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湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模实验报告一、实验目的1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握数学建模分析和解决的基本过程。
2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验题目（一）题目一1、题目：电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。
设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。
2、问题分析（1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。
所以选择采用计算机模拟的方法，求得近似结果。
（2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。
3、模型建立建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。
而每行中1的个数代表在该楼层下的乘客的人数。
再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。
例如：给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为：m =0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0c = 1 1 0 1 0 1 1 14、解决方法（MATLAB程序代码）：n=10;r=10;d=1000;a=0;for l=1:dm=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r));c=zeros(n,1);for i=1:nfor j=1:rif m(i,j)==1c(j)=1;break;endcontinue;endends=0;for x=1:nif c(x)==1s=s+1;endcontinue;enda=a+s;enda/d5、实验结果ans = 6.5150 那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。
第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。
表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。
2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。
5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。
将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。
2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。
（2）输入数据，进行数据预处理。
（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。
（4）输出回归系数、截距等参数。
4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。
（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。
（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。
5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。
2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。
动态系统建模实验报告
一、实验目的
本次实验旨在通过动态系统建模，探究系统内部的运行规律及其变化关系，从而对系统进行深入分析和优化。
二、实验过程
1. 系统建模：根据实际系统的情况，确定系统的输入、输出、内部因素及其关系，建立相应的数学模型。
2. 数据采集：利用实验仪器对系统输入、输出数据进行采集，获取系统在不同时间点的状态值。
3. 模型求解：根据建立的数学模型，利用适当的计算方法对系统进行求解，得到系统运行的动态过程和规律。
4. 结果分析：对求解结果进行分析，比较模型预测值与实际数据的差异，进一步优化建模过程。
三、实验结果
通过对系统建模与求解的过程，我们得到了系统的动态过程图和规律性变化曲线，进一步揭示了系统内部的运行机制：
1. 系统动态响应：系统在受到外部激励后，出现一定的时间延迟和振荡现象，逐渐趋于稳定状态。
2. 系统稳定性：分析系统的稳定性，得到系统在不同条件下的临界点和稳定区域。
3. 系统优化：根据模型分析结果，对系统进行优化调整，提高系统的运行效率和稳定性。
四、实验总结
通过本次动态系统建模实验，我们深入了解了系统内部的运行规律和变化关系，掌握了系统建模与分析的方法和技巧。
通过实验过程的探究和实践，我们不仅提高了对系统运行的认识，也为今后的工程实践和科研工作积累了宝贵的经验。
希望通过不断的学习和实践，能够进一步完善自己的动态系统建模能力，为未来的科学研究和工程应用做出更大的贡献。
数学建模的实验分析数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，通过应用数学知识和方法，对真实世界中的问题进行建模、分析和求解。
其中，实验分析是数学建模过程中不可或缺的一环，它能够帮助我们验证模型的有效性、可行性，并为实际问题的解决提供科学依据。
本文将重点探究数学建模的实验分析方法及其在实践中的应用。
一、实验分析方法的选择在进行数学建模实验分析时，我们可以根据具体的问题选择不同的方法，下面将介绍几种常用的实验分析方法：1. 数值实验：通过计算机模拟实际情况，利用数值方法求解模型，得到数值解并进行分析。
这种方法的优势在于计算精度高、计算速度快，能够较好地模拟实际问题。
例如，在物理模型中，我们可以利用有限差分法或有限元法进行数值实验，验证模型的正确性。
2. 理论分析：通过数学推导和分析，对模型进行深入研究，推导出解析解或近似解，并对解的性质进行分析。
这种方法的好处在于可以得到精确的解析解，从而深入理解问题。
例如，在经济模型中，我们可以通过对微分方程的求解，得到模型的解析解，并分析解的稳定性和灵敏度。
3. 实际实验：通过搭建实验装置，对模型进行真实实验，并记录实验数据。
这种方法的优点在于可以获取真实的数据，并对模型的可行性进行验证。
例如，在生物模型中，我们可以利用实验仪器观察生物的生长过程，得到实际数据，然后与建模结果进行对比。
选择合适的实验分析方法需要综合考虑问题的性质、数据的可获得性以及模型的复杂程度等因素。
二、实验分析的应用举例数学建模的实验分析在各个学科中都有广泛的应用。
以下将从物理、经济和生物三个领域分别介绍实验分析的应用举例。
1. 物理领域：在物理模型中，实验分析可以帮助验证模型的正确性并得到更准确的物理规律。
例如，在模拟天体运行的模型中，我们可以通过数值实验计算行星的轨道、速度等信息，并与实际观测数据进行对比，从而验证模型的准确性。
2. 经济领域：在经济模型中，实验分析可以帮助评估政策、预测市场走向等。
建模实验报告摘要：本实验主要针对建模方法进行研究与探索，分别采用了数学模型、统计模型和物理模型进行建模实验。
实验结果表明，不同的建模方法对于问题的解决和分析具有不同的优势和适用性，选择合适的建模方法能够有效提高问题的解决效率和精确度。
1.引言建模是指将实际问题转化为数学模型、统计模型或物理模型等形式的一种方法。
通过建模，我们可以抽象出实际问题中的关键因素和变量，进一步分析和解决问题。
本实验将重点研究数学模型、统计模型和物理模型的建模方法，并通过实验验证其有效性和适用性。
2.数学模型的建模方法数学模型是以数学的形式描述实际问题的模型。
在本实验中，我们采用了几种常见的数学建模方法，包括代数方程模型、微分方程模型和最优化模型。
2.1 代数方程模型代数方程模型是一种通过代数方程来描述问题的模型。
我们可以采用一系列代数方程来表示问题中的变量和关系，进而通过求解方程组来得到问题的解。
在实验中，我们以一个简单的线性方程组作为例子，通过代数方程模型计算方程组的解。
2.2 微分方程模型微分方程模型是一种通过微分方程来描述问题的模型。
微分方程可以描述问题中的变量和其变化率之间的关系。
在实验中，我们以一个经典的弹簧振动模型为例，通过微分方程模型求解系统的振动频率和振幅。
2.3 最优化模型最优化模型是一种通过寻找最优解来描述问题的模型。
最优化模型可以用于解决各种优化问题，如线性规划、整数规划等。
在实验中，我们以一个简单的线性规划问题为例，通过最优化模型求解问题的最优解。
3.统计模型的建模方法统计模型是一种通过统计理论和方法来描述问题的模型。
在本实验中，我们主要研究了回归分析和时间序列分析两种常见的统计建模方法。
3.1 回归分析回归分析是一种通过建立变量之间的回归关系来描述问题的模型。
在实验中，我们以一个销售数据的回归分析为例，通过建立销售额和广告投入之间的回归关系，预测未来的销售额。
3.2 时间序列分析时间序列分析是一种通过统计和数学方法来描述时间序列的模型。
第1篇一、实验背景随着大数据时代的到来，机器学习技术在各个领域得到了广泛应用。
本实验旨在通过实际操作，掌握机器学习建模的基本流程，包括数据预处理、特征选择、模型选择、模型训练和模型评估等步骤。
通过实验，我们将深入理解不同机器学习算法的原理和应用，提高解决实际问题的能力。
二、实验目标1. 熟悉Python编程语言，掌握机器学习相关库的使用，如scikit-learn、pandas等。
2. 掌握数据预处理、特征选择、模型选择、模型训练和模型评估等机器学习建模的基本步骤。
3. 熟悉常见机器学习算法，如线性回归、逻辑回归、决策树、支持向量机、K最近邻等。
4. 能够根据实际问题选择合适的机器学习算法，并优化模型参数，提高模型性能。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 机器学习库：scikit-learn 0.24.2、pandas 1.3.4四、实验数据本实验使用鸢尾花数据集（Iris dataset），该数据集包含150个样本，每个样本有4个特征（花瓣长度、花瓣宽度、花萼长度、花萼宽度）和1个标签（类别），共有3个类别。
五、实验步骤1. 数据导入与预处理首先，使用pandas库导入鸢尾花数据集，并对数据进行初步查看。
然后，对数据进行标准化处理，将特征值缩放到[0, 1]范围内。
```pythonimport pandas as pdfrom sklearn import datasets导入鸢尾花数据集iris = datasets.load_iris()X = iris.datay = iris.target标准化处理from sklearn.preprocessing import StandardScalerscaler = StandardScaler()X = scaler.fit_transform(X)```2. 特征选择使用特征重要性方法进行特征选择，选择与标签相关性较高的特征。
软件建模实验报告引言软件建模是指使用计算机辅助工具和技术来构建和描述现实世界的软件系统模型。
实验中，我们将使用一种基于UML的建模工具来实现软件建模，并通过一个具体案例来展示建模的步骤和过程。
实验目的本次实验的主要目的是让学生掌握软件建模的基本概念和方法，能够利用建模工具进行软件建模，并能够根据实际需求进行系统模型的设计和描述。
实验准备在进行实验之前，我们需要准备以下几个方面的内容： 1. 安装建模工具：在本次实验中，我们将使用X建模工具进行软件建模。
请从官方网站下载并安装该工具。
2. 学习建模工具的基本操作：在安装完成后，我们需要学习建模工具的基本操作，包括如何创建新的项目、如何添加类和关系、如何进行模型的导出和保存等。
实验步骤步骤一：需求分析首先，我们需要进行需求分析，明确系统的功能和特性。
在本次实验中，我们以一个图书管理系统为例进行建模。
系统主要包括以下功能：用户注册、图书查询、借阅图书、归还图书等。
步骤二：用例建模在需求分析完成后，我们需要进行用例建模。
用例是对系统功能的一种描述，可以帮助我们理解系统的行为和交互。
根据需求分析，我们可以得到多个用例，如注册用例、图书查询用例等。
在建模工具中，我们可以使用类图来表示用例和参与者之间的关系。
步骤三：类建模类建模是用于描述系统内部结构的一种建模方法。
在本次实验中，我们需要对系统中的各个类进行建模。
首先，可以根据需求分析得到一个初始的类列表，包括用户类、图书类、借还记录类等。
然后，我们可以根据类之间的关系，如继承、关联等，进一步完善类模型。
步骤四：状态建模在一些系统中，状态是非常重要的概念，需要进行专门的建模描述。
在本次实验中，我们可以考虑对图书的状态进行建模，如借出状态、可借状态等。
可以使用状态图来表示状态之间的转换和条件。
步骤五：序列建模序列建模用于描述系统中的交互过程和消息传递。
在本次实验中，我们可以使用序列图来描述用户和系统之间的交互过程。
建模绘制实验报告建模绘制实验报告一、引言在科学研究和工程实践中，建模绘制实验报告是一项重要的任务。
通过建立合理的模型和绘制精确的图表，我们可以更好地理解问题的本质，从而为解决问题提供有力的支持。
本文将探讨建模绘制实验报告的意义、方法和技巧。
二、建模的意义建模是将真实世界的问题抽象化为数学模型的过程。
通过建模，我们可以清晰地描述问题的关键要素、相互关系和变化规律。
建模的意义在于：1. 提供问题的形式化描述：通过建模，我们可以将问题转化为数学语言，从而准确地表达问题的本质和要求。
2. 理解问题的本质：通过建立模型，我们可以深入分析问题的特征和机制，从而更好地理解问题的本质和内在规律。
3. 预测和优化：通过模型，我们可以进行仿真和预测，从而在实际操作中找到最优解决方案，提高效率和质量。
三、绘制实验报告的重要性绘制实验报告是建模过程中的关键环节。
实验报告是对研究结果的总结和展示，具有以下重要性：1. 传递信息：实验报告通过文字、图表等形式，将研究结果传递给读者，使其了解问题的背景、目的、方法和结果。
2. 验证可行性：实验报告可以验证模型的可行性和有效性，通过实验结果的分析和对比，评估模型的准确性和适用性。
3. 提供参考：实验报告可以为后续研究和实践提供参考，为其他研究者和工程师提供借鉴和启示。
四、建模绘制实验报告的方法和技巧1. 选择合适的建模方法：根据问题的性质和要求，选择合适的建模方法，如数学建模、统计建模、物理建模等。
2. 确定模型的关键要素：分析问题，确定模型中的关键要素和变量，建立它们之间的关系。
3. 选择合适的绘图工具：根据模型的特点和要求，选择合适的绘图工具，如Matplotlib、Excel等。
4. 绘制清晰、准确的图表：在绘制图表时，要注意保持图表的清晰度和准确性。
标注坐标轴、单位和标题，使用适当的颜色和线型，以提高图表的可读性。
5. 分析和解读结果：在实验报告中，要对结果进行分析和解读，解释模型的预测能力和应用范围，提出改进和优化的建议。
第十五章综合实验
[学习目的]
1．学习对数学知识的综合运用；
2．学习数学建模——数学应用的全过程；
3．培养实际应用所需要的双向翻译能力。
工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。
§15.1水箱水流量问题
[学习目标]
1.能表述水箱水流量问题的分析过程；
2.能表述模型的建立方法；
3.会利用曲线拟合计算水箱的水流量；
4.会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。
一、问题
许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。
试通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量f（t）。
给出下面原始数据表，其中长度单位为E（1E=30.24cm）。
水箱为圆柱体，其直径为57E。
假设：
1．影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；
2．水泵的灌水速度为常数；
3．从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；
4．每天的用水量分布都是相似的；
5．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；
140
6．当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。
二、问题分析与建立模型
1.引入如下记号：
V——水的容积；
V i——时刻t i（h）水的容积（单位G，1G=3.785L（升）；
f（t）——时刻t i流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）；
p——水泵的灌水速度（G/h）。
根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高转换成水的体积（V=πR2h），得下表。
注：第一段泵水的始停时间及水量为
t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）
t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）
第二段泵水的始停时间及水量为
t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）
t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）
2.由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：
平均流速=（区间左端点的水量―区间右端点的水量）/区间中点值
得下表：
141
142
做出散点图如图15-1。
图15-1 散点图
从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。
三、 计算过程
1．算法：
第1步 输入数据{x i ，y i }；
第2步 进行拟合； 第3步 作出散点图； 第4步 作出拟合函数图； 第5步 进行误差估算。
2．实现
在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。
3．误差估计：
误差估算时，由于水泵的灌水速度为一常数，水箱中水的体积的平均变化速度t
V ∆∆应近似
等于水泵的灌水速度P 减去此段时间从水箱中流出的平均速度。
即
143
t
dt t f t V P ∆+
∆∆=⎰
)(/
此处f （t ）在Δt 区间的两端点间进行积分。
如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。
下面通过水泵开始和停止工作的两段区间，即t ∈[8.968，10.926] 及t ∈[20.839，22.958]来进行检验。
第一段：
对应于 t 始=8.968（h ）， t 末=10.926（h ） 水量分别为 v 始=514800（G ），v 末=677600（G ）
故
ΔV 1=677600-514800=162800（G ） Δt 1=10.926-8.986=1.958（h ）
1
1t V ∆∆=83150（G/h ）
第二段：
对应于 t 始=20.839（h ）， t 末=22.958（h ） 水量分别为 v 始=514800（G ）， v 末=677600（G ）
故
ΔV 2=677600-514800=162800（G ） Δt 2=22.958-20.839=2.119（h ）
22t V ∆∆=76830（G/h ）
P 1=83150+⎰
∆926
.10968
.81)(1dt
t f t P 2=76830+⎰
∆958
.22839
.202
)(1dt
t f t
2
2
1P P P -=
δ
四、 结果分析
通过水泵开始和停止工作的两段时间检验水泵灌水速度应近似为常数；其中由{1，x ，x 2，x 3，…，x 8}拟合的函数f （t ）所产生的误差为8.217%，由{1，x 3，x 5，sin(0.1x )，cos(0.1x )}拟合达到8.224%。
由此可见如选择不同的基函数，将得不同的误差。
但是只要基函数选择恰当，所产生的误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。
同时，一旦确定了最佳f （t ），我们便可通过Integrate[ ]函数估算出一天的用水总量，从而根据常规每1000人用水量来推测出该地区的人口数，另外，还可求得水箱的平均流速。
评价
1．优点：
（1）任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来；
（2）可推测几天的流速；
（3）可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。
2．缺点：
（1）如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速；
（2）通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。
源程序：
L={{0.460，14.0}，{1.382，12.0}，{2.396，10.0}，{3.411，9.6}，
{4.425，9.6}，{5.439，8.9}，{6.45，9.6}，{7.468，8.9}，
{8.448，10.0}，{11.49，18.6}，{12.49，20.0}，{13.42，19.0}，
{14.43，16.0}，{15.44，16.0}，{16.37，16.0}，{17.38，14.0}，
{18.49，14.0}，{19.50，16.0}，{20.40，15.0}，{24.43，14.0}，
{25.45，12.0}}
fx=Fit[L，{1，x^3，x^5，Sin[0.1x]，Cos[0.1x]}，x]
graph1=ListPlot[L，DisplayFunction→Identity]
graph2=ListPlot[fx，{x，0.46，25.45}，DisplayFunction→Identity]；
Show[graph1，graph2，DisplayFunction→$DisplayFunction，
PlotRange→All]
图15-2 水箱水流量拟合图
v1=677600-514800；
t2=10.926-8.968；
m1=v1/t1；
v2=677600-514800；
t1=22.958-20.839；
m2=v2/t2；
p1=m1+Integrate[fx，{x，8.968，10.926}]/t1
p2=m2+Integrate[fx，{x，20.839，22.958}]/t2
%=（p1-p2）p2
运行结果为：
144
112.541-0.0198509x3+0.0000156083x5-97.968Cos[0.1x]-33.1108Sin[0.1x]
83159.9 76840.8 0.0822362
习题15.1
1．试将水箱水流量问题的建模方法推广到闭路电视的普及预测模型，下表列出了美国自1952年至1978年闭路电视的统计数据。
根据上表中的数据可以绘制美国家庭采用闭路电视的增长曲线。
请利用已有历史资料来预测未来闭路电视在家庭采用的百分比。
2．某工地用两台正向铲挖土机挖土，用容量8m3的汽车运土，汽车到达的时间间隔相互独立并服从负指数分布，平均每小时到24辆。
装车时间服从正态分布，平均每小时装车15辆。
设每台挖土机每天的使用费为250元，汽车的使用费每天150元。
试模拟该工地的生产过程，并计算：
（1）挖土机的利用率；
（2）每小时的平均挖土量；
（3）挖土机空闲和汽车等待时每天平均的损失费。
3．某杂货店只有一个收款台，顾客到达收款台的间隔是服从均值为4.5的负指数分布，每个顾客的服务时间服从均值为3.2标准差0.6的正态分布。
这里时间的单位是分钟，且服务时间不取负值。
对100个顾客去收款台缴款的排队过程进行仿真。
145。
