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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理有关历史PPT课件
2
2
2
得1
2
1
(a+b)(a+b)= 2
1
ab+ 2
1
ab+ 2
c2
即 a2＋2ab+ b2= ab+ab+ c2
2021/3/12
因此 a2＋b2＝c2
6
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/3/12
7
2021/3/12
1
勾股定理在欧洲中世纪被戏称为 “驴桥”，因为那时数学水平较低 ，很多学习欧几里得《原本》的人 到这里被卡住，难于理解和接受。 所以勾股定理被谑称为「驴桥」， 意谓笨蛋的难关 。
2021/3/12
2
很早以前，人们就知道了边长为3、4、5和5 、12、13的三角形为直角三角形。毕达哥拉斯 发现了这两套数字的共同之处：最大数的平方 等于另外两个数的平方和，即3²＋4²=5²；5²＋ 12²=13²。这就是说，以直角三角形最长边为边 长的正方形面积，等于两个短边为边长的两个 正方形面积的和。
如图：以c为斜边，做四个全等的直角三角形，直角边分别用字母 a和b表示且a＜b, 把这个三角形拼成右图。
易得：四边形ABDE是正方形 ∴S正方形ABDE=c²
而四边形CFIH是一个边长为（b-a）的正方形， S正CFIH= （b-a）²
因为S正方形ABDE= S正方形CFIH+S△BHD+S△DIE+S△ACB+S△EFA
∴c²=4×12 ab+（b-a）²
化简202得1/3/1：2 c²=a²+b²
5
“总统”证法
加菲尔德经过反复思考与演算，终于弄清了其 中的道理，并给出了简洁的证明方法。
《勾股定理》课件
《勾股定理》PPT课件
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
勾股定理课件PPT
04 勾股定理的应用
在几何学中的应用
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重要工 具，通过已知的两边长度，可以计算 出第三边的长度，从而判断三角形是 否为直角三角形。
求解三角形问题
证明定理
勾股定理在几何学中经常被用于证明 其他定理或性质，例如角平分线定理、 余弦定理等。
勾股定理在求解三角形问题中也有广 泛应用，例如求解三角形的面积、周 长等。
03
02
解决实际问题
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。例如，在建筑 、航空、航海等领域，都需要用到勾股定理来计算角度 、长度等参数。
数学史上的里程碑
勾股定理在数学史上具有重要地位，它是数学发展的一 个里程碑。它的证明和发展推动了数学的发展，为后来 的数学家提供了许多启示和灵感。
02 勾股定理的起源与历史
02
毕达哥拉斯证明法是基于三角形 的边长和角度之间的关系，通过 观察和归纳，证明了勾股定理。
欧拉证明法
欧拉是18世纪的瑞士数学家，他通过代数方法和函数论，给出了勾股定理的一个 新证明。
欧拉证明法不仅证明了勾股定理，还进一步揭示了勾股定理与其他数学概念之间 的联系，使得勾股定理在数学领域中更加重要。
勾股定理在复数域的推广
勾股定理在复数域的推广形式
在复数域中，勾股定理的形式有所变化，但基的勾股定理关系仍然成立。
证明方法
利用复数域的性质和几何意义，通过几何图形和代数运算相结合的方法进行证 明。
06 勾股定理的趣味问题与挑战
勾股定理的趣味题目
勾股定理的证明
通过几何图形和数学推理，证明勾股 定理的正确性，让学生深入理解定理 的本质。
美观性。
航海学
在航海学中，勾股定理被用于确 定船只的航向、航速等参数，以
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
《趣味勾股定理》课件
应用：可以用于证明勾股定理，即直角三角形的斜边平方等于两个直角边平方之和
勾股定理的其他证明方法
海伦证明：通过圆周角来证 明
欧几里得证明：通过相似三 角形来证明
毕达哥拉斯证明：通过面积 相等来证明
卡尔达诺证明：通过代数方 法来证明
牛顿证明：通过无穷级数来 证明
费马证明：通过几何方法来 证明
勾股定理的应用
添加标题
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添加标题
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勾股定理在数学史上具有重要地位， 是数学家们研究几何学的重要工具
勾股定理在数学应用中具有广泛应 用，如建筑、工程、测量等领域
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 证明方法：通过几何图形的切割和拼接，证明勾股定理成立 证明步骤：首先，将直角三角形分为两个直角三角形和一个矩形 证明结果：通过几何图形的切割和拼接，得出勾股定理成立的结论
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯是古 希腊数学家，被 誉为“数学之父”
毕达哥拉斯证明法 是勾股定理的最早 证明方法之一
证明过程：通过构 造直角三角形，利 用面积相等来证明 勾股定理
证明意义：证明了勾 股定理的普遍性和有 效性，为后世数学发 展奠定了基础
弦图证明法
弦图：由三个直角三角形组成的图形 证明过程：通过连接直角三角形的斜边和直角边，形成弦图 结论：弦图面积等于直角三角形面积的两倍
中世纪：欧 洲数学家在 中世纪重新 发现了勾股 定理，并将 其广泛应用 于建筑和测 量领域
现代：随着 数学的发展， 勾股定理在 几何、代数、 分析等领域 得到了广泛 的应用和发 展
勾股定理在数学中的地位
勾股定理是数学中最基本的定理之 一，是几何学和代数学的基础
勾股定理的其他证明方法
海伦证明：通过圆周角来证 明
欧几里得证明：通过相似三 角形来证明
毕达哥拉斯证明：通过面积 相等来证明
卡尔达诺证明：通过代数方 法来证明
牛顿证明：通过无穷级数来 证明
费马证明：通过几何方法来 证明
勾股定理的应用
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勾股定理在数学史上具有重要地位， 是数学家们研究几何学的重要工具
勾股定理在数学应用中具有广泛应 用，如建筑、工程、测量等领域
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 证明方法：通过几何图形的切割和拼接，证明勾股定理成立 证明步骤：首先，将直角三角形分为两个直角三角形和一个矩形 证明结果：通过几何图形的切割和拼接，得出勾股定理成立的结论
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯是古 希腊数学家，被 誉为“数学之父”
毕达哥拉斯证明法 是勾股定理的最早 证明方法之一
证明过程：通过构 造直角三角形，利 用面积相等来证明 勾股定理
证明意义：证明了勾 股定理的普遍性和有 效性，为后世数学发 展奠定了基础
弦图证明法
弦图：由三个直角三角形组成的图形 证明过程：通过连接直角三角形的斜边和直角边，形成弦图 结论：弦图面积等于直角三角形面积的两倍
中世纪：欧 洲数学家在 中世纪重新 发现了勾股 定理，并将 其广泛应用 于建筑和测 量领域
现代：随着 数学的发展， 勾股定理在 几何、代数、 分析等领域 得到了广泛 的应用和发 展
勾股定理在数学中的地位
勾股定理是数学中最基本的定理之 一，是几何学和代数学的基础
勾股定理的应用课件
利用勾股定理确定卫星轨 道参数，提高卫星通信的 覆盖范围和信号质量。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
勾股定理ppt课件
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方(勾股定理)
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
《勾股定理发展史》课件
莱布尼茨分别在微积分学和解析几何方面做出了卓越 的贡献，他们的研究为勾股定理的应用和发展提供了新的思 路和方法。
牛顿利用微积分的方法研究了曲线的面积和体积，而莱布尼 茨则利用解析几何的方法研究了平面图形的面积和体积，这 些研究都与勾股定理有着密切的联系。
CHAPTER 03
相等的特殊情况。
非欧几何的应用主要在宇宙学 、相对论等领域，勾股定理在 这些领域中仍然具有重要意义
。
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域中可以表述为 三角恒等式，即对于任意复数z
，有z^2 = x^2 + y^2。
在复数域中，勾股定理的应用主 要涉及信号处理、控制系统等领
域。
通过利用勾股定理，可以方便地 计算复数的模长，进而进行信号
建筑中的勾股定理
建筑师在设计和建造建筑物时，经常运用勾股定理的原理。例如，在建造高塔或大型建筑时，建筑师可以利用勾 股定理来计算建筑物的角度和线条，以确保建筑物的稳定性和美观性。
勾股定理在文学作品中的描述
小说中的勾股定理
一些小说家在创作中运用勾股定理的原理，以丰富作品的主题和情节。例如，在描写爱情故事时，小 说家可以利用勾股定理来描述男女主角之间的情感关系，使情节更加生动和有趣。
欧几里得的证明方法虽然简洁，但在当时并未得到广泛的认可和应用，直到文艺 复兴时期才被重新发掘和推广。
笛卡尔与费马的新证明方法
笛卡尔和费马分别独立地提出了新的 证明方法，他们的证明方法更加直观 和易于理解，为勾股定理的普及和应 用做出了重要贡献。
笛卡尔的证明方法利用了代数和坐标 系的思想，而费马的证明方法则利用 了无穷小量的概念，这两种方法都对 后来的数学发展产生了深远的影响。
毕达哥拉斯定理
牛顿利用微积分的方法研究了曲线的面积和体积，而莱布尼 茨则利用解析几何的方法研究了平面图形的面积和体积，这 些研究都与勾股定理有着密切的联系。
CHAPTER 03
相等的特殊情况。
非欧几何的应用主要在宇宙学 、相对论等领域，勾股定理在 这些领域中仍然具有重要意义
。
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域中可以表述为 三角恒等式，即对于任意复数z
，有z^2 = x^2 + y^2。
在复数域中，勾股定理的应用主 要涉及信号处理、控制系统等领
域。
通过利用勾股定理，可以方便地 计算复数的模长，进而进行信号
建筑中的勾股定理
建筑师在设计和建造建筑物时，经常运用勾股定理的原理。例如，在建造高塔或大型建筑时，建筑师可以利用勾 股定理来计算建筑物的角度和线条，以确保建筑物的稳定性和美观性。
勾股定理在文学作品中的描述
小说中的勾股定理
一些小说家在创作中运用勾股定理的原理，以丰富作品的主题和情节。例如，在描写爱情故事时，小 说家可以利用勾股定理来描述男女主角之间的情感关系，使情节更加生动和有趣。
欧几里得的证明方法虽然简洁，但在当时并未得到广泛的认可和应用，直到文艺 复兴时期才被重新发掘和推广。
笛卡尔与费马的新证明方法
笛卡尔和费马分别独立地提出了新的 证明方法，他们的证明方法更加直观 和易于理解，为勾股定理的普及和应 用做出了重要贡献。
笛卡尔的证明方法利用了代数和坐标 系的思想，而费马的证明方法则利用 了无穷小量的概念，这两种方法都对 后来的数学发展产生了深远的影响。
毕达哥拉斯定理
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写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
❖ 在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公 元50至100年间），勾股定理得到了更加规 范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾股分别自乘，然后把它们的积加起
来，再进行开方，便可以得到弦。”。《九
章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的 数学成就，共收集了246个数学的应用问题和 各个问题的解法，列为九章，可能是所有中 国数学著作中影响最大的一部。
❖ 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到 正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加 上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2； 中间的小 正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。 于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2
❖ 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意 识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具 直观性，为中国古代以形证数、形数统一、 代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格 树立了一个典范。
“总统”证法 --伽菲尔德
❖ 伽菲尔德（James A. Garfield； 1831 1881） •1881 年成為美國第 20 任總統 •1876 年提出有關證明
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来， 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法
勾股定理的历史
❖ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千 百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的
数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，
也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因
为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它 成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出 版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证 明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际 上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明 方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提 供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟 的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的
❖ 稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以 形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即 剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某 些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的 空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解 法就解决了问题
毕达哥拉斯定理 Pythagoras’ theorem
（公元前572?～公元前497?）
十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
1.商高定理
❖ 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着 一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您 对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地 也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地 得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些 形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一 条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那 么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就 总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考 证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年 左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说 的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数 学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
❖ 在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又 称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们发现的时间都比我国 要迟得多
❖ 著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元 前330～公元前275）在巨著《几何原本》 （第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
❖ 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用 勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理 论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是 三国时期吴国的数学家赵爽。
❖ 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，
用形数结合得到方法，给出了
勾股定理的详细证明
赵爽 东汉末至三国时代吴国人
•为《周髀算经》作注，著有《勾股圆方图说》