【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案(理)

【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·桂林一模]已知集合()0,2A =，{}e 1,x B y y x ==+∈R ，则A B I （ ） A ．()0,2B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()1,22．[2020·南宁适应]已知复数12i 1iz =-+-，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,3D ．()1,3-3．[2020·云师附中]根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是（ ）A ．自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B ．自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动C ．从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D ．可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大4．[2020·邯郸一模]位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．25m 12B ．25m 6C ．9m 5D ．18m 55．[2020·安阳一模]已知向量()2,1=a ，4+=a b ，1⋅=a b ，则=b （ ） A ．2B ．3C ．6D ．126．[2020·张家界期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出 两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．π8B ．18C ．12D ．147．[2020·福州期中]某个团队计划租用A ，B 两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A ，B 两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆．要求租用A 型车至少1辆，租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的 最小值是（ ） A ．1280元B ．1120元C ．1040元D ．560元8．[2020·山西适应]正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4， 则{}n a 的公比是（ ）A ．1B ．2C 2D 29．[2020·玉溪一中]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．23D ．410．[2020·海口调研]已知函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()3f x +是偶函数，则()1.10.3a f =，()0.53b f =，()0c f =的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．[2020·泸州期末]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ，B 是圆()2224x c y c ++=与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点，且190AF B ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．21+B ．21+C ．221+D ．221+12．[2020·福建三模]设函数()()32,,,0f x ax bx cx a b c a =++∈≠R ．若不等式()()3xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则3b ca -的取值范围为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2020·白银联考]已知函数()()24log 1,14,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()1f a =，则()f a =_____．14．[2020·六盘山一模]函数()()13cos sin 022f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则函数在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为______． 15．[2020·福建模拟]我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，在空间直角坐标系中的xOy 平面内，若函数()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为________．16．[2020·雅礼中学]等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列2a ，4a ，1k a ，2k a ，L ，n k a ，L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T +=_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2020·四川诊断]如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，且AD AC ⊥，27sin BAC ∠=，1AD =，7AB =． （1）求BD 的长； （2）求ABC △的面积．18．（12分）[2020·齐齐哈尔二模]某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式10,20040030,40080050,8001200xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（12分）[2020·衡水二中]如图所示，在四面体ABCD中，AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，2AB BC AC==，且4AD BC+=．（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角C BD E--的余弦值．20．（12分）[2020·保山统测]已知点)2,0Q，点P是圆(22:212C x y+=上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点()3,0A-作直线与点M的轨迹交于点E，过点()0,1B作直线与点M的轨迹交于点(),F E F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2020·聊城一模]已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，若不相等的两个正数1x ，2x 满足()()12f x f x =，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2020·衡阳二模]在直角坐标系xOy 中，设P 为22:9O x y +=e 上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满足2DM MP =u u u u r u u u r，点M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1,0A ρ，2π2,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直线l 上两点．（1）求C 的参数方程；（2）是否存在M ，使得M AB △的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2020·潍坊一模]已知函数()121f x x x =--+的最大值为t ． （1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：()()222g m g n ++≥．绝密 ★ 启用前数学答案一、选择题． 1．【答案】D【解析】因为e 11x y =+>，所以{}{}e 1,1x B y y x y y ==+∈=>R ， 又()0,2A =，所以()1,2A B =I ，故选D ． 2．【答案】A【解析】因为12i i i113z =-+-=-+，所以13i z =--，对应点的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】D【解析】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知： 在A 中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A 正确； 在B 中，自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动，故B 正确； 在C 中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C 正确； 在D 中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D 错误． 故选D ． 4．【答案】D【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()220x py p =->经过点()6,5-，则3610p =，解得185p =，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185p =．故选D ． 5．【答案】B【解析】∵4+=a b ，∴22216++⋅=a b a b ，∴2716+=b ，∴3=b ，故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意知，大圆的面积为2π24πS =⋅=，阴影部分的面积为221π2ππ21S '⋅-⋅==， 则所求的概率为π14π4S P S '===．故选D ． 7．【答案】B【解析】设租用A 型车辆x 辆，租用B 型车辆y 辆，租金之和为z ，则135540x x y x x y ≥≤≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，200120z x y =+，作出可行域：求出区域顶点为()4,4，()2,6，将它们代入200120z x y =+，可得min 200212061120z =⨯+⨯=， 故选B ． 8．【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，可得()222337737216a a a a a a ++=+=，即374a a +=，5a 与9a 的等差中项为4，即598a a +=，设公比为q ，则()223748q a a q +==，则2q =（负的舍去），故选D ． 9．【答案】C【解析】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥1A BDE -．故体积为112122323⨯⨯⨯⨯=，故选C ．10．【答案】D【解析】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =，所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称．又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<，所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>． 故选D ． 11．【答案】A【解析】解：圆()2224x c y c ++=的圆心为(),0c -，半径为2c ，且12AF c =，12BF c =，由双曲线的定义可得222AF a c =+，222BF c a =-，设12BF F α∠=，在三角形12BF F 中，()()()()22222222222cos 2222c c c a c c a c cc α+----==⋅⋅，在三角形12AF F 中，()()()22222244222cos 90sin 2222c c c a c c a c cc αα+-+-+︒+===-⋅⋅，由22sin cos 1αα+=，化简可得()22242c a c +=，即为2222c a c +，即有)2221a c =，可得21ce a==+A ．12．【答案】D【解析】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++， 不等式()()3xf x af x '-≤，即()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤．因为()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切x ∈R 恒成立，而三次函数的图象不可能恒在x 轴的下方， 所以230a a -=，解得3a =或0a =（舍去）． 所以2230bx cx ---≤对一切x ∈R 恒成立， 则00b c ==⎧⎨⎩或204120b Δc b >=-≤⎧⎨⎩，所以23c b ≥， 则223311999399244b c b c c c c a --⎛⎫=≥-=--≥- ⎪⎝⎭． 3b c a -的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选D ．二、填空题． 13．【答案】72【解析】因为()411log 22a f ===，所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，本题正确结果为72．14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()()13cos cos 02π3f x x x x ωωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππω=，∴2ω=，()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，2π2,π33π3x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15．【答案】2π4+【解析】021d x x --⎰表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是1，所以区域A 的面积为1π21424π1++⨯⨯=，所以圆柱的体积π282π44V +=⨯=+．16．【答案】232n n ++【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3a 是2a ，5a 的等比中项，所以()2325a a a =⋅，()()()211124a d a d a d +=+⋅+， 因为公差0d ≠，解得10a =， 公比4233a d q a d===，所以+1+1233n n n k a a d =⋅=⋅， 由{}n a 是等差数列可知()()111n k n n a a k d k d =+-=-， 所以()+131n n d k d ⋅=-，所以+131n n k =+， 所以231+1333331n n n n T n -=++⋅⋅⋅+++⨯ ()2+23131931322n n n n -=+=-⨯+-， 所以2219292393222n n n T n n ++⎛⎫+=⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭-．三、解答题．17．【答案】（1）2BD =；（23【解析】（1）因为AD AC ⊥，所以π2BAD BAC ∠=∠-，所以π27cos cos sin 2BAD BAC BAC ⎛⎫∠=∠-=∠= ⎪⎝⎭．在BAD △中，由余弦定理得：()22222272cos 712714BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以2BD =．（2）在BAD △中，由（1）知，2221471cos 22122AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以2π3ADB ∠=，则π3ADC ∠=．在ADC Rt △中，易得3AC =． 1127sin 73322ABCS AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 所以ABC △的面积为3．18．【答案】（1）680；（2）（i ）见解析；（ii ）160． 【解析】（1）学生月消费的平均数11311300500700900110020068040001000100020004000x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）（i ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0.05、0.80、0.15， 因此()100.05P ξ==，()300.80P ξ==，()500.15P ξ==， 即ξ的分布列为ξ 10 30 50 P0.050.800.15ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532E ξ=⨯+⨯+⨯=．（ii ）服务部的月利润为32200064000⨯=（元）， 受资助学生人数为20000.05100⨯=，每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）．19．【答案】（1）见证明；（2）30． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥． 因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ．（2）解：设()04AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积()()()2321114816326V f x x x x x x ==⨯-=-+()04x <<．()()()()2113161643466f x x x x x =-+=--'， 当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减． 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值． 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，80,,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u rn n ，即80384033x y z ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩， 令2z =-，得()0,1,2=-n ，同理可得平面BDE 的一个法向量为()1,1,2=-m ，则3056==⨯． 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --30． 20．【答案】（1）2213x y +=；（2）定值，3．【解析】（1）如下图所示，连接MQ ，则3MC MQ MC MP CP +=+== 又22CQ =M 的轨迹是以C ，Q 为焦点的椭圆，因为2a =2c =a =c =1b =，故点M 的轨迹方程是2213x y +=．（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x =，1x(11y k x =+ 由22133y kx x y =-++=⎧⎨⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=， 则22613kx k=+，222213113k y kx k -=-+=+．所以1212EFy y k x x -===-． 故直线EF的斜率为定值，其斜率为． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞单调递增；当0a <时，02a x <<-当时，()0f x '<，当2ax >-时，()0f x '>，()f x ∴在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()()12f x f x =Q ，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x =∴++++++， ()()()()()221221212121ln ln 22a x x x x a x x x x x x a ∴-=-++=-+++-，()122121ln ln 2a x x x x a x x -∴+++=-，()()22af x x a x'=+++Q ，()121221121221ln ln 2222a x x x x a a f x x a x x x x x x -+⎛⎫'∴=++++=+ ⎪++-⎝⎭()222111222122121211211121ln 22ln ln 1x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪=-=-=-⎪ ⎪+--+- ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 不妨设210x x >>，则211x x >，所以只要证21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+， 令211x t x =>，()224ln 2ln 11t g t t t t t -∴=-=--++， ()()()()()()22222411410111t t t g t t t t t t t -+-'∴=-==-<+++， ()g t ∴在()1,+∞上单调递减，()()221ln1011g t g -∴<=-=+，21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-<+，1202x x f +⎛⎫'∴> ⎪⎝⎭． 22．【答案】（1）3cos sin x y αα==⎧⎨⎩；（2）见解析．【解析】（1）设()3cos ,3sin P αα，(),M x y ，则()3cos ,0D α． 由2DM MP =u u u u r u u u r ，得3cos sin x y αα==⎧⎨⎩．（2）依题，直线:0l x -，设点()3cos ,sin M αα，设点M 到直线l 的距离为d，()d αβ==+-≥将0θ=，π2代入sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1ρ=，24ρ=，8AB ==．12MAB S AB d =≥△∵8>M ，且存在两个这样的点． 23．【答案】（1）2t =；（2）见解析．【解析】（1）由()121f x x x =--+，得()3,131,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩， 所以()()max 12f x f =-=，即2t =．（2）因为()1g x x =-，由1122m n+=， 知()()221211212g m g n m n m n m n ++=++-≥++-=+ ()1111212222222222n m m n m n m n⎛⎫=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即224m n =时取等号． 所以()()222g m g n ++≥．【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2020年高考数学（理）冲刺模拟卷1（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】A 【解析】【分析】由题知：12a +=，解得：1a =.【详解】因为A B ⊆，所以，解得：1a =.故选：A 【点睛】本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.2．命题“存在x 0∈R ，使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为（）A ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1＞0B ．任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0C ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1≤0D ．不存在x ∈R ,使得x 2﹣2x +1≥0【答案】B 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定判断即可.【详解】“存在x 0∈R ,使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为“任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0.”故选：B 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题型.3．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（）A ．3i -B ．42i-C ．2D ．42i+【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.【详解】由复数的乘法运算可得(1)(3)i i -+2=33i i i +--=42i-故选:B 【点睛】本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.4．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（）A ．22228642P P P P B ．22822642C C C CC ．22224s s 424C C C C PD ．222286424!C C C C 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，依次分析4位老师的任教分配的方法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，对于4位老师按先后分4步进行讨论:第一位老师，从8个班级中任选2个，安排其任教,有28C 种分派方法；第二位老师，从剩下的6个班级中任选2个，安排其任教，有26C 种分派方法；第三位老师，从剩下的4个班级中任选2个，安排其任教，有24C 种分派方法；第四位老师，还剩2个班级,安排其任教，有22C 种分派方法；故不同的分派方法有22822642C C C C 种；故选:B.【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用，考查学生的分析问题解决问题能力，是基础题.5．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是（）A ．若αβ∥，则l β∥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l m ⊥，则l β∥D ．若αβ∥，则m α⊥【答案】D 【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.【详解】选项A,C 直线l 可能在β平面内，故不正确；选项B,若αβ⊥，m β⊥，则，m α或m 在平面α内，而l α，故l 与m 可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D ：由m β⊥，αβ∥，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m α⊥，故为正确.故选：D 【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.6．若正数,a b 满足：121a b +=，则2112a b +--的最小值为（）A ．2B ．322C ．52D ．3214+【答案】A 【解析】【分析】把121a b+=化为()()122a b --=，利用基本不等式可求最小值.【详解】因为121a b +=，,a b 为正数，所以1201,01a b <<<<，从而1,2a b >>.又121a b+=可化为()()122a b --=，故2121221212a b a b +≥⨯=----，当且仅当3,3a b ==时等号成立，所以2112a b +--的最小值为2.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.7．已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35t (an )a a +的值为（）.A ．3B ．3-C ．33D ．33-【答案】A 【解析】试题分析：1472a a a π++=，所以443543524432,,2,tan()tan 3333a a a a a a a ππππ==+==+==考点：1、等差数列；2、三角函数求值.8．执行如图所示的程序框图，输出的S (=)A ．25B ．9C ．17D ．20【答案】C 【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当41620T S =+=>，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；S 9=，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故应选C ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．斜率为33的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =（）A ．12B ．8C ．10D ．6【答案】A 【解析】【分析】由直线的斜率为33可得倾斜角为30°，数形结合分析可得.【详解】解：因为直线的斜率为33，所以倾斜角为30°，即30MFA ∠=︒结合题意作图，由图可得||2||4MF AM ==，2242pr ∴-==，解得12p =.故选：A .【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.10．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（）A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称C ．()f x 在(0,4)单调递减D ．()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【解析】【分析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ；现在证明B 的正确性：2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.11．函数2()1sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得()21e 1sin sin 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，则()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11ex x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++，则()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当1x =时，()1e1sin101ef -=⋅<+，排除A ，本题正确选项为C.【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．解答本题时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用()1f 的值的符号进行排除即可．12．已知直线y kx =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B 【解析】【分析】如图所示：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，计算得到13,AF a AF a ==，再利用余弦定理得到2221022a c b =+，化简得到答案.【详解】如图所示：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，根据对称性知1BF AF =133AF BF AF ==，12AF AF a -=，13,AF a AF a==在AOF ∆和1AOF ∆中，分别利用余弦定理得到：22292cos a c b bc AOF =+-∠，22212cos a c b bc AOF =+-∠两式相加得到22222102233a cbc a e =+∴=∴=故选：B【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出13,AF a AF a ==是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

15. 抛物线 y2 2ax( a 0) 的焦点为 F ，其准线与双曲线 y2 x2 1相交于 M , N 两点，若 49
MEN 1200 ，则 a _______.
16.
已知数列 {????}的前 ??项之和为 ????，满足 ????= -2????+ 1 -
1
3??， ???? =
(
3 2
)??????，则数列
{????} 的通
项公式为 ________差 d 0, a1 0 ，其前 n 项和为 Sn ，且 a2 2, S3 , S6 成等比数列 .
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）若 bn
2
2n 1 Sn 1
，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn
求 的分布列和数学期望 E ；
2020 年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷（ 5 份含答案）
（ 3）试比较这 100 户中，甲、乙两村指标 y 的方差的大小（只需写出结论） . 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， AB AC 2, AD 2 2, PB 3 2, PB AC .
；④ l m / / 其中正确的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C.②④ D. ③④
4. 已知向量 av
v 1,3 ， b
m,2 m 3 ，平面上任意向量 cv 都可以唯一地表示为
cv
av
v b,
R ，则实数 m 的取值范围是（
）．
l / /m
A. ,0 0,
B. ,3
C. , 3 3,
D. 3,3
2n
1 .
2
18． 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各

.2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷4注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[金山中学]已知集合2340A x xx ，1B x x ，则A BR I e （）A ．B ．0,4C ．1,4D ．4,2．[湘钢一中]已知i 为虚数单位，若复数1i2i a 是纯虚数，则实数a 等于（）A ．2B ．12C ．12D ．23．[玉溪一中]若向量a ，b 的夹角为π3，且2a，1b ，则向量2ab 与向量a 的夹角为（）A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π64．[凯里一中]已知1cos 4，则πsin22（）A ．18B ．18C ．78D ．785．[宁乡一中]函数1e 2cos 1xf xx 的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．[天津一中]设1F 、2F 分别为双曲线222210,0xy a b ab的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F ，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．340xyB ．350xy C ．430x y D ．540x y 7．[天一大联考]已知πsin0,0,2f x A xB A的图象如图所示，则函数f x 的对称中心可以为（）A ．π,06B ．π,16C ．π,06D ．π,168．[首师附中]秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（）A．5 B．12 C．25 D．509．[济宁一模]已知直三棱柱111ABC A B C的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和3，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为（）A．8π3B．16π3C．32π3D．64π310．[牡丹江一中]牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（）种．A．444 B．1776 C．1440 D．156011．[蚌埠质检]已知F为抛物线24y x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且5AF，则PA PO的最小值为（）A．5B．25C．13D．21312．[湘钢一中]已知3ln44xf x xx，224g x x ax，若对10,2x，21,2x，使得12f xg x成立，则a的取值范围是（）A．1,8B．258ln2,16C．15,84D．5,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[天一大联考]不等式组2024020xx yx y，表示的平面区域的面积为________．14．[东北三校]42x y x y的展开式中23x y的系数是__________．15．[宁乡一中]ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知58a b，2A B，则cosB_________．16．[河南联考]如图，ABC△是等腰直角三角形，斜边2AB，D为直角边BC上一点（不含端点），将ACD△沿直线AD折叠至1AC D△的位置，使得1C在平面ABD外，若1C在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[顺义统考]已知na是等差数列，n b是等比数列，且22b，516b，112a b，34a b．（1）求nb的通项公式；（2）设n n nc a b，求数列nc的前n项和．18．（12分）[山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：（1）根据上述统计数据填下面的2×２列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，.给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：22n ad bcKa b c d a c b d，其中n a b c d．19．（12分）[西城一模]如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF DE∥，DE AD，AD BE，112AF AD DE，2AB．（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求二面角B EF D的余弦值；（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．20．（12分）[凉州二诊]椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且21MF FAu u u u r u u u r，离心率为22．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P、Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM△的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）[济南模拟]已知函数21ln02af x x x x a．（1）讨论f x的单调性；.（2）若1ea，试判断f x的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[安庆二模]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为252x m ty t（t为参数）．以原点O为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆C的方程为25sin，l被圆C截得的弦长为2．（1）求实数m的值；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为,5m，且0m，求PA PB的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[成都实验中学]已知函数22f x x x a，a R．（1）当1a时，解不等式5f x；（2）若存在x满足0023f x x，求a的取值范围．..绝密★启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷4答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】由题意得234014A x xx x x x或，∴14AxxR e ，∴141,4A B x xR I e ．故选C ．2．【答案】D 【解析】∵1i 2i221i a aa，∴20a，210a ，即2a，故选D ．3．【答案】B 【解析】设向量2a b 与a 的夹角为，∵a ，b 的夹角为π3，且2a ，1b ，∴22π1222cos 4221632a a b a a b aab ，2221224244214232aba baa bb，∴263cos22223a ab a ab，又∵0,π，∴π6，故选B ．4．【答案】D【解析】由题得22π17sin2cos22cos 121248．故选D ．5．【答案】A【解析】∵11f ，∴舍去B ，∵0e 2cos10f ，∴舍去D ，∵2x时，1e2cos 1x f xx ，∴1e2sin 1e 20x fxx ，故选A ．6．【答案】C 【解析】依题意212PF F F ，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知，可知2212444PF cab ，根据双曲定义可知422bca ，整理得2cb a ，代入222cab 整理得2340bab ，求得43b a，∴双曲线渐进线方程为43yx ，即430xy．故选C ．7．【答案】 D 【解析】由图可知3122A，3112B，7ππ2π1212T，∴2，由ππ22π122k k Z ，π2，得π3，故π2sin 213f x x．令π2π3xk kZ ，得ππ26k xkZ ，则0k时，π6x．故选D ．8．【答案】 C【解析】模拟程序的运行，可得：2x，4n ，1v ，i 3，满足进行循环的条件i 0，5v ，i 2，满足进行循环的条件i 0，12v ，i 1，满足进行循环的条件i 0，25v，i0，不满足进行循环的条件i0，退出循环，输出v 的值为25．故选C ．9．【答案】 C【解析】如图所示，将直三棱柱111ABCA B C 补充为长方体，则该长方体的体对角线为22223+3+1=4，设长方体的外接球的半径为R ，则24R，2R ，∴该长方体的外接球的体积3432ππ33V R ，∴该三棱柱的外接球的体积3432ππ33VR，故选C ．10．【答案】 B【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，∴只需在生、史、地、政四选一有14C 4种；.然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共114244C C A192种；第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择13C ，语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，也可一科在上午任一节一科在下午第二节14C4，其他三科可以全排列，共123323C 34A A252；∴总共有41922521776种．故选B ．11．【答案】 D【解析】不妨A 为第一象限中的点，设,A a b （0b ）．由抛物线的方程得1,0F ，则15AF a ，故4a，∴4,4A ，A 关于准线1x的对称点为6,4A ，故52213PAOPPAOPA O，当且仅当A ，P ，O 三点共线时等号成立，故选D ．12．【答案】 A 【解析】∵3ln 44x f x x x ，0,2x，∴221311301444xxfx xxx x，(3舍去)从而01x ，0f x ；12x ，0fx ；即1x 时，f x 取最小值12，因此1,2x，使得21242xax成立，724x a x的最小值，∵724x x在1,2上单调递减，∴724x x的最小值为271288，因此18a，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】 3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为ABC △，其中2,0A ，0,2B ，2,3C ，∴1232S AC．故答案为3．14．【答案】16【解析】∵444222xyxyx x yy x y，又42x y展开式的通项为4414C 2kkkkkT xy ，求42xyxy的展开式中23x y 的系数，只需令2k或3k，故所求系数为3432244C 2C 216．故答案为16．15．【答案】45【解析】∵58a b ，∴5sin 8sin A B ，∵2AB ，∴5sin28sin BB ，10sin cos 8sin B B B ，∵sin 0B，∴4cos 5B．16．【答案】1,2【解析】∵在等腰Rt ABC △中，斜边2AB ，D 为直角边BC 上的一点，∴2ACBC，90ACB，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AHx ，∴12AC AC ，10,2CD C D，190AC D，CH平面ABC ，∴12AH AC ，当2CD时，B 与D 重合，1AH ，当2CD时，112AHAB ，.∵D 为直角边BC 上的一点，∴0,2CD ，∴AH 的取值范围是1,2．故答案为1,2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）121,2,3,n n b n L；（2）2312122nnS nn ．【解析】（1）设n b 的公比为q ．∵22b ，516b ，∴3521682b q b ，∴2q ，211b b q，∴11121,2,3,n n nb b qn L．（2）由（1）知12n n b ，∴11b ，48b ，设等差数列n a 的公差为d ，∵112a b ，34a b ，∴12a ，3128a a d，∴3d，∴31na n ，因此1312n n nnc a b n ，从而数列n c 的前n 项和12231123125311222121222nn nn n n S n nn LL．18．【答案】（1）2×２列联表见解析，无95％的把握；（2）期望为125，分布列见解析．【解析】（1）列联表如下图所示：22100402020202.7783.84160406040K，故没有95%把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，且观众支持“新农村建设”的概率为6031005，且34,5B ，∴040432160C55625P，131432961C55625P，2224322162C55625P，3134322163C55625P ，44432814C55625P，∴的分布列为∴的数学期望为312455E．19．【答案】（1）见解析；（2）63；（3）17BQ BE．【解析】（1）由底面ABCD 为平行四边形，知AB CD ∥，又∵AB平面CDE ，CD平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ．同理AF ∥平面CDE ，又∵AB AF A I ，∴平面ABF ∥平面CDE ．又∵BF平面ABF ，∴BF ∥平面CDE ．（2）连接BD ，∵平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCDAD ，DEAD ，∴DE平面ABCD ．则DEDB ，又∵DEAD ，AD BE ，DE BE E I ，∴AD平面BDE ，则ADBD ，故DA ，DB ，DE 两两垂直，∴以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则0,0,0D ，1,0,0A ，0,1,0B ，1,1,0C ，0,0,2E ，1,0,1F ，∴0,1,2BEu u u r，1,0,1EFu u u r，0,1,0n为平面DEF 的一个法向量．设平面BEF 的一个法向量为,,x y z m，由0BEuu u r m ，0EFu u u rm ，得200y z xz ，令1z，得1,2,1m，∴6cos ,3m n m nm n．如图可得二面角B EF D 为锐角，∴二面角B EF D 的余弦值为63．（3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ平面BEF ，证明如下：设0,,2BQ BEuu u ru uu r ，0,1，∴0,1,2DQDBBQuu u ru u u r u uu r ．设平面CDQ 的法向量为,,a b c u，.又∵1,1,0DCu uu r ，∴0DQuu u ru ，0DCu u u ru ，即120b c ab，令1b，得11,1,2u．若平面CDQ平面BEF ，则0m u，即11202，解得10,17．∴线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ 平面BEF ，且此时17BQBE．20．【答案】（1）2212xy；（2）存在直线l ：43yx满足要求．【解析】（1）设椭圆的方程为222210xy a b ab，半焦距为c ．则,0A a 、0,M b 、,0F c 、,MF c b u u u u r、,0FA ac u u u r，由21MF FA u u u u r u u u r ，即221acc，又22c a，222abc 解得2221a b，∴椭圆的方程为2212x y．（2）∵F 为MPQ △的垂心，∴MF PQ ，又0,1M ，1,0F ，∴1MF K ，1PQK ，设直线PQ ：y xm ，11,P x y ，22,Q x y ，将直线方程代入2212xy，得223+422x mx m1243m x x ，212223mx x ，22412220mm ，33m且1m ，又PF MQ u u u r uu u u r ，111,PF x y u uu r ，22,1MQ x y uu u u r，∴2121210x x x y y y ，即21212120mx x x x mm，由韦达定理得2340m m ，解得43m 或1m （舍去）。