选修4—4坐标系与参数方程 (2008年高考选修题赏析).doc

选修4—4坐标系与参数方程 （2008年高考选修题赏析）在坐标系和参数方程中，数与形的结合、运动与变化、相对与绝对、分解与综合等思想方法十分突出，是培养学生辩证唯物主义观点的好素材. 几经沉浮，几上几下，坐标系与参数方程终于又出现在课程改革实验省、市2008年高考数学试题中，并成为其亮点之一。

2008年高考<<考试说明>>对于（选修4—4：坐标系与参数方程）的要求：一是互化，二是会处理简单的弦长及最值问题， 一、2008年高考题链接1--1 2008年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（理科）23、选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：()x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数。

（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。

写出1'C ，2'C 的参数方程。

1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =．2C的普通方程为0x y -=．因为圆心1C到直线0x y -=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）； 2C '：24x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：122y x =+，联立消元得2210x ++=，其判别式24210∆=-⨯⨯=，所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同1—2 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin 2(sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值21 ---3 2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．【解析】我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即两曲线的交点为)6π。

二、各地部分模拟题粹集供欣赏2—1 江苏省2008年普通高等学校招生考试模拟试卷 数学（江苏卷）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆221169x y C +=:上一点，求P 到直线l 的距离的最值． 解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos θθ-= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=；（2）P 为椭圆221169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[02)α∈π,， 则P 到直线l的距离d =，其中4cos 5ϕ=，∴当cos()1αϕ+=时，d；当cos()1αϕ+=-时，d2—2 江苏省徐州市2007－2008学年度高三第三次质量检测3.若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解．由1ρ=得221x y +=， 又22cos()cos ,cos sin 3πρθθθρρθθ=+=-∴=220x y x ∴+-=，由222210x y x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得1(1,0),(,2A B -,AB ∴==2—3 江苏省赣榆县2008年高考数学模拟试卷数学试题加试部分 ５．建立极坐标系证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数 证 建立如图所示的极坐标系， 设抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-。

PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，则点Q 的极角为πθ+。

因此有:1cos p FP θ=-，1cos()1cos p pFQ πθθ==-++。

所以，111cos 1cos 2FP FQ p p pθθ-++=+=（常数）。

2---4 江苏省扬州中学2007—2008学年度第二学期第四次模拟考试2．曲线C 的极坐标方程是1cos ρθ=+，点A 的极坐标是（2，0），求曲线C 在它所在的平面内绕点A 旋转一周而形成的图形的周长解：设(,)P ρθ是曲线C 上的任意一点，则||1cos OP ρθ==+，由余弦定理，得 22222||||||2||||cos (1cos )2AP OP OA OP OA θθ=+-⋅=++21614(1cos )cos 3(cos )33θθθ-+=-+,当1cos 3θ=-时，||APA （2，0）代入曲线C 的极坐标方程，是满足的，知点A 在曲线C 上，所以曲线C 在它所在的平面内绕点A 旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、||AP =2π2—5 江苏省南师附中2008年高考数学模拟试卷（最后一卷）4．（坐标系与参数方程） 从极点O 作直线与另一直线cos 4ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.⑴求点P 的轨迹方程；⑵设R 为直线cos 4ρθ=上任意一点，试求RP 的最小值.2--6 江苏省南通市2008届高三第三次调研考试3．（选修4—4：坐标系与参数方程） 设点P 在曲线sin 2ρθ=上，点Q 在曲线2cos ρθ=-上，求||PQ 的最小值（选修4—4：坐标系与参数方程）解：以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系.将曲线sin ρθ=与曲线2cos ρθ=-分别化为直角坐标方程，得直线方程2y =，圆方程22(1)1x y ++=．所以圆心（－1，0）到直线距离为2，|PQ |的最小值为2－1＝1 2—7江苏省苏、锡、常、镇四市2008年高三教学情况调查（二） 坐标系与参数方程选做题）(本小题满分10分)已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左，右焦点，直线l的参数方程为2,(),x t t y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪⎪⎩R 为参数,．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的普通方程； (Ⅱ)求点1F ，2F 到直线l 的距离之和.解: (Ⅰ) 直线l 普通方程为2y x =-； 曲线C 的普通方程为22143x y +=．(Ⅱ) ∵1(1,0)F -,2(1,0)F ，∴点1F 到直线l的距离1d ==点2F 到直线l的距离2d ==∴12d d += 2--8盐城市2007/2008学年度高三第三次调研考试.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处,极轴与x 轴的正半轴重合.直线l 的参数方程为cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数,θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=.(Ⅰ)若直线l 与圆C 相切,求θ的值(7分)(Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点,求θ的范围.(3分2—9 2008年扬州市第四次调研测试数学试题 3 (本小题为极坐标与参数方程选做题，满分10分)已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩．（1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l 被圆截得的弦长．22131sin 321212042100736101610y y x y d r πρθρθθ-∴=-+=+===∴ ．解：（）由sin(-)=6得:()=6------------2分-----------------------分（）------------------------------------ 分（）且弦长等于------------------------分2—10 江苏省2008年高考江苏省教育学会数学预测卷3（4-4极坐标与参数方程）已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，圆M 的参数方程2cos ,22sin ,x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中θ为参数）。

（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆M 上的点到直线的距离的最小值。

解：（1）极点为直角坐标原点O，sin()(s )4222co πρθρθθ+=+= ∴sin cos 1ρθρθ+=，可化为直角坐标方程：x+y-1=0.(2)将圆的参数方程化为普通方程：22(2)4x y ++=，圆心为C （0，-2）， ∴点C到直线的距离为d ===，∴圆上的点到直线距离的最小值为42。

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