑y )，其中：2-2 (1)证明：记Y 1＝ X 1 +X 2 ＝(1,1) X , Y 2＝ X 1－X 2＝ (1,﹣1) X ，利用性质2可知Y 1 , Y 2 为正态随机变量. 又 故X 1 +X 2和X 1－X 2相互独立.另证：记112121221111Y X X X Y CX Y X X X +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2~(,),Y N C C C μ∑'因故由定理2.3.1可得X 1 +X 2和X 1－X 2相互独立.（2）解：因为1212221212210021()~,()X X Y N X X μμρσμμρ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以22121212122121~(,()),~(,()).X X N X X N μμσρμμσρ+++---2-3 (1)证明：令121122()()()()()()pp pp I I X X X Y CX I I X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2~(,)p Y N C C C μ∑'. 因为由定理2.3.1可知X (1) +X (2)和X (1) -X (2) 相互独立. （2）解：因为 所以2-6 解：（1）记B =(3,-1,1), 由性质2得，~(,')Y BX N B B B μ=∑.(2)令1132'X Y X a X ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 显然31,X Y 均服从正态分布, 故要使它们相互独立，只需()31,0COV X Y =即可. 又因∴1222a a +=，故当(1,0.5)a =时满足条件. 2-9 解：(1)∴A 是正交矩阵.(2)①由Y =AX知，11/1/1/1/2Y X X ⎡==⎣ ，且所以②由2444(,)X N I μσ1: ，Y =AX 知：2444(,')Y N A AI A μσ1:.而22244''AI A AA I σσσ==，故由定理2.3.1的推论2知1234,,,Y Y Y Y 相互独立.③由②知1234,,,Y Y Y Y 均服从正态分布，且方差均为2σ ，又41/1/1/1/121/1/0010101/1/2/0101/1/1/3/A μμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-⎣1 所以221~(2,),~(0,)(2,3,4).i Y N Y N i μσσ=2-11解：设221212121211(,)exp (22221465)22f x x x x x x x x π⎧⎫=-++--+⎨⎬⎩⎭2222211121122122222121[()2()()()]2(1)x x x x σμσσρμμσμσσρ⎧⎫=-----+-⎨⎬-⎩⎭比较上下式相应的系数,可得:1222112212122221121222212211212121122222214265σσσσρσσμσρσσμμσρσσμμσμσρσσμμ⎧=⎪=⎪⎪=⎪-=⎨⎪-+=-⎪⎪-+=-⎪+-=⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=+-=-===-65214222222112112222121212221221212122221μμσρσσμσμμσρσσμμσρσσμσρσσσρσσ比较上下式相应的系数,可得:⎪⎩⎪⎨⎧-===2/11212ρσσ⎩⎨⎧24μμ⎨⎧μμ解得：121211/43σσρμμ=⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪=⎪⎪=⎩，所以2111222122411,312μσρσσμμρσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∑==⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2-13解：(1)[]()()'(')'(')'ΣE X EX X EX E XX EXEX E XX μμ=--=-=-Q (2)()()()(')tr 'tr 'tr 'E X AX E X AX E AXX E AXX ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()tr 'tr 'tr()tr(')tr()tr(')tr()'.AE XX A ΣA ΣA ΣA A ΣA A μμμμμμμμ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=+(3)∵22'2'1tr()=tr ()()=tr p p p p p p p ΣA I I I p p σσσ⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1111 又'2'''11'()'()()()p p p p p p p p p p p A a I a a p pμμ=-=-1111111111 2-18解：(1)()()1111()()().nnnni i i i i i i i i i E Z E c X c EX c c μμμ=========∑∑∑∑(2)∵Z 为p 维正态随机向量的线性组合，故Z 也为正态随机向量，又 22()()111()()()'nnni i i i i i i i D Z D c X c DX c Σc c Σ=======∑∑∑， 结合(1)知 ~(,').p Z N c c Σμ(3)∵22221212()1n nc c c c c c n n++++++≥=L L ，且Σ为非负定矩阵 ∴对任意p 维向量0x ≠，有2111111''()'()'''''0,n n n i i x c c Σ-Σx x c c Σ-Σx c c -x Σx c -x Σx n n n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑11即1n c n=1 时，Z 的协方差阵在非负定意义下达到极小.第三章 多元正态总体参数的假设检验3-1解：因为A 对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1，且只有r 个非0特征值，即存在正交阵Γ（其列向量i r 为相应特征向量），使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ'000t I A ，记),,(1n r r Λ=Γ，令X Y Y Y n Γ'=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=M 1（即Y X Γ=）， 则),(),(~22n n n n I N I N Y σμσμΓ'=ΓΓ'Γ'， 因为),,2,1)(,(~2r i r N Y i i Λ='σμ，且相互独立，所以∑=='=ti i r X Y AX X 12222),(~11δσσξ， 其中非中心参数为 3-2解：记()rank A r =.① 若n r =，由O AB =，知n n O B ⨯=，于是AX X '与BX X '相互独立； ② 若0=r 时，则0=A ，则两个二次型也是独立的. ③以下设0r n <<.因A 为n 阶对称阵，存在正交阵Γ，使得 其中0λ≠为A 的特征值1(,,)i r =L .于是令11122122,n nH H H =Γ'B ΓH H ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦@其中11H 为r 阶方阵, 由于111211122122r r r H H D D H D H AB =ΓΓ'ΓΓ'H H ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦000000， 故11120,0r r D H D H ==. 又因r D 为满秩阵，故有1112()0,0r r r n r H H ⨯⨯-==. 由于H 为对称阵，所以21()0n r r H -⨯=.于是 2200,0H =Γ'B ΓH ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 令H X Γ'=，则2~(,)n n Y N I μσΓ'，且21'()rr i i i D X AX Y A Y Y A Y Y Y Y ξλ=⎡⎤'''''==ΓΓ=ΓΓ==⎢⎥⎣⎦∑000， 由于11,,,,,r r n Y Y Y Y +L L 相互独立，故AX X '与BX X '相互独立..3-11解：这是两总体均值向量的检验问题. 检验统计量取为(p =3,n =6,m =9): 其中故检验统计量为用观测数据代入计算可得: 25.3117, 1.4982,T F ==显著性概率值 0.26930.05p α=>= 故H 0相容.第五章 判别分析5-1 解：由题意，其错判概率为5-2 解：由题意（1）样品x 与三个总体21,G G 和3G 的马氏距离分别为显然，{})()(),(),(min 23232221x d x d x d x d =，则3G x ∈，即样品5.2=x 应判归总体3G .（2）样品x 与三个总体21,G G 和3G 的贝叶斯距离分别为显然，{})()(),(),(min 21232221x D x D x D x D =，则1G x ∈，即样品5.2=x 应判归总体1G .5-4解：(1)可取121812207385123275537A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∑+∑=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(组内) ()(1)(2)(1)(2)1020100100()()10,101525100100B μμμμ-⎛⎫⎛⎫'=--=--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(组间) 类似于例5.3.1的解法, A -1B 的特征根就等于2(1)(2)1(1)(2)3751016500()()(10,10) 4.70675381013811381d A μμμμ---⎛⎫⎛⎫'=--=--== ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭取1(1)(2)321()33a A d μμ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则1a Aa '=， 且a 满足：2().Ba Aa d λλ==判别效率：() 4.7067a Baa a Aaλ'∆==='， Fisher 线性判别函数为：12()33)u X a X X X '==+ 判别准则为*1*2()()X G u X u X G u X u ⎧∈>⎨∈≤⎩判当判当，阈值为(1)(2)*21124.2964u u u σσσσ+==-+，其中 故(1)(2)u u >.当(1)2020X ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，(1)20() 4.339020u X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 因*(1)() 4.3390u X u =-<，∴判(1)2X G ∈. 当(1)1520X ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，(2)15() 3.805020u X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因*(2)() 3.8050u X u =->，∴判(2)1.X G ∈ (2) )(10)(75)1|2()()2|1()()()()()1(1)1(2)1(11)1(22)1(2)1(1)1(X f X f L X f q L X f q X h X h X W ===故,2)1(G X ∈ )2()2(G X ∈.(3)122'1112010181220101812()()ln ||()()ln 2015123220151232D x d x Σ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5-5 解：2()()()()a d a d a d a a Sa a Sa ''''∆==''(1)(2)(1)(2)def 1()()a X X X X a a Baa Sa a Saλ'''--==≤''又1(1)(2)(1)(2)12(1)(2)1(1)(2)()()()()S B X X X X S D X X S X X ---''=--=--,与有相同的特征值. 故21D λ=；以下验证a 就是D 2对应的一个特征向量：5-6 解：记(1)(2)(),()()W X X a μμμ'-=-是X 的线性函数， 其中11()~(0,1).W X U N νσ-=其中22()~(0,1).W X U N νσ-=第六章 聚类分析6-2证明：设变量X i 和X j 是二值变量，它们的n 次观测值记为x ti , x tj (t =1,…,n ). x ti , x tj 的值为0 or 1.由二值变量的列联表（表6.5）可知：变量X i 取值1的观测次数为a +b,取值0的观测次数为c +d ;变量X i 和X j 取值均为1的观测次数为a,取值均为0的观测次数为d .利用两定量变量相关系数的公式：()()ntii tj j ij xx x x r --=∑又故二值变量的相关系数为： 利用两定量变量夹角余弦的公式：其中1,nti tj t x x a ==∑2211,n ntitj t t x a b x a c ===+=+∑∑故有(9)cos ijij c α==.6-3解：用最长距离法:① 合并{X (1),X (4)}=CL4,并类距离 D 1=1.(2)0X ⎛⎫ ⎪② 合并{X (2),X (5)}=CL3,并类距离 D 2=3. ③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D 3=8. ④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D 4=10.最长距离法的谱系聚类图如下: 用类平均聚类法：① 合并{X (1),X (4)}=CL4,并类距离 D 1=1. ② 合并{X (2),X (5)}=CL3,并类距离 D 2=3. ③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D 3=(165/4)1/2.④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D 4=(121/2)1/2. 类平均法的谱系聚类图如下:6-6解：按中间距离法, 取β=-1/4,将B 和C 合并为一类后,并类距离D 1=1,而A 与新类G r ={B,C}的类间平方距离为当把A 与{B ，C}并为一类时，并类距离210.9221D D ==<= 故中间距离法不具有单调性。

多元统计分析习题与答案多元统计分析是一种在社会科学研究中广泛应用的方法，它通过同时考虑多个变量之间的关系，帮助研究者更全面地理解和解释现象。

在本文中，我将分享一些多元统计分析的习题和答案，希望能够帮助读者更好地掌握这一方法。

习题一：相关分析假设你正在研究一个学生的学习成绩和他们每天花在学习上的时间之间的关系。

你收集了100个学生的数据，学习成绩用分数表示，学习时间用小时表示。

以下是你的数据：学习成绩（X）：75, 80, 85, 90, 95, 70, 65, 60, 55, 50学习时间（Y）：5, 6, 7, 8, 9, 4, 3, 2, 1, 0请计算学习成绩和学习时间之间的相关系数，并解释其含义。

答案一：首先，我们需要计算学习成绩和学习时间之间的协方差和标准差。

根据公式，协方差可以通过以下公式计算：协方差= Σ((X - X平均) * (Y - Y平均)) / (n - 1)其中，X和Y分别表示学习成绩和学习时间，X平均和Y平均表示它们的平均值，n表示样本数量。

标准差可以通过以下公式计算：标准差= √(Σ(X - X平均)² / (n - 1))根据以上公式，我们可以得出学习成绩和学习时间之间的协方差为-22.5，标准差分别为18.03和2.87。

然后，我们可以通过以下公式计算相关系数：相关系数 = 协方差 / (X标准差 * Y标准差)根据以上公式，我们可以得出相关系数为-0.93。

由于相关系数接近于-1，可以得出结论：学习成绩和学习时间之间存在强烈的负相关关系，即学习时间越长，学习成绩越低。

习题二：多元线性回归假设你正在研究一个人的身高（X1）、体重（X2）和年龄（X3）对其收入（Y）的影响。

你收集了50个人的数据，以下是你的数据：身高（X1）：160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205体重（X2）：50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95年龄（X3）：20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65收入（Y）：5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500请利用多元线性回归分析，建立一个预测人的收入的模型，并解释模型的结果。