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正态分布

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正态分布

正态分布
x
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X

~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a

正态分布的概念及应用

正态分布的概念及应用
正态分布的概念及应用
• 正态分布的简介 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用场景 • 正态分布在数据分析中的应用 • 正态分布在机器学习中的应用 • 正态分布与其他统计分布的关系
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 描述了许多自然现象的概率分布 形态，其概率密度函数呈钟形曲 线，且具有对称性。
贝叶斯推断
正态分布在贝叶斯推断中发挥了重要作用。通过贝叶斯定理，我们可以根据先 验知识和数据更新对未知参数的估计，而正态分布可以作为先验知识的分布形 式。
核方法和支持向量机
核方法
在支持向量机（SVM）等核方法中，正态分布作为核函数的一 种形式，用于将输入空间映射到高维特征空间，从而使得线性 不可分的数据变得线性可分。
在时间序列分析中，正态分布可用于描述时间序列数据的分布特征， 并建立预测模型。
05
正态分布在机器学习中的应用
概率模型和贝叶斯推断
概率模型
正态分布是一种常用的概率分布，在贝叶斯推断中，我们常常假设某些参数服 从正态分布，以便进行统计推断。例如，在朴素贝叶斯分类器中，特征的概率 分布被假设为正态分布。
考试成绩和测试评分
考试成绩和各种测试评分也经常呈现正态分布，因为大多数人的得分集中在平均分附近， 而高分和低分的人数较少。
气温、降雨量等气候数据
气温、降雨量等自然现象数据也可以用正态分布来描述，因为它们通常遵循类似的统计规 律。
科学研究和技术开发
01 02
实验结果和测量数据
在科学实验和测量中，很多数据呈现正态分布，如放射性衰变的半衰期、 化学反应速率等。这些数据反映了物质内部微观粒子的随机运动和相互 作用。
正态分布在统计学中的地位

正态分布

正态分布

2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).

这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)

P{X

x}

P

X



x


P

X
1 2

5
1
2

2
0.9772
P{0

X
1.6}
P

0
1 2

X 1 2

1.6 1
2

0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05

0.12}
P

0.12 0.06

X
10.05 0.06

0.12
0.06

2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2

什么是正态分布

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布（Normal Distribution），又称为高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中十分重要的一种连续概率分布。

它是由数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的。

基本概念及性质正态分布的概率密度函数可以用如下的数学公式表示：其中，是均值，是标准差。

正态分布的特点如下：曲线呈钟形状，并且以均值为对称轴。

分布的均值、中位数和众数都相等，且位于曲线的中心。

标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。

正态分布的总面积等于1。

正态分布可以通过均值和标准差来完全描述。

重要应用领域正态分布在各个领域都有广泛的应用，以下列举了一些典型的应用：统计学在统计学中，正态分布是基础假设之一。

许多统计模型和方法都是基于假设数据服从正态分布进行推导和处理的。

例如，最小二乘回归、方差分析、z检验、t检验等都假定数据符合正态分布。

金融学正态分布在金融学中有广泛应用。

根据随机漫步理论，股票价格变动通常被认为是正态分布的。

基于此假设，投资者可以使用正态分布模型来进行风险评估和收益预测。

自然科学许多自然科学现象可以用正态分布来描述。

例如，身高、体重、IQ 分数等人类特征常常呈现出正态分布；地震、海啸等自然灾害的发生频率也具有一定程度上的正态性。

工程学在质量控制和可靠性工程中，正态分布也具有重要意义。

通过对工程过程数据进行正态性检验，可以评估产品是否在可接受范围内，并进行相应的调整和改进。

正态检验与参数估计为了判断给定数据是否服从正态分布，我们可以使用一些统计方法进行检验。

常见的方法包括：Kolmogorov-Smirnov检验：比较经验累积分布函数与理论累积分布函数之间的差异。

Shapiro-Wilk检验：基于样本数据与其期望值之间的相关系数来判断样本是否符合正态性。

QQ图：通过比较样本数据与理论上由正态分布生成的随机变量之间的关系来检查数据是否近似为正态分布。

正态分布

正态分布

三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95

正态分布

正态分布

正态分布（normal distribution ）一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。

概率密度函数， -∞<x<∞二、 参数1、可变参数（1）位置参数 μ E （x ）=μ表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ11 2 3(2) 形态参数 σ表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。

三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律P{μ-σ<x<μ+σ}=0.6827P{μ-1.96σ<x<μ+1.96σ}=0.9500 P{μ-2.58σ<x<μ+2.58σ}=0.990022()())2X f X μσ-=-四、 应用1、描述资料分布2、依据面积分布规律求医学参考值范围3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。

而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出例：已知x =50，S=10,N=200,求45<x<65的频数 解：令x 1=45 x 2=65U 1=(45-50)/10=-0.5， U 2=(65-50)/10=1.5 查U 值表Ф{-0.5< U 1<0}=0.5-0.3085=0.1915 Ф{0< U 2<1.5}=0.5-0.0668=0.4332 P{-0.5<U<1.5}=0.1915+0.4332=0.6247 200×0.6247=1255、正态分布式在特定条件下一些离散型分布的极限分布，这意味着只要符合特定条件，这些离散型分布亦可按正态近似法处理。

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布，又称高斯分布，是在统计学和概率论中非常重要的一种连续概率分布。

它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的，常用于描述自然界中的许多现象，如身高、智商、测量误差等。

正态分布具有对称的钟形曲线，其特性使得它在统计推断、假设检验等领域起着至关重要的作用。

正态分布的定义正态分布是一个由均值μ（mu）和标准差σ（sigma）两个参数所决定的概率密度函数。

其数学表达式为：在这个公式中，( f(x) ) 是随机变量 ( X ) 的概率密度函数( ) 是均值，代表分布的中心位置( ) 是标准差，用于描述数据的离散程度( e ) 是自然对数的底数，约等于2.71828通过上述公式可以看出，当 ( x = ) 时，( f(x) )达到最大值；而随着 ( x ) 离开均值，概率密度逐渐减小。

正态分布的特性正态分布有几个重要特性，使其在研究中无处不在。

1. 对称性正态分布是关于均值 ( ) 对称的。

这意味着如果你将正态分布函数沿其均值向两侧折叠，左侧和右侧的形状完全一致。

这一特性使得很多统计方法可以简化计算，并提高了分析的效率。

2. 68-95-99.7法则这一法则描述了数据集中不同标准差范围内的数据比例：约68%的数据点落在均值±1个标准差内约95%的数据点落在均值±2个标准差内约99.7%的数据点落在均值±3个标准差内这一规律为理解异常值、识别数据分布特点提供了直观的依据。

3. 中心极限定理中心极限定理表明，在一定条件下，不同的独立随机变量之和趋向于正态分布，无论这些变量本身的分布是什么。

这意味着当你对大量独立同分布的随机变量取样时，其总和或平均值会呈现出近似正态分布，这一特性是统计推断的重要基础。

4. 单峰性正态分布是单峰的，即它只有一个峰值，这个峰值就是均值( μ )。

在这个峰值附近，概率密度最大的地方，随着离均值越远，数据点稀疏程度迅速增加。

正态分布完整ppt课件

正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

正态分布



e
2 2
dX
2.正态分布的表示方法：X～N（μ , σ2）
三、正态分布的特征
① 呈钟型，高峰在中央（均数所在处）；
② 以均数为中心，左右对称； ③ 正态分布有两个参数，即均数与标准差（与）
：位置参数
：形态参数
④ 不服从正态分布的指标，经转换可服从正态分布 ⑤ 正态曲线下的面积分布有一定规律，总面积=1
正态分布
一、正态分布的概念
又称Gauss分布，是自然界最常见、最重要 的一种分布，是连续型变量的分布，是许多 统计分析方法的基础。 得来： 频数分布直方图 设想为频率分布曲线 近似正态分布曲线
二、正态分布图形
1.概率密度函数：
1 F(X ) 2X ( X )2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
σ =0.5
σ =1 σ =2
四、标准正态分布
1.定义：又称Z分布（u分布），是一种特殊的 正态分布 （μ＝0，σ2＝1） 2.表示方法： Z～N（0 , 1） 3.标准化变换：
4.许多统计分析方法的基础
1.估计频数分布
利用标准正态分布曲线下面积，可
以估计任意取值在（X1，X2 ）范围 内的频数比例。
例题2-15
2.确定医学参考值范围
概念 ：又称正常值范围，指绝大多数 正常人的人体形态、功能、代谢产物 等各种生理、生化指标的波动范围。 在诊断方面可用于划分正常或异常。
公式（正态分布法）：以95％为例

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目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
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µ-a µ+a
P( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
我们从上图看到，正态总体在 (µ − 2σ , µ + 2σ ) 我们从上图看到， 以外取值的概率只有4.6％， ％，在 以外取值的概率只有 ％，在(µ − 3σ , µ + 3σ )以外 取值的概率只有0.3 取值的概率只有 ％。 当 a = 3σ 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％在实 由于这些概率值很小（一般不超过 . ）， 之内, 其他区间取值几乎不可能. ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 通常称这些情况发生为小概率事件 则 小概率事件。 通常称这些情况发生为小概率事件。. 运用中 考虑这 区间, 际运用中就只考虑这个区间,称为 3σ 原
如果随机变量X服从正态分布， 如果随机变量 服从正态分布， 服从正态分布 则记作 X~ N（ µ，σ2） （ ，
正态总体的函数表示式 正态总体的函数表示式 − 1 f ( x) = e 2π σ
当µ= 0，σ=1时
( x−µ )2 2σ 2
x ∈ (−∞,+∞)
y
µ=0
标准正态总体的函数表示式 标准正态总体的函数表示式
越“瘦高”越招人喜欢！
方差相等、 方差相等、平均数不等的正态分布图示
µ=0 µ= -1 µ= 1
σ=0.5
固定, 若σ 固定 随 µ值 的变化而 沿x轴平 轴平 移, 故 µ 称为位置 参数； 参数；
µ3
µ1
µ2
平均数相等、 平均数相等、方差不等的正态分布图示
µ=0
σ=0.5
σ=1
固定, 若 µ固定 σ 大 曲线矮而胖； 时, 曲线矮而胖； 小时, 小时 曲线瘦 σ 而高, 而高 故称 为形状参数。 为形状参数。
0.9544
.
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7). 、 求
σ=2
µ
越“瘦高”越稳定
µ 决定对称轴 σ决定“高矮胖瘦”
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
这说明了正态 分布的概率的 什么规律？
4、特殊区间的概率: 、特殊区间的概率 2 则对于任何实数a>0,概率 若ξ ~N ( µ , σ ) ,则对于任何实数 则对于任何实数 概率
a
2.正态分布的定义 正态分布的定义: 正态分布的定义
随机变量X满足 如果对于任何实数 a<b,随机变量 满足 随机变量 满足:
P(a < X ≤ b) = ∫ ϕ µ ,σ ( x)dx
a
b
则称为X 的正态分布 正态分布由参数µ、σ唯一确定. 则称为 的正态分布. 正态分布记作N（ µ，σ2）.其图象称为正态曲线 其图象称为正态曲线 正态曲线.
1 σ 2π
（5）当 x<µ时,曲线上升 当x>µ时,曲线下降 并且当曲 曲线上升;当 曲线下降.并且当曲 ） 时 曲线上升 时 曲线下降 线向左、右两边无限延伸时,以 轴为渐近线 轴为渐近线,向它无限 线向左、右两边无限延伸时 以x轴为渐近线 向它无限 靠近. 靠近 (6)当µ一定时，曲线的形状由 确定 . 一定时， 当 一定时 曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越大， 越大 曲线越“矮胖” 表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 越小， 越小 曲线越“瘦高” 表示总体的分布越集中.
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (−∞, −2) 内取值的概率 、已知 ， 在区间 等于（ 等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , 3、设连续型随机变量X~N(0,1),则 P( X ≤ 0)= 、设连续型随机变量 则
P (−2 < X < 2) =
选修2-3 高二数学 选修
2.4 正态分布
必备知识
1、《必修3》65—69页：总体密度曲线的产生过程 、 必修 》 页 2、《选修2-2》46页：定积分的几何意义 、 选修 》 页 3、《*&……%￥》 、 ￥ (1) 指数函数的图像
（2）函数图像的平移和伸缩规律 ） （3）函数的奇偶性 ） （4）函数的单调性及最值 ） （5） 复合函数的性质 ）
y
a
b
x
若用X表示落下的小球与高尔顿板底部接触时的坐 若用 表示落下的小球与高尔顿板底部接触时的坐 是一个连续型随机变量.X落在区间 标,则X是一个连续型随机变量 落在区间 则 是一个连续型随机变量 落在区间(a,b]的概率 的概率 为: b
P (a < X ≤ b) = ∫ ϕ µ ,σ ( x)dx
1 64
6 64
15 64
20 64
15 64
6 64
1 64
x
Hale Waihona Puke yx正态曲线导入
1 、正态曲线的定义： 正态曲线的定义：
1 − e 函数ϕµ,σ (x) = 2πσ
( x−µ)2 2σ 2
x ∈(−∞,+∞)
式中的实数µ、 是参数， 式中的实数 、σ(σ>0)是参数，分别表示 是参数 总体的平均数与标准差， 的图象称为正态曲线 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线 的图象称为
P(µ − a < ξ ≤µ + a) =
特别地有
µ+a
−a
∫ ϕµ σ ( x)dx µ
,
P( µ − σ <x=µ µ + σ ) = 0.6826, X≤ P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
例、在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从一个正 在某次数学考试中， 态分布， 态分布，即 ξ ~N(90,100). （1）试求考试成绩 ） 多少？ 多少？
ξ 位于区间 位于区间(70,110)上的概率是 上的概率是
名考生， （2）若这次考试共有 ）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 名考生 间的考生大约有多少人？ 在(80,100)间的考生大约有多少人？ 间的考生大约有多少人 练习： 、已知一次考试共有60名同学参加 名同学参加， 练习：1、已知一次考试共有 名同学参加，考生的 (100,52 )，据此估计，大约应有 人的分 成绩X~ 据此估计，大约应有57人的分 成绩 数在下列哪个区间内？（ 数在下列哪个区间内？（ A ） A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
σ=1
x2
1 −2 f (x) = e x ∈(−∞,+∞) 2π
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
3、正态曲线的性质
轴的上方， 轴不相交. （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. 曲线在 轴的上方 轴不相交 它关于直线x=µ对称 对称. （2）曲线是单峰的 它关于直线 ）曲线是单峰的,它关于直线 对称 处达到峰值(最高点 （3）曲线在 ）曲线在x=µ处达到峰值 最高点 处达到峰值 最高点) 轴之间的面积为1 （4）曲线与 轴之间的面积为 ）曲线与x轴之间的面积为